第一章 三角形的证明及其应用-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

②如图，BF为所作； (4分) D ￥W (2)证明：ED垂直平分AB,.EA=EB,BF⊥AE, I∠C=∠BFE ∠BFE=90°，在△ACE和△BFE中，{∠AEC=∠BEF, （AE=BE ∴.△ACE≌△BFE(AAS),.AC=BF。 (9分) 21.解：(1)由题知，将点A和点B坐标分别代入y=x+b 18 3 k= 得，{3 k+b=0 ,解得 2,所以直线1的函数表达 b=4 (b=4 式为y=3 x+4; (4分) (2)由-弓+4=子得，=2，将x=2代人直线4：y 3 子，得=宁2=1，所以点C的擎标为(2。由函数 图象可知，当x<2时，直线11在直线2图象的上方，即 红+b>之，所以不等式：+6分的解集为x<2。 (9分) 22.解：任务1：设“优秀奖”奖杯的单价是x元，则“特等 奖”奖杯的单价是(x+10)元， (1分) 根据题意得：500-400 x+10-x 解得x=40,经检验，x=40是 所列方程的根，且符合题意， (4分) .x+10=40+10=50(元)。答：“特等奖”奖杯的单价是 50元，“优秀奖”奖杯的单价是40元； (5分) 任务2：设设置m个“特等奖”，则设置(30-m)个“优秀 奖”，根据题意得：30-m≤2m,解得m≥10，(6分) 设此次颁奖所需奖杯的采购费用为0元，则w=50m+ 路 40(30-m),即w=10m+1200, (8分) 10>0,.w随m的增大而增大，.当m=10时，w取 得最小值，最小值为10×10+1200=1300（元）。答：此次 案 颁奖所需奖杯的最低采购费用为1300元。(10分) 23.解：(1)= (2分) (2)①记DG交BC于点O。:AC=6,BC=8,点D、E分 别为AB、BC中点，∴.DE=3,BE=CE=4,在Rt△DEB 中，由勾股定理得：BD=√DE+BE=5,由旋转的性质 可知，DG=DB=5,∠DGF=∠B。FG∥AD,.∠DGF= ∠BDG,∠BMG=∠B,∴.∠DGF=∠BMG,∠BDG=∠B, .OD=0B.OG=OM...MB=MO+0B=OD+0G=DG=5. ∴.MF=ME=MB-EB=5-4=1。 (6分) ② (8分) 【解析】.·△DEB绕点D顺时针旋转得到△DFG,∴.DG =DB=5,∠DGF=∠B。,AD=DB,∴.AD=DG。.A,F, G三点共线，.∠DGF=∠DAG,∴.∠B=∠DAG,.MA= MB,设MA=MB=x,在Rt△ACM中，由勾股定理，得 MF MA=AC2+MC3,则2=62+(8-x),解得x=25, EM-BM-BE-254 4 9 45 追梦之旅铺路卷·八年级 (3)16 (10分) 【解析】过C作CN⊥FG于点N,FG= BE=4,为定值，.当FG上的高线CW最 大时，则△CFG面积最大，即求出C到 FG的最大距离即可，.CN≤CF,当点NC 和点F重合时，且△DFG旋转到AB外侧时，此时CN 最大，如图：DF⊥FG,.此时C、D、F三，点共线，即CW =CF=CD+DF=5+3-8SAcrc=2CF.CF=16, △CFG面积最大值为16。 《铺路帮手》答案 +++十+十 第一章三角形的证明及其应用 三角形内角和定理 1.B 2.D【解析】360÷45=8，所以这个多边形是八边形，故选 D。 3.B【解析】由题意，得∠2=2∠1+ 5°，：AB/CD,.∠3=L2,∠4+ ∠3+30°=180°，∠4+∠1=90°，. 4320R2 6 90°-∠1+∠2+30°=180°，即∠2= 60°+∠1，.2∠1+5°=60°+∠1， ∠1=55°，故选B。 4.D5.A 6.C【解析】在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°， 且∠ABC=∠ACB=50°，.∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB =80°，：DE∥AB,∴.∠ADE=∠BAC=80°。故选C。 7.78.75° 9.81【解析】.CE⊥AB,.∠AEC=90°，.·∠ACE=22°， .∠BAC=180°-90°-22°=68°，AD平分∠BAC, ∠BMD=∠CAD=7LBAC=34,LB=47,∠ADC- ∠BAD+∠B=81°. 10.15°【解析】.ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形， ∴AB=BC=BG,.∠BCG=∠BGC。:正六边形ABC DEF的每一个内角是(6-2)×180°÷6=120°，正方形 ABGH的每个内角是90°，.