专项总结突破卷（三、四）图形的平移与旋转＋因式分解-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

铺路卷 居恋之旅 ZBB·八年级数学下 +为期中、期末铺路为中考、未来铺路 追梦专项总结突破卷（三） 图形的平移与旋转 题型一对角互补模型 模型解读 1.全等型 -90°角 A E B 条件：①∠AOB=∠DCE=90°；②0C平分∠AOB。 翻 结论：①CD=CE;②0D+0E=√2OC; 00 1 著 ③S四边形0DB=S△0cn+S△0CE= 0c. 2.全等型—120°角 B 条件：①∠A0B=2∠DCE=120°；②0C平分∠A0B。 I 结论：①GD=CE;20D+0E=0C;③Seon+5aom- 4 0C2。 1.如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向外作 △ABD,使∠ADB=120°，再以点C为旋转中心把 △CBD旋转到△CAE,则下列结论中正确的 的 有( ①D,A,E三点共线；②DC平分∠BDA;③∠E=∠BAC;④DC= 爵 DB+DA. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.【问题背景】 如图1，在四边形ABCD中，∠A和∠C称为它的对角，若这个四 边形满足：∠A+∠C=180°，则这个四边形叫作“对角互补四边 形”。 的 【问题解决】 剂 (1)若四边形ABCD是“对角互补四边形”，且∠B=3∠D,求∠B 的度数； (2)如图2，∠M0N=60°，OB平分∠MON,A是射线ON上一动 点，C是射线OM上的动点，且四边形COAB是“对角互补四边 形”。 ①若△COB是等腰三角形，求∠BAN的度数； ②若0B=2,若8cS求0G的长。 B 图1 图2 题型二半角模型 模型解读 1.等边三角形含半角（∠BDC=120°）： A 将△DBE绕，点D旋 E 转至DB与DC重合 160° B 结论：△DFG≌DFE,EF=FC+BE。 2.等腰直角三角形含半角： 将△ABD绕点A旋 转至AB与AC重合 → B 结论：△ADE≌△AFE,FC LBC。 3.如图1，在△ABC中，BA=BC,D,E是AC边上的两点，且满足 ∠DBE=∠ABC。以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向 旋转得到△ABF,连接DF。 (1)求证：DF=DE; (2)如图2，若AB⊥BC,其他条件不变，探究AD,DE,EC之间的 关系，并证明。 图1 图2 题型三倍长中线（旋转180°）模型 4.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，在△ABC中，若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的 取值范围。 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到 E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕，点D逆时针旋转180° 得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形的三 边关系可得2<AE<8,则1<AD<4。 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构 造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所 求证的结论集中到同一个三角形中。 【解决问题】受到上面的启发，请你证明下列命题：如图2，在 △ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF,DE交AB于点E,DF 交AC于点F,连接EF。 (1)求证：BE+CF>EF; (2)若∠A=90°，探索线段BE,CF,EF之间的等量关系，并加以 证明。 E D 图1 图2 。23· 铺路卷 ZBB·八年级数学下 +为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 追梦专项总结突破卷（四） 因式分解 题型一因式分解的概念及应用 1.下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( A.m2-4+m=(m+2)(m-2)+mB.m-5=m(m C.n(a+b)=na+nb D.x2+2x+1=(x+1)2 题型二分解因式常用方法 类型1提公因式法和公式法 2.已知a,b,c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+aC,则△ABC 一定是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 3.分解因式：-2x2+32x-128。 类型2分组分解法 4.【阅读材料】 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组 分解法。分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组：二是“2+2” 分组。