第四章 因式分解-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第四章 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.下列各式从左边到右边的变形，是因式分解 的是() A.x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1 B.x3+x2=x2(x+1) C.+1=x(x+) D.a(a-b)(b+1)=(a2-ab)(b+1) 2.多项式x2-4y2与x2+4xy+4y2的公因式 是() A.x-4y B.x+4y C.x-2y D.x+2y 3.若多项式2x2+ax-6能分解成两个一次因式 的积，且其中一个一次因式是2x-3,则a的 值为( A.1 B.5 C.-1 D.-5 4.当n为自然数时，(n+1)2-(n-3)2一定能 被下列哪个数整除？() A.5 B.6 C.7 D.8 5.解决次数较高的代数式问题时，通常可以用 降次的思想方法。已知：x2-x-1=0,则x4- 2x3+x2的值是()》 A.-2 B.1 C.2 D.3 6.如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪去一 个边长为m的正方形之后，余下部分又剪 拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长 方形的面积是( m+3 m A.2(m+3) B.2(2m+3) C.3(2m+3) D.3(m+3) 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·入 因式分解 测试分数：65分 二、填空题（每小题3分，共9分） 7.新考法·开放性试题一个二次三项式分解 因式后，其中一个因式为x+1,请写出一个 满足条件的二次三项式： 8.多项式x2+mx+5因式分解得(x+5)(x+n), 则m= 0 9.新定义若一个整数能表示成a2+b2(a,b是 整数)的形式，则称这个数为“完美数”。例 如，因为5=22+12，所以5是一个“完美 数”。已知M是一个“完美数”，且M=x2+ 4xy+5y-12y+k(x,y是两个任意整数，k是 常数)，则k的值为 三、解答题（共38分） 10.（9分)因式分解： (1)4a(x-y)-2b(y-x); (2)x2y2-x2(y-1)2; (3)a2(x-y)+4(y-x); 年级下·ZBB·数学第16页 1(9分)若y打求多项式 1 2x2y2+xy3的值。 12.学科素养·应用能力(10分)阅读下列 材料： 常用的因式分解方法有提公因式法、公式 法等。但有的多项式只用上述方法无法 分解，如x2-4y2+2x-4y,细心观察这个式 子会发现前两项符合平方差公式，后两项 可提取公因式，分解过程为： x2-4y2+2x-4y =(x2-4y2)+(2x-4y)…分组 =(x-2y)(x+2y)+2(x-2y) …组内因式分解 =（x-2y)(x+2y+2)…整体思想提公因式 这种因式分解的方法叫分组分解法，利用 这种方法解决下列问题： (1)因式分解：9x2-9x+3y-y2; (2)已知△ABC的三边a、b、c满足a2-ab- ac+bc=0,判断△ABC的形状并说明理由。 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八 13.(10分)如图1所示是一个长为2m,宽为 2n的长方形，沿图中虚线用剪刀裁成四个 相等的小长方形，然后按图2的方式拼成 一个正方形。 (1)图2中阴影部分正方形的边长等 于 (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影 部分的面积：方法① ；方法 ② (3)观察图2，你能写出(m+n)2,(m-n)2, mn这三个代数式之间的等量关系吗？ (4)根据(3)中的等量关系，解决如下问 题：若a-b=6,ab=5,求(a+b)2。 2m 21 …… 图1 图2 年级下·ZBB·数学第17页种工艺品的单价为40元，B种工艺品的单价为60元。 (2)设购进A种工艺品a个，则购进B种工艺品 (a≤37 4s0000个。依题意得480-40≤2n解得30≤a≤ 60 60 37,又a 4800-40“均为正整数，a可以为30,33,36， 60 共有3种进货方案。 (3)设两种工艺品全部销售完获得的利润为0元，则0 =-（54-40-m)a+(78-60).48040a=(2-m）a+140, 60 又·在(2)的条件下，若A、B两种工艺品全部售出后所 有方案获利均相同，.2-m=0,解得m=2。 第三章图形的平移与旋转 1.A2.A3.C4.C 5.B【解析】由题意，得AC=CA',.