第一章 三角形的证明及其应用 追梦基础训练卷(二)-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

铺路卷 自恋之旅 ZBB·(八年级数学下 艹为期中、期末铺路，为中考、未来铺路 第一章追梦基础训练卷（二） 线段的垂直平分线、角平分线 测试时间：100分钟 测试分数：120分 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 7 8 9 10 答案 1.如图，在△ABC中，BC=9,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC 显 于点E,△BCE的周长为20，则AC的长等于( A.6 B.9 C.10 D.11 A 咖 0 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，一把直尺压住射线OB,另一把完全一样的直尺压住射线 OA并且与第一把直尺交于点P,小明说：“射线OP就是∠BOA 的平分线。”他这样做的依据是() A.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 拟 B.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分 线上 C.三角形的三条角平分线的交点到三条边的距离相等 言 D.以上均不正确 3.如图，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为15,20,25，点0是 △ABC三条角平分线的交点，则S△AB0:S△BC0:S△CA0 等 于() 馨 A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB, 郡 DC=3,∠B=30°，则BC=() A.9 B.8 C.6 D.3 B 剂 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB,ID⊥BC,△ABC 的周长为18，ID=3,则△ABC的面积为( ) A.18 B.30 C.24 D.27 6.如图，在△ABC中，∠A=60°，P为△ABC内一点，过点P的直线 EF分别交AB,AC于点E,F,若点E,F分别在PB,PC的垂直平 分线上，则∠BPC的度数为() A.110° B.120° C.130° D.140° 7.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,∠ABC和∠ACB的平分线交于 点E,过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N,则△AMN的周 长为( A.4 B.6 C.7 D.8 8.在△ABC中，∠ACB为钝角。用直尺和圆规在边AB上确定一 点D,使∠ADC=2∠B,则符合要求的作图痕迹是( A.￥ B. 9.图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电 脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图。现量得托板长AB= 10cm,支撑板顶端的C恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C 转动，支撑板CD可绕点D转动。当CD⊥AB,且射线DB恰好是 ∠CDE的平分线时，此时点B到直线DE的距离是() A.5 cm B.6 cm C.8cm D.10 cm A B 图1 图2 第9题图 第10题图 10.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B,C为圆心， 大丁号5c的长为半径作蕴，两孤相交于点以，N水，②作直线 MN,交AB于点D,连接CD。若AC=AD,∠A=80°，则∠ACB 的度数为() A.65° B.70° C.75° D.80° 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如图，△ABC中，DE,FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分 别为垂足。若△DAF的周长为6，则BC的长为 第11题图 第12题图 12.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=70°，∠BAC的平分线与AB 的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上) 折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEF= 13.如图，撑伞时，把伞两侧的伞骨和支架分别看作AB、AC和DB、 DC,始终有AB=AC,DB=DC,请大家考虑一下伞杆AD所在的 直线是B、C两点的连线BC的 线。 A B A IN 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半 径作弧，分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大 于分MN的长为半径作弧，两弧交于点卫，作射线P交边BC 于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是 15.如图，在△ABC中，AB,AC的垂直平分线分别交BC于D、E两 点，并且相交于点F,且∠DFE=80°，则∠DAE的度数 是 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16.