两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以 构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“3+1”分组；若无 法构成，则采用“2+2”分组。 例如，x2+2x+1-4=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=（x+1-2)(x+1+ 2)=(x-1)(x+3); am+bm+an+on=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+ b)(m+n)。 【应用知识】 (1)因式分解：a2-ab+bc-ac; (2)因式分解：-a2-6ab-9b2+9; 【拓展应用】 (3)已知一个三角形的三边长分别是a,b,c,且满足2a2=c(2a- c)+b(2a-b),试判断这个三角形的形状，并说明理由。 。24· 类型3十字相乘法 5.阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形。 即由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,得x2+(p+q)x+pg=(x+p) (x+q)。 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行 因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”。 例如：将式子x2+3x+2分解因式。 解：x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2)。 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：x3-8x2+12x; (2)若x2+x-6可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能 的值。 类型4拆项法 6.下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务。 “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为 一项或相互抵消为零。反过来，同样可以对某些多项式恢复 那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两 项或多项（拆项），我们称此方法为“拆项法”。利用这种方法 可以对多项式进行因式分解。 【例题分析】因式分解：x2+4x+3。 解：原式=x2+x+3x+3…第一步 =(x2+x)+(3x+3)…第二步 =x(x+1)+3(x+1)…第三步 =（x+1)(x+3)。…第四步 任务： (1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了 进行因式分解： A.提公因式法 B.平方差公式 C.完全平方公式 D.整式乘法 (2)请类比材料中的例题分析，将多项式x2-6x+5因式分解。 易错 分析 类型5换元法 谢 7.阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工 具。下面是对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解的解 题思路： 将“x2-2x”看成一个整体，设x2-2x=m, 则原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2, 再将“m”还原为“x2-2x”即可。 解题过程如下： 些 解：设x2-2x=m, 则原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2-2x+1)2。 做题 问题：(1)以上因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写 心得 出完整的解答过程； (2)请你模仿以上方法，将多项式(x2+6x)(x2+6x+18)+81进行 因式分解。8+a 8+a 8得<2不等式组的解集为2≤<2，：不等式 组有且只有3个整数解，∴.3个整数解为2,3,4。.4< 8+≤5，解得0<a≤2。故选C。 2 5.解：由图可知，数轴上被墨迹覆盖的整数是-1,0,1,2，解 这个不等式组，得>33m根据题意得最小值在-2与 (x≤2n-2, 1之间.大值在2与3之间六{22521解得 4. 5 3<ms 3 .5 2≤n<2 6.解：(1)有 (2)当x+2>a时，即x>-2+a时，x-2≤1-2x,即x≤1，依 题意有-2+a<1,即a<3; (3)解不等式2x-1<x+1得x<2,.·关于x的不等式x≥ m与2x-1<x+1“没有整数交集”.m>1。 7.B【解析】解不等式2x-4<0,得x<2,解不等式x+1>k, 得x>k-1。:不等式组有解，∴k-1<2,解得k<3。故选 B。 8a≥1【解析】解不等式a>0,得>24，解不等式4 2x≥0，得x≤2，不等式组无解，.2a≥2，解得a≥1。 9.解：(1)x≥1-ax<1 (2):不等式①的解集是x≥1-a,不等式②的解集是x< 1,又不等式组无解，∴.1-a≥1，解得a≤0，即a的取值 范围是a≤0。 10B【折130.①-，年7m*4又 :x-y>1,.m+4>1,解得m>-3,则m的取值中负整数 有-1、-2这2个，故选B。 