第六章 平行四边形 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

11+1=5x-1 因此5m-11=5x-1,n-6=-x-2,.m= n-6 x+2 x+2,n=-x+4,.m2+n2+mn=x2-2x+28=(x-1)2+27。(x -1)2≥0，∴.(x-1)2+27≥27，∴.m2+n2+mn的最小值为27。 (10分) 第六章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查CD C BADDB C D 1.C【解析】小：四边形ABCD是平行四边形，.LA+∠D= 180°。∠A=60°，.∠D=180°-60°=120°。故选C。 2.D【解析】.：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC, ∠AEB=∠EBC,义.BE平分∠ABC,.∠ABE=∠EBC, .∠ABE=∠AEB,.∴.AB=AE=3,∴.ED=AD-AE=5-3= 2。故选D。 3.C4.B 5.A【解析】.四边形ABCD是平行四边形，.BO=DO= BD=7.AO=CO-AC=5,AB=CD=6,ACOD 长=6+5+7=18。故选A。 6.D7.D8.B 9.C【解析】：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD, AB=CD。AE∥CF,.四边形AFCE是平行四边形， AF=CE,.AB-AF=CD-CE,∴.BF=DE。.BF∥DE, 四边形BFDE是平行四边形，设AB与CD之间的距离为 h,:四边形BFDE的面积是3，BF·h=3。AF= 2BF,iSa进型Pas=AF:h=2BF,h=2X3=6。故选C。 10.D【解析】.：四边形ABCD为平行四边形，∠BCD= 60°，∴.∠ADC=120°。.：DE平分∠ADC,∴.∠ADE= ∠CDE=60°=LBCD,.△CDE是等边三角形，.CD= CE=DE。AD=2AB,BC=AD,CD=AB,∴.BC=2CD= 2CE=2DE,.DE=CE=BE,∴.∠BDE=∠DBE= 2∠CED=30,∠CDB=90°，.LABD=90°，即AB1 1 BD,SABCD=AB·BD,故①正确；由①知，∠ADE= 60°，∠BDE=30°，∴.∠ADB=30°=∠BDE,∴.DB平分 ∠ADE,故②正确；.AB=CD,CD=DE,∴.AB=DE,故③ 正确；片BE=EC,SAE=)c。”B0=0D, 1 Saac=2Scms,SACDE=Saac,故④正确。故选D。 11.40°【解析】：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥ CD,.∠BAD+∠D=180°。：∠D=65°，∠BAD= 115°。.∠1+∠DAC=∠BAD,∠1=75°，.∠DAC= 115°-75°=40°。 12.3 【解析】延长DC交EF于点H。四边形ABCD是 平行四边形，△BEF是等边三角形，.AB∥CD,AB=CD =2,BC=AD=3,∠F=∠EBF=∠BEF=60°，EF=BF,∴. ∠FCH=∠EBF=60°，∠FHC=∠BEF=60°，∴.△FCH 是等边三角形，.CH=CF=FH=2,.BF=BC+CF=5, CH=CD。:G为DE的中点，.CG为△DHE的中位 线，CG=EH。EF=BF=5,EH=EF-FH=3。 2 CG=3 -29 142 【解析】连接CM。:点D,E分别为CW,MN的中 点，DB=CM,当CMAB时，CM的值最小，此时DE 的值也最小，由勾股定理得：AB=√AC+BC=10。 追梦之旅铺路卷·八年级 c2·AB.CM=7·AC:BC,CM=2 1 5,.DE= 1 CM- 12 5 【方法点拔】当出现某一边或两边的中，点时，通常通过延 长某一边或连接两条线段的另一端点，将所求线段转化 到一个三角形中，从而可以使用三角形的中位线定理解 决问题。 15或3【解析】知图1，PQ=CD,且PQ与CD不平行， 作CEPQ交AD于点E,:四边形ABCD是平行四边 形，∴.ADBC,AB=CD=6cm,AD=BC=12cm,∠D=∠B =60°，∴.PE∥CQ,∴.四边形PQCE是平行四边形，.CE 大 =PQ=CD,PE=CQ,.△CDE是等边三角形，.ED=CD =6cm,':AP=tcm,PE=CQ=3tcm,∴.t+3t+6=12,解得t 3 23;如图2，PQ=CD,且PQ,/CD,则四边形PQCD是 二 案 平行四边形，.PD=CQ=3tcm,∴.t+3t=12,解得t=3s, 故1=或3时，线段P0=CD。 AP·E P ←0C B←O 图1 图2 16.证明：在□ABCD中，OA=OC,OB=OD,BM=DN,∴. OM=ON. (4分) ∠AOM=∠CON,.△AOM≌△COW(SAS),.AM= CN。 (9分) 17.