专题02 图形与坐标（专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题02 图形与坐标 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求平面直角坐标系中点的坐标（常考点） 1 题型二、坐标系中的点所在的象限 2 题型三、根据点所在象限求参数 3 题型四、点到坐标轴及原点的距离计算 3 题型五、物体位置的确定 3 题型六、坐标系中的平移变换 4 题型七、坐标系中的对称变换 6 题型八、坐标系中的旋转变换 6 题型九、坐标系中图形变换综合（重点） 8 题型十、坐标系中的规律探究（难点） 10 题型十一、坐标系中图形的面积计算 13 题型十二、坐标确定实际位置 15 题型十三、坐标与几何综合（难点） 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求平面直角坐标系中点的坐标（常考点） 1．（25-26八年级上·四川成都·期中）若点在y轴上，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在长方形中，，，，则D的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．点在x轴下方，y轴左侧，且，，则N点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，点，且轴，则m的值为 _____ ． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A，B的坐标分别为，点在x轴上，且．则点的坐标为______． 6．对于边长为的等边三角形，以为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点的坐标为______． 7．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，轴且，则点的坐标为________． 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标． 9．在平面直角坐标系中，已知两点，若轴，点在第一象限，求的值，并确定的取值范围． 题型二、坐标系中的点所在的象限 10．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）若点在第三象限，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，点在轴下方，且，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．若点在x轴上，则点在(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．在平面直角坐标系中，点在第二象限，到轴，轴的距离分别为，则点的坐标为______． 15．若点与点的连线平行于轴，则a的值为____． 16．若，，则点在第_____象限． 题型三、根据点所在象限求参数 17．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则整数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 18．已知点在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的值为（   ） A． B．1 C． D． 19．在平面直角坐标系中，若点在第二象限内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．若点在轴上，则的值为 ______． 21．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知线段，轴，若点P的坐标为，则点Q的坐标为__________． 22．（25-26八年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点在第一、三象限的角平分线上，则a的值________． 题型四、点到坐标轴及原点的距离计算 23．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 24．在平面直角坐标系中，第二象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为（   ） A． B．5 C．2 D． 25．已知点，则点到轴和轴的距离分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 26．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点坐标是___________． 27．已知平面直角坐标系中有两点、，且轴时，则_________． 28．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，求点到轴的距离． 题型五、物体位置的确定 29．如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置正确的是（   ） A．北偏东， B．北偏东， C．东偏北， D．东偏北， 30．按照下图的线段比例尺，轮船应该在灯塔的（   ）． A．北偏西千米处 B．北偏西千米处 C．北偏东千米处 D．西偏北千米处 31．在图中，用坐标表示目标A，用坐标表示目标E，则目标C的坐标为（   ） A． B． C． D． 32．下面能准确描述鞍山市地理位置的是（    ） A．在辽宁省 B．与辽阳相邻 C．东经 D．在沈阳市南偏西方向，与沈阳市直线距离约为处 33．若地在地的南偏东方向，距离地处，则地在地的__________方向，距离地__________处． 34．如图，请你为游客介绍动物园和迷宫所在的方位．动物园在大门的________方向上，迷宫在大门的________方向上． 题型六、坐标系中的平移变换 35．点向右平移3个单位后，再向上平移3个单位得到的点的坐标是　　 A． B． C． D． 36．平面直角坐标系内，点沿轴方向平移6个单位后到点，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 37．如图，四盏灯笼位置A、B、C、D坐标分别是，，，，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（    ）      A．将D向左平移4.5个单位 B．将C向左平移5.5个单位 C．将D向左平移3.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位 38．在平面直角坐标系中，的顶点，将平移得到，点A，B，C分别对应D，E，F，若点，则点F的坐标是（   ） A． B． C． D． 39．将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 40．在平面直角坐标系中，将点先向左平移5个单位，再向上平移7个单位，则平移后的点在第___________象限． 41．如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为_____________，为_____________． 42．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为______． 43．如图，平面直角坐标系内有一条线段，，，若将线段平移至，则的值为_____． 题型七、坐标系中的对称变换 44．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 45．在平面直角坐标系中，点P，Q的坐标分别为，，则点P与点（  ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 46．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 47．若点P在第四象限内，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 48．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则_________． 49．已知点与点，则这两个点关于______对称． 50．如图，在平面直角坐标系中，是轴对称图形，对称轴为直线，若点的坐标为，则点关于对称轴的对称点的坐标为_______________． 题型八、坐标系中的旋转变换 51．在平面直角坐标系中，将点绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 52．如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 53．春节时人们爱用风车装饰景区．如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰的斜边，点绕点逆时针旋转后的坐标是（   ） A． B． C． D． 54．如图，将先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转，得到，则点C的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 55．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转，则点A的对应点的坐标为________． 56．如图，顶点，，的坐标分别为，，，将绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是_________．    57．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为__________ ． 题型九、坐标系中图形变换综合（重点） 58．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，． (1)已知与关于轴对称，作出； (2)请求出的长度． 59．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出关于轴对称的图形． (2)若点与点关于轴对称，则点的坐标为______． 60．（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出与关于轴对称的； (2)在图中画出与关于直线（直线上各点的横坐标都为）对称的； (3)的内部一点关于轴对称的点的坐标为_____． 61．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕点顺时针旋转后的，并写出点的坐标． 62．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出向上平移4个单位，再向右平移5个单位得到的； (2)作出点关于轴的对称点．若把点向右平移个单位长度后落在的内部(不包括顶点和边界)，请写出满足条件的的取值范围______； (3)在轴上画出点，使的值最小． 63．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是． (1)作出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得的值最小，请直接写出点P的坐标（保留作图痕迹）． 64．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)画出沿y轴向下平移5个单位长度后得到的； (3)若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是________． 65．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于y轴对称的，并直接写出、的坐标________； (2)在x轴上求作一点P，使的周长最小，请先在图上画出点P，并写出的周长是________．（保留作图痕迹，不写作法） 题型十、坐标系中的规律探究（难点） 66．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，边在轴正半轴上，，点在第一象限内，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 67．如图，长方形的各边分别平行于轴与轴，物体甲和物体乙从点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位长度／秒的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位长度／秒的速度匀速运动，则两个物体运动后的第2025次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． 