第四章 因式分解 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

180°，∴.∠ABC=∠CDF,在△CBE和△CDF中， I∠EBC=∠FDC ∠CEB=∠CFD,∴.△CBE≌△CDF(AAS),∴.BC= CE=CF DC; (4分) (2)由(1)知△CBE≌△CDF,∴.DF=BE,.CF⊥AD,CE ⊥AB,∴.∠CFA=∠CEA=90°，在Rt△ACE和Rt△ACF 中，2G-G△AcE≌△McF(m)AF=Ac, ·.四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=AE+BE+BC +CD+AD=2AE+2BC,.·AE=7,BC=4,∴.四边形ABCD 的周长=2×(7+4)=22。 (9分) 1 20.解：(1)直线ABy=2x+1与直线CD:y=mx+n交于 点A(a,3),∴.3= 2xa+1,.A(4,3),把A(4,3),D(0, 9)代入方=mx+n得4m+n=3, ,解得ms3 2,.直线 n=9 (n=9 CD的解析式为，=-3 *+9; (3分) (2)由图象可知，当y1≥y2时，x的取值范围是x≥4； (5分) (3)令y1=0,则y1= 2x+1=0,解得x=-2B(-2,0), 3 令y2=0,则y2=- 2x+9=0,解得x=6,.C(6,0), 2IBCIxh=1 ×8×3=12。点P在x轴上， 2 |PB1·3=6,.IPB1=4,.P(-6, 0)或(2,0)。 (9分) 21.解：(1)设A种模型的单价为x元，B种模型的单价为y 元。程据题意得2”6”解科仁0 y=1000°答：A 种模型的单价为800元，B种模型的单价为1000元； (5分) (2)设购进B型模型m个，则购进A型模型(60-m)个 根据题意得60-m≥2m,解得m≤20，设该公司需要准 备0元的预算资金才能完成采购，则w=800(60-m)+ 1000×0.75m,即w=-50m+48000,.'k=-50<0,.w随 m的增大而减小，∴.当m=20时，0取得最小值，最小值 为-50×20+48000=47000（元）。答：该公司至少需要准 备47000元的预算资金才能完成采购。 (10分) 22.解：(1)AP是∠BAC的平分线， (1分) (AD=AE 理由如下：在△ADF和△AEF中，{AF=AF,.△ADF≌ DF=EF △AEF(SSS),∴.∠DAF=∠EAF,.∴.AP平分∠BAC; (5分) (2)过点P作PM⊥AC于点M,:AP平分∠BAC,PQ⊥ 1 AB,PMLAC.PM-PQ=4.SAe-2AC.PM-2x 6×4=12. (10分) 23.解：(1)①120°②DE=EF (每空2分，共4分) (2)结论：AE2+DB2=DE2, (5分) 理由如下：：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90° .AC=BC,∠BAC=∠B=45°，由旋转知，CD=CF ∠DCF=90°，.·∠DCF=∠BCA,∴.∠DCF-∠ACD= ∠BCA-∠ACD,即∠ACF=∠BCD,在△ACF和△BCD (AC=BC 中， ∠ACF=∠BCD,∴.△ACF≌△BCD(SAS), CF=CD 追梦之旅铺路卷·八年级 ∠CAF=∠B=45°，AF=DB,∴.∠EAF=∠BAC+∠CAF= 90°： (7分) ∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴.∠FCE=45°，.∠DCE (CD=CF =∠FCE,在△DCE和△FCE中， ∠DCE=∠FCE,. CE=CE △DCE≌△FCE(SAS),∴.DE=EF,在Rt△AEF中，AE +AF2=EF2,又：AF=DB,∴.AE2+DB2=DE2。（10分) 第四章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查BCBBBADA BA 1.B2.C3.B4.B5.B6.A 7.D【解析】该指数可能是2,4,6,8,10这五个数。故选 D。 大 8.A【解析】2a(x2-y2)-2b(x2-y2)=2(a-b)(x2-y2)= 2(a-b)(x+y)(x-y),信息中的汉字有：爱、我、中、华。 所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华。故选A。 案 9.B【解析】设两个连续的奇数分别为2n-1,2n+1,.:（2n +1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n,∴.任 意一个“相数”是8的倍数。故选B。 10.A11.x2-1(答案不唯一)12.10 13.72rcm2【解析】πR2-4πr2=T(R2-4r2)=T(R+2r)(R -2r)=m×(8.6+2×0.7)×(8.6-2×0.7)=72mcm。 14.(x+1)(x-6) 1 1 15.2或2 16.解：(1)原式=x2(x-1)-(x-1)=(x-1)(x2-1)=(x-1) (x+1)(x-1)=(x+1)(x-1)2; (4分) (2)原式=2m(a-b)+3n(a-b)=(a-b)(2m+3n)。(9分) 17.解：(1)D (2分) (2)原式=4x2-(y2-6y+9)=4x2-(y-3)2=(2x-y+3) (2x+y-3)。 (7分) 当x=4,y=2时，原式=(2×4-2+3)×(2×4+2-3)=63。 (9分) 18.