解：(1)作图如下，点E即为所求： D (4分) (2)由作图可知，∠BAE=∠EAD。四边形ABCD是平 行四边形，∴.AD∥BC,.∠BEA=∠EAD,.∠BAE= ∠BEA,.AB=BE。.BC=8,CD=5,∴.BE=AB=CD= 5,∴.CE=8-5=3。 (9分) 18.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，∴.ABCD,AB =CD,∴.∠E=∠F,∠EBO=∠FDO。又.OB=OD,.. △EBO≌△FDO(AAS),.BE=DF。又.AB=CD, BE-AB=DF-CD,即AE=CF: (5分) (2)解：四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC, ∠AD0=∠OBC。:∠D0G=∠BOH,OB=OD,∴ △DOG≌△BOH(ASA),∴.OG=OH. (7分) △EB0≌△FD0,∴.OE=0F=5,.OH=0F-HF=3, ∴.0G=3。 (9分) 19.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC=3。 又·E是BC边的中点，BE=CE,BC=)C=-3 25 (3分) (2)FG⊥AG。 (4分) 理由：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC。DF AE,.四边形AEFD是平行四边形，.AD=EF=3, AB∥DC,∴.∠BAG=∠AGC。BE=CE,∠AEB= ∠GEC,AAEB≌△GEC(AAS,L.CE=AE=2AG=L, (7分) 在△EGF中，GE2+FG2=12+(2√2)2=9。又：EF2=32= 下·ZBB·数学第10页 9,∴.GE2+FG=EF2,∴.∠EGF=90°，.FG⊥AG。 (9分) 20.解：(1)平行四边形的对边相等 (2分) (2)证明：由辅助线得：AE∥DF,:AD∥BC,.四边形 AEFD为平行四边形，∴.EF=AD=BC,AE=DF,在Rt △BDF中，BD2=DF2+BF2=a2-c2+(b+c)2=a2+b2+2bc, .AC2+BD2=2a2+2b2=AB2+BC2+CD2+AD2。(7分) (3)282 (9分) 21.解：任务1：629 (4分) 任务2：由题意，得∠E0B=30°，此时点0与点P重合 作EH⊥OB于点H,则∠OHE=∠BHE=90°，'：∠EOB= 20E=5cm,0H=√102-5=53(cm), 30°，.EH= 大 BH=√BE-Er=√132-5=12(cm),∴.PA=AB-PH- BH=29-5√3-12=(17-5√3)cm,答：限位器P应装在 案 离点A(17-55)cm的位置。 (10分) 22.解：(1)所画图形如图。 (4分) (2)例：选命题Ⅱ。证明：过点E作EM∥AB交BC边于 点M,连接DM,:DE∥BC,EM∥AB,∴.四边形EDBM是 平行四边形，BD=EM,DE=BM,DE=号BC,DE= BM=CM,∴.四边形DECM是平行四边形，.DM=CE, DM/∥CE,.DM∥AE,又·EM∥AD,.四边形ADME是 平行四边形，.AD=EM,DM=AE,∴.AD=BD,AE=CE ∴.D,E分别是AB,AC的中点。 (10分) 23.解：(1)四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,AD= BC,OB=OD,.·2(BC+CD)=28,.BC+CD=14,.OE⊥ BD,.OE垂直平分BD,.DE=BE,':△BCE的周长= BC+CE+BE=BC+CE+CE+CD=BC+CD+2CE=18,..CE =2。 (5分) (2)BE=2AP, (6分) 理由如下：过点B作BH∥AE交DE于点H,连接PH, CH,AH,.·∠BAC=60°，.∴.∠DBH=∠BAC=60°，'.·AB= CE,AC=BD,.AB+BD=AC+CE,即AD=AE,.△ADE 是等边三角形，∴∠D=60°，DE=DA,∴.△DBH是等边 三角形，.BH=BD=DH,.BH=AC,BH∥AC,.四边 形ABHC是平行四边形，.AH,BC互相平分，：点P为 BC的中点，.A,P,H三点共线，AH=2AP,在 AD=ED △ADH和△EDB中， ∠ADH=∠EDB,.△ADH≌ DH=DB △EDB(SAS),∴.BE=AH,∴.BE=2AP。 (10分) 追梦专项总结突破卷（一）》 1.证明：过点D作DH∥AC交BC于H,则∠BHD=∠ACB, ∠DHF=∠ECF,.AB=AC,∴.∠B=∠ACB,.∠B= ∠BHD,∴.BD=DH,CE=BD,DH=CE,在△DHF和 I∠DHF=∠ECF △ECF中，{∠DFH=∠EFC,'.△DHF≌△ECF(AAS), DH=EC FH=CF=CH,BD DH,DG L BC,.BG=GH 1 6B班FG=GH+FH2BH+)CH正2BC,BCE 2FG 2.