专项总结突破卷（一、二）三角形的证明及其应用＋不等式与不等式组-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

铺路卷 ZBB· 恋之旅 八年级数学下 +为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 追梦专项总结突破卷（一） 三角形的证明及其应用 梦之旅 题型一作辅助线构造等腰三角形 模型1作平行线构造 如图1，若AB=AC,D为BA上一点，过点D作DE∥BC,交CA 于点E,则△ADE为等腰三角形。 如图2，若AB=AC,D为AB上一点，过点D作DE∥AC,交CB 电 于点E,则△BDE为等腰三角形。 翻 助 图1 图2 图3 模型2倍长中线法构造 认识“倍长中线法” 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何 问题时，常采用倍长中线法添加辅助线。所谓倍长中线法，即 钢 救 延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等， 以便构造全等三角形、从而运用全等三角形的有关知识来解 决问题的一种方法。 如图3，已知D为BC的中点，∠BAD=∠CED,延长AD到点 F,使DF=AD,则△ECF为等腰三角形。 1.如图，△ABC中，AB=AC,点D在AB边上，点E在AC的延长线 爵 上，且CE=BD,连接DE交BC于点F,过点D作DG⊥BC,垂足 为G。求证：BC=2FG。 2.如图，在△ABC中，AD交BC于点D,点E是BC的中点，EF∥AD 交CA的延长线于点F,交AB于点G。若BG=CF,求证：AD为 △ABC的角平分线。 B ED 3.【阅读理解】 (1)如图1，在△ABC中，AB=6,AC=8,D是BC的中点，求BC 边上的中线AD的取值范围。小明在组内经过合作交流，得到 了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,再证明“△ADC兰 △EDB”。探究得出AD的取值范围是 E D 图1 图2 图3 【灵活运用】 (2)如图2，△ABC中，∠B=90°，AB=2,AD是△ABC的中线，CE ⊥BC,CE=4,且∠ADE=90°，求AE的长。 【拓展延伸】 (3)如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC,且AD交BC于点D,BC 的中点为G,过点G作GE∥AD,交AB于点E,交CA的延长线于 点F。若AB=10cm,AC=6cm,求BE的长。 题型二等腰直角三角形中的常见解题模型 模型1一线三垂直 如图1,2，已知Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BD⊥DE,CE ⊥DE,则△ABD≌△CAE。 0 -0 图1 图2 图3 图4 模型2构造手拉手模型 认识“手拉手模型” 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在 相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成 员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶 角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶 点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手 拉手模型” 如图3,4，已知△ABC为等腰直角三角形，∠ADC=45°，过点C 作CE⊥CD,交DA(或DA的延长线)于点E,则△AEC≌ △BDC。 4.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直 线DE,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E,则CD与BE的数量关 系是 第4题图 第5题图 5.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直 线CE,过点A作AD⊥CE于点D,过点B作BE⊥CE于点E,AD =5,BE=2,则DE的长为 6.