68．如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…按这样的规律，经过第2025次运动后，蚂蚁所在点的坐标是（    ） A． B． C． D． 69．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示的方向移动，并且每次移动1个单位长度，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 70．如图，已知，则点的坐标为_____． 71．如图，将一个台球桌面分成网格图，小球起始时位于处，击球使球沿图中箭头所指方向运动，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是______． 72．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后沿x轴向右滚动，第1次滚动使点A落在点的位置，第2次滚动使点A落在点的位置……，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点A的坐标是__________． 73．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为______． 74．（25-26九年级上·广东汕头·期中）如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形．作与关于点对称，再作与关于点对称，如此依次作下去，则顶点（n是正整数）的坐标是________． 75．（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，已知点的坐标是，线段从原点出发后，在第一象限内按如下有规律的方式前行：，，，，，；则点的坐标是________． 题型十一、坐标系中图形的面积计算 76．（25-26八年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标． (2)求的面积． 77．把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)写出、、的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 78．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 79．如图，已知点，，，求的面积． 80．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在格点上，其中，点的坐标为，点的坐标为． (1)填空：点的坐标是________，点的坐标是________． (2)求四边形的面积． 81．如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)请作出关于x轴对称的，则坐标为______； (2)若点P为y轴上一点，且的面积为10，求出点P的坐标． 82．把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)在平移过程中，线段扫过的面积为_____； (3)点在轴上，且三角形与三角形面积相等，请直接写出点的坐标为_____． 题型十二、坐标确定实际位置 83．下图是一个动物园游览示意图，以南门为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向． (1)请按要求建立平面直角坐标系． (2)写出图中动物园四个游览位置的坐标． 84．（25-26八年级上·浙江台州·期末）台州轨道交通实现了从无到有，畅通了城市发展脉络，逐步融入台州市民生活．下图是台州轨道交通线网图（部分）示意图，图中每个小正方形边长均为1个单位长度．若泽国站的坐标为，城南站的坐标为，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)温岭第一人民医院站的坐标为_______，万昌路的坐标为________； (3)若泽国站在万昌路站的北偏西方向上，则万昌路站在泽国站的什么方向上？ 85．为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”，B组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为描述集合地点，同学们想出不同的方法． (1)小文同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图1中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：______； (2)小化同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，记为（南偏东，），进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为______． 86．你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格（设每个网格的边长为1）的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色的5个棋子先排成一条直线（横、竖、斜均可）就算获胜．如图，是两位同学正在玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)在坐标系中找出坐标为的棋子，并在棋子上用数字3表示出来； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标； (4)求标有数字1，4，5的三枚棋子围成的三角形的面积． 87．中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点、处． (1)如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为__________，点的坐标为__________，点的坐标为__________． (2)若“马”的位置在点，为了到达点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示． 88．如图为某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图，敌方战舰A，B，C分别用三点A，B，C表示，小岛用H表示． (1)对于我方潜艇O来说：北偏东方向上的目标是______，______．要确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？______； (2)距离我方潜艇20海里的敌方战舰有______； (3)要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：______和______．对于我方潜艇O来说：敌方战舰A在______方向，距离为______；敌方战舰B在______方向，距离为______；敌方战舰C在______方向，距离为______． 题型十三、坐标与几何综合（难点） 89．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．现将线段向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像是线段，连接，． (1)点D的坐标为______； (2)在y轴上存在一点P，连接，，且，求点P的坐标． 90．在平面直角坐标系中，点，点，其中． (1)如图1，若，求m的值． (2)如图2，点P是x轴正半轴上一点，，交y轴于点D，于点C，求的值．(用含m的式子表示) 91．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，．    (1)求点的坐标； (2)设为轴上的一点，若，试求点的坐标． 92．如图所示，在平面直角坐标系中，． (1)点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的正半轴上，且． ①求证：； ②求的值． (2)点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的负半轴上，且，求的值． 93．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒． (1)求、的长； (2)连接，设的面积为S，用含t的式子表示S； (3)过点P作直线的垂线，垂足为D，直线与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 94．平面直角坐标系中，，分别在轴正半轴和轴负半轴上，在第二象限，满足：，． 已知． (1)求，的坐标； (2)求点的坐标； (3)已知是轴的正半轴上一点，，在第一象限，，，连接交轴于点，求证：． 95．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设，且． (1)直接写出的度数； (2)如图，点为的中点，点为轴负半轴上一点，以为边作等边三角形，连接并延长交轴于点，若，求点的坐标． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是______．（只需写出一个即可） 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系中，的三个顶点都在网格点上，其中点的坐标是． (1)在图中，将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到． 画出平移后的； 如果将以上的二次平移看作是由向方向的一次平移，则平移距离为______； (2)作出关于原点的中心对称图形； 写出的坐标为______； (3)画出以点，，，为顶点且周长最小的平行四边形，此时点的坐标为______． 5．（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出向下平移5个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (3)求四边形的面积． 6．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P在第一象限，且点P到y轴的距离等于2，求m的值． 7．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，补充原点O和y轴； (2)写出黑棋③和白棋④的坐标； (3)五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标． 8．（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且a，b满足，将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为． (1)点A的坐标为_______，点B的坐标为_______，点B平移后的对应点C的坐标为_______； (2)已知线段与x轴交于点．若点P是线段右侧x轴上的一动点，连接平分交于点F，请仅就图1思考，，之间有什么样的数量关系，并写出你的证明过程． (3)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点M，使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（25-26八年级上·河南漯河·期末）【积累经验】我们在第十四章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图①，在中，，线段经过点，且与垂直并相交于点，与垂直并相交于点．求证：．”这个问题时，只要证明即可得到解决． （1）请写出证明过程： 【类比应用】（2）如图②，在平面直角坐标系中，为轴上一点，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； 【拓展提升】（3）如图③，在平面直角坐标系中，点，点均在小正方形网格格点上，以为一边构造等腰直角，请直接写出第一象限内满足条件的所有点的坐标． 10．（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，我们放置了一个，其三个顶点的坐标为，，．以此为基础，我们展开如下探究： 【初步感知】（1）直接写出的面积：______； 【深入探究】（2）如图1，在y轴上存在一点，请判断与的位置关系，并证明； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，若点为直线上的一个动点（不与，重合），连接，． ①如图2，当点在线段上运动时，请写出与，的数量关系，并证明； ②当点在射线或射线上运动时，①中的结论是否还成立？若成立，请选择一种情况说明理由；若不成立，请直接写出结论． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 图形与坐标 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求平面直角坐标系中点的坐标（常考点） 1 题型二、坐标系中的点所在的象限 5 题型三、根据点所在象限求参数 8 题型四、点到坐标轴及原点的距离计算 10 题型五、物体位置的确定 12 题型六、坐标系中的平移变换 14 题型七、坐标系中的对称变换 18 题型八、坐标系中的旋转变换 20 题型九、坐标系中图形变换综合（重点） 24 题型十、坐标系中的规律探究（难点） 33 题型十一、坐标系中图形的面积计算 40 题型十二、坐标确定实际位置 46 题型十三、坐标与几何综合（难点） 52 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求平面直角坐标系中点的坐标（常考点） 1．（25-26八年级上·四川成都·期中）若点在y轴上，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，点在y轴上，则横坐标为0． 根据在y轴上的点的坐标特征作答即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴横坐标， 解得， ∴纵坐标， ∴点A的坐标为． 故选：A． 2．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在长方形中，，，，则D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了“长方形的性质”“平行于坐标轴的点坐标特征”，通过图形特征，找到点之间的坐标关系是解题关键． 由长方形的条件可知，，，再根据A，B，C三点的坐标特征，找到点D的坐标即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵，，， ∴轴，轴， ∴轴，轴， ∴点D的横坐标等于点A的横坐标，点D的纵坐标等于点C的纵坐标， ∴． 故选： B． 3．点在x轴下方，y轴左侧，且，，则N点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点的坐标，根据点在x轴下方、y轴左侧判断出点N所在的象限，故可得出x，y的符号，由，求出x、y的值即可． 【详解】解：∵点在x轴下方、y轴左侧， ∴点N在第三象限， ∴． ∵， ∴， ∴点N的坐标为． 故选：A． 4．已知点，点，且轴，则m的值为 _____ ． 【答案】4 【分析】根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵点，点，且轴， ∴点A与点B的横坐标相等，即，解得：． 验证：当时，，点，两点横坐标相等，纵坐标不相等，即两点不重合，符合题意． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A，B的坐标分别为，点在x轴上，且．则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，即可求出结论． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为， ， ， ， ∴点的坐标为． 6．对于边长为的等边三角形，以为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，过点作于，由等边三角形的性质和勾股定理可得，，进而即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵是等边三角形，边长为，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，轴且，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解坐标与长度的关系． 过点作轴的垂线，交轴于点，分别求出、的长度即可． 【详解】解： 是等边三角形，， 如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点， 根据等边三角形的性质， ，， 由于轴， 则轴 轴， ， 则， 根据所对直角边等于斜边的一半， 可知， 根据勾股定理，有， 故点的坐标为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握点的坐标是解题的关键； （1）根据点P在y轴上可得，然后问题可求解； （2）由直线轴可知点P、Q的纵坐标相等，即，然后问题可求解． 【详解】（1）解：因为在轴上， 所以，所以， 所以， 所以． （2）解：因为，轴， 所以，所以， 所以， 所以． 9．在平面直角坐标系中，已知两点，若轴，点在第一象限，求的值，并确定的取值范围． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平面内点的坐标特点，根据在平面直角坐标系中与x轴平行的直线上的点，纵坐标相等，得出，求出；根据第一象限内点的坐标特点得出，求出． 【详解】解：∵轴， ， 解得：， 点在第一象限， ， 解得． 题型二、坐标系中的点所在的象限 10．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）若点在第三象限，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，解题的关键是掌握象限内点的坐标特征． 根据点A在第三象限，确定a和b的符号，再分析点B的坐标符号，从而判断所在象限． 【详解】解：∵ 点在第三象限， ∴， 对于点， ∵ ， ∴， 又∵, ∴ 点B的横坐标大于0，纵坐标小于0， ∴ 点B在第四象限． 故选：D． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的特征，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解题的关键，根据平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征，判断点的横纵坐标符号即可确定所在象限． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴点的横坐标为正数．纵坐标为负数． ∴点在第四象限， 故选：D． 12．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，点在轴下方，且，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查由点的坐标特征求所在象限，解题的关键是熟练掌握各象限的点的坐标特征． 由点在轴下方，可知点在第三象限或第四象限，由，可知横纵坐标同号，从而可确定点所在的象限． 【详解】解：∵点在轴下方， ∴点在第三象限或第四象限， ∵， ∴，同号， ∴点在第三象限， 故选：C． 13．若点在x轴上，则点在(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】该题考查了平面直角坐标系中点的特征，根据轴上点的纵坐标为0，求出的值，再代入点的坐标，根据坐标符号判断所在象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴点的坐标为，即， ∵点的横坐标和纵坐标均为负数， ∴点在第三象限． 故选：C． 14．在平面直角坐标系中，点在第二象限，到轴，轴的距离分别为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，根据第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数，以及点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值，进行解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数， 又∵点到轴，轴的距离分别为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点 的坐标为， 故答案为：． 15．若点与点的连线平行于轴，则a的值为____． 【答案】3 【分析】本题考查了坐标与图形性质，一元一次方程的应用，利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系，解题的关键是掌握平行于轴的直线上点的坐标特征． 根据平行于轴的直线上点的坐标特征得到，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵轴， ∴点和点的纵坐标相同， 即， ∴， 故答案为：3． 16．若，，则点在第_____象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点．牢记四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限，本题根据这些进行解答即可解决. 【详解】解：∵，， ∴，， ∴点在第二象限， 故答案为：二 题型三、根据点所在象限求参数 17．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则整数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 根据第四象限的点的横坐标大于0，纵坐标小于0，列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得 ， ∴整数的值为2． 故选D． 18．已知点在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，象限中点的符号问题，一元一次方程的应用． 根据第二象限点的横坐标是负数，纵坐标是正数，利用点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，列出方程求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，． ∵点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6， ∴， ∴， 解得：． 故选A． 19．在平面直角坐标系中，若点在第二象限内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，解一元一次不等式组，根据各象限内点的坐标的符号特征列不等式组是解题的关键． 根据平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，可得，解不等式组求出a的取值范围即可． 【详解】∵点在第二象限内， ∴， 解得：， 故选：A． 20．若点在轴上，则的值为 ______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，根据轴上的点纵坐标为列出方程解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为，即， 解得， 故答案为：． 21．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知线段，轴，若点P的坐标为，则点Q的坐标为__________． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了平行于y轴的直线上的点的坐标的特点，关键是熟练掌握平行于y轴的直线上的点的坐标的知识点，由于轴，点P和点Q的横坐标相同；再根据，利用两点间距离公式求解点Q的纵坐标． 【详解】解：∵轴， ∴ 点P和点Q的横坐标相同，即为7． 设点Q的坐标为． 又∵， ∴，即， ∴或， 解得或， 因此点Q的坐标为或． 故答案为：或． 22．（25-26八年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点在第一、三象限的角平分线上，则a的值________． 【答案】 【分析】本题主要考查点所在象限求参数，根据第一、三象限的角平分线上点的特征，横坐标与纵坐标相等，列出方程求解。 【详解】解：因为点在第一、三象限的角平分线上，所以横坐标等于纵坐标，即 . 解方程：， 移项得 ， 即 ， 所以 ， 故答案为：. 题型四、点到坐标轴及原点的距离计算 23．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，掌握点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值是解题的关键．已知点M在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，再根据到坐标轴的距离求坐标即可． 【详解】解：因为点M在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数， 又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4， 所以点M的坐标为． 