证明：延长FE,截取EH=EG,连接CH,E是BC中点， 追梦之旅铺路卷·八年级 (BE=CE ∴.BE=CE,在△BEG和△CEH中，{∠BEG=∠CEH, （GE=HE ·.△BEG≌△CEH(SAS),∴.∠BGE=LH,BG=CH,. ∠BGE=∠FGA=∠H,.CF=BG,∴.CH=CF,∴.∠F=∠H =∠FGA,.EF∥AD,∴.∠F=∠CAD,∠BAD=∠FGA,. ∠CAD=∠BAD,.AD平分∠BAC,即AD为△ABC的角 平分线。 3.解：(1)1<AD<7 (2)延长AD交EC的延长线于F。:AB⊥BC,EF⊥BC, ∠ABD=∠FCD,在△ABD和△FCD中， I∠ABD=∠FCD BD=CD ,∴.△ABD≌△FCD(ASA),.CF=AB= ∠ADB=∠FDC 2,AD=DF,∠ADE=90°，.△AEF是等腰三角形， AE=EF,.·EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6,∴.AE=6; (3)过点C作CH∥AD交BA的延长线于点H,:CH∥ AD,∴.∠H=LBAD,∠ACH=∠CAD,AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD,∴∠H=∠ACH,.AH=AC=6cm, BH=AB+AH=16cm,GE∥AD,.GE∥CH,又：点G是 GE是△BCH的中位线，∴E 8cmo 4.CD=BE 5.3【解析】：AD LCE,BE⊥CE,.∠ADC=∠CEB=90°， ∠ACD+∠CAD=90°，：∠ACB=90°，∴.∠ACD+∠BCE= 90°，.∠CAD=∠BCE,在△CAD与△BCE中， I∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE,∴.△CAD≌△BCE(AAS),∴.CD=BE, AC=CB AD=CE,.AD=5,BE=2,∴.DE=CE-CD=AD-BE=3。 6.解：(1)证明：在BD上截取BF=CD,连接AF,∠BAC= ∠BDC=90°，∠AOB=∠COD,.∠ABF=∠ACD,在 (AB=AC △ABF和△ACD中，{∠ABF=∠ACD,.△ABF≌△ACD BF=CD (SAS),∴.AD=AF,∠BAF=∠CAD,∠BAC=∠BAF+ ∠FA0=90°，∴.∠FAD=∠CAD+∠FA0=90°，∴.∠AFE= ∠ADF=45°，∴.∠ADC=45°+90°=135°。 (2)S四边形CD=27。【解析】：0是AC的中点，.A0= C0,:AE⊥BD,.∠AE0=∠CD0=90°，在△AE0和 I∠AEO=∠CDO △CD0中，{∠AOE=∠COD,∴.△AE0≌△CD0(AAS), (A0=C0 .AE=CD=3,.△ABF≌△ACD,∴.AF=AD,BF=CD=3, AE⊥BD,.DE=EF=AE=3,.BD=3+3+3=9,.四边 考ABCD的面教为Sw+5w8D,ABBD:CD =)-BDx(AE+CD)=)x9x(3+3)=27,“四边形ABG☑ 的面积为27。 追梦专项总结突破卷（二） 1.B 25-2【解折1281包+10①4-1。尚2件 x>k+1。不等式组的解集为x>-1,k+1≤-1，解得k ≤-2。 3A【解析】解不等式3m≤0得x≤驾：正签数解为 1,2,3,则3≤<4，解得9≤m<12。故选A。 3 4.C【解析】解不等式3x-5≥1得x≥2。解不等式2x-a< 下·ZBB·数学第11页铺路卷 ZBB· 八年级数学下 +为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 第六章追梦综合演练卷 测试时间：100分钟 测试分数：120分 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 34 5 6 8 9 10 答案 1.在平行四边形ABCD中，∠A=60°，则∠D的度数是() 蜘 A.30° B.60° C.1209 D.1509 2.如图，在口ABCD中，AB=3,AD=5,∠ABC的平分线BE交AD 于点E,则DE的长是( 言腳 A.4 B.3 C.3.5 D.2 吹 D D H OAB元 第2题图 第3题图 第4题图 ⊙ 3.学科内融合在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点 A,B,D的坐标分别是(0,0)，(5,0)，（2,3)，则顶点C的坐标 是() A.（3,7) B.(5,3) C.(7,3) D.(8,2) T 扁4.如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上不同的两 点，连接AE,CE,AF,CF。下列条件中，不能得出四边形AECF 一定是平行四边形的为( A.BE=DF B.AE=CF C.AF∥CE D.∠BAE=∠DCF 5.