∠CBG=360°-120°-90°= 1 150°，∠BCG=LBGC=2×(180°-150)=15°。 11.解：1140°÷180°=6…60°，则边数是6+1+2=9。.他 们是在求九边形的内角和。180°-60°=120°，.少加的 那个内角为120°。 12.(1)解：由题意，得∠B=2∠A+2°，∠ACB=3∠A-2°， ∠A+∠B+∠C=180°，.∠A+2∠A+2°+3∠A-2°= 180°，解得∠A=30°，∴.∠B=60°+2°=62°，∠ACB= 3∠A-2°=88°，·CE是△ABC的角平分线，.∠ECB= 1 LACE=2∠ACB=44°，LBEC=180°-LB-LBCB= 74°0 (2)证明：CD⊥AB,.∠CDB=90°，.∠DCB=180°- 62°-90°=28°，.∴.∠ECD=44°-28°=16°，.：∠CDF= 74°，.∠CFD=180°-∠ECD-∠CDF=90°，.△CFD 是直角三角形。 13.解：(1)∠A=30°，∠B=40°，.∠AEC=∠A+∠B= 70°，.'∠APC=110°，∴.∠C=∠APC-∠AEC=40°； (2)∠APC=∠A+∠B+∠C,理由如下：∠AEC=∠A+ ∠B,∠APC=∠AEC+LC,∴.∠APC=LA+∠B+∠C。 等腰三角形 1.D2.D3.B4.C5.D 6.C【解析】连接AC,:AB=AD=12,BC=DC,在△ABC 下·ZBB·数学第17页 (AB=AD 和△ADC中，BC=DC,∴.△ABC≌△ADC(SSS), LAC=AC ∠BAC=LDAC,CE∥AB,∴.LBAC=LACE,∴∠CAD= ∠ACE,∴.EA=EC,.CE=9,∴.AE=9,∴.ED=12-9=3, AB=AD,∠BAD=60°，△ABD是等边三角形， ∠ABD=∠ADB=6O°，·CE∥AB,.∠EFD=∠ABD= 60°，∠FED=∠BAD=60°，△EFD是等边三角形，. EF=ED=3,∴.CF=9-3=6,故选C。 7.90°8.45° 9.6【解析】等边三角形ABC的边长为6，E,F是边BC 上的三等分点，BC=3EF=6。ED∥AB,FD∥AC, ∠DEF=∠B=60°，∠DFE=LC=6O°，∴.∠DEF=LDFE =60°，∴.△DEF是等边三角形，∴.CADEF=3EF=6。 10. 3或10【解析】(1)当点P在线段0C上时，设s后 △P0Q是等腰三角形，有0P=0C-CP=0Q,即10-2t= 4,解得，=10； 3(2)当点P在C0的延长线上时，此时经 过C0时的时间已用5s,当△P0Q是等腰三角形时， ∠P0Q=60°，.△P0Q是等边三角形，.0P=0Q,即2t -10=,解得1=10s,综上所述t的值为0或10。 11.解：(1)：△ABC是等边三角形，∠B=60°。DE∥ AB,.∴.∠EDC=∠B=60°。.EF⊥DE,∴.∠DEF=90° ∴.∠F=180°-90°-60°=30°； (2):∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴.△EDC是等边三角 形，∴.ED=DC=EC=3。.∠F=30°，∠ACB=60°， ∠CEF=60°-30°=30°，.EC=CF,.∴.DF=DC+CF=6。 12.解：过A作AE⊥CP于E,过B作BF⊥DQ于F。在 R△ACE中，∠ACP=30°，AB=之4C=27(em),同 理可得，BF=27cm,27+10+27=64(cm),∴.通过闸机的 物体的最大宽度为64cm。 13.解：(1)重合部分是一个等腰三角形，理由如下：四边 形ABCD是长方形，.DC∥AB,.∠ACD=∠BAC。由折 叠的性质可知，∠BAC=∠B'AC,∠ACD=∠B'AC,∴ AE=CE,∴.△ACE是等腰三角形； (2)AB=AD。理由如下：AD∥BC,.∠EAD=∠B, LDAC=∠ACB。AD平分∠EAC,∴.∠EAD=LDAC, ∴.∠B=∠ACB,∴.AB=AC。.'ADBC,∴.∠D=∠DCFe :CD平分∠ACF,.∠DCA=∠DCF,∴.∠DCA=∠D, ∴.AC=AD,∴.AB=AD; (3)AB=AD+BC【解析】延长AE,BC交于点F。AD BC,∴.∠D=∠DCF,∠DAF=∠F,.E为CD的中点， I∠D=∠ECF .DE=CE,在△ADE和△FCE中，{∠DAE=∠F, DE=CE △ADE≌△FCE(AAS),∴.AD=CF。:AE平分∠BAD, ∴.∠DAF=∠BAF,∴.∠F=∠BAF,∴.AB=BF。.BF= BC+CF,.AB=AD+BC。 等腰三角形的三线合一 1.解：过点O作OF⊥BC于点F,在△AB0和△DC0中， I∠AOB=∠DOC ∠A=∠D ,.△AB0≌△DC0(AAS),.OB=OC AB=DC .