故选：． 24．在平面直角坐标系中，第二象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为（   ） A． B．5 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求点到坐标轴的距离，已知点所在的象限求参数，结合点到y轴的距离是5，得，即可解出a的值． 【详解】解：∵第二象限内的点到y轴的距离是5， ∴， 解得 故选：A 25．已知点，则点到轴和轴的距离分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据到轴的距离是点的纵坐标的绝对值，到轴的距离是点的横坐标的绝对值解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， 故选：． 26．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点坐标是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标， 根据点P到两坐标轴的距离相等，可得横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，即，解方程求出a的值，再代入点P的坐标即可． 【详解】解：∵点P到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，点P坐标为； 当时，，点P坐标为. 故答案为：或． 27．已知平面直角坐标系中有两点、，且轴时，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．根据平行于轴的直线上点的坐标特征进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为点、，且轴， 所以， 解得． 故答案为：． 28．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，求点到轴的距离． 【答案】5 【分析】本题主要考查了在y轴上的点的坐标特点，点到坐标轴的距离，在y轴上的点的横坐标为0，由此求出x的值，则可求出的值，点到x轴的距离为该点的纵坐标的绝对值，据此可得答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点到轴的距离为． 题型五、物体位置的确定 29．如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置正确的是（   ） A．北偏东， B．北偏东， C．东偏北， D．东偏北， 【答案】B 【分析】本题考查了用方向和距离确定位置，根据方向角的定义解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴图书馆在小青家的北偏东方向的处． 故选：B． 30．按照下图的线段比例尺，轮船应该在灯塔的（   ）． A．北偏西千米处 B．北偏西千米处 C．北偏东千米处 D．西偏北千米处 【答案】A 【分析】本题考查运用方向角和距离表示点的位置，先计算轮船与灯塔的距离，然后根据图上方向“上北下南，左西右东”，可知轮船在灯塔北偏西的方向，依此解答即可． 【详解】解：由题意可知：轮船与灯塔的距离为(千米)；在灯塔北偏西的方向， 故答案为：A． 31．在图中，用坐标表示目标A，用坐标表示目标E，则目标C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有序数对表示位置，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键．根据位置的表示方法，第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数写出即可． 【详解】解：坐标表示目标A，用坐标表示目标E， ∴第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数， ∴表示为的目标是目标C． 故选：D． 32．下面能准确描述鞍山市地理位置的是（    ） A．在辽宁省 B．与辽阳相邻 C．东经 D．在沈阳市南偏西方向，与沈阳市直线距离约为处 【答案】D 【分析】本题主要考查了方位问题，解题的关键是掌握方位的要素．确定地理位置需结合方向、距离或相对位置等要素，根据要素逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 鞍山市属于辽宁省，但仅说明省份，描述不够具体，故不符合题意；   B. 鞍山与辽阳相邻正确，但未排除其他相邻城市，无法唯一确定位置，故不符合题意； C. 仅东经无法确定具体位置，需同时给出纬度，故不符合题意；   D. 以沈阳市为参照点，给出南偏西的方向及约的直线距离，精确描述了鞍山的位置，故符合题意。 故选：D． 33．若地在地的南偏东方向，距离地处，则地在地的__________方向，距离地__________处． 【答案】 北偏西 【分析】本题主要考查了用方位角加距离表示位置，根据方位角的相对性，地在地的南偏东方向，则地在地的相反方向，即北偏西方向，距离不变． 【详解】解：如下图所示， 地在地的南偏东方向，距离地处， 地在地北偏西方向，距离地处． 故答案为：北偏西，． 34．如图，请你为游客介绍动物园和迷宫所在的方位．动物园在大门的________方向上，迷宫在大门的________方向上． 【答案】 北偏东 北偏东 【分析】本题考查了方位角的知识，掌握方位角的定义以及角度的计算方法是解题的关键． 本题需要根据方位角的定义，结合图中给出的角度信息，确定动物园和迷宫相对于大门的方位． 【详解】①动物园：从图中可知，其在大门北偏东方向． ②迷宫：∵动物园北偏东，迷宫与动物园的夹角为 ∴从正北到迷宫的角度为 即在大门北偏东方向． 题型六、坐标系中的平移变换 35．点向右平移3个单位后，再向上平移3个单位得到的点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移中点的变化规律（横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减）进行求解． 【详解】解：点向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移个单位长度． 36．平面直角坐标系内，点沿轴方向平移6个单位后到点，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分向左和向右平移，可得坐标． 【详解】解：若向左平移， 则，即； 若向右平移， 则，即； 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化平移；用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 37．如图，四盏灯笼位置A、B、C、D坐标分别是，，，，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（    ）      A．将D向左平移4.5个单位 B．将C向左平移5.5个单位 C．将D向左平移3.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位 【答案】B 【分析】注意到，关于轴对称，只需要，对称即可，可以将点向左移动到，移动个单位，或可以将向左移动到，移动个单位． 【详解】解：，，，这四个点的纵坐标都是， 这四个点在一条直线上，这条直线平行于轴， ，， ，关于轴对称，只需要，对称即可， ，， 可以将点向左移动到，移动5.5个单位， 或可以将向左移动到，移动个单位， 故选：B． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，关于轴对称的点的坐标，注意关于轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变． 38．在平面直角坐标系中，的顶点，将平移得到，点A，B，C分别对应D，E，F，若点，则点F的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移变换，坐标与图形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据点A与点D的坐标得到平移规律，即可求出点F的坐标． 【详解】解：∵向右平移2个单位，向下平移1个单位得到， ∴向右平移2个单位，向下平移1个单位得到． 故选：B． 39．将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点向左平移个单位长度后点的坐标为，根据点在轴上知，据此知，再代入即可得． 【详解】解：将点向左平移个单位长度后点的坐标为 点在轴上， 即， 则点的坐标为． 故选：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．同时考查了轴上的点横坐标为的特征． 40．在平面直角坐标系中，将点先向左平移5个单位，再向上平移7个单位，则平移后的点在第___________象限． 【答案】二 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此即可求解． 【详解】解：将点先向左平移5个单位，再向上平移7个单位，则平移后的点的坐标为， 所以平移后的点在第二象限． 故答案为：二 41．如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为_____________，为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，根据点和点的坐标可以确定平移方式，再根据平移方式即可得到对应点坐标． 【详解】解：∵飞机P飞到的位置， ∴平移方式为向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点的坐标为，即，点的坐标为，即． 故答案为：，． 42．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，先根据点与其对应点的坐标确定平移规律，再将该平移规律应用到点，即可求出点的对应点的坐标． 【详解】解：由点平移得到点，可得横坐标的变化为，即向左平移1个单位，纵坐标的变化为，即向上平移5个单位． 根据平移的性质，线段平移时对应点的平移规律相同， 则点的对应点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标为． 43．如图，平面直角坐标系内有一条线段，，，若将线段平移至，则的值为_____． 【答案】3 【分析】本题考查平面直角坐标系中平移规律，解题的关键是熟练掌握在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据点的坐标的变化分析出的平移方法，再利用平移中点的变化规律算出a、b的值即可解答． 【详解】∵点平移后得到，点平移后得到， ∴点A横坐标从变为4，右平移了个单位， 点B纵坐标从变为，向上平移了个单位， ∵线段整体平移， ∴平移规律相同， ∴A点向上平移个单位，， 点向右平移个单位，， ∴， 故答案为：3． 题型七、坐标系中的对称变换 44．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， ∴点关于原点对称的点的坐标是， 故选：． 45．在平面直角坐标系中，点P，Q的坐标分别为，，则点P与点（  ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】A 【分析】该题考查了点的对称，关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点：横、纵坐标均互为相反数． 根据对称性的定义，分别判断点与点的坐标关系． 【详解】解：∵点与点的横坐标均为2，纵坐标与3互为相反数， ∴点P与点关于x轴对称， 故选：A． 46．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标；根据关于原点对称的点的坐标特征，得出，，由此可求解和的值，再计算即可求出． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得：，即． ，即． ∴． 因此，的值为4； 故选：A． 47．若点P在第四象限内，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标，关于原点对称的点的坐标，根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，求出点的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标横纵坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】解：设， ∵点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3， ∴，， ∴，， ∵点P位于第四象限， ∴，， ∴P点坐标为， ∴点关于原点对称的点的坐标是， 故选：B． 