【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，在 △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,以BC为斜边作Rt△BCD, ∠BDC=90°，点D、A在边BC同侧，BD与AC交于点O,连接 AD,过A作AE⊥BD于点E。求证：BE=CD+DE(无需作答)。 【解决问题】如图2，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出 如下解题思路：在BD上截取BF=CD,连接AF,将线段BE、CD、 DE之间的数量关系转化为线段DE与EF之间的数量关系 即可。 【实践应用】 (1)求∠ADC的度数； (2)若O是AC的中点，且CD=3,AE=DE,直接写出四边形AB CD的面积。 图2 。21 铺路卷 ZBB·八年级数学下 艹为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 追梦专项总结突破卷（二） 不等式与不等式组 题型一根据不等式（组）的解（集）求参数 方法指导： 1.将参数看成已知数，分别求出关于x的不等式（组）中的解 （集)； 2.根据题中已知的不等式（组）的解（集），列出关于参数的新 的不等式，解出该不等式，即可求出参数的值或取值范围。 1.已知关于x的不等式3x-2(m-1)>2mx-1的解集是x<-1,则m 的取值范围在数轴上可表示为( A.0 C.03 D.0 2x+9>-6x+1 2.已知关于x的不等式组 的解集为x>-1,则k的取值 x-k>1 范围是 题型二利用整数解求参数的取值范围 3.若关于x的不等式3x-m≤0的正整数解为1,2,3，则m的取值 范围是( A.9≤m<12 B.9<m<12 C.m<12 D.m≥9 3x-5≥ 4.若关于x的不等式组 ,有且只有3个整数解，则a的取 2x-a<8 值范围是( A.0≤a≤2 B.0≤a<2 C.0<a≤2 D.0<a<2 5.学习情境·墨迹覆盖如图，在数轴上被墨汁覆盖的整数部分恰 3(x+m)>2x+3 好是关于x的不等式组 2 的所有整数解。求m、n +n 2 22 的取值范围。 6.新定义定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称 这两个不等式“有整数交集”；反之，如果两个一元一次不等式 没有公共整数解，那么称这两个不等式为“没有整数交集”。 (1)不等式x>1.5与x≤2 “整数交集”；（填“有”或 “没有”)； (2)关于x的不等式x+2>a与不等式x-2≤1-2x“有整数交 集”，求a的取值范围； (3)若关于x的不等式x≥m与2x-1<x+1“没有整数交集”，求 m的取值范围。 题型三根据不等式组解集的情况确定参数的取值范围 方法指导： 1.将参数看成已知数，分别求出关于x的不等式组中的两个 不等式的解集； 2(①若舞件气1已加不等式知有据，别>若 解得s ,且已知不等式组有解，则m≥n x≥n (2)若解得x<m或x<”,且已知不等式组无解，则m≤n;若 (x>n(x≥n' 解得≤m,且巴知不等式组无解，则m<n。 x≥n 2x-4<0 7.若关于x的一元一次不等式组 有解，则飞的取值范围 x+1>k 是() A.k≤3 B.k<3 C.k<2 D.k≤2 易错 ▣ 分析 8.若关于x的不等式组2>0 无解，则a的取值范 4-2x≥0 围为 x+a≥1，① 9.已知关于x的不等式组} 2(x+3)<8。② (1)解不等式①，得 ;解不等式②，得 ● (2)若该不等式组无解，求a的取值范围。 些 做题 心得 题型四方程组与不等式（组）结合求参数 熎 10.若关于x,y的方程组{ 3x-2y=2m+2 的解满足x-y>1,则m的 2x-y=m-2 取值中负整数的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (3x+y=1+a 11.若关于x,y的二元一次方程组 的解满足x+y<2,则 x+3y=3 a的取值范围为 2x+y=m-3 12.