(9分)如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC= 20°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数。 17.(9分)如图，已知AB=AC,DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF ⊥AC交AC的延长线于点F,DE=DF。求证：BD=CD。 。3. 18.(9分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的垂直平 分线，交BC于点E。 (1)已知△ABC的周长是14，AD的长是3，求△AEC的周长； (2)已知∠B=30°，求证：点E在线段CD的垂直平分线上。 试题精讲 19.(9分)证明命题“角平分线上的点到这个角的两边的距离相 等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出 证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不 完整的已知和求证。 已知：如图，∠AOC=∠B0C,点P在OC上， 求证： 请你补全已知和求证，并写出证明过程。 THE ROAD TO 20.(9分)如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点(D与C不 重合)。 (1)尺规作图：过点D作BC的垂线DE交AB于点E。作 ∠BAC的平分线AF交DE于点F,交BC于点H(保留作图痕 迹，不用写作法)； (2)求证：EF=AE。 B 。4 21.（10分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,AC的垂直平分线 交AC于点E,交AB于点F,点D恰好为BF的中点。 (1)求证：BC=AF; (2)若∠A=34°，求∠ACB的度数。 22.生活情境·风筝(10分)“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻 乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形。如图， 在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,我们把这种两组邻边分 别相等的四边形叫作筝形。初步认识筝形后，数学活动小组的 同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，小明观 察后认为AC垂直平分BD,请你帮助小明从几何证明的角度 说明这一筝形性质。 已知：在四边形（筝形）ABCD中， 求证： (请把横线上的“已知”“求证”内容补充完成，并完成后续相应 证明过程) 23.（10分)阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫作三角 形的内心。 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点。 如图1，已知AM,BN,CP是△ABC的三条内角平分线。 易错 求证：AM,BN,CP交于一点。 分析 证明：如图2，设AM,BN交于点O,过点O分别作OD⊥BC,OE ⊥AC,OF⊥AB,垂足分别为点D,E,F。 点O是∠BAC的平分线AM上一点，∴.OE=OF(依据1)。 同理OD=OF。.OD=OE。CP是∠ACB的平分线，∴.点O 在CP上（依据2）。.AM,BN,CP交于一点。 请解答问题： (1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ 脚 (2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离 (3)拓展：已知BC=a,AC=b,AB=c,OD=r,请用a,b,c,r表示 △ABC的面积。 M MD 图1 图2 做题 心得第一章追梦基础训练卷（二） 答案12345678910 速查DBDADBCBAC 1.D【解析】：DE是AB的垂直平分线，.AE=BE。 △BCE的周长等于20，∴.BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC =20。.BC=9,.AC=20-9=11。故选D。 2.B3.D 4.A【解析】.·AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,∠C= 90°，DC=3,.DE=DC=3。∠B=30°，∴.BD=2DE=6, .BC=BD+CD=9。故选A。 5.D【解析】过，点I作IE⊥AB于E,IF⊥AC于F。.AI BI、CI分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，ID⊥BC, ∴.ID=IE=IF=3。,'△ABC的周长为18，.△ABC的面 积= 2(AB+BC+AC)×3=×18x3=27。故选D。 6.B【解析】.点E,F分别在PB,PC的垂直平分线上，∴ ∠EBP=∠EPB,∠FCP=∠FPC。.·∠EPB+∠BPC+ ∠FPC=180°，∠PBC+∠BPC+∠PCB=180°，∴.∠EBP+ ∠FCP=∠PBC+∠PCB。:∠A+∠ACB+∠ABC=180° 即∠A+∠EBP+∠FCP+∠PBC+∠PCB=18O°，∴.LEBP+ ×=a0d7+08d7‘.0z1=a0d7+08d7+d047 120°=60°，.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=120° 故选B。 7.C【解析】.BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴.∠ABE= ∠EBC,∠ACE=∠ECB。.'MN∥BC,∴.