·.△BOC是等腰三角形。··OF⊥BC,∠OBC=30°，B0= 6,.0F=3,.BF=√6-3=33，.BC=2BF=63。 2.证明：过点E作EF⊥BC于点F,.BE=CE,∴.BF=CF。 .BC=2AB,∴.AB=BF。.BD平分∠ABC,.∠ABE= ∠EBF。.BE=BE,∴.△ABE≌△FBE(SAS),∴.∠BAE =∠BFE=90°，.AE⊥AB。 追梦之旅铺路卷·八年级 3.(1)证明：连接AD。AB=AC,D为BC中点，.BD=CD 且AD平分∠BAC,AD⊥BC,.·∠BAC=90°，.∠B=∠C =45°，∠BAD=∠CAD=45°，∴.AD=BD=CD。在△BDE (BD=AD 和△ADF中，{∠B=∠DAF=45°，.△BDE≌△ADF BE=AF (SAS),.DE=DF,∠BDE=∠ADF。:∠BDE+∠ADE= 90°，.∠ADF+∠ADE=90°，即∠EDF=90°，∴.△EDF为 等腰直角三角形。 (2)解：仍为等腰直角三角形。证明：连接AD。由(1)可 得AD=BD,AD⊥BC,∠ABD=∠BAD=45°。.∠DBE= 135°。∠BAC=90°，.∠BAF=90°，.∠DAF=∠BAF +∠BAD=135°，∴.△AFD≌△BED(SAS),∴.DF=DE, ∠ADF=∠BDE。.·∠ADF+∠FDB=90°，∴.∠BDE+ ∠FDB=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF为等腰直角三角 形。 4.证明：延长BE交AC于M。BE⊥AE,∴.∠AEB= ∠AEM=90°。在△ABE中，∠1+∠ABE+∠AEB=180°， ∴.∠ABE=90°-∠1。同理，∠AME=90-∠2。∠1= ∠2，.∠ABE=∠AME,∴.AB=AM。BE⊥AE,∴.BM= 2BE,.AC-AB=AC-AM=CM。∠AME=∠MBC+∠C, ∠ABC=3∠C,∠ABC=∠ABE+∠MBC=∠AME+∠MBC, ∴.3∠C=∠AME+∠MBC=2∠MBC+∠C,.∠MBC= ∠C,∴.CM=BM,∴.AC-AB=2BE。 直角三角形 1.C2.B3.B 4.A【解析】在△ABC中，∠ACB=90°，LA=25°，.∠B= 180°-90°-25°=65°，根据折叠可得∠CED=65°， ∠ADE=65°-25°=40°。故选A。 5.C 6.B【解析】.∠ABC=90°，AB=1,BC=1,∴.AC= √1+12=√万，在△ACD中，CD=2,AD=√6，∴.AC2+CD2 =AD2,.△ACD是直角三角形，则Sg边形ABCD=S△MBc+ 5o71x1+72xw万=7+7.故选B。 7.B8.假 9.45【解析】设网格边长为1，延长AP交格点于D,连接 BD,则PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,.PD2+ DB2=PB2,∴.∠PDB=90°，∴.∠DPB=∠PAB+∠PBA= 45°。 10.5或10【解析】∠ACB=∠PAQ=90°，PQ=AB,.当 路 AP=CB=5时，Rt△PQA≌Rt△BAC;当AP=CA=10时， Rt△PQA≌Rt△ABC;即AP为5或10时，△ABC和 手 △PQA全等。 11.证明：在△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=2,.AC= 案 √AB+BC=√13。在△EDC中，∠D=90°，CD=6,DE =4,.CE=√6+4=2/13。AC2=13,CE2=52,AE2 =65,.AE2=AC2+CE2,.△ACE是直角三角形，∠ACE =90°。 12.证明：AB⊥CB,.∠ABC=90°，∠CBF=90°。在 Rt△ABE和Rt△CBF中，AE=CF,·R△ABEs Rt△CBF(HL),∴.BE=BF。 13.解：(1)过点A作AH⊥0N于H。.·∠0=30°，0A=80 米，心=20A=40米，噪声影响最大时卡车P与 学校A的距离为40米； (2)以点A为圆心50米为半径画圆，交OW于C、D两 点。当AC=AD=50米时，则卡车在CD段对学校A有 影响，由(1)知AH=40米，.CH=√AC2-A=30米， .CD=2CH=60米，∴.60=5=12（秒），∴.卡车P沿道路 ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间 为12秒。 下·ZBB·数学第18页 线段的垂直平分线、角平分线 1.A2.C3.B 4.D【解析】.：DE⊥AB,∠C=90°，DE=DC,∴BD平分 ∠ABC,∴.∠EBD=∠CBD=26°，∴LA=90-∠ABC= 90°-2×26°=38°。