1a<4【解标13地0，⑩+②得=1+ +4a。 2,1+2,解得<4。 12.-1<m<1【解析】解方程组{y=2m3,得化=m-1● (y=-1-m1 “关于，)的方程组2x+ym-3的解x,y均为负数， (x-y=2m 00条径-1k<1 追梦专项总结突破卷（三） 1.A 2.解：(1)四边形ABCD是“对角互补四边形”，.∠B+ ∠D=180,∠B=3∠0号∠B∠B=180∠B= 135°： (2)①.四边形COAB是“对角互补四边形”，∠MON= 60°，∠ABC=180°-60°=120°，0B平分∠M0N, LBOC=LBOA=1 ∠MOW=30°，当∠BC0=∠BOC= 2 30时，∴.∠CB0=180°-30°-30°=120°=∠ABC(不符合 题意，舍去)；当∠CB0=∠B0C=30°时，∴.∠AB0=120 -30°=90°，.∠BAN=∠B0A+∠AB0=120°；当∠CB0= L0CB时，L0BC=2×(180-30)=75,∠AB0 120°-75°=45°，∴.∠BAN=∠B0A+∠AB0=75°；综上， ∠BAN的度数为120°或75°； ②如图，过点B作BG⊥ON于点G,BH⊥OM于点H,∴. 追梦之旅铺路卷·八年级 ∠BH0=∠BG0=90°，.·∠BOC=∠BOA M =30°，0B=2,∴.∠0BH=∠0BG=60°， 1 BG=BH=2OB=1,·0H=OG= √OB2-BC2=V3,·.S△Boc:S△B0A= (0c.Bm0-(分0A·B6)=号0c 3 3 :0A=亏，：四边形C0MB是“对角互补四边形”， ∠ABC=180°-∠M0N=120°，：∠0BH=∠0BG=60°， ∠HBG=120°，.∠CBH=∠ABG,在△CBH与△ABG中， I∠BHC=∠BGA BH=BG ,.△CBH≌△ABG(ASA),.CH=AG, N∠CBH=∠ABG 大 0c+0m=01-4Ac0c+20m=30c,号00=20m, 答案 m=0c,0m=0+m0c+0c=50c= 33 4 3(1)证明：∠DBE=∠ABC,∠ABD+∠CBE ∠DBE=】∠ABC,由旋转得：△CBE≌△ABF,.BF= 2 BE,∠ABF=∠CBE,.∠ABD+∠ABF=∠DBE,.∠DBF =∠DBE。BD=BD,∴.△DBF≌△DBE(SAS),∴.DF= DE: (2)解：AD2+CE2=DE2,理由：：AB⊥BC,.∠ABC=90°。 AB=BC,.∠BAC=∠C=45°，由旋转得：AF=CE, ∠BAF=∠C=45°，.∠DAF=∠BAC+∠BAF=90°，. AD2+AF2=DF2,由(1)得：DF=DE,.AD2+CE2=DE。 4.解：(1)将△CDF绕点D顺时针旋转180°得到△BDG,连 接EG。如图所示。则△CDF≌ △BDG,∴.BG=CF,DG=DF。.DF⊥ DE,.∴.EG=EF。在△BEG中，BE+BG >EG,即BE+CF>EF。 (2)若LA=90°，则EF2=BE2+CF2。 证明如下：∠A=90°，.∠EBC+ ∠FCB=90°，由(1)知EF=EG,BG= CF,∠FCD=∠DBG,∴.∠DBG+ G ∠EBC=90°，即∠EBG=90°，.在Rt△EBG中，EG2=BE2 +BG2,即EF2=BE2+CF2。 追梦专项总结突破卷（四） 1.D 2.A【解析】整理，得(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,即(a-b) (a+b-c)=0。.:a+b-c≠0，∴.a-b=0,即a=b。则△ABC 为等腰三角形。故选A。 3.解：原式=-2(x2-16x+64)=-2(x-8)2。 4.解：(1)原式=(a2-ab)+(bc-ac)=a(a-b)-c(a-b)=(a- b)(a-c); (2)原式=(-a2-6ab-962)+9=9-(a2+6ab+962)=32-(a +3b)2=(3+a+3b)(3-a-3b); (3)这个三角形是等边三角形，理由如下：：2a2=c(2a- c)+b(2a-b),.2a2=2ac-c2+2ab-b2,.2a2-2ac+c2-2ab +b2=(a2-2ac+c2)+(a2-2ab+b2)=(a-c)2+(a-b)2=0, .a-c=0,a-b=0,∴a=c,a=b,.a=b=c,.这个三角形 是等边三角形。 5.獬：(1)原式=x(x2-8x+12)=x[x2+(-6-2)x+(-6)× (-2)]=x(x-6)(x-2); (2)-6=(-1)×6=1×(-6)=2×(-3)=（-2)×3,∴p= -1+6=5或p=1-6=-5或p=2-3=-1或p=-2+3=1, 下·ZBB·数学第12页 故整数p的值可能为5或-5或1或-1。 6.解：(1)A (2)原式=x2-x-5x+5=(x2-x)-(5x-5)=x(x-1) 5(x-1)=(x-1)(x-5)。 7.解：(1)不彻底，完整的解答过程：设x2-2x=m,则原式= m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2-2x+1)2=[(x 1)2]2=(x-1)4; (2)设x2+6x=m,则原式=m(m+18)+81=m2+18m+81= (m+9)2=(x2+6x+9)2=[(x+3)2]2=(x+3)4。 追梦专项总结突破卷（五） 1解：原式=11心由题意，得e a(a-b)a+b 1=0,b+1=0,∴.a=-1,b=-1,当a=-1,b=-1时，原式= -1 卷 1。 