如图，口ABCD的对角线相交于点0，BD=14,AC=10,AB=6,则 △COD的周长是( A.18 B.20 C.23 D.30 D 爵 B 第5题图 第6题图 第7题图 6.生活情境·跷跷板如图，跷跷板AB的支柱OC经过它的中点 0,且垂直于地面于点C,OC=0.60m。当它的一端A着地时， 另一端B离地面的高度为( A.0.60m B.1.00m C.1.10m D.1.20m 剂 7.为双减赋能，某校开展劳动实践课程，协助工人测量公园假山两 点A,B之间的距离。如图所示，在地面上取一点C,使C到A,B 两点均可直接到达，找到AC和BC的中点D,E,测得DE的长为 28m,则假山两点A,B之间的距离为( A.14m B.28m C.46m D.56m 8.如图1，□ABCD中，AD>AB,∠ABC为锐角，要 在对角线BD上找两点N、M,使四边形ANCM 为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方 案，则正确的方案有( 】 图 取BD中点O, 作AN⊥BD于 作AN,CM分别 作BN=NO, 点N,CM⊥BD 平分∠BAD、 OM=MD 于点M ∠BCD 图2 A.只有甲、乙才是 B.甲、乙、丙都是 C.只有甲、丙才是 D.只有乙、丙才是 9.如图，在口ABCD中，E和F分别是边CD和AB上的点，AE∥ CF,连接BE和DF,已知AF=2BF,四边形BFDE的面积是3，则 四边形AFCE的面积是( A.4.5 B.5 C.6 D.6.5 B 第9题图 第10题图 10.如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交 BC于点E,∠BCD=60°，AD=2AB,连接OE。下列结论： ①SARCD=AB·BD;②DB平分∠ADE;③AB=DE;④SACDE= S△Boc,其中正确的有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如图，在□ABCD中，AC是对角线，∠D=65°，∠1=75°，则 ∠DAC的度数是 第11题图 第12题图 12.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点O 的直线分别交AD,BC于点E,F,若平行四边形ABCD的面积 为6，则图中阴影部分的面积是 13.如图，口ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB 的延长线上，G为DE的中点，连接CG。若AD=3,AB=CF=2, 则CG的长为 B M B ←QC 第13题图 第14题图 第15题图 14.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点N是BCg越g 边上一点，点M为AB边上的动点，点D,E分别为 CN,MN的中点，则DE的最小值 试题精讲 15.数学思想·分类讨论如图，在口ABCD中，AB=6cm,BC= 12cm,∠B=60°，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D 运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B运动。 在此运动过程中，当t=时，线段PQ=CD。 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(9分)如图，口ABCD的对角线AC与BD交于点O,点M,N在 BD上，且BM=DN,求证：AM=CN。 17.新考法·尺规作图(9分)如图，在平行四边形ABCD中，AB <BC。 (1)利用尺规作图，在BC边上确定点E,使点E到边AB,AD距 离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若BC=8,CD=5,求CE的长。 THE ROAD 18.(9分)如图，点O为平行四边形ABCD的对角线BD的中点， 经过点O的直线分别交BA和DC的延长线于点E和F,交边 AD和BC于点G,H。 (1)求证：AE=CF; (2)若0E=5,HF=2,求出0G的长。 19.(9分)如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC边的中点， DF∥AE,DF与BC的延长线交于点F,AE,DC的延长线交于点 G,连接FG,若AD=3,AG=2,FG=2N2。 (1)求线段EC的长； (2)试判断直线AG与FG的位置关系，并说明理由。 A 20.学科素养·应用意识(9分)阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务。 小明在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发 现平行四边形还有如下的性质：平行四边形的四条边的边长 的平方和等于对角线长的平方和，即如图1，在口ABCD中， AB2+BC2+CD2+AD2=AC2+BD2 小明在老师的提示下，对该性质进行了证明。 