48．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征及有理数的乘方运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出和的值，进而求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数， ∴，， 则， ∴． 49．已知点与点，则这两个点关于______对称． 【答案】轴或原点 【分析】根据点与点的坐标，这两个点在轴上，并且到原点的距离相等，从而根据点的对称性得到答案． 【详解】解：点与点， 这两个点关于轴或原点对称， 故答案为：轴或原点． 【点睛】本题考查点的坐标特征，熟记点关于点对称、点关于线对称是解决问题的关键． 50．如图，在平面直角坐标系中，是轴对称图形，对称轴为直线，若点的坐标为，则点关于对称轴的对称点的坐标为_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称点坐标的特点，根据关于直线对称的两个点，纵坐标相等，横坐标之和为求解计算即可． 【详解】 ，，关于直线对称， ，解得， ． 故答案为：． 题型八、坐标系中的旋转变换 51．在平面直角坐标系中，将点绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，根据题意作轴，轴，证明出，得到，，，进而求解即可． 即可求解． 【详解】解：如图所示：作轴，轴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的坐标为， 故答案为：． 52．如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系，全等三角形的性质与判定；如图，过、两点分别作轴，轴的垂线，垂足为、，由旋转可知，，则，，由此确定点的坐标． 【详解】解：如图，过、两点分别作轴，轴的垂线，垂足为、， 线段绕点顺时针旋转， ， ，且，， ， ，， ， 故选D． 53．春节时人们爱用风车装饰景区．如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰的斜边，点绕点逆时针旋转后的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方逆时针，旋转角度，求坐标． 【详解】解：由已知，是等腰直角三角形，得点的坐标为，根据旋转中心，旋转方向逆时针，旋转角度，从而得坐标为． 54．如图，将先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转，得到，则点C的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形与坐标，涉及平移作图、旋转作图，根据题意，按要求作出图形，在平面直角坐标系中数形结合即可得到答案，熟练掌握平移作图、旋转作图是解决问题的关键． 【详解】解：将先向右平移个单位，再绕点按顺时针方向旋转，得到，如图所示： ， 故选：C． 55．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转作图，旋转性质，点的坐标，根据题意，建立平面直角坐标系，再结合旋转的性质，得出点的位置，最后读取点的坐标，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点B按顺时针方向旋转， ∴点A的对应点的坐标为， 故答案为：． 56．如图，顶点，，的坐标分别为，，，将绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是_________．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．根据成中心对称的图形的性质即可解决问题． 【详解】解：由题知，由绕原点旋转得到， 所以与关于坐标原点成中心对称， 则点与其对应点关于坐标原点对称． 又因为点坐标为， 所以点坐标为． 故答案为：． 57．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为__________ ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，写出直角坐标系中点的坐标，解题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心． 根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：如图，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 题型九、坐标系中图形变换综合（重点） 58．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，． (1)已知与关于轴对称，作出； (2)请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系、轴对称、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图， 由勾股定理可知，． 59．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出关于轴对称的图形． (2)若点与点关于轴对称，则点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为 【分析】此题主要考查了坐标与轴对称，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：∵，点与点关于轴对称， ∴点的坐标为． 60．（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出与关于轴对称的； (2)在图中画出与关于直线（直线上各点的横坐标都为）对称的； (3)的内部一点关于轴对称的点的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了画轴对称图形、坐标系中对称问题，熟练掌握对称的坐标变化特点是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标：横不变，纵相反确定坐标后，依次连接得到对称图形； （2）根据轴对称性质确定坐标后，依次连接得到对称图形； （3）根据关于y轴对称的点的坐标：纵不变，横相反确定坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作： （3）解：的内部一点关于轴对称的点的坐标为． 61．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕点顺时针旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析，点的坐标为 【分析】本题考查平面直角坐标系中的中心对称与旋转变换作图，核心知识点为：关于原点对称的点的坐标特征(横、纵坐标均为原坐标的相反数)． （1）先根据原点对称的坐标特征求出各顶点的对称点坐标，再顺次连接各对称点得到目标三角形； （2）利用顺时针旋转的坐标变换规律求出对应点、的坐标，最后顺次连接各点得到旋转后的三角形，并写出的坐标． 【详解】（1）解：作出关于原点对称的如图所示： （2）解：作出绕点顺时针旋转后的如图所示： 点的坐标为． 62．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出向上平移4个单位，再向右平移5个单位得到的； (2)作出点关于轴的对称点．若把点向右平移个单位长度后落在的内部(不包括顶点和边界)，请写出满足条件的的取值范围______； (3)在轴上画出点，使的值最小． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形平移、关于轴对称的点的坐标特征、平移后点的位置范围以及最短路径问题． （1）根据“上加下减纵坐标，右加左减横坐标”的平移规则，计算出各顶点平移后的坐标，再顺次连接即可得到平移后的图形； （2）先根据关于轴对称的点的坐标特征求出的坐标，再写出平移后点的坐标，结合的顶点坐标分析该点在内部时横坐标的范围，进而求解的取值范围； （3）利用将军饮马模型，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，此时的值最小，依据是两点之间线段最短． 【详解】（1）解：根据平移规则：向上平移4个单位则纵坐标加4，向右平移5个单位则横坐标加5． 点，平移后的坐标为； 点，平移后的坐标为； 点，平移后的坐标为； 顺次连接、、，得到如图所示： （2）解：点关于轴的对称点； 将向右平移个单位长度后得到的点坐标为； 要使该点落在的内部(不包括顶点和边界)，观察的顶点坐标、、： 当纵坐标为2时，内部的点横坐标需满足，解得； 故答案为：． （3）解：作点关于轴的对称点；连接，与轴交于点，点即为所求． 63．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是． (1)作出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得的值最小，请直接写出点P的坐标（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】（1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同得到点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）连接交y轴于点P，则此时的值最小，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：如图所示，点即为所求． 64．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)画出沿y轴向下平移5个单位长度后得到的； (3)若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换和平移变换，掌握轴对称变换和平移变换的性质是解题的关键． （1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）将的三个顶点分别向下平移5个单位长度，再首尾顺次连接即可； （3）根据轴对称和平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： （3）解：点经过第一次变换后的坐标为：， 再经过第二次变换后的坐标为：， ∴点的坐标是． 故答案为：． 65．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于y轴对称的，并直接写出、的坐标________； (2)在x轴上求作一点P，使的周长最小，请先在图上画出点P，并写出的周长是________．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)图见解析，， (2)图见解析， 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点的位置，然后顺次连接可得，然后写出的坐标即可； （2）找出点A关于x轴的对称点，连接与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P位置，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，，； （2）解：如图，点P即为所求， 的周长 ． 题型十、坐标系中的规律探究（难点） 66．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，边在轴正半轴上，，点在第一象限内，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形的旋转．根据题意，每次旋转，则旋转次回到原位，由知第2024次旋转后，图形回到原位，再由为等腰直角三角形，，知即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转，每次旋转， 则旋转次回到原位， ， 第2024次旋转后，图形回到原位， 为等腰直角三角形，，， ， 点的坐标为． 故选：B． 67．如图，长方形的各边分别平行于轴与轴，物体甲和物体乙从点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位长度／秒的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位长度／秒的速度匀速运动，则两个物体运动后的第2025次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点坐标规律探索；根据题意分别求出相遇的位置，找出规律，根据 ，得到两个物体运动后的第2025次相遇地点是在A点相遇，即可求出． 