故选D。 5.A【解析】·MG、NH分别垂直平分AB、AC,.GA=GB, HA=HC,∴.∠B=∠BAG,∠C=∠HAC,∠B+∠C+ ∠BAC=180°，∠BAC=144°，.∠B+∠C=36°，.∠BAG +∠HAC=36°，.∠GAH=144°-36°=108°。故选A。 6.65°【解析】在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，∠BAC =180°-55°-30°=95°。直线MW是线段AC的垂直平 分线，∴.∠C=∠CAD=30°，∴.∠BAD=∠BAC-∠CAD= 65°。 7.2 8.2【解析】过P作PM⊥AB于M。由题意，得PM=PE= 3,LPEA=90，°AE=4,Sae=2 XAExPE=6,SaP 2XFxPM-x63.P3AF-2 9.(1)解：△ABC是等边三角形，∴.∠ACB=∠ABC=60°， 又.·CD=CE,∠ACB=∠E+∠CDE,∴.∠E=∠CDE= 30°： (2)如图所示，DM即为所求： B MXC E (3)证明：△ABC是等边三角形，D是AC中点， ∠DBC=∠ABD=30°，又∠E=30°，∴∠DBC=∠E, BD=ED,又.DM⊥BE,.∴.BM=EM。 10.解：(1)：EM是边AB的垂直平分线，FN是边AC的垂 直平分线，∴.BE=AE,FA=FC,.BC=BE+EF+FC=AE+ EF+FA。:△AEF的周长=AE+EF+FA=14,∴.BC=14; (2)∠B+∠C=45°，.∠BAC=180°-45°=135°。 BE=AE,FA=FC,∴.∠EAB=∠B,LFAC=LC,∴.∠EAF =135°-（∠EAB+∠FAC)=90°，.AE+AF2=EF2=36, 又AB+MF=BC-EF=8,Sa=7AB·AF=[(AE 1 铺 +AF)2-(AE2+AF2)]=7。 11.解：(1)CD垂直平分线 (2)过点C作OD的垂线，垂足为点E,则∠CE0= 手 ∠CED=90°。在Rt△C0E和R△CDE中，CECR 案 ∴.Rt△COE≌Rt△CDE(HL),.OE=DE,.CE是线段 OD的垂直平分线，.点C在线段OD的垂直平分线上。 第二章不等式与不等式组 不等式及其性质、一元一次不等式 1.C2.C3.B4.C5.2 6.43【解析】设这个学生答对x道题。根据题意得2x- 128 (50--4)≥82，解得x≥3。：x为整数，x的最小值 为43，则这个学生至少答对43道题，成绩才能不低于82 分。 7.1【解析】：2*3=1,3*(-1)=10，. 005510解 得{8二2。x*(2x-3)<9,心ax-b(2x-3)+5=-3x+13 2 9,解得>了，…关于x的不等式x*(2x-3)<9的最小 整数解为1。 8.解：(1)去括号，得2x-3x-3≤1。移项、合并同类项，得 -x≤4。两边都除以-1，得x≥-4。在数轴上表示不等 追梦之旅铺路卷·八年级 式的解集如下： 4 0 (2)去分母，得2(2x-3)>3x+1-6。去括号，得4x-6>3x +1-6。移项、合并同类项，得x>1。在数轴上表示不等 式的解集如下： -5-4-3-2-1012345 9.解：解不等式，得x>2,.x的最小整数为3，把x=3代入 2x-a=3得，6-a=3,解得a=3。 10.解：(1)设商店购进甲种圆珠笔x支，乙种圆珠笔y支。 由题意得，910-10y-270解得8 (y=609 即这个商店购进甲种圆珠笔50支，乙种圆珠笔60支。 (2)设甲种笔每支的售价为m元，由题意得，50(m-12) +2×60x(12-10)≥340，解得m≥14。.：m为整数，∴.m 的最小值为14。故甲种笔最低售价为每支14元。 11.解：【启发应用】1<x+y<5 【拓展推广】x+y=2,.x=2-y,又x>1,∴.2-y>1, y<1,又：y>-4,.-4<y<1,.-1<-y<4。①同理得：1< x<6。②由①+②得-1+1<x-y<4+6,.x-y的取值范围 是0<x-y<10。 一元一次不等式（组）与一次函数 1.A2.A3.B 4C【解析】解不等式组得弓<<。：不等式组解案中 至少有5个整数解，即-1,0,1,2,3，a>3,则整数a的 最小值为4。故选C。 5.A6.x<37.-3<m< 8 3<x≤18【解析】第一次的结果为：3x-2,没有输出，则 3x-2≤154，解得x≤52；第二次的结果为：3(3x-2)-2= 9x-8,没有输出，则9x-8≤154，解得x≤18；第三次的结 果为3(9x-8)-2=27x-26,输出，则27x-26>154,解得x >。综上可得x的取值范围是0 3<x≤18。 3x-1<x+5① 2<1②解不等式①，得x<3,解不等式②，得x 9.解：x-3 >-1,∴.