案 2解：原式=.+22》4，当x=-7时，原式= x-2 x(x-1) 5 7 3.解：(1)因为分式中分母不能为零，所以x≠3。方程两边 都乘以(x-3),得2-x+3(x-3)=-1。解这个方程，得x= 3。检验：把x=3代人(x-3),得3-3=0，.x=3是原分 式方程的增根，∴.原分式方程无解； (2)因为分式中分母不能为零，所以x≠±2。方程两边 都乘以(x+2)(x-2),得(x-2)2-(2x-1)=(x+2)(x-2)。 3 解这个方程得x)。检验：将x=)代入原方程，得方 之是原分式方程的根。 边=1，右边=1，左边=右边，.x= 4.A 或4【解折】会式方只径有位问时象以 x(x-2),得mx-8=2(x-2),∴.(m-2)x=4。①当m-2= 0时，方程无解，此时m=2;②当m-2≠0时，x=4 2,由 x(x-2)=0,可知当x=0或x=2时，原方程有增根，从而 20或4 无解，即4 -22。:4 -2*0,m=4,综上所 述，m=2或4时，原分式方程无解。 6B【解标】解分式方程，得x=牛由分式方程的解为正 数，得到件0且生82，解得8且≠-2。故选B 7.B【解析】不等式x+4<3x-2的解集为x>3,不等式x>k 的解集为x>k,若整数k使关于x的一元一次不等式组 {x+4K3x-2的解集是3，k≤3。：关于y的分式方 x>k 程3y-5k=1的解是y=2,且分式方程有非负整数 y-22-y 解，k=3或k=1或k=-1或k=-3,当k=1时，y=2是 方程的增根，舍去，k=3或k=-1或k=-3,符合条 件的所有整数k的值之和为3-1-3=-1。故选B。 8解：(1)①当a=5时，分式方程为5+3 9x-t- =1，因为分式 中分母不能为零，所以x≠1。方程两边都乘以(x-1): 得5-3=x-1,解这个方程得x=3,检验：把x=3代入原 方程，得左边=1=右边，∴.x=3是原方程的根； ②方程两边同乘以(x-1),得a-3=x-1,解这个整式方 程得x=a-2,由题意得：x-1=0,解得x=1,∴.a-2=1,解 得a=3,∴a的值为3； (2)解"x-11 2t22,得x 2-m。“方程有整数解且m 2 追梦之旅铺路卷·八年级 2 为整数，2-m=±1或2-m=士2且2一m≠2，解得m=1 或3或0或4且m≠1，.m=3或0或4，.此时整数m 的值为3或0或4。 912x(2)100 2x ③)鼻：根粥题意得0”解得：=15，经赖验， 15是所列方程的根，且符合题意。答：骑车学生的速度 为15千米/小时。 10.解：(1)设乙数据中心的数据迁移速度为xTB/小时，则 甲数据中心的数据迁移速度为5xTB/小时。由题意得 30100 =5解得x=2,经检验，x=2是原方程的根，且符 x 5x 合题意，∴.5x=10,答：甲数据中心的数据迁移速度为 10TB/小时，乙数据中心的数据迁移速度为2TB/小时： (2)设甲数据中心工作y小时，则乙数据中心工作(8 y)小时，由题意得10y+2(8-y)≥56，解得y≥5，答：甲 数据中心至少需要工作5小时。 追梦专项总结突破卷（六） 1.解：(1)选择①∠B=∠AED;证明：∠B=∠AED,∴.DE ∥CB,又：AB∥CD,.四边形BCDE为平行四边形； (2)AD⊥AB,AD=6,AE=32,.∠A=90°，在Rt△ADE 中，由勾股定理得：DE=√AE2+AD2=36。四边形 BCDE为平行四边形，.BC=DE=36,.线段BC的长 为36。 2.(1)证明：.·DE∥AC,DF∥AB,∴.四边形AEDF是平行四 边形，∴.DE=AF,∠FDC=∠B。又：AB=AC,.∠B= LC,.∠FDC=∠C,.DF=FC,∴.DE+DF=AF+FC= AC: (2)4或8 3.C4.D 5.2或6【解析】如图1，当BF⊥AD时，平行四边形AB CD中，AD∥BC,.BF⊥BC,∴.∠AMB=90°，将△AEB 沿BE翻折，得到△FEB,∴.∠A=∠F=45°，∴.∠ABM= 45°，∴.AM=BM,∴.'AB=4√2，.AM2+BM2=AB2,即2AM2 =(4√2)2，解得AM=BM=4,·BC=AD=10,.DM=AD- AM=10-4=6;如图2，当BF⊥AB时，∠ABF=90°，此时 F与点M重合，AB=BF=42,.AF=8,DM=10-8 =2.综上所述DM的长为2或6. E F(M)D B 图1 图2 6.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD, ∠BAD=∠BCD,∠B=∠D,由折叠的性质可得，AB=CG, ∠B=∠G,∠BAD=∠GCE,∴.∠BCD=∠GCE,CD=CG, ∠D=∠G,.∠ECD+∠BCE=∠BCD,∠BCE+∠FCG= ∠GCE,.∠ECD=∠FCG,..△CED≌△CFG(ASA): (2)解：∠BCD=130°，四边形ABCD是平行四边形， ∠B=50°，AD∥BC,.·AB=AC,∴.∠ACB=∠B=50°，.·AD ∥BC,∴.∠DAC=∠ACB=50°，AC⊥EF,∴.∠AOE= 90°，∴.∠AEF=180°-∠DAC-∠A0E=40°. 7.3 8.解：(1)当t=2.5s时，四边形EDCF是平行四边形，理由 如下：.：AD∥BC,AD=BC=10cm,B0=D0,.∴.∠ED0= (∠EDO=∠FBO ∠FBO,在△DEO和△BFO中，{DO=BO (∠EOD=∠FOB △DEO≌△BFO(ASA),'.DE=BF=2t..BC=10cm,. 下·ZBB·数学第13页