已知关于x,y的方程组 的解x,y均为负数，则m的 x-y=2m 取值范围是9,∴.GE2+FG=EF2,∴.∠EGF=90°，.FG⊥AG。 (9分) 20.解：(1)平行四边形的对边相等 (2分) (2)证明：由辅助线得：AE∥DF,:AD∥BC,.四边形 AEFD为平行四边形，∴.EF=AD=BC,AE=DF,在Rt △BDF中，BD2=DF2+BF2=a2-c2+(b+c)2=a2+b2+2bc, .AC2+BD2=2a2+2b2=AB2+BC2+CD2+AD2。(7分) (3)282 (9分) 21.解：任务1：629 (4分) 任务2：由题意，得∠E0B=30°，此时点0与点P重合 作EH⊥OB于点H,则∠OHE=∠BHE=90°，'：∠EOB= 20E=5cm,0H=√102-5=53(cm), 30°，.EH= 大 BH=√BE-Er=√132-5=12(cm),∴.PA=AB-PH- BH=29-5√3-12=(17-5√3)cm,答：限位器P应装在 案 离点A(17-55)cm的位置。 (10分) 22.解：(1)所画图形如图。 (4分) (2)例：选命题Ⅱ。证明：过点E作EM∥AB交BC边于 点M,连接DM,:DE∥BC,EM∥AB,∴.四边形EDBM是 平行四边形，BD=EM,DE=BM,DE=号BC,DE= BM=CM,∴.四边形DECM是平行四边形，.DM=CE, DM/∥CE,.DM∥AE,又·EM∥AD,.四边形ADME是 平行四边形，.AD=EM,DM=AE,∴.AD=BD,AE=CE ∴.D,E分别是AB,AC的中点。 (10分) 23.解：(1)四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,AD= BC,OB=OD,.·2(BC+CD)=28,.BC+CD=14,.OE⊥ BD,.OE垂直平分BD,.DE=BE,':△BCE的周长= BC+CE+BE=BC+CE+CE+CD=BC+CD+2CE=18,..CE =2。 (5分) (2)BE=2AP, (6分) 理由如下：过点B作BH∥AE交DE于点H,连接PH, CH,AH,.·∠BAC=60°，.∴.∠DBH=∠BAC=60°，'.·AB= CE,AC=BD,.AB+BD=AC+CE,即AD=AE,.△ADE 是等边三角形，∴∠D=60°，DE=DA,∴.△DBH是等边 三角形，.BH=BD=DH,.BH=AC,BH∥AC,.四边 形ABHC是平行四边形，.AH,BC互相平分，：点P为 BC的中点，.A,P,H三点共线，AH=2AP,在 AD=ED △ADH和△EDB中， ∠ADH=∠EDB,.△ADH≌ DH=DB △EDB(SAS),∴.BE=AH,∴.BE=2AP。 (10分) 追梦专项总结突破卷（一）》 1.证明：过点D作DH∥AC交BC于H,则∠BHD=∠ACB, ∠DHF=∠ECF,.AB=AC,∴.∠B=∠ACB,.∠B= ∠BHD,∴.BD=DH,CE=BD,DH=CE,在△DHF和 I∠DHF=∠ECF △ECF中，{∠DFH=∠EFC,'.△DHF≌△ECF(AAS), DH=EC FH=CF=CH,BD DH,DG L BC,.BG=GH 1 6B班FG=GH+FH2BH+)CH正2BC,BCE 2FG 2.证明：延长FE,截取EH=EG,连接CH,E是BC中点， 追梦之旅铺路卷·八年级 (BE=CE ∴.BE=CE,在△BEG和△CEH中，{∠BEG=∠CEH, （GE=HE ·.△BEG≌△CEH(SAS),∴.∠BGE=LH,BG=CH,. ∠BGE=∠FGA=∠H,.CF=BG,∴.CH=CF,∴.∠F=∠H =∠FGA,.EF∥AD,∴.∠F=∠CAD,∠BAD=∠FGA,. ∠CAD=∠BAD,.AD平分∠BAC,即AD为△ABC的角 平分线。 3.解：(1)1<AD<7 (2)延长AD交EC的延长线于F。:AB⊥BC,EF⊥BC, ∠ABD=∠FCD,在△ABD和△FCD中， I∠ABD=∠FCD BD=CD ,∴.△ABD≌△FCD(ASA),.CF=AB= ∠ADB=∠FDC 2,AD=DF,∠ADE=90°，.△AEF是等腰三角形， AE=EF,.·EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6,∴.AE=6; (3)过点C作CH∥AD交BA的延长线于点H,:CH∥ AD,∴.∠H=LBAD,∠ACH=∠CAD,AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD,∴∠H=∠ACH,.AH=AC=6cm, BH=AB+AH=16cm,GE∥AD,.GE∥CH,又：点G是 GE是△BCH的中位线，∴E 8cmo 4.CD=BE 5.3【解析】：AD LCE,BE⊥CE,.∠ADC=∠CEB=90°， ∠ACD+∠CAD=90°，：∠ACB=90°，∴.∠ACD+∠BCE= 90°，.∠CAD=∠BCE,在△CAD与△BCE中， I∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE,∴.△CAD≌△BCE(AAS),∴.CD=BE, AC=CB AD=CE,.AD=5,BE=2,∴.DE=CE-CD=AD-BE=3。 6.解：(1)证明：在BD上截取BF=CD,连接AF,∠BAC= ∠BDC=90°，∠AOB=∠COD,.∠ABF=∠ACD,在 (AB=AC △ABF和△ACD中，{∠ABF=∠ACD,.△ABF≌△ACD BF=CD (SAS),∴.AD=AF,∠BAF=∠CAD,∠BAC=∠BAF+ ∠FA0=90°，∴.∠FAD=∠CAD+∠FA0=90°，∴.∠AFE= ∠ADF=45°，∴.∠ADC=45°+90°=135°。 (2)S四边形CD=27。【解析】：0是AC的中点，.A0= C0,:AE⊥BD,.∠AE0=∠CD0=90°，在△AE0和 I∠AEO=∠CDO △CD0中，{∠AOE=∠COD,∴.△AE0≌△CD0(AAS), (A0=C0 .AE=CD=3,.△ABF≌△ACD,∴.AF=AD,BF=CD=3, AE⊥BD,.DE=EF=AE=3,.BD=3+3+3=9,.四边 考ABCD的面教为Sw+5w8D,ABBD:CD =)-BDx(AE+CD)=)x9x(3+3)=27,“四边形ABG☑ 的面积为27。 追梦专项总结突破卷（二） 1.B 25-2【解折1281包+10①4-1。尚2件 x>k+1。不等式组的解集为x>-1,k+1≤-1，解得k ≤-2。 3A【解析】解不等式3m≤0得x≤驾：正签数解为 1,2,3,则3≤<4，解得9≤m<12。故选A。 3 4.C【解析】解不等式3x-5≥1得x≥2。解不等式2x-a< 下·ZBB·数学第11页 8+a 8+a 8得<2不等式组的解集为2≤<2，：不等式 组有且只有3个整数解，∴.3个整数解为2,3,4。.4< 8+≤5，解得0<a≤2。故选C。 2 5.解：由图可知，数轴上被墨迹覆盖的整数是-1,0,1,2，解 这个不等式组，得>33m根据题意得最小值在-2与 (x≤2n-2, 1之间.大值在2与3之间六{22521解得 4. 5 3<ms 3 .5 2≤n<2 6.解：(1)有 (2)当x+2>a时，即x>-2+a时，x-2≤1-2x,即x≤1，依 题意有-2+a<1,即a<3; (3)解不等式2x-1<x+1得x<2,.·关于x的不等式x≥ m与2x-1<x+1“没有整数交集”.m>1。 7.B【解析】解不等式2x-4<0,得x<2,解不等式x+1>k, 得x>k-1。:不等式组有解，∴k-1<2,解得k<3。故选 B。 8a≥1【解析】解不等式a>0,得>24，解不等式4 2x≥0，得x≤2，不等式组无解，.2a≥2，解得a≥1。 9.解：(1)x≥1-ax<1 (2):不等式①的解集是x≥1-a,不等式②的解集是x< 1,又不等式组无解，∴.1-a≥1，解得a≤0，即a的取值 范围是a≤0。 10B【折130.①-，年7m*4又 :x-y>1,.m+4>1,解得m>-3,则m的取值中负整数 有-1、-2这2个，故选B。 1a<4【解标13地0，⑩+②得=1+ +4a。 2,1+2,解得<4。 12.-1<m<1【解析】解方程组{y=2m3,得化=m-1● (y=-1-m1 “关于，)的方程组2x+ym-3的解x,y均为负数， (x-y=2m 00条径-1k<1 追梦专项总结突破卷（三） 1.A 2.解：(1)四边形ABCD是“对角互补四边形”，.