不等式组的解集为-1<x<3,解集在数轴上表示， 如图所示：名之子。十之}主，则该 不等式组的整数解为0,1,2。 10.解：①+②得3x+y=3m+4,②-①得x+5y=m+4。 y8一400解得-4长m≤号 “3。·满足条 件的m的整数值为-4，-3，-2。 11.解：(1)直线y=kx+b经过点A(-5,0),B(-1,4),∴. {0解得份g=+5,当=0时=5点 D的坐标为(0,5)； （2迪54解得2，故点c(-3,2》。“y -2x-4与y=x+5分别交y轴于点E和点D(0,5),.E (0,-4),.直线CE:y=-2x-4与直线AB及y轴围成 图形的面积为：宁5k1=分×9x3 2 (3)x>-3。 12.解：(1)设A种工艺品的单价为x元，B种工艺品的单 2x+3y=260:解得红=40 价为y元。依题意得x+y三100 G=600即A 下·ZBB·数学第19第一章三角形的证明及其应用 三角形内角和定理 测试时间：40分钟 测试分数：60分 一、选择题（每小题3分，共18分） 6.如图1为一款混沌摆，图2为其某一时刻的 1.如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果 平面示意图，已知∠ABC=∠ACB=50°，DE 把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的 ∥AB,D,A,C三点共线，则∠ADE的度数 度数是( 为( A.50° B.60° C.65 D.70° 人50° 第1题图 第3题图 图1 图2 2.若一个多边形的每一个外角都等于45°，则 A.60° B.70° C.809 D.100° 这个多边形是( 二、填空题（每小题3分，共12分） A.五边形 B.六边形 7.如果一个多边形的内角和为1440°，那么从 C.七边形 D.八边形 这个多边形的一个顶点出发共有 条 3.学科内融合如图，将直尺与含30°角的直 对角线。 角三角尺摆放在一起，若∠2比∠1的2倍 8.一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中 还多5°，则∠1的度数是() ∠a的度数是 A.65° B.55° C.45° D.35° 4.如图，在△ABC中，按图中虚线把角度为 50的∠C剪去，则∠1+∠2等于() 45 A.200° B.210° C.220° D.230° 第8题图 第9题图 9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于 点D,CE⊥AB于点E,若∠B=47°，∠ACE= 22°，则∠ADC的度数是 第4题图 第5题图 10.如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方 5.如图，是正n边形纸片的一部分，其中1，m 形，则图中∠BCG的度数为 是正n边形两条边的一部分，若1，m所在的 直线相交形成的锐角为36°，则n的值 是() A.5 B.6 C.8 D.10 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBB·数学第1页 三、解答题（共30分） 13.新考法·项目式学习(10分)某小组利用 11.(10分)如图是两位小朋友在探究某多边 延时课进行三角形外角知识的相关研究， 形的内角和时的一段对话，请根据他们的 制定项目式学习表如下，请你解答任务中 对话内容判断他们是在求几边形的内角 的问题： 和？少加的内角为多少度？ 利用三角形的外角性质进行角 任务 度计算和结论探究 6 这个多边形的内角 和是1140° 日期 3月28日 组长：李刚 不对呀！仔细检查一下 成员 看！你少加了一个内角 成员：梅小青桑研胡蕾 三角形的外角等于与它不相邻 知识储备 的两个内角的和 问题解决 如图，点D在AB上，点E在BC 上，AE、CD相交于点P 12.(10分)如图，在△ABC中，∠B比∠A的2 题干 倍多2°，∠ACB比∠A的3倍少2°，CE是 △ABC的角平分线。 (1)求∠BEC的度数。 (1)若∠A=30°，∠B=40° 任务 (2)若CD⊥AB,垂足为D,∠CDF=74°，求 ∠APC=110°，求∠C的度数； 证：△CDF是直角三角形。 (2)试猜想∠APC与∠A+∠B+ ∠C之间的关系，并说明理由。 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBB·数学第2页 等腰三角形 测试时间：40分钟测试分数：60分 一、选择题（每小题3分，共18分） 6.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12,BC= 1.