证明：如图1，过点A,D作BC的垂线，分别与BC交于点E, 与BC的延长线交于点F。 ·四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD(依据)，AD∥BC,AD=BC 设AB=CD=a,AD=BC=b,BE=c,则CE=b-c .AB2+BC2+CD2+AD2=2a2+2b2。 在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2,即AE2=a2-C2。 在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2=a2-c2+(b-c)2=a2+b2-2bc。 任务： (1)证明过程中的“依据”是指： (2)请你补全小明的证明过程。 (3)如图2，在□ABCD中，AB=4BC,AC=12,BD=16,则口AB- 31 CD的周长为 图 图2 21.新考法·项目式学习(10分)综合与实践：根据以下信息，探 索完成任务。 如何设计窗户限位器位置 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需 要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展 问题 示图。 信息1 背景 D 20 把上述实物图抽象成如图示意图。已知滑撑支 架的滑动轨道AB固定在窗框底边，CF固定在窗 页底边，点B,E,D三点固定在同一直线上。当窗 户关闭时，点C与点A重合，DC和DB均落在AB 上；当，点O向点B滑动时，四边形OCDE始终为 信息2 数学 抽象 平行四边形，其中OC=6cm,CD=10cm,BE= 13cm。 0 窗户打开一定角度后，OE与AB形成一个角 安全 信息3 ∠EOB。出于安全考虑，部分公共场合的平开窗 规范 有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控 制在30°以内（即∠E0B≤30°）。 问题解决 求解 任务1关键 滑撑支架中DE的长度为 cm,滑动轨道 数量 AB的长度是 cm 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在 确定 滑动轨道AB上安装一个限位器P,控制平开窗 任务2 安装 的开启角度，当点O滑动到，点P时∠EOB=30°， 方案 则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保 留根号) 22.(10分)如图1，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC上的点。对 “三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题： I.若D是AB的中点，DE=2BC,则E是AC的中点； Ⅱ.若DE/BC,DE=BC,则D,E分别是AB,AC的中点； Ⅲ.若D是AB的中点，DEBC,则E是AC的中点。 (1)小明通过对命题I的思考，发现命题I是假命题。他的思 考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题I条件的点 E,从而直观判断E不一定是AC的中点。 小明尺规作图的方法步骤如下：①在图2中，作边BC的垂直 平分线，交BC于点M,②在图2中，以点D为圆心，以BM的长 为半径画弧与边AC交于点E和E'。请你在图2中完成以上 作图。 (2)小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是 真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行 证明。 易错 分析 图 图2 23.（10分)【课本再现】 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性 质：平行四边形的对角线互相平分。 【性质应用】 (1)如图1，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD 交DC的延长线于点E,连接BE,若口ABCD的周长为28， △BCE的周长为18，求CE的长度； 【拓展提升】 些 (2)如图2，有一个三角形景观花园ABC,现市政府为进一步提 升城市绿化景观品质，决定对这个三角形花园进行创意性扩 做题 建。规划方案为：延长AB边到点D,使得BD=AC,同时延长 心得 AC边到点E,使得CE=AB,最后连接DE,打造出全新的三角形 景观区域ADE。在原三角形花园ABC里，点P是BC边的中 点，从A到P有一条贯穿的小径AP,现需要把BC,AP,BE这三 条路线打造为空中观景步道，方便市民从空中俯瞰花园美景。 已知∠BAC=60°，请探究线段BE与线段AP之间存在怎样的 数量关系，并说明理由。 图2