∠B+ ∠D=180,∠B=3∠0号∠B∠B=180∠B= 135°： (2)①.四边形COAB是“对角互补四边形”，∠MON= 60°，∠ABC=180°-60°=120°，0B平分∠M0N, LBOC=LBOA=1 ∠MOW=30°，当∠BC0=∠BOC= 2 30时，∴.∠CB0=180°-30°-30°=120°=∠ABC(不符合 题意，舍去)；当∠CB0=∠B0C=30°时，∴.∠AB0=120 -30°=90°，.∠BAN=∠B0A+∠AB0=120°；当∠CB0= L0CB时，L0BC=2×(180-30)=75,∠AB0 120°-75°=45°，∴.∠BAN=∠B0A+∠AB0=75°；综上， ∠BAN的度数为120°或75°； ②如图，过点B作BG⊥ON于点G,BH⊥OM于点H,∴. 追梦之旅铺路卷·八年级 ∠BH0=∠BG0=90°，.·∠BOC=∠BOA M =30°，0B=2,∴.∠0BH=∠0BG=60°， 1 BG=BH=2OB=1,·0H=OG= √OB2-BC2=V3,·.S△Boc:S△B0A= (0c.Bm0-(分0A·B6)=号0c 3 3 :0A=亏，：四边形C0MB是“对角互补四边形”， ∠ABC=180°-∠M0N=120°，：∠0BH=∠0BG=60°， ∠HBG=120°，.∠CBH=∠ABG,在△CBH与△ABG中， I∠BHC=∠BGA BH=BG ,.△CBH≌△ABG(ASA),.CH=AG, N∠CBH=∠ABG 大 0c+0m=01-4Ac0c+20m=30c,号00=20m, 答案 m=0c,0m=0+m0c+0c=50c= 33 4 3(1)证明：∠DBE=∠ABC,∠ABD+∠CBE ∠DBE=】∠ABC,由旋转得：△CBE≌△ABF,.BF= 2 BE,∠ABF=∠CBE,.∠ABD+∠ABF=∠DBE,.∠DBF =∠DBE。BD=BD,∴.△DBF≌△DBE(SAS),∴.DF= DE: (2)解：AD2+CE2=DE2,理由：：AB⊥BC,.∠ABC=90°。 AB=BC,.∠BAC=∠C=45°，由旋转得：AF=CE, ∠BAF=∠C=45°，.∠DAF=∠BAC+∠BAF=90°，. AD2+AF2=DF2,由(1)得：DF=DE,.AD2+CE2=DE。 4.解：(1)将△CDF绕点D顺时针旋转180°得到△BDG,连 接EG。如图所示。则△CDF≌ △BDG,∴.BG=CF,DG=DF。.DF⊥ DE,.∴.EG=EF。在△BEG中，BE+BG >EG,即BE+CF>EF。 (2)若LA=90°，则EF2=BE2+CF2。 证明如下：∠A=90°，.∠EBC+ ∠FCB=90°，由(1)知EF=EG,BG= CF,∠FCD=∠DBG,∴.∠DBG+ G ∠EBC=90°，即∠EBG=90°，.在Rt△EBG中，EG2=BE2 +BG2,即EF2=BE2+CF2。 追梦专项总结突破卷（四） 1.D 2.A【解析】整理，得(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,即(a-b) (a+b-c)=0。.:a+b-c≠0，∴.a-b=0,即a=b。则△ABC 为等腰三角形。故选A。 3.解：原式=-2(x2-16x+64)=-2(x-8)2。 4.解：(1)原式=(a2-ab)+(bc-ac)=a(a-b)-c(a-b)=(a- b)(a-c); (2)原式=(-a2-6ab-962)+9=9-(a2+6ab+962)=32-(a +3b)2=(3+a+3b)(3-a-3b); (3)这个三角形是等边三角形，理由如下：：2a2=c(2a- c)+b(2a-b),.2a2=2ac-c2+2ab-b2,.2a2-2ac+c2-2ab +b2=(a2-2ac+c2)+(a2-2ab+b2)=(a-c)2+(a-b)2=0, .a-c=0,a-b=0,∴a=c,a=b,.a=b=c,.这个三角形 是等边三角形。 5.獬：(1)原式=x(x2-8x+12)=x[x2+(-6-2)x+(-6)× (-2)]=x(x-6)(x-2); (2)-6=(-1)×6=1×(-6)=2×(-3)=（-2)×3,∴p= -1+6=5或p=1-6=-5或p=2-3=-1或p=-2+3=1, 下·ZBB·数学第12页