∠MEB=∠EBC LNEC=LECB,∴.LABE=LMEB,LACE=LNEC,∴.MB =ME,NE=NC。:AB=3,AC=4,.△AMN的周长=M+ MN+AN=AM+ME+EN+AN=AM+MB+CN+AN=AB+AC=7 故选C 8.B9.A 10.C【解析】，AC=AD,∠A=80°，∴.∠ACD=∠ADC= 2(180°-∠A)=50,由作图得MN垂直平分BC,DB =DC,∴.∠B=∠DCB,而∠ADC=∠B+∠DCB,∴.∠DCB 2∠ADC=25,.∠ACB=LACD+∠DCB=50°+25° =75°。故选C。 11.6【解析】△DAF的周长为6，∴.DA+FA+DF=6。: DE,FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴.DA=DB,FA= FC,∴.BC=DB+DF+FC=DA+DF+FA=6。 12.7013.垂直平分 14.30【解析】作DE⊥AB于点E,由尺规作图可知，AP是 ∠BAC的平分线。.∠C=90°，DE⊥AB,∴.DE=CD= 4,Sam=2 XABXDE=30。 15.20°【解析】由题意，得∠BAC=360°-90°-90°-80°= 1O0°，DB=DA,EA=EC,∴.∠B=∠DAB,∠C=∠EAC ∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-100°=80°，∴.∠B+∠C =80°，∴.∠DAE=∠BAC-∠DAB-∠EAC=20°。 16.解：P为△ABC三边垂直平分线的交点，.PA=PC= PB, (3分) ∴.∠PAC=∠PCA=20°，∠PBC=∠PCB=30°，∠PAB= ∠PBA,∠PMB=2(I80-LPAC-∠PCM∠PCB ∠PBC)=40°。 (9分) 17.证明：连接AD。DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF,∴.AD 平分∠EAF,∴.∠EAD=∠FAD。 (4分) (AB=AC 在△BAD和△CAD中， ∠EAD=∠FAD,∴.△BAD≌ AD=AD △CAD(SAS),'.BD=CD。 (9分) 18.(1)解：·DE是AB的垂直平分线，.AE=BE,AD=BD。 AD=3,AB=6。△ABC的周长为14，.AC+BC= 14-6=8。C△ABc=AC+CE+AE=AC+BC=8,.△AEC 追梦之旅铺路卷·八年级 的周长为8： (4分) (2)证明：由(1)知AE=BE,∴.∠BAE=∠B=30°。 ∠ACB=90°，∴.∠BAC=60°，.∠BAE=∠CAE=30°。 .·∠ADE=∠ACE=90°，AE=AE,.△ADE≌△ACE (AAS),.DE=CE,.点E在线段CD的垂直平分线 上。 (9分) 19.解：PD⊥0A,PE⊥OBPD=PE（每空2分，共4分) 证明：.PD⊥OA,PE⊥OB,∴.∠PD0=∠PE0=90°，在 （∠PDO=∠PEO △PD0和△PE0中， ∠AOC=∠BOC,∴.△PD0≌ OP=OP △PEO(AAS),∴.PD=PE。 (9分) 20.解：(1)如图，DE,AF即为所作； 大 D 藁 (4分) (2)证明：DE⊥BC,.∠EDB=90°。∠C=90°， ∠C=∠EDB=90°，.ED∥AC,∴.∠EFA=∠CAF。(7分) AF为LBAC的平分线，.∠BAF=∠CAF,.∠BAF= ∠AFE,∴.AE=EF。 (9分) 21.(1)证明：连接CF。·点D恰好为BF的中点，.DF= DB。CD⊥AB,.CD垂直平分BF,.CF=CB。EF 垂直平分AC,∴.AF=CF,∴.BC=AF。 (5分) (2)解：AF=CF,.∠A=∠ECF=34°，.∠CFD=LA +∠ECF=68°。CF=CB,∴.∠CFD=∠B=68°， ∠ACB=180°-∠A-∠B=78°。 (10分) 22.解：已知：AB=ADCB=CD (每空1分，共2分) AC垂直平分BD (4分) 证明：在四边形（筝形）ABCD中，AB=AD,CB=CD,AC BD相交于点O,∴.点A,C均在线段BD的垂直平分线 上，.AC垂直平分BD。 (10分) 23.解：(1)依据1：角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等；依据2：在一个角的内部，到角的两边距离相等的 点在这个角的平分线上： (4分)》 (2)相等 (6分) (3).BC=a,AC=b,AB=c,OD=r,..OD=OE=OF=r, .SAABC=S△AOB+S△B0c+S△A0c= >B·OF+BC·OD+ 1 1 2AC.OE =2(a+bte)ro (10分) 第一章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查AD ACCD B CC C 1.A【解析】：AB=AC,.∠B=∠C,DA⊥AC,·∠DAC =90°，∴.∠ADC=90°-∠C=90°-∠B=∠BAD+∠B,. ∠B=2∠BAD,∴.5∠BAD=90°，∴.∠BAD=18°，故选A 2.D 3.A【解析】：△ABC为等边三角形，.∠BAC=60°。 AD是等边三角形ABC的中线，∠CAD= 2∠BAC= 30°，AD⊥BC。.AD=AE,∴.∠ADE=∠AED=75°，.. ∠EDC=90°-75°=15°。故选A。 4.C【解析】.·∠DFC=3∠B=117°，.∴.∠B=39°，.∵∠C= ∠D,∴.设∠C=∠D=x,∴.∠DEC=∠D+∠B=39°+x,: ∠DFC=39°+2x,∴.39°+2x=117°，∴.x=39°，.∠D= 39°，∴.∠BED=180°-39°-39°=102°。故选C。 5.C6.D 7.B【解析】连接BD。·DE是AB的垂直平分线，.BD= AD,.∠ABD=∠A=30°，.∠CBD=180°-90°-30°×2= 30,cm=2BD= 4D,:AD=2 AC。AC=12,.AD 下·ZBB·数学第2页