解：(1)x2+8x-20=x2+8x+16-36=(x+4)2-36=(x+4+ 6)(x+4-6)=(x+10)(x-2); (5分) (2)由题意得：-x2+8x-20=-(x2-8x+20)=-(x2-8x+ 16-16+20)=-(x-4)2-4, (7分) (x-4)2≥0，∴.-(x-4)2≤0，∴.-(x-4)2-4≤-4，.当 x=4时，-x2+8x-20的值最大，最大值为-4。 (9分) 19.解：(1)(2m+n)(m+2n) (4分) (2):m2-n2=40cm2,∴.(m+n)(m-n)=40cm2。m+n =20÷2=10cm,∴.m-n=4cm,解得m=7cm,n=3cm, (7分) .纸板的面积为(2m+n)(m+2n)=17×13=221(cm2)。 (9分) 20.解：(1)B (2分) (2)(x-1)4 (4分) (3)设x2-4x=y,原式=y(y+8)+16=y+8y+16=(y+ 4)2,.原式=(x2-4x+4)2=[(x-2)2]2=(x-2)4。 (9分) 21.解：(1)原式=4(m2-n2)+(m-n)=4(m+n)(m-n)+(m -n)=(m-n)(4m+4n+1); (4分) (2)△ABC是等腰三角形， (5分) 理由如下：：ac-bc+a2-b2=c(a-b)+(a+b)(a-b)=(a- b)(a+b+c)=0,又a,b,c是△ABC的三边，∴，a+b+c>0, ∴.a-b=0,即a=b,∴.△ABC是等腰三角形。(10分) 22.解：设另一个因式为(x+a),得：2x2+3x-k=(2x-5)(x+ a), (4分) 则2x2+3x-k=2x2+(2a-5)x-5a, (6分) ∫2a-5=3 {-5a=-k (8分) 下·ZBB·数学第8页 解得a=4,k=20。故另一个因式为(x+4),k的值为 20。 (10分) 23.解：(1)(a-b)2=(a+b)2-4ab (3分) (2)由(1)可知：(3x-2y)2=（3x+2y)2-4·3x·2y,: (3x-2）2=5,(3x+2y)2=9,.5=9-24y,解得y=6。 .1 (7分) (3)x3-x=x(x-1)(x+1) (10分) 第五章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查ABDBBDBDCC 1.A 2B【解折1号是分式，夫有2个，做遂B 答案 3.D4.B 5B【解析】342-台=4x--B3xt2 (3x+2)(x-1) 302源=好得4=78=1，故 选B。 6》【解析】解分式方程得x=。:方程有增根， m+1=1,m=4。故选D。 5 7.B8.D C【架标】由定义，峰时1，每得号故这C。 100【解折]解方程得x=2。:关于的方程 x-2 -1的解是正数…20且号20<2且a≠-4 故选C。 山点答家不生一）卫9 13.4【解析】设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年每千克的批发价为x÷(1-20%)三x元，由 题意得100x1+20%）100-100,解得x=4,经检 5 4 验，x=4是原方程的解，且符合题意，即这种水果今年 每千克的平均批发价是4元。 14.415.1000_550 u-f ”2x-4x 16解：(1)原式=-x.5y.2xx 5y4x2 y2; (4分) 4 x+2 4-(x+2) (2)原式=(x+2(x-2)(x+2)(x-2)(x+2)(x-2 2-x 1 (x+2)(x-2)x+2° (8分) 17.解：(1)因为分式中分母不能为零，所以y≠±1。 (2分) 方程两边都乘(y2-1),得4-(y-3)(y+1)+y2-1=0,解 这个方程，得y=-3。 (3分) 检验：将y=-3代入原方程，得左边=0，右边=0，左边= 右边。.y=-3是原方程的根； (5分) (2)因为分式中分母不能为零，所以x≠0。方程两边都 乘x2,得2(x+1)2-x(x+1)=x2。解这个方程，得x= 2 30 (7分) 追梦之旅铺路卷·八年级 检验：将x=子代入原方程，得左边=1，右边=1，左边 右边。x=-号是原方程的根 (9分) 18.解：原式4(+3)--3》.-9=3+15，(5分) x2-9 为了使分式有意义，即x-3≠0，x+3≠0，x2-9≠0，x≠0，∴ x≠0，x≠±3，∴.x的值可取1。当x=1时，原式=3×1+15 =18。 (9分) 19.解：方程+4=3的解为x=2。 (4分) a+11中，得202 将x=2代入ax-2 a+121,解得a -3,经检验，a=-3是原方程的根，.a的值为-3。 (9分) 20.解：由题意得21 =1。 x-11-x (4分) 解这个方程，得x=4, (7分) 经检验x=4是分式方程的根。.x的值为4。 (9分) 21.解：(1)a.三分式的基本性质 (2分) b.四①括号前面是负号，去掉括号后括号里面第二 项没有变号②去括号时，括号里面的第二项没有与 括号前的系数相乘 (7分) 5 (2)2x+4 (8分) (3)分式的混合运算，要注意运算顺序（答案不唯一） (10分) 22.解：任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是y元，则每杯 “芝士杨指”的利润是子元，由愿意得：00 =20, y 5 解得y=8,经检验：y=8是原方程的根，∴.17-8=9 (元)，19-8x=9(元)，答：每杯满杯杨髯”的成本是 9元，每杯“芝士杨梅”的成本是9元； (5分) 任务2：设制作“芝士杨梅”m杯，“满杯杨梅”n杯，两种 奶茶获利为w元；由题，得400m+500n=17500,∴.n 175-4m,芝士消耗量不少于3500mL,100m≥350， 5 解得m≥35，根据题意得w=(19-4-9)m+(17-9)× 5 m+280,-子<0，w随m的增大面减 175-4m=-2 当m=35时，w取最大值，最大值为-号×35+28 =26(元)，此时n=175-4x35=7,×35+7=42(杯)， 制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯。 (10分) 23.解：(1)由分母为x-1,可设2x2+3x+6=(x-1)(2x+a)+b。 (x-1)(2x+a)+b=2x2+ax-2x-a+b=2x2+(a-2)x-atb,∴. 2+3+6=2x+(a-2)x-+6,因此有6，解得 a=5,2x+3x+6_x-10(2x+5)+ll-2x+5+1 (6=11· x-1 x-1 (5分) (2)由分母为x+2,可设5x2+9x-3=(x+2)(5x+a)+b。: (x+2)(5x+a)+b=5x+ax+10x+2a+b=5x+(a+10)x+2a+b, 54g-3=54(a410)+2a6,因此有5202，解得 (a=-1.5x2+9%-3_x+2)(5x-1)-l=5x-1-1, (b=-1 x+2 x+2 t42…5m 下·ZBB·数学第9页铺路卷 ZBB·(八年级数学下 艹为期中、期末铺路，为中考、未来铺路 第四章追梦综合演练卷 测试时间：100分钟 测试分数：120分 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 6 7 8 10 答案 1.下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的 蜘 是() A.(a+1)(a-1)=a2-1 B.a2-16a+64=(a-8)2 腳 C.a2-2a+4=(a-2)2 D.ab+ac+1=a(b+c)+1 咖 2.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式α+1的是( 蜘 A.a2-1 B.a2+a C.a2+a-2 D.(a+2)2-2(a+2)+1 3.下列多项式中能用完全平方公式分解的是( A.x2-x+1 B.1-2x+x2 C.a2+a+2 D.-a2+b2-2ab 口 生率4.若+mx+n=(x-2)(x-3),那么m-n的值是( A.9 B.-11 C.1 D.11 5.小梦在计算20253-2025时，发现其计算结果能被三个连续整 数整除，则这三个整数是( A.2025,2026,2027 B.2024,2025,2026 C.2023,2024,2025 D.2022,2023,2024 致学思想·整体思想它知x+y=4,则)2+列 。y2-3的值 帶 郡 为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 7.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道 该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式， 他抄在作业本上的式子是x口-4y2(“☐”表示漏抄的指数)，则 这个指数可能的结果共有( A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 8.生活情境·密码小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册 中，有这样一条信息：x-y,a-b,2,x2-y2,a,x+y,分别对应下列六 个字：华，我，爱，美，游，中，现将2a(x2-y2)-2b(x2-y2)因式分 解，结果呈现的密码信息可能是( A.爱我中华 B.我游中华 C.中华美 D.我爱游 9.「新定义如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那 么称这个正整数为“相数”。如：8=32-12,16=52-32,24=72- 52。下列各数中不是“相数”的是() A.32 B.34 C.40 D.48 10.数学思想·数形结合如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个 边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分拼成一个等腰梯形 (如图2)，通过计算面积，验证了一个分解因式的等式，这个等 式是() 图1 图2 A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.a2+2ab+b2=(a+b)2 C.a2-2ab+b2=(a-b)2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.新考法·开放性试题一个多项式，把它因式分解后有一个因式为 (x-1),请你写出一个符合条件的多项式： 0 12.已知x+y=10,y=1,则代数式x2y+y2的值为 13.学科内融合如图，在半径为R的圆形钢板上挖去半径 0●) r的四个小圆孔，若R=8.6cm,r=0.7cm,则剩余钢板 的面积 二。（结果用π表示） 14.分解因式x2+ax+b,甲看错了a值，分解的结果是(x-3) (x+2),乙看错了b值，分解的结果是(x-2)(x-3),那 ▣ 么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是 试题精讲 15.易错题若要使4x2+mx+成为一个完全平方式，则m的值应 641 为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(9分)因式分解： (1)x2(x-1)+(1-x); (2)2m(a-b)-3n(b-a); 17.