【详解】解：由题意得：长方形的边长为4和2， ∴长方形的周长为， ∵物体甲按逆时针方向以1个单位/秒的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒的速度匀速运动， ∴物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为， ∴第一次相遇物体甲与物体乙的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇； 第二次相遇物体甲与物体乙的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇； 第三次相遇物体甲与物体乙的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在A点相遇； ．．．， 每相遇三次，两点回到出发点， ∵， ∴两个物体运动后的第2025次相遇地点是在A点相遇；， ∴两个物体运动后的第2025次相遇地点的坐标是； 故选：B． 68．如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…按这样的规律，经过第2025次运动后，蚂蚁所在点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据前几次运动的坐标特点可得规律横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次，纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，据此求解即可． 【详解】解：第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， …， 以此类推可知，横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次， 纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次， ∵， ∴第2025次运动后，蚂蚁的横坐标为，纵坐标为 ∴第2024次的坐标是， 故选D． 69．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示的方向移动，并且每次移动1个单位长度，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标下点的规律探究．根据点的坐标抽象概括出相关规律是解题的关键． 通过点的坐标可以得到，，即可得到 ，再往下移动一个点即为． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴往下移动一个点即为 故选：D． 70．如图，已知，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】找出点的分布规律，然后进行求解． 【详解】解：由图可知点在平面直角坐标系中呈循环分布， 循环周期为4， ∴， ∴点位于第一象限， ∵ 点在循环在周期上， ∴点的坐标为． 71．如图，将一个台球桌面分成网格图，小球起始时位于处，击球使球沿图中箭头所指方向运动，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标位置，根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在的位置变化特点，即可得到小球第2026次碰到球桌边时小球的位置．解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：如图，小球起始时位于处， 小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是， …… ∵， ∴小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是， 故答案为：． 72．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后沿x轴向右滚动，第1次滚动使点A落在点的位置，第2次滚动使点A落在点的位置……，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点A的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2025次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 滚动5次后，； 滚动6次后，； 滚动7次后，； 滚动8次后，； ∴每滚动4次一个循环， ， ， ， 即， 故答案为：． 73．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】解：点C第1次关于y轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点在第三象限，坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点在第四象限，坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点在第一象限，坐标为， 即点C回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点C的对应点与第1次变换后的位置相同，在第二象限，坐标为． 74．（25-26九年级上·广东汕头·期中）如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形．作与关于点对称，再作与关于点对称，如此依次作下去，则顶点（n是正整数）的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，关于点对称的性质及坐标与图形变化．先求出的顶点的坐标，再根据中心对称的性质依次求出后面各点的坐标，找出规律，进而得到的顶点的坐标． 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形，，， ∴的横坐标为1，纵坐标为，即， 又∵与关于点对称，，， ∴的横坐标为3，纵坐标为，即， ∵与关于点对称，，， ∴的横坐标为5，纵坐标为，即， 观察可得，，横坐标依次增加4， ∴的横坐标为，纵坐标始终为，即． 故答案为：． 75．（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，已知点的坐标是，线段从原点出发后，在第一象限内按如下有规律的方式前行：，，，，，；则点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标，理解点A的横纵坐标与下标之间的关系是解题的关键．先得出，，，，，的坐标，当点的下标为偶数时，观察可得A的纵坐标的规律，然后确定A的横坐标与下标之间的关系即可求解． 【详解】解：由图可知：，，，，，，…， 由此发现： 的横坐标为：，纵坐标为：； 的横坐标为：，纵坐标为：； 的横坐标为：，纵坐标为：； …… ∴当点的下标为偶数时，横坐标为点的下标乘以，纵坐标为点的下标， ∴点的坐标是． 故答案为：． 题型十一、坐标系中图形的面积计算 76．（25-26八年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为； （2）解：． 77．把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)写出、、的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)15 【分析】（1）首先确定、、三点平移后的位置，再连接即可； （2）利用坐标系确定、、的坐标； （3）根据平行四边形的面积公式可得在平移过程中扫过的面积． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由图可得：； （3）解：， ， 在平移过程中扫过的面积为． 78．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在点，使得与全等，、和 【分析】本题主要考查了利用网格作轴对称图形，利用网格求出图形的面积，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用网格作轴对称图形即可； （2）利用网格求梯形的面积即可； （3）借助网格和全等三角形判定定理，求点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：存在，如图所示， 当，此时点； 当，此时点； 当，此时点； 则存在点，使得与全等，、和． 79．如图，已知点，，，求的面积． 【答案】3.5 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，能将的面积转化为与梯形的面积和减去的面积是解题的关键． 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，用与梯形的面积和减去的面积即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点． ，，， ，，，， ， ． 80．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在格点上，其中，点的坐标为，点的坐标为． (1)填空：点的坐标是________，点的坐标是________． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据点在坐标系中的位置，写出对应点坐标即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，点的坐标是，点的坐标是； （2）解：四边形的面积 81．如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)请作出关于x轴对称的，则坐标为______； (2)若点P为y轴上一点，且的面积为10，求出点P的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到A、B、C三点的关于x轴的对称点的坐标，依次连接这三个点即可得到所求作的三角形； （2）设点的坐标为，则，根据点到轴的距离为4，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则坐标为； （2）解：∵点为轴上一点， ∴设点的坐标为， 在中， ∴，点到轴的距离为， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴满足条件的点的坐标为或． 82．把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)在平移过程中，线段扫过的面积为_____； (3)点在轴上，且三角形与三角形面积相等，请直接写出点的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)15 (3)或 【分析】本题考查作图平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）直接求出四边形的面积即可． （3）设点的坐标为，根据题意可列方程为，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求． （2）解：在平移过程中，线段扫过的面积为． 故答案为：15． （3）解：或．设点的坐标为， 三角形与三角形面积相等， ， 解得或4， 点的坐标为或． 故答案为：或． 题型十二、坐标确定实际位置 83．下图是一个动物园游览示意图，以南门为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向． (1)请按要求建立平面直角坐标系． (2)写出图中动物园四个游览位置的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)马，狮子，飞禽，两栖动物 【分析】此题主要考查平面直角坐标系中点坐标的相关知识，正确的建立坐标系是解答的关键． （1）根据题意建立平面直角坐标系即可； （2）再根据平面直角坐标系直接写出四个景点位置的坐标即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． （2）解：由平面直角坐标系可得， 马，狮子，飞禽，两栖动物． 84．（25-26八年级上·浙江台州·期末）台州轨道交通实现了从无到有，畅通了城市发展脉络，逐步融入台州市民生活．下图是台州轨道交通线网图（部分）示意图，图中每个小正方形边长均为1个单位长度．若泽国站的坐标为，城南站的坐标为，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)温岭第一人民医院站的坐标为_______，万昌路的坐标为________； (3)若泽国站在万昌路站的北偏西方向上，则万昌路站在泽国站的什么方向上？ 