∠CAM'=∠CA'A= 45°，∠AA'B=20°，.∠CA'B'=25°，∴.∠CBA'=90°- ∠CA'B'=90°-25°=65°。故选B。 6.D 7.A【解析】.面积为3的等腰△ABC,AB=AC,B(1,0), C(3,0),.点A在BC的垂直平分线上，.A(2,3),由题 意得第1次变换后A的坐标为(-2,2)，第2次变换后A 的坐标为(2,1)，第3次变换后A的坐标为(-2,0)，第4 次变换后A的坐标为(2，-1)，第5次变换后A的坐标为 (-2,-2),以此可发现规律：当经过n次变换后，n为奇 数时，点A的横坐标为-2，纵坐标为3-n:n为偶数时，点 A的横坐标为2，纵坐标为3-n,∴.第2026次变换后，点A 的坐标为(2，-2023)。故选A。 8.-9【解析】由题意，得n=-5,m=-4,.m+n=-9。 9.72 10.(-5,10)【解析】.：点A(3,-1)的对应点为C(-2 5),-2-3=-5,5-（-1)=6,.平移规律是向左平移5 个单位，向上平移6个单位，.0-5=-5,4+6=10，.点 D的坐标是(-5,10)。 11.128【解析】由题意，得草地的实际面积为(18-2)× (10-2)=16×8=128(m2)。 12.解：(1)如图，△AB1C1即为所作： (2)如图，△A2B2C2即为所作； (3)(-3,1) 13.(1)解：由平移的性质可知：ACDF,AD∥BF,.∠ACB =∠F,∠ACB=∠DAC,∴.∠F=∠DAC=56°； (2)4cm或12cm 14.解：(1)602 (2)①补全图形如图所示：结论：AD=A'D。 DA A 理由：如图，过点A作A'C的平行线，交CC'于点E,记 ∠1=B。由旋转的性质可知，∠A'CB=∠ACB=90°， A'C'=AC,BC=BC。.∠2=∠1=B。.∠3=∠ACB- ∠2=90°-B,∠A'C'D=∠A'C'B+∠1=90°+B。AE∥ A'C',.∠AED=∠A'C'D=90°+B。.∠4=180° 追梦之旅铺路卷·八年级 ∠AED=180°-(90°+B)=90°-B。∴.∠3=L4。∴.AE= AC,.AE=A'C'。在△ADE和△A'DC中，∠ADE= ∠A'DC',∠AED=∠A'C'D,AE=A'C',∴.△ADE≌ △A'DC'(AAS),.AD=A'D。 第四章因式分解 1.B2.D3.A4.D5.B6.C 7.x2+3x+2(答案不唯一）8.6 9.36【解析】.M=x2+4xy+5y2-12y+k=(x+2y)2+(y-6)2 +k-36,.k=36时，M是完美数。 10.解：(1)原式=4a(x-y）+2b(x-y)=2(x-y)(2a+b); (2)原式=x2[y2-(y-1)2]=x2[y+(y-1)][y-(y-1)] =x(2y-1); (3)原式=a2(x-y)-4(x-y)=(x-y)(a2-4)=(x-y)(a +2)(a-2)。 3 1 11.原式=y(x2+2y+y2)=xy(x+y)2。= 8x+y=2 原式×宁 8 32 12.解：(1)9x2-9x+3y-y2=(9x2-y2)-(9x-3y)=(3x+y) (3x-y)-3(3x-y)=(3x-y)(3x+y-3); (2)△ABC为等腰三角形或等边三角形。理由：a2- ab-ac+bc=0,..a(a-b)-c(a-b)=0,..(a-b)(a-c)= 0,∴.a-b=0或a-c=0或a-b=0,a-c=0。∴a=b或a= c,a=b=c,∴.△ABC为等腰三角形或等边三角形。 13.解：(1)m-n (2)(m-n)2(m+n)2-4mn (3)三个代数式之间的等量关系为(m-n)2=(m+n)2- 4mn。 (4)a-b=6,ab=5,∴.(a+b)2=(a-b)2+4ab=62+4×5 =36+20=56。 第五章分式与分式方程 分式及其基本性质、分式的运算 1.A 2.B【解析】由题可知x2-16=0且x+4≠0，解得x=4。故 选B。 3.C4.B5.B 6.D【解析1原式=m(m-2）.-（ml).-m-2。 m-1 m2 m。m,n 是两个连续的整数，且m+n=-1,m=-1,n=0,则原式路 =-12-3,故选D。 -1 手 7.x≠2026 8.6【解析1原式=-4.。=a+2)(a-2).02 案 aa+2 a *2a2 2a。a2-2a-6=0,.a2-2a=6。 9.80xh10. x2-4 u-f 1.解：(1)原式=42.(x+=+2: x+1 x (2)原式=x+2)(x-2).2(x-2)1=21.1 (x-2)2*(x+2)xi (3)原式=a+2ab+62(a+b)2 a+6a+i。 12.解：原式=( （x4)÷3+x=-（x+3)(x-3) ÷x-2+x-3 x-2 后20 3 1 0,x≠2且x≠3，取x=1,则原式=-，3=3 1-32。(答 案不唯一) 下·ZBB·数学第20页