学习情境·过程性学习(9分)老师设计了接力游戏，用合作的 方式完成因式分解，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并 进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成因式分解。 过程如图所示： 老师 匆 乙 丙 4746y94+6+94(+3C2x432x+43月 (1)接力中，自己负责的一步出现错误的是 A.只有甲B.甲和乙C.乙和丙D.甲和丙 (2)请你书写正确的因式分解过程，并将x=4,y=2代入求值。 18.(9分)学习了乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2后，老师向同学们 提出了如下问题； ①将多项式x2+4x+3因式分解； ②求多项式x2+4x+3的最小值。 ①x2+4x+3 ②由①知：x2+4x+3=(x+2)2-1 =x2+4x+4-1 因为(x+2)2≥0， =(x+2)2-1 所以(x+2)2-1≥-1 =(x+2+1)(x+2-1) 所以当x=-2时，x2+4x+3的值 =(x+3)(x+1) 最小，最小值为-1。 请你运用上述的方法解决下列问题： (1)将多项式x2+8x-20因式分解； (2)求多项式-x2+8x-20的最大值。 。15 19.(9分)如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中 有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正 方形，五块是长为m,宽为n的全等小长方形，且m>n。(以上 长度单位：cm)》 (1)观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解 为 (2)若每块小长方形的周长是20cm且每块大正方形与每块小 正方形的面积差为40cm2,求这张长方形纸板的面积。 m 20.(9分)阅读理解：因式分解中的换元法是指将多项式中的相同 部分换成另一个未知数，然后再因式分解，最后再将其换回来。 下面是小明对多项式(x2-2x-1)(x2-2x+3)+4进行因式分解 的过程。 解：设x2-2x=y, 原式=(y-1)(y+3)+4(第一步) =y2+2y+1(第二步) =(y+1)2(第三步) =（x2-2x+1)2(第四步) 回答下列问题。 (1)小明第二步到第三步运用了因式分解的 A.提公因式法 B.公式法 C.换元法 (2)老师说，小明因式分解的结果不彻底，请你写出因式分解 的最后结果： (3)请你模仿小明的方法，对多项式(x2-4x)(x2-4x+8)+16进 行因式分解。 。16。 21.新考法·项目式学习(10分)某初中数学小组学完“因式分解” 后，对“分组分解法”进行了探讨，请认真阅读如下表格，完成 项目式学习任务。 请用分组分解法将下面多项式因式分解： 典例 a2+a-b2-b。 引领 解：原式=(a2-b2)+(a-b) =(a-b)(a+b)+(a-b) =(a-b)(a+b+1)。 技巧 分组分解的关键是分组，要特别掌握提公因式法和公 总结 式法 (1)将多项式4m2+m-4n2-n因式分解； 迁移 应用 (2)a,b,c是△ABC的三边，且满足ac-bc+a2-b2=0,请 判断△ABC的形状，并说明理由。 22.学科素养·应用意识(10分)仔细阅读下面例题，解答问题：例 题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个 因式以及m的值。 解：设另一个因式为(x+n),得x2-4x+m=(x+3)(x+n),则x2- 4x+m=x2+(n+3)x+3n, n+3=-4 ÷m=3n 解得n=-7,m=-21。 ∴.另一个因式为(x-7),m的值为-21。 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5),求另一个因 式以及k的值。 23.（10分)【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算 同一个图形的面积，可以得到一个恒等式。如图①，在边长为 a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形。把余下的部分 沿虚线剪开拼成一个长方形（如图②）。图①中阴影部分面积 可表示为a2-b2,图②中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)。 因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：α2 易错 b2=(a+b)(a-b)。 分析 图① 图② 图③ 图④ 砌 图⑤ 【知识应用】图③是一个长为2a,宽为2b的长方形，沿图中虚 线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图④的形状拼成一个 正方形。 (1)由图④可得到一个关于(a+b)2、(a-b)2、ab的等量关系式 是 (2)应用(1)中所得结论回答问题：若(3x-2y)2=5,(3x+2y)2 =9,求y的值； 做题 【知识迁移】 心得 (3)通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应 的等式。如图⑤，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼 成右边的一个长方体。根据不同方法表示它的体积可以写出 一个代数恒等式是 熎