用反证法证明命题“钝角三角形中至少有 DC,∠A=60°，点E在AD上，连接BD,CE 一个内角小于45°”时，首先应该假设这个 相交于点F,CE∥AB。若CE=9,则CF的长 钝角三角形中( 为() A.有一个内角小于45° A.4 B.5 B.每一个内角都小于45° C.有一个内角大于等于45° C.6 D.7 D.每一个内角都大于等于45° 二、填空题（每小题3分，共12分） 2.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC边上的 7.如图，正三角形三个内角的平分线交于0 中点，∠B=30°，则∠DAC等于() 点，则∠2-∠1= A.30° B.40° C.50° D.60° B 第7题图 第8题图 第2题图 第3题图 8.如图，∠EAF=15°，AB=BC=CD,则∠ECD 3.如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC,BF= 等于 0 BD,则∠CDF的度数是() 9.如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E, A.10° B.15° C.20° D.25° F是边BC上的三等分点，分别过点E,F沿 4.学科内融合若实数m、n满足等式1m-2|+ √n-4=0,且m、n恰好是等腰△ABC两条边 着平行于BA,CA方向各剪一刀，则剪下的 的边长，则△ABC的周长是( △DEF的周长是 A.6 B.8 C.10 D.8或10 Q 5.生活情境·索道如图是某景区一段索道示 E C P O 意图，点A,B之间的距离为30米，∠BAC= 第9题图 第10题图 30°，则缆车从点A到点B的过程中竖直上 升的高度(BC的长)为() 10.学习情境·动点探究如图，∠A0B=60°，C A.60米 B.45米 C.30米 D.15米 是B0延长线上的一点，OC=10cm,动点 P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移 动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的 索道 速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s) 130 ---- 爬山通道 表示移动的时间，当t= s,△P0Q 第5题图 第6题图 是等腰三角形。 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBB·数学第3页 三、解答题（共30分） 13.（10分)如图1，AD平分∠EAC,AD/∥BC,易 11.（10分)如图，在等边△ABC中，点D,E分 证△ABC是等腰三角形。 别在边BC,AC上，且DE∥AB,过点E作 【变式探究】 EF⊥DE,交BC的延长线于点F。 (1)如图2，把一张长方形的纸沿对角线 (1)求∠F的度数； AC折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？ (2)若CD=3,求DF的长。 为什么？ 【形成经验】 当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰 三角形。 【经验应用】 (2)如图3，ADBC,AD平分∠EAC,CD平 分∠ACF,试探究线段AB与线段AD的数 量关系，并说明理由。 【拓展提升】 (3)如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC,E 为CD的中点，且AE平分∠BAD,连接 12.生活情境·双翼闸机(10分)图1是一个 BE,则线段AD、BC和AB之间的数量关系 地铁站入口的双翼闸机。如图2，它的双 为 翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的 E 距离为10cm,双翼的边缘AC=BD= 54cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA= ∠BDQ=30°。求当双翼收起时，可以通过 图 图2 图3 闸机的物体的最大宽度。 机 图4 图1 图2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBB·数学第4页 专题等腰三角形的三线合一 测试时间：25分钟测试分数：40分 类型一添加垂线，判断三角形形状 类型三连接线段构造三线合一 1.（10分)如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，3.