【答案】(1)见详解 (2)， (3)南偏东 【分析】该题考查了平面直角坐标系、方位角，解题的关键是正确建立合适的平面直角坐标系． （1）泽国站的坐标为，城南站的坐标为，建立坐标系即可； （2）根据（1）中坐标系描点即可； （3）由泽国站在万昌路站的北偏西方向上，结合题干图片求解即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：温岭第一人民医院站的坐标为，万昌路的坐标为， 故答案为：，． （3）解：∵泽国站在万昌路站的北偏西方向上， ∴万昌路站在泽国站的南偏东方向上． 85．为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”，B组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为描述集合地点，同学们想出不同的方法． (1)小文同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图1中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：______； (2)小化同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，记为（南偏东，），进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为______． 【答案】(1)见解析， (2)（北偏东，） 【分析】本题考查建立平面直角坐标系，写平面直角坐标系中点的坐标，用方向角和距离表示物体的位置．熟练掌握用有序数对表示位置是解题的关键． （1）根据文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．画出x轴与y轴，再根据大宋校场的位置写出其坐标即可； （2）测出表示北方的线与连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段的夹角和连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段长度即可求解． 【详解】（1）解：如图所示建立平面直角坐标系，大宋校场的坐标为． （2）解：由图测得：表示北方的线与连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段的夹角为，连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段长度为． ∴大宋校场的位置记为（北偏东，）． 故答案为：（北偏东，）． 86．你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格（设每个网格的边长为1）的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色的5个棋子先排成一条直线（横、竖、斜均可）就算获胜．如图，是两位同学正在玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)在坐标系中找出坐标为的棋子，并在棋子上用数字3表示出来； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标； (4)求标有数字1，4，5的三枚棋子围成的三角形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)，表示见详解 (3)或 (4) 【分析】本题考查了坐标系的建立，利用坐标确定位置，确定坐标轴的位置是解题的关键． （1）根据白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为即可建立坐标系； （2）在坐标系中找到点即可； （3）根据比赛规则，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜，即可找出黑棋要放置的位置坐标． （4）根据图形可得三角形的底边和高的长度，利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系； （2）解：坐标为的棋子如图所示； （3）解：要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为或； （4）解：棋子1，4，5构成的三角形的面积为． 87．中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点、处． (1)如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为__________，点的坐标为__________，点的坐标为__________． (2)若“马”的位置在点，为了到达点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示． 【答案】(1)，， (2)图见解析，． 【分析】此题考查坐标确定位置，能够将实际问题转化为平面直角坐标系中点的关系是解题的关键． （1）由“相”与“帅”的坐标，可得到答案； （2）路线不唯一，标出一种即可． 【详解】（1）解：如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，， （2）如图， 路线为：． 88．如图为某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图，敌方战舰A，B，C分别用三点A，B，C表示，小岛用H表示． (1)对于我方潜艇O来说：北偏东方向上的目标是______，______．要确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？______； (2)距离我方潜艇20海里的敌方战舰有______； (3)要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：______和______．对于我方潜艇O来说：敌方战舰A在______方向，距离为______；敌方战舰B在______方向，距离为______；敌方战舰C在______方向，距离为______． 【答案】(1)敌方战舰，小岛，的距离 (2)敌方战舰 (3)方向角，距离，正南，20海里，北偏东，30海里，正东，20海里 【分析】（1）根据题意，我方潜艇O来说：北偏东方向上的目标是敌方战舰，小岛．要确定敌方战舰B的位置，还需要知道两舰之间的距离的长度解答即可； （2）根据比例尺，测量计算，得到距离我方潜艇20海里的敌方战舰有正东方向20海里的敌方战舰C和正南20海里的敌方战舰A； （3）要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：方向角和距离．对于我方潜艇O来说：敌方战舰A在正南方向，距离为20海里；敌方战舰B在北偏东方向，距离为30海里；敌方战舰C在正东方向，距离为20海里． 本题考查了位置的确定，方向角和距离是确定位置的一种重要方式，熟练掌握是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，我方潜艇O来说：北偏东方向上的目标是敌方战舰，小岛．要确定敌方战舰B的位置，还需要知道两舰之间的距离的长度， 故答案为：敌方战舰，小岛，的距离． （2）解：根据比例尺，测量计算，得到距离我方潜艇20海里的敌方战舰有正东方向20海里的敌方战舰C和正南20海里的敌方战舰A， 故答案为：敌方战舰． （3）解：要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：方向角和距离． 对于我方潜艇O来说：敌方战舰A在正南方向，距离为20海里；敌方战舰B在北偏东方向，距离为30海里；敌方战舰C在正东方向，距离为20海里． 故答案为：方向角，距离，正南，20海里，北偏东，30海里，正东，20海里． 题型十三、坐标与几何综合（难点） 89．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．现将线段向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像是线段，连接，． (1)点D的坐标为______； (2)在y轴上存在一点P，连接，，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）根据平移方式结合平移的性质可得点D的坐标； （2）利用三角形的面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：将点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的点D的横坐标为，纵坐标为，即； （2）设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或． 90．在平面直角坐标系中，点，点，其中． (1)如图1，若，求m的值． (2)如图2，点P是x轴正半轴上一点，，交y轴于点D，于点C，求的值．(用含m的式子表示) 【答案】(1) (2)m 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质，关键是根据题意作出辅助线，求出点P的坐标． （1）首先判断出，然后根据，判断出的关系，即可求出m的值是多少． （2）如图 2 ，连接．作轴交于点．证明，得出，作轴于点轴于点，证明，得出．根据等面积法求出，再表示出，勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵点，点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点，点， ∴，， ∴ ， ∴． （2）解：如图 2 ，连接． ， ， 作轴交于点． 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 作轴于点轴于点， 则， 又， ∴， ． ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 91．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，．    (1)求点的坐标； (2)设为轴上的一点，若，试求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查坐标与图形，掌握数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据，进行求解即可； （2）设，根据列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，则：， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴或． 92．如图所示，在平面直角坐标系中，． (1)点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的正半轴上，且． ①求证：； ②求的值． (2)点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的负半轴上，且，求的值． 【答案】(1)①见解析；②10 (2)10 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． （1）①过点作轴于，作轴于，根据点的坐标可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据垂直的定义证明； ②根据全等三角形对应边相等可得，再表示出，然后列出方程整理即可得解； （2）根据全等三角形对应边相等可得，再表示出，然后列出方程整理即可得解； 【详解】（1）①证明：如图，过点作轴于，作轴于， ， ， ， 在和， ， ， ， ， ． ②解：∵， ， ， ． （2）解：如图，过点作轴于，作轴于， 同理得， ， ， ， ． 93．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒． (1)求、的长； (2)连接，设的面积为S，用含t的式子表示S； (3)过点P作直线的垂线，垂足为D，直线与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了非负数的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用非负数的性质求出m，n的值即可； （2）利用三角形面积公式求解； （3）只要，即可求证，推出或，可得结论． 【详解】（1）解： 即， ，， ，， ，， 点，点， ，； （2）解：连接，t秒后，，， ； （3）解：存在． ∵， ∴， ∴，，， ， 只要，即可求证， 或， 或． 94．平面直角坐标系中，，分别在轴正半轴和轴负半轴上，在第二象限，满足：，． 