（10分)△ABC中，∠A=90°，AB=AC,D为 ∠A=∠D=90°，AC、DB相交于点0。若AB BC的中点。 =DC,∠OBC=30°，B0=6,求线段BC的 (1)如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且 长度。 BE=AF。求证：△DEF为等腰直角三角形； (2)若E,F分别为AB,CA延长线上的点， 仍有BE=AF,连接DE、DF,其他条件不变， 那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证 B 明你的结论。 类型二作垂直构造三线合一 类型四角平分线及垂线构造三线合一 2.(10分)如图，在△ABC中，BC=2AB,BD平 4.（10分)已知：如图，在△ABC中，∠ABC= 分∠ABC交AC于点D,E是BD上一点，满 3∠C,∠1=∠2，BE⊥AE。求证：AC-AB 足BE=CE。求证：AE⊥AB。 =2BE。 B B 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBB·数学第5页 直角三角形 测试时间：40分钟 测试分数：60分 一、选择题（每小题3分，共21分） 6.如图，在四边形ABCD中，AB=1,BC=1,CD 1.如图，CD LAB于点D,EF⊥AB于点F,CD =2,DA=√6，且∠ABC=90°，则四边形AB =EF。要根据“HL”证明Rt△ACD≌ CD的面积是( Rt△BEF,则还需要添加的条件是( A.2 A.∠A=∠B B.∠C=∠E C.AC=BE D.AD=BF B.2+2 C.1+√2 13 12 第1题图 第2题图 7.生活情境·吸管小颖的妈妈用圆柱形的水 2.如图，由两个直角三角形和三个正方形组成 杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到 的图形，其中阴影部分面积是() 杯里，已知杯口的直径6cm,杯子内部高度 A.16 B.25 C.144 D.169 8cm,要使吸管不斜滑到杯里，吸管至少超 3.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的 过( 是( ) A.9 cm B.10 cm A.a:b:c=3:4:5 C.11 cm D.12 cm B.∠A:∠B:∠C=9:12:15 二、填空题（每小题3分，共9分） C.∠C=∠A-∠B 8.对于命题“如果a=b,那么ac=bc。”,它的逆 D.b2-a2=c2 命题是 命题.（填“真”或“假”） 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠 9.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+ △CBD,使点B恰好落在边AC上点E处， ∠PBA= °（点A,B,P是网格线交 若∠A=25°，则∠ADE的大小为() 点)。 A.40° B.50° C.65 D.75° 楚河 汉界 帅 第4题图 第5题图 第9题图 第10题图 5.文化情境·传统文化如图是两人某次棋局 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10, 棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形 BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在线 的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点 段AC和过点A且垂直于AC的射线AO上 之间的距离为( 运动，当AP= 时，△ABC和△PQA A.√5 B.3 C.10 D.410 全等。 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBB·数学第6页 三、解答题（共30分） 13.(10分)如图，有两条公路0M,0N相交成 11.（10分)如图，点C是线段BD上的一点， 30°，沿公路OM方向离0点80米处有一 ∠B=∠D=90°，AB=3,BC=2,CD=6,DE 所学校A,当重型运输卡车P沿道路OW =4,AE=√65。求证：∠ACE=90°。 的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半 径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影 响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影 响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方 向行驶的速度为5米/秒。 (1)求卡车P对学校A的噪声影响最大 时，卡车P与学校A的距离； (2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它 给学校A带来噪声影响的总时间。 A M 12.(10分)在△ABC中，AB=CB,AB⊥CB,F 为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE =CF。求证：BE=BF。 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBB·数学第7页 线段的垂直平分线、角平分线 测试时间：40分钟测试分数：50分 一、选择题（每小题3分，共15分） 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点 1.热点情境·一带一路如图是“一带一路”示 E,CD=DE,∠CBD=26°，则∠A的度 意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅 数为( A.40° B.34° C.36° D.38° 典为C地，分别连接AB、AC、BC,形成了一 个三角形。若想建立一个货物中转仓，使 M 其到A,B,C三地的距离相等，则中转仓的 B 位置应选在( 第4题图 第5题图 B莫斯科 5.如图所示，在△ABC中，∠BAC=144°，MG、 C 北京 NH分别垂直平分AB、AC,交BC边于点G、 雅典 “一带一路”示意图 H,则∠GAH的度数为() A.三边垂直平分线的交点 A.108°B.72° C.58° D.36° B.三边中线的交点 二、填空题（每小题3分，共9分） C.三条角平分线的交点 6.如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别 D.三边上高的交点 以点A和点C为圆心，大于2AC的长为半 2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 径作弧，两弧相交于点M、N,作直线MN,交 AB、BC于点D、E,连接AE,若AE=4,EC= BC于点D,连接AD,则∠BAD的度 2,则BC的长是( 数为 A.2 B.4 C.6 D.8 第6题图 第7题图 第2题图 第3题图 7.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线， DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的 3.学习情境·过程性学习如图，在△ABC中， 面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,DF AC>BC,分别以点A,B为圆心，以大于)AB = cmo 8.如图，若P是∠BAC的平分 的长为半径作弧，两弧交于D,E,过D,E作 线AD上一点，PE⊥AC于点 直线分别交AB,AC于点M,N,连接BN,下 E,且PE=3,AE=4,点F在 列结论正确的是( 射线AB上运动，当运动到 B A.AN=NC B.AN=BN 某一位置时，△FAP的面积恰好是△EAP面 C.MN=BC D.BN平分∠ABC 2 积的)，则此时AF的长是 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBB·数学第8页 三、解答题（共26分） 11.(9分)嘉淇要证明命题“线段外一点到线 9.(9分)如图所示，△ABC是等边三角形，点 段两端点相等的点在该线段的垂直平分线 D是AC的中点，延长BC到E,使CE=CD。 上”是正确的，她先画出了如图所示的图 (1)求∠E的度数。 形，并写出了不完整的已知和求证。 (2)用尺规作图的方法，过点D作DM⊥ 已知：∠AOB,点C是射线OA上一点，点 BE,垂足为M。(不写作法，保留作图痕迹) D是射线OB上一点，OC= (3)求证：BM=EM。 求证：，点C在线段OD的 上。 B (1)在方框中补全已知和求证； (2)请你根据嘉淇的想法写出证明过程。 我的想法是：过 点C作OD的垂线，利用三 角形全等的判定定理进 行证明。 10.(8分)如图，在△ABC中，边AB的垂直平 分线交BC,AB于点E,M,边AC的垂直平 分线交BC,AC于点F,N,△AEF的周长 是14。 (1)求BC的长度； (2)若∠B+∠C=45°，EF=6,求△AEF的 面积。 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBB·数学第9页