已知． (1)求，的坐标； (2)求点的坐标； (3)已知是轴的正半轴上一点，，在第一象限，，，连接交轴于点，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可得出答案； （2）过点C作轴于F，证明，得出，，根据点C在第二象限，求出即可； （3）过点E作轴于G，证明，得出，证明，得出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴，． （2）解：过点C作轴于F，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵点C在第二象限， ∴． （3）解：过点E作轴于G， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴． 在和中 ， ∴． ∴． 95．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设，且． (1)直接写出的度数； (2)如图，点为的中点，点为轴负半轴上一点，以为边作等边三角形，连接并延长交轴于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 证，在轴的正半轴上取点，使，连接，再证是等边三角形，则可得出结论； （2）连接，证明 ，得，再证为等边三角形，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在轴负半轴上， ，， ， 或， ， ， ， ， 在轴的正半轴上取点，使，连接，如图所示： 点在轴正半轴上， ， ， 又， ， ， 是等边三角形， ； （2）连接，如图所示： 是等边三角形， ，， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， ， 为等边三角形， ， ． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 2．（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点，连接，根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，结合已知可得出C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，根据中点坐标公式求出点C的坐标，然后根据平移规律求解即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵将线段沿射线方向平移得到线段， ∴C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵，，点为中点， ∴，即， ∴，即． 3．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是______．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的位置，三角形面积公式，由，，得，又的面积为，可得，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标可以是， 故答案为：．（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系中，的三个顶点都在网格点上，其中点的坐标是． (1)在图中，将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到． 画出平移后的； 如果将以上的二次平移看作是由向方向的一次平移，则平移距离为______； (2)作出关于原点的中心对称图形； 写出的坐标为______； (3)画出以点，，，为顶点且周长最小的平行四边形，此时点的坐标为______． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； (3)图见解析， 【分析】（1）①根据平移的性质作图即可． ②利用勾股定理计算即可． （2）①根据中心对称的性质作图即可． ②由图可得答案． （3）结合平行四边形的判定与性质画图，即可得出答案． 【详解】（1）解：①如图，即为所求． ②由勾股定理得，， 平移距离为． 故答案为：． （2）解：①如图，即为所求． ②由图可得，的坐标为． 故答案为：． （3）解：如图，平行四边形即为所求． 由图可得，此时点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-旋转变换、平行四边形的判定与性质、勾股定理、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． 5．（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出向下平移5个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3) 【分析】本题主要考查了作图——轴对称变换，平移变换，平行四边形的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出，并写出点的坐标； （2）根据平移的性质，即可画出，并写出点的坐标； （3）先证明四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 根据图像可知，； （2）解，如图所示，即为所求， 根据图像可知，； （3）解：由题意可知，，， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积． 6．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P在第一象限，且点P到y轴的距离等于2，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第一象限内的点的坐标特点，在x轴上的点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键． （1）在x轴上的点的纵坐标为0，据此求解即可； （2）第一象限内的点的横纵坐标都为正，点到y轴的距离为该点的横坐标的绝对值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点P在第一象限， ∴， ∴， ∵点P到y轴的距离等于2， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，补充原点O和y轴； (2)写出黑棋③和白棋④的坐标； (3)五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)黑③坐标为，白④坐标为 (3)或 【分析】（1）根据白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为即可建立坐标系； （2）由坐标系直接得出坐标； （3）根据比赛规则，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜，即可找出黑棋要放置的位置坐标． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系： （2）结合（1），可知黑③坐标为，白④坐标为； （3）要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标系的建立，利用坐标确定位置，确定坐标轴的位置是解题的关键． 8．（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且a，b满足，将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为． (1)点A的坐标为_______，点B的坐标为_______，点B平移后的对应点C的坐标为_______； (2)已知线段与x轴交于点．若点P是线段右侧x轴上的一动点，连接平分交于点F，请仅就图1思考，，之间有什么样的数量关系，并写出你的证明过程． (3)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点M，使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)存在，点M的坐标为或． 【分析】本题主要考查了非负数的应用，点的坐标的特征，平移的性质，平行线的性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用非负数的性质求得a，b的值，再利用平移的性质解答即可得出结论； （2）证明轴得，证明轴得．根据平分得，由可得结论； （3）求出四边形的面积为12，设交y轴于点N，运用面积法求出．再分点M在点N上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为 ∴点的坐标为， 故答案为：；；； （2）解：． 证明：∵，， ∴轴， ∴， ∵CD是由AB平移得到的， ∴． ∴轴， ∴． ∴ ∵平分， ∴． ∵， ∴， 整理得：． （3）解：存在，点M的坐标为或． 根据题意得，向上平移了3个单位长度． ∵，， ∴， ∴四边形的面积为． 设交y轴于点N，， 则， 解得，即． 当点M在点N上方时，，则； 当点M在点N下方时，，则． 9．（25-26八年级上·河南漯河·期末）【积累经验】我们在第十四章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图①，在中，，线段经过点，且与垂直并相交于点，与垂直并相交于点．求证：．”这个问题时，只要证明即可得到解决． （1）请写出证明过程： 【类比应用】（2）如图②，在平面直角坐标系中，为轴上一点，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； 【拓展提升】（3）如图③，在平面直角坐标系中，点，点均在小正方形网格格点上，以为一边构造等腰直角，请直接写出第一象限内满足条件的所有点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或； 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质：（1）根据，得到，从而得到，根据得到，从而得到，结合即可得到即可得到证明；（2）过点C作x轴平行线交y轴于点D，过点A作于E，同（1）证明即可得到答案；（3）根据全等两直角三角形拼凑，分直角边斜边两类直接作图即可得到答案； 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ∴， ∴，； （2）解：如图所示，过点C作x轴平行线交y轴于点D，过点A作于E， 同（1）理可得， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵轴，，， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：根据模型可得， 当以为直角边，B为连接点，如图所示， 当以为直角边，A为连接点，如图所示， 当以为斜边，如图所示， ∴点C为：或或． 10．（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，我们放置了一个，其三个顶点的坐标为，，．以此为基础，我们展开如下探究： 【初步感知】（1）直接写出的面积：______； 【深入探究】（2）如图1，在y轴上存在一点，请判断与的位置关系，并证明； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，若点为直线上的一个动点（不与，重合），连接，． ①如图2，当点在线段上运动时，请写出与，的数量关系，并证明； ②当点在射线或射线上运动时，①中的结论是否还成立？若成立，请选择一种情况说明理由；若不成立，请直接写出结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）①，证明见解析；②①中的结论不成立，结论应该为或 【分析】（1）直接根据三角形的面积公式计算即可； （2）如图所示，过点B作于点F，证明出，得到，即可证明； （3）①当点在线段上运动时，过点作，利用平行传递性得到，再根据平行线的性质即可解答；②分类讨论：当点在射线上运动或点在射线上运动，过点作，利用平行线的性质探究即可得到对应的角度关系． 【详解】解：（1） ，，， ，点到的距离为， ； （2）； 证明：如图所示，过点B作于点F ∵，，， ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ； （3）①当点在线段上运动时，与，的数量关系为，证明如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； ②当点在射线或射线上运动时，①中的结论不成立，结论应该为或，理由如下： I．如下图，当点在射线上运动时，过点作， ， ， ，， ； II．如下图，当点在射线上运动时，过点作， ， ， ，， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $