专题04 图形与坐标（计算题专项训练）数学湘教版新教材八年级下册

专题04 图形与坐标（计算题专项训练） 【适用版本：湘教版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 点的坐标相关计算 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．设M（a，b）为平面直角坐标系中的点． （1）当a＞0，b＜0时，点M位于第几象限？ （2）当ab＞0时，点M位于第几象限？ （3）当a为任意实数，且b＜0时，点M位于何处？ 【解答】解：（1）∵a＞0，b＜0， ∴点M在第四象限； （2）∵ab＞0， ∴a＞0、b＞0或a＜0、b＜0， ∴点M在第一象限或第三象限； （3）因为a为任意有理数，b＜0，所以点M位于x轴下方，即点M位于第三、四象限或y轴负半轴上． 2．在平面直角坐标系中，分别根据下列条件，求出各点的坐标． （1）点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度； （2）点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度； （3）点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度； （4）点E在x轴下方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度． 【解答】解：（1）∵点A在y轴上， ∴点A的横坐标为0， 而点A位于原点上方，距离原点2个单位长度， ∴点A的纵坐标为2， ∴点A的坐标为（0，2）； （2）点B在x轴上， ∴点B的纵坐标为0， 而点A位于原点右侧，距离原点1个单位长度， ∴点B的横坐标为1， ∴点B的纵坐标为（1，0）； （3）∵点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度， ∴点C的坐标为（2，2）； （4）∵点E在x轴下方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度， ∴点E的坐标为（4，﹣2）． 3．已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m﹣1，5﹣2m）． （1）若点Q的坐标为（5，13）且PQ∥y轴，求点P的坐标； （2）若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 【解答】解：（1）∵PQ∥y轴， ∴点P与点Q的横坐标相等， 即m﹣1＝5， 解得m＝6， 将m＝6代入5﹣2m得5﹣2×6＝5﹣12＝5﹣12＝﹣7， ∴点P的坐标为（5，﹣7）； （2）∵点P到两坐标轴的距离相等， ∴根据坐标的性质得，|m﹣1|＝|5﹣2m|， 根据题意，分两种情况讨论： ①当m﹣1＝5﹣2m时，解得m＝2， 将m＝2代入点P的坐标表达式得（2﹣1，5﹣2×2）＝（1，1）； ②当m﹣1＝﹣（5﹣2m）时， 解得m＝4， ∴5﹣2×4＝﹣3，4﹣1＝3， P点坐标为（3，﹣3）； 综上所述，点P的坐标为（1，1）或（3，﹣3）． 4．已知平面直角坐标系中有一点N（n+2，2n﹣3）． （1）若点N在x轴上，求此时点N的坐标； （2）若点N在过点A（2，8）且与y轴平行的直线上，求此时n的值； （3）若点N到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点N的坐标． 【解答】解：（1）∵点N（n+2，2n﹣3），点N在x轴上， ∴2n﹣3＝0， ∴n＝1.5， ∴n+2＝3.5， 即此时点N的坐标为（3.5，0）； （2）∵点N（n+2，2n﹣3），点N在过点A（2，8）且与y轴平行的直线上， ∴n+2＝2， ∴n＝0， 即此时点n的值为0； （3）∵点N（n+2，2n﹣3），点N到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴|n+2|＝|2n﹣3|， 解得n＝5或n， 当n＝5时，n+2＝7，2n﹣3＝7， 当n时，n+2，2n﹣3， 由上可得，点N的坐标为（7，7）或（，）． 5．已知点P（2m+4，m﹣1），请分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点Q的坐标是（2，﹣3），PQ∥y轴； （2）点P在第一、三象限的角平分线上． 【解答】解：（1）因为点P坐标为（2m+4，m﹣1），点Q坐标为（2，﹣3），且PQ∥y轴， 所以2m+4＝2， 解得m＝﹣1， 则m﹣1＝﹣2， 所以点P的坐标为（2，﹣2）． （2）因为点P在第一、三象限的角平分线上， 所以2m+4＝m﹣1， 解得m＝﹣5， 则2m+4＝﹣6，m﹣1＝﹣6， 所以点P的坐标为（﹣6，﹣6）． 6．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（2a﹣2，a+5）． （1）若点Q的坐标为（4，5），且直线PQ∥y轴，求点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的值． 【解答】解：（1）∵直线PQ∥y轴，P（2a﹣2，a+5），Q（4，5）， ∴2a﹣2＝4， 解得a＝3， ∴a+5＝8， ∴点P的坐标为（4，8）； （2）∵点P（2a﹣2，a+5）到x轴、y轴的距离相等，且在第二象限， ∴﹣（2a﹣2）＝a+5， 解得a＝﹣1， 即a的值为﹣1． 7．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3﹣a，3a），把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． （1）若a＝5，求mn的值； （2）若a＞3，m+n＝21，求点A的坐标． 【解答】解：（1）当a＝5时，3﹣a＝﹣2，3a＝15， ∴点A的坐标为（﹣2，15）， ∴m＝15，n＝2， ∴mn＝15×2＝30； （2）当a＞3时，m＝|3a|＝3a，n＝|3﹣a|＝a﹣3， ∵m+n＝21， ∴3a+a﹣3＝21， 解得：a＝6， ∴3﹣a＝﹣3，3a＝18， ∴点A的坐标为（﹣3，18）． 8．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m﹣6，4﹣2m）． （1）若点A在第二、四象限的角平分线上，求点A的坐标； （2）若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为6，求点A的坐标． 【解答】解：（1）根据题意可知，m﹣6+4﹣2m＝0， 解得：m＝﹣2． ∴m﹣6＝﹣8，4﹣2m＝8． ∴点A的坐标为（﹣8，8）； （2）根据题意可知，m﹣6＜0，4﹣2m＜0， ∵点A到两坐标轴的距离之和为6， ∴|m﹣6|+|4﹣2m|＝6﹣m+2m﹣4＝6， 解得：m＝4， ∴m﹣6＝﹣2，4﹣2m＝﹣4， ∴点A的坐标为（﹣2，﹣4）． 9．已知点P（2a﹣3，a+6）． （1）点Q的坐标为（3，3），直线PQ∥y轴，求出点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2025+2025的值． 【解答】解：（1）∵点Q坐标为（3，3），且PQ∥y轴， ∴2a﹣3＝3， 解得a＝3， ∴a+6＝9， ∴点P的坐标为（3，9）； （2）∵点P在第二象限， ∴2a﹣3＜0，a+6＞0， 又∵点P到x轴和y轴的距离相等， ∴﹣2a+3＝a+6， 解得a＝﹣1， ∴a2025+2025＝（﹣1）2025+2025＝2024． 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2+a，2a﹣6）． （1）若点A在y轴上，求点A的坐标； （2）点A的纵坐标比横坐标大3，求点A的坐标； （3）若点B（2，14），直线AB∥x轴，求a的值； （4）若点A在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求a的值； （5）点C的坐标为（4，b+1），若直线AC∥y轴，且线段AC的长为5，求b的值及点C的坐标． 【解答】解：（1）由题意得：2+a＝0， ∴a＝﹣2， ∴A的坐标为（0，﹣10）； （2）由题意得：2a﹣6＝2+a+3， ∴a＝11， ∴A的坐标为（13，16）； （3）由题意得：2a﹣6＝14， ∴a＝10； （4）∵点A（2+a，2a﹣6）在第四象限， ∴2+a＞0，2a﹣6＜0， ∵点A到两坐标轴距离之和为9， ∴|2+a|+|2a﹣6|＝9， ∴2+a+6﹣2a＝9， ∴a＝﹣1； （5）∵点A的坐标为（2+a，2a﹣6），点C的坐标为（4，b+1），直线AC∥y轴， ∴2+a＝4， ∴a＝2， ∴A的坐标为（4，﹣2）， ∵AC＝5， ∴C的坐标为（4，﹣7）或（4，3）， ∴b+1＝﹣7或b+1＝3， ∴b＝﹣8或2． 训练2 坐标与平移 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位，再向左平移3个单位，得到的对应点P′的坐标是　 　 ． 【解答】解：将点P（3，1）向下平移2个单位，再向左平移3个单位，得到的对应点P′的坐标是（3﹣3，1﹣2），即（0，﹣1）． 故答案为：（0，﹣1）． 2．在平面直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝　 　 ． 【解答】解：∵把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B， ∴点B为（m+1，5）， ∵点B的横坐标和纵坐标相等时， ∴m+1＝5， ∴m＝4． 故答案为：4． 3．将点P（m+1，n﹣2）向上平移3个单位长度，得到点Q（2，1﹣n），则点A（m，n）坐标为　 　 ． 【解答】解：由题知， 将点P（m+1，n﹣2）向上平移3个单位长度后，所得点的坐标可表示为（m+1，n+1）， 因为平移后所得点Q的坐标为（2，1﹣n）， 所以m+1＝2，n+1＝1﹣n， 解得m＝1，n＝0， 所以点A的坐标为（1，0）． 故答案为：（1，0）． 4．在平面直角坐标系中，线段AB的两端点坐标分别为A（﹣2，3），B（1，﹣1），将线段AB平移后，点A的对应点A′的坐标为（3，3），则点B的对应点B′的坐标为　 　 ． 【解答】解：∵线段AB的两端点坐标分别为A（﹣2，3），B（1，﹣1），将线段AB平移后，点A的对应点A′的坐标为（3，3）， ∴3﹣（﹣2）＝5，3﹣3＝0， ∴线段AB向右平移5个单位， ∴点B的对应点B′的坐标为（1+5，﹣1），即（6，﹣1）． 故答案为：（6，﹣1）． 5．如图，第一象限内有两点P（m﹣5，n），Q（m，n﹣4），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是　 　 ． 【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′． 分两种情况：点P（m﹣5，n），Q（m，n﹣4）， ①P′在y轴上，Q′在x轴上； 则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0， ∴n﹣n+4＝4， ∴点P平移后的对应点的坐标是（0，4）； ②P′在x轴上，Q′在y轴上． 则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0， ∴m﹣5﹣m＝﹣5， ∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣5，0）； 综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，4）或（﹣5，0）． 故答案为：（0，4）或（﹣5，0）． 6．已知点M的坐标为（x，y）（y＞0），点N的坐标为（8，z），且|x﹣3|+（y﹣z）2＝0，将线段MN向上平移y个单位长度，其扫过的面积为20，则x﹣2y+z的值为　 　 ． 【解答】解：∵|x﹣3|+（y﹣z）2＝0， ∴x﹣3＝0，y﹣z＝0， 则x＝3，y＝z． ∵将线段MN向上平移y个单位长度，其扫过的面积为20， ∴（8﹣3）×y＝20， 解得y＝4， ∴z＝y＝4， ∴x﹣2y+z＝3﹣2×4+4＝﹣1． 故答案为：﹣1． 7．已知点P（0，﹣4），Q（6，1），将线段PQ平移至P1Q1，点P，Q的对应点分别为点P1，Q1，若P1（m，﹣3），Q1（3，n），则m﹣n的值是　 　 ． 【解答】解：根据题意可知， 解得：m＝﹣3，n＝2， ∴m﹣n＝﹣5， 故答案为：﹣5． 8．如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，AB∥x轴，AC∥y轴，且AB＝4，AC＝3．P（a，b）为三角形ABC内一点，将三角形ABC平移，当平移后得到的三角形A1B1C1的一顶点落在原点上时，点P的对应点P1的坐标为（a﹣6，b﹣4），则点A的坐标为 　 　 ． 【解答】解：由题知， 因为点P（a，b）平移后对应点P1的坐标为（a﹣6，b﹣4）， 所以是向左平移6个单位长度，向下平移4个单位长度． 当平移后点A的对应点在原点处时， 点A的坐标为（6，4）． 当平移后点B的对应点在原点处时， 点B的坐标为（6，4）， 则点A的坐标为（2，4）． 当平移后点C的对应点在原点处时， 点C的坐标为（6，4）， 则点A的坐标为（6，1）． 故答案为：（6，4）或（2，4）或（6，1）． 9．△ABC在经过某次平移后，某点A（﹣1，2）的对应点为A1（2，﹣3），若此三角形内任意一点P（a，b）经过此次平移后对应点P1（c，d），则a+b﹣c﹣d的值为　 　 ． 【解答】解：由A（﹣1，2）平移后对应点A1的坐标为（2，﹣3）知，先向右平移3个单位，再向下平移5个单位， 所以c＝a+3，d＝b﹣5， 即a﹣c＝﹣3，b﹣d＝5， 所以a+b﹣c﹣d＝﹣3+5＝2． 故答案为：2． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，且OB＝2OA，点P（m，m+1）在△ABC的内部，将点P向下平移3个单位长度后，点P的对应点P′恰好与点A重合，若将△ABC按同样方式平移，则点B的对应点B′的坐标是　 　 ． 【解答】解：由题知， 因为点P坐标为（m，m+1），且将点P向下平移3个单位长度后，点P的对应点P′恰好与点A重合， 所以m+1＝3， 解得m＝2， 则点P坐标为（2，3）， 所以点A坐标为（2，0）． 又因为OB＝2OA， 所以OB＝2×2＝4， 则点B坐标为（0，4）， 所以将点B向下平移3个单位长度后，所得点B′的坐标为（0，1）． 故答案为：（0，1）． 训练3 知坐标求面积 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在平面直角坐标系中，三角形OAB的顶点A、B的坐标分别为（3，2），（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点C的坐标为（3，0），求四边形OADE的面积． 【解答】解：∵三角形OAB的顶点A、B的坐标分别为（3，2），（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点C的坐标为（3，0）， ∴AD∥OE， ∴E（7，0），D（6，2），四边形OADE是梯形， ∴AD＝3，OE＝7， ∴S四边形OADE（AD+OE）•yA（3+7）×2＝10． 故答案为：10． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，将折线ABC向右平移得到折线DEF，求折线ABC在平移过程中扫过的面积． 【解答】解：∵折线ABC向右平移得到折线DEF， ∴四边形ABED和四边形BCFE都为平行四边形， ∴折线ABC在平移过程中扫过的面积＝S▱ABED+S▱BCFE＝AO•BE+CO•BE＝BE（AO+CO）＝BE•AC＝[3﹣（﹣1）]×[2﹣（﹣1）]＝12． 故答案为：12． 3．（1）如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：A（2，0），B（1，3），C（﹣2，﹣2），D（1，﹣2）； （2）按次序A→B→C→DA将所描出的点用线段连接起来，看看得到的是什么图形； （3）计算所得到的图形面积． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中描出点A（2，0），B（1，3），C（﹣2，﹣2），D（1，﹣2）如图； （2）按次序A→B→C→DA将所描出的点用线段连接起来得到的是四边形； （3）S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD10． 4．如图，已知点A（2，3），B（﹣3，0），C（4，0）是平面直角坐标系内的三点，求三角形ABC的面积． 【解答】解：过点A作AD⊥x轴，交x轴于点D， ∵A（2，3），B（﹣3，0），C（4，0）， ∴AD＝3，BC＝7， ∴． 5．如图中的四边形ABCD， （1）请建立恰当的平面直角坐标系，在平面直角坐标系中标出这个四边形各顶点的坐标； （2）计算它的面积． 【解答】解：取点E为坐标原点，使AB在x 轴上，建立平面直角坐标系如图， 则A（﹣1，0），B（2，0），C（2.5，1.5），D（0，3.5）， 连接OC，． 6．在直角坐标系中，已知A（﹣3，4），B（﹣1，﹣2），O（0，0），画出三角形并求三角形AOB的面积． 【解答】解：△AOB如图； 作出长方形ACDE， 长方形ACDE的面积＝6×3＝18 △ACB的面积6×2＝6， △AOE的面积4×3＝6， △BOD的面积1×2＝1， ∴△AOB的面积＝18﹣6﹣6﹣1＝5． 答：三角形AOB的面积为5． 7．如图，已知四边形ABCD． （1）写出点A，B，C，D的坐标； （2）试求四边形ABCD的面积．（网格中每个小正方形的边长均为1） 【解答】解：（1）A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2），D（1，2）； （2）S四边形ABCD＝3×3+21×32×4＝16． 8．在如图所示的平面直角坐标系中描出A（﹣1，0），B（5，0），C（2，3），D（0，3）四点，并依次连接A、B、C、D、A，得到一个什么图形？求出这个图形的面积． 【解答】解：如图： ∵A（﹣1，0），B（5，0），C（2，3），D（0，3）， ∴CD∥AB，CD＝2，AB＝6，DO＝3， ∴四边形ABCD是梯形， ∴S梯形ABCD（CD+AB）×38×3＝12． 9．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（0，0），B（8，0），C（6，4），D（3，6），求出四边形ABCD的面积． 【解答】解：过D，C分别作DE，CF垂直于AB，E、F分别为垂足，则有： S＝S△OED+SEFCD+S△CFB AE×DE（CF+DE）×EFFC×FB． 3×6（4+6）×32×4 ＝28． 故四边形ABCD的面积为28． 10．如图，在平面直角坐标系中，P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P1（a+6，b+2）， （1）请画出上述平移后的△A1B1C1，并写出点A、C、A1、C1的坐标； （2）求出以A、C、A1、C1为顶点的四边形的面积． 【解答】解：（1）如图，画对△A1B1C1； 各点的坐标为：A（﹣3，2）、C（﹣2，0）、A1（3，4）、C1（4，2）； （2）如图，连接AA1、CC1； ； ； 四边形ACC1A1的面积为7+7＝14． 答：四边形ACC1A1的面积为14． 训练4 知面积求坐标 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程3（b+1）＝6． （1）求点A，B的坐标； （2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标； 【解答】解：（1）解方程3（b+1）＝6，得到b＝1， ∴A（﹣3，0），B（0，4）． （2）∵A（﹣3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∵S△ABC•BC•OA＝12， ∴BC＝8， ∵点C在y轴的负半轴上， ∴OC＝4，C（0，﹣4）． 2．如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝3． （1）求点B的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）点B在点A的右边时，﹣1+3＝2， 点B在点A的左边时，﹣1﹣3＝﹣4， 所以，B的坐标为（2，0）或（﹣4，0）； （2）△ABC的面积3×4＝6； （3）设点P到x轴的距离为h， 则3h＝10， 解得h， 点P在y轴正半轴时，P（0，）， 点P在y轴负半轴时，P（0，）， 综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，）． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（3，0），．线段BM与y轴交于点，若点D是y轴正半轴上的一个动点，当三角形DBM的面积是△ABM的面积的2倍时，求出点D的坐标． 【解答】解：∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4， M点的纵坐标即为△ABM的高h， ∴△ABM的面积43， ∵D是y轴正半轴上的一个点， ∴设D（0，y）， ∵S△DBM＝S△DCM+S△DCB，C（0，），B（3，0），M（﹣2，）， ∴S△DBM（y）×2（y）×3 ∵△DBM的面积是△ABM的面积的2倍， ∴S△DBM＝2×3＝6， 即（y）×2（y）×3＝6， （y）＝6， y0，满足条件． ∴点D的坐标为（0，）． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足． （1）填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）若在第三象限内有一点，连接BM交y轴于点，点P是y轴上的动点，当满足△PBM的面积是△ABM的面积的2倍时，求点P的坐标． 【解答】解：（1）由题意得，（b﹣3）2＝0， ∴a+1＝0，b﹣3＝0， ∴a＝﹣1，b＝3， 故答案为：﹣1；3； （2）∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4， ∴， ∵△PBM的面积是△ABM的面积的2倍， ∴S△PBM＝6， ∴， ∴， 当点P在点C的下方时，， ∴， 当点P在点C的上方时，， ∴， ∴综上，点P的坐标为或． 5．已知点A（a，0）、B（b，0），且|b﹣2|＝0． （1）求a、b的值． （2）在y轴的正半轴上找一点C，使得三角形ABC的面积是15，求出点C的坐标． （3）过（2）中的点C作直线MN∥x轴，在直线MN上是否存在点D，使得三角形ACD的面积是三角形ABC面积的？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵（a+4）2+|b﹣2|＝0， ∴a+4＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣4，b＝2； （2）如图1， ∵A（﹣4，0）、B（2，0）， ∴AB＝6， ∵三角形ABC的面积是15， ∴AB•OC＝15， ∴OC＝5， ∴C（0，5）； 6．如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足． （1）填空：a＝　 ，b＝　 　 ； （2）若在第四象限内有一点P（2，m），请用含m的式子表示△ABP的面积； （3）在（2）条件下，线段AP与y轴相交于C，当m＝﹣2时，点D是y轴上的一动点，当满足△APD的面积是△ABP的面积的2倍时，求点D的坐标． 【解答】解：（1）由题干知， ∵恒成立， ∴a+3＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣3，b＝2， 故答案为：﹣3，2； （2）由（1）知A（﹣3，0），B（2，0）， ∴AB＝2﹣（﹣3）＝5， ∵P（2，m）在第四象限，m＜0， ∴， ∴△ABP的面积为； （3）当m＝﹣2时，， ∵△APD的面积是△ABP的面积的2倍， ∴△APD的面积＝2×5＝10， 设D（0，n）， 当D在AB上方时，如图所示，过D作x轴的平行线，过A、B作y轴的平行线，与过D的平行线相交于M、N， ， 故， 解得， ∴； 当D在C下方时，过D作x轴的平行线，过A、B作y轴的平行线，与过D的平行线相交于M、N， 则， 解得， ∴， ∴点D为或． 7．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，4）且满足，过C作CB⊥x轴于B． （1）求a，b的值； （2）求△ABC的面积； （3）若AC交y轴于Q，而Q的坐标为（0，2），在y轴上是否存在点P，使得△ABC和△ACP的面积相等？若存在，直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵， ∴a＝﹣2，b＝2； （2）由（1）可知A（﹣2，0），C（2，4）， ∵CB⊥x轴于B， ∴B（2，0）， ∴； （3）存在， 设点P（0，b）， ∵Q的坐标为（0，1）， ∴PQ＝|1﹣b|， ∵， 由题意可得：2|1﹣b|＝8， ∴b＝5或﹣3， 故点P为（0，5）或（0，﹣3）． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A（0，a），B（b，0），C（5，c），且a，b，c满足关系式：． （1）求a，b，c的值； （2）求三角形ABC的面积； （3）是否存在点，使三角形AOP的面积为三角形ABC的面积的3倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵， ∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，c﹣6＝0， ∴a＝3，b＝5，c＝6； （2）由（1）得A（0，3），B（5，0），C（5，6）， ∴BC＝6，BC∥y轴，OB＝5， ∴15， （3）由（2）得S△ABC＝15， ∵三角形AOP的面积为三角形ABC的面积的3倍， ∴三角形AOP的面积为是45， ∵A（0，3）， ∴OA＝3， ∴， ∴， ∴x＝±30， ∴P（30，﹣10）或P（﹣30，10）， ∴存在P（30，﹣10）或P（﹣30，10）使三角形AOP的面积为三角形ABC的面积的3倍． 9．如图，平面直角坐标系中，A（﹣3，﹣2）、B（﹣1，﹣4） （1）直接写出：S△OAB＝　 　 ； （2）延长AB交y轴于P点，求P点坐标； （3）Q点在y轴上，以A、B、O、Q为顶点的四边形面积为6，求Q点坐标． 【解答】解：（1）S△OAB＝3×44×13×22×2＝5； 故答案为5； （2）设P（0，t）， ∵S△OAP﹣S△OBP＝S△OAB， ∴（﹣t）×3（﹣t）×1＝5， 解得t＝﹣5， ∴P点的坐标为（0，﹣5）； （3）当Q在y轴的正半轴上时， ∵S四边形ABOQ＝S△AOB+S△AOQ， ∴S△AOQ＝6﹣5＝1， ∴3×OQ＝1， 解得OQ． 则此时Q点的坐标为（0，）； 当Q在y轴的负半轴上时， ∵S四边形ABQO＝S△AOB+S△BOQ， ∴S△BOQ＝1， ∴S△AOQ＝6﹣5＝1， ∴1×OQ＝1， 解得OQ＝2， 则此时Q点的坐标为（0，﹣2）， 即Q点坐标为（0，）或（0，﹣2）． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0． （1）求a，b的值； （2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积； （3）在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM的面积与△ABN的面积相等？若存在，求出点N的坐标，请说明理由． 【解答】解：（1）∵a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0， 解得a＝2，b＝3． 故a的值是2，b的值是3； （2）过点M作MD⊥y轴于点D． 四边形AMOB面积＝S△AMO+S△AOB ＝﹣m+3； （3）当时，四边形ABOM的面积． ∴S△ABN＝4.5， 当N在y轴负半轴上时， 设N（0，y），则AN＝2﹣y， ∴， 解得y＝﹣1． ∴点N的坐标为（0，﹣1）． 当N在x轴的负半轴上时， 设N（x，0），则BN＝3﹣x， ∴， 解得x＝﹣1.5， ∴点N的坐标为（﹣1.5，0）； 综上，点N的坐标为（﹣1.5，0）或（0，﹣1）． 训练5 平面直角坐标系中新定义问题 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴距离的较小值称为点P的“短距”，点Q到x轴，y轴的距离相等时，称点Q为“等距点”． （1）求点A（﹣1，3）的“短距”． （2）若点B（3a﹣8，﹣a）是“等距点”，求a的值． 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，3）到x轴的距离是3，到y轴的距离是1， 又∵1＜3， ∴点A（﹣1，3）的“短距”是1； （2）∵点B（3a﹣8，﹣a）是“等距点”， ∴|3a﹣8|＝|﹣a|， ∴3a﹣8＝﹣a或3a﹣8+（﹣a）＝0， ∴a＝2或a＝4． 2．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣3，2）到x轴的距离为　 　 ，到y轴的距离为　 　 ，点A的“短距”为　 　 ． （2）若点B（3a﹣1，5）是“完美点”，求a的值． （3）若点C（﹣2，3b+1）的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为（4﹣2b，﹣8），试说明：点D是“完美点”． 【解答】解：（1）点A（﹣3，2）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3， ，∵|﹣3|＝3，3＞2， ∴点A（﹣3，2）的“短距”为2． 故答案为：2；3；2； （2）∵当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”， ∴|3a﹣1|＝5， ∴3a﹣1＝5或3a﹣1＝﹣5， 解得：a＝2或； （3）点C（﹣2，3b+1）的长距为5，且点C在第三象限内， ∴3b+1＝﹣5， 解得：b＝﹣2， ∴4﹣2b＝4+4＝8， ∴点D的坐标为（8，﹣8）， 点D到x轴、y轴的距离都是8， ∴D是“完美点”． 3．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），我们定义它们两点间的坐标距离如下： 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|y1﹣y2|． 已知点A（3，2），将点A先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B． （1）点B的坐标为 　 　 ，A、B两点间的坐标距离为 　 　 ； （2）M为x轴正半轴上一点，N为y轴正半轴上一点， ①若点M与点A之间的坐标距离等于4，求点M的坐标； ②若M、N与点A之间的坐标距离均为3，求M、N两点间的坐标距离． 【解答】解：（1）将点A（3，2）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，则点B（6，4）， A（3，2），B（6，4）， ∵|3﹣6|＝3，|2﹣4|＝2， ∴|3﹣6|＞|2﹣4|， ∴A、B两点间的坐标距离为3， 故答案为：（6，4），3； （2）设点M（m，0），N（0，n）， ①∵点M（m，0）与点A（3，2）之间的坐标距离等于4， ∴|m﹣3|＝4， 解得m＝7或m＝﹣1＜0舍去， ∴点M（7，0）； ②∵点M（m，0）与点A（3，2）之间的坐标距离等于3， ∴|m﹣3|＝3， 解得m＝6或m＝0（舍去）， ∴点M（6，0）， 又∵点N（0，n）与点A（3，2）之间的坐标距离等于3， ∴|n﹣2|≤3， ∴﹣1≤n≤5， 又∵n＞0， ∴0＜n≤5， ∵点M（6，0），点N（0，n），而0＜n≤5， ∴|6﹣0|＞|0﹣n|， ∴M、N两点间的坐标距离是6． 4．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，给出如下定义： 点P的“甲变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度； 点P的“乙变换”：将点P向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度． （1）若对点A（2，1）进行1次“甲变换”后得到点的坐标为 　 　 ，若对点B进行1次“乙变换”后得到点（2，1），则点B的坐标为 　 　 ； （2）若对点C（m，0）进行1次“甲变换”，再进行2次“乙变换”后，所得到的点D落在y轴上，求m的值及点D的坐标； （3）若对点P（﹣10，1）进行“甲变换”和“乙变换”共计10次后得到点Q，恰好落在x轴上，直接写出点Q的坐标． 【解答】解：（1）若对点A（2，1）进行1次“甲变换”后得到点的坐标为（1，3），若对点B进行1次“乙变换”后得到点（2，1），则点B的坐标为 （0，2）； 故答案为：（1，3），（0，2）； （2）由题得：m+（﹣1）+2×2＝0， 解得：m＝﹣3， ∴点D的纵坐标为：0+2×1+2×（﹣1）＝0， ∴D（0，0）； （3）（1，0）． 5．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足，，那么称点T是点A和B的衍生点． 例如：M（﹣2，5），N（8，﹣2），则点T（2，1）是点M和N的衍生点． 已知点T（x，y）是点D（3，0），E（m，m+2）的衍生点． （1）请直接写出点T的坐标（用含m的式子表示）． （2）若直线ET交x轴于点H，当∠DHT＝90°时，求点E的坐标． 【解答】解：（1）由题知， 因为点T（x，y）是点D（3，0），E（m，m+2）的衍生点， 所以x，y， 所以点T的坐标为（）； （2）因为点D坐标为（3，0）， 所以点D在x轴上． 又因为直线ET交x轴于点H，且∠DHT＝90°， 则ET⊥x轴， 所以点E与点T的横坐标相等， 则， 解得m， 则m+2， 所以点E的坐标为（）． 6．平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x轴、y轴的距离中的最大值等于Q点到x轴、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．已知点A的坐标为（﹣4，2）． （1）在点E（0，5），F（﹣2，3），G（1，4）中，与点A等距的点是 　 ； （2）若点B的坐标为（m，3），且A，B两点为“等距点”，求点B的坐标； （3）若T1（﹣2，﹣k﹣3），T2（6，2k﹣6）两点为“等距点”，求k的值． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣4，2）， ∴点A到x轴、y轴的距离中的最大值为4， ∵点E（0，5），F（﹣2，3），G（1，4）到x轴、y轴的距离中的最大值分别为5，3，4， ∴点A等距的点是G（1，4）； 故答案为：G（1，4）； （2）∵点A到x轴、y轴的距离中的最大值为4，A，B两点为“等距点”， ∴点B到x轴、y轴的距离中的最大值为4， ∵点B的坐标为（m，3）， ∴|m|＝4， ∴m＝±4， ∴点B的坐标为（﹣4，3）或（4，3）； （3）若|2k﹣6|≥6，此时k≤0，或k≥6， ∵T2（6，2k﹣6），T1（﹣2，﹣k﹣3）两点为“等距点”， ∴|2k﹣6|＝|﹣k﹣3|， 解得k＝9或1（舍去）； 若|2k﹣6|＜6，此时0＜k＜6， ∵T2（6，2k﹣6），T1（﹣2，﹣k﹣3）两点为“等距点”， ∴|﹣k﹣3|＝6， 解得k＝3或﹣9（舍去）； 综上所述，k的值为3或9． 7．定义：在平面直角坐标系xOy中，有一点M的坐标为（x，y），若点N的坐标为（x﹣ay，ax﹣y），其中a为常数，则称点N是点M的“a级倍减点”． （1）已知点A（4，﹣2）的“2级倍减点”是点A′，则点A′的坐标为　 　 ； （2）已知点P（m﹣1，2m）的“﹣3级倍减点”Q位于y轴上，求点Q的坐标； （3）在（2）的条件下，若第二象限存在点K，使KP∥x轴，且KP＝2，求点K的坐标． 【解答】解：（1）∵A（4，﹣2）， ∴“2级倍减点”点A′横坐标为：4﹣2×（﹣2）＝8，纵坐标为：2×4﹣（﹣2）＝10， ∴A′坐标为（8，10）， 故答案为：（8，10）； （2）∵点P（m﹣1，2m）的“﹣3级倍减点”为Q， ∴点Q的横坐标为m﹣1+3×（2m）＝7m﹣1，纵坐标为﹣3×（m﹣1）﹣2m＝3﹣5m， 即Q（7m﹣1，3﹣5m）， 又∵Q位于y轴上， ∴7m﹣1＝0， 解得， ∴， ∴； （3）由（2）得， ∴， ∵KP∥x轴，且KP＝2， ∴K点纵坐标与P点纵坐标相同， ∴设， ∴， 即或， 解得或， ∵点K在第二象限， ∴t＜0， ∴舍去， ∴． 8．【概念学习】在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同距点．如图中的P（﹣2，3），Q（3，2）两点即为同距点． 【理解概念】 （1）如图，写出点A，B，C，D的坐标：A（ 　 　 ，　 　 ），B（ 　 　 ，　 　 ），C（ 　 　 ，　 　 ），D（ 　 　 ，　 　 ），判断点B，C，D是否是点A的同距点； 【深入探索】 （2）若点E（m﹣1，﹣1）是点A的同距点，求m的值； 【拓展延伸】 （3）已知点N（﹣2，﹣1），若点F（a，b）为点N的同距点，且点F在第二象限，求出此时a，b之间的关系式． 【解答】解：（1）A（﹣3，1），B（0，4），C（5，﹣1），D（2，2）， 点A到两坐标轴的距离之和为|﹣3|+|1|＝3+1＝4， 对于点B（0，4），其到两坐标轴的距离之和为0+|4|＝4， ∴点B是点A的同距点， 对于点C（2，﹣1），其到两坐标轴的距离之和为|2|+|﹣1|＝2+1＝3≠4， ∴点C不是点A的同距点， 对于点D（1，3），其到两坐标轴的距离之和为|1|+|3|＝1+3＝4， ∴点D是点A的同距点， ∴点B、D是点A的同距点，点C不是点A的同距点； 故答案为：﹣3，1；0，4；5，﹣1；2，2； （2）∵点E（m﹣1，﹣1）是点A的同距点， ∴|m﹣1|+|﹣1|＝|﹣3|+1，即|m﹣1|＝3， 当m﹣1＞0，即m＞1时，有m﹣1＝3，解得m＝4， 当m﹣1＜0，即m＜1时，有m﹣1＝﹣3，解得m＝﹣2， ∴m的值为4或﹣2； （3）点N（﹣2，﹣1）到两坐标轴距离之和为|﹣2|+|﹣1|＝2+1＝3， ∵点F（a，b）在第二象限，所以a＜0，b＞0， 点F到两坐标轴距离之和为|a|+|b|＝﹣a+b． 又∵点F是点N的同距点， ∵﹣a+b＝3，即b﹣a＝3． 9．新定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q为点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0），如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q为（6，9）． （1）若点P的坐标为（﹣1，2），则它的“2阶派生点”的坐标为　 　 ． （2）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点P1，点P1的“3阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标． 【解答】解：（1）2×（﹣1）+2＝0；﹣1+2×2＝3， ∴它的“2阶派生点”的坐标为（0，3）． 故答案为：（0，3）； （2）点P平移后的点P1坐标为（c+1﹣2，2c﹣1+1）＝（c﹣1，2c）， 由条件可知“3阶派生点”P2的坐标为（5c﹣3，7c﹣1）， 当点P2在y轴上时，有5c﹣3＝0， 解得， 此时点， 当点P2在x轴上时，有7c﹣1＝0， 解得． 此时点， 综上，点P2的坐标为或． 10．对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P，给出如下定义：将图形G沿上、下、左、右四个方向中的任意一个方向平移一次，平移距离小于或者等于1个单位长度，平移后的图形记为G'，若点P在图形G'上，则称点P为图形G的稳定点．例如，当图形G为点（﹣2，3）时，点M（﹣1，3），N（﹣2，3.5）都是图形G的稳定点（点M（﹣1，3）在图形G向右平移一个单位长度得到的图形G′上；点N（﹣2，3.5）在图形G向上平移0.5个单位长度得到的图形G'上）． （1）已知点A（﹣1，0），B（3，0）． ①在点P1（﹣2，0），P2（4，0），，中，线段AB的稳定点是 ． ②若将线段AB向上平移t个单位长度，使得点E（0，2）或者点F（0，7）为线段AB的稳定点，写出t的取值范围　 　 ． （2）边长为a的正方形，一个顶点是原点O，相邻两边分别在x轴、y轴的正半轴上，这个正方形及其内部记为图形G．若以（0，3），（5，0）为端点的线段上的所有点都是这个图形G的稳定点，直接写出a的最小值　 　 ． 【解答】解：（1）①如图， 观察图象，根据图形G的稳定点的定义可知：P1，P2，P3是线段AB的稳定点， 故答案为：P1，P2，P3． ②如图， 观察图象可知当1≤t≤3或6≤t≤8时，点E（0，2）或者点F（0，7）为线段AB的稳定点， 故答案为：1≤t≤3或6≤t≤8． （2）如图，正方形的边长为a，P（0，3），Q（5，0）， 观察图象可知当4≤a时，线段PQ上的点都是图形G的稳定点， ∴a的最小值为4， 故答案为：4． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形与坐标（计算题专项训练） 【适用版本：湘教版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 点的坐标相关计算 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．设M（a，b）为平面直角坐标系中的点． （1）当a＞0，b＜0时，点M位于第几象限？ （2）当ab＞0时，点M位于第几象限？ （3）当a为任意实数，且b＜0时，点M位于何处？ 2．在平面直角坐标系中，分别根据下列条件，求出各点的坐标． （1）点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度； （2）点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度； （3）点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度； （4）点E在x轴下方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度． 3．已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m﹣1，5﹣2m）． （1）若点Q的坐标为（5，13）且PQ∥y轴，求点P的坐标； （2）若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 4．已知平面直角坐标系中有一点N（n+2，2n﹣3）． （1）若点N在x轴上，求此时点N的坐标； （2）若点N在过点A（2，8）且与y轴平行的直线上，求此时n的值； （3）若点N到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点N的坐标． 5．已知点P（2m+4，m﹣1），请分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点Q的坐标是（2，﹣3），PQ∥y轴； （2）点P在第一、三象限的角平分线上． 6．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（2a﹣2，a+5）． （1）若点Q的坐标为（4，5），且直线PQ∥y轴，求点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的值． 7．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3﹣a，3a），把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． （1）若a＝5，求mn的值； （2）若a＞3，m+n＝21，求点A的坐标． 8．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m﹣6，4﹣2m）． （1）若点A在第二、四象限的角平分线上，求点A的坐标； （2）若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为6，求点A的坐标． 9．已知点P（2a﹣3，a+6）． （1）点Q的坐标为（3，3），直线PQ∥y轴，求出点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2025+2025的值． 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2+a，2a﹣6）． （1）若点A在y轴上，求点A的坐标； （2）点A的纵坐标比横坐标大3，求点A的坐标； （3）若点B（2，14），直线AB∥x轴，求a的值； （4）若点A在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求a的值； （5）点C的坐标为（4，b+1），若直线AC∥y轴，且线段AC的长为5，求b的值及点C的坐标． 训练2 坐标与平移 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位，再向左平移3个单位，得到的对应点P′的坐标是　 　 ． 2．在平面直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝　 　 ． 3．将点P（m+1，n﹣2）向上平移3个单位长度，得到点Q（2，1﹣n），则点A（m，n）坐标为　 　 ． 4．在平面直角坐标系中，线段AB的两端点坐标分别为A（﹣2，3），B（1，﹣1），将线段AB平移后，点A的对应点A′的坐标为（3，3），则点B的对应点B′的坐标为　 　 ． 5．如图，第一象限内有两点P（m﹣5，n），Q（m，n﹣4），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是　 　 ． 6．已知点M的坐标为（x，y）（y＞0），点N的坐标为（8，z），且|x﹣3|+（y﹣z）2＝0，将线段MN向上平移y个单位长度，其扫过的面积为20，则x﹣2y+z的值为　 　 ． 7．已知点P（0，﹣4），Q（6，1），将线段PQ平移至P1Q1，点P，Q的对应点分别为点P1，Q1，若P1（m，﹣3），Q1（3，n），则m﹣n的值是　 　 ． 8．如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，AB∥x轴，AC∥y轴，且AB＝4，AC＝3．P（a，b）为三角形ABC内一点，将三角形ABC平移，当平移后得到的三角形A1B1C1的一顶点落在原点上时，点P的对应点P1的坐标为（a﹣6，b﹣4），则点A的坐标为 　 　 ． 9．△ABC在经过某次平移后，某点A（﹣1，2）的对应点为A1（2，﹣3），若此三角形内任意一点P（a，b）经过此次平移后对应点P1（c，d），则a+b﹣c﹣d的值为　 　 ． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，且OB＝2OA，点P（m，m+1）在△ABC的内部，将点P向下平移3个单位长度后，点P的对应点P′恰好与点A重合，若将△ABC按同样方式平移，则点B的对应点B′的坐标是　 　 ． 训练3 知坐标求面积 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在平面直角坐标系中，三角形OAB的顶点A、B的坐标分别为（3，2），（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点C的坐标为（3，0），求四边形OADE的面积． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，将折线ABC向右平移得到折线DEF，求折线ABC在平移过程中扫过的面积． 3．（1）如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：A（2，0），B（1，3），C（﹣2，﹣2），D（1，﹣2）； （2）按次序A→B→C→DA将所描出的点用线段连接起来，看看得到的是什么图形； （3）计算所得到的图形面积． 4．如图，已知点A（2，3），B（﹣3，0），C（4，0）是平面直角坐标系内的三点，求三角形ABC的面积． 5．如图中的四边形ABCD， （1）请建立恰当的平面直角坐标系，在平面直角坐标系中标出这个四边形各顶点的坐标； （2）计算它的面积． 6．在直角坐标系中，已知A（﹣3，4），B（﹣1，﹣2），O（0，0），画出三角形并求三角形AOB的面积． 7．如图，已知四边形ABCD． （1）写出点A，B，C，D的坐标； （2）试求四边形ABCD的面积．（网格中每个小正方形的边长均为1） 8．在如图所示的平面直角坐标系中描出A（﹣1，0），B（5，0），C（2，3），D（0，3）四点，并依次连接A、B、C、D、A，得到一个什么图形？求出这个图形的面积． 9．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（0，0），B（8，0），C（6，4），D（3，6），求出四边形ABCD的面积． 10．如图，在平面直角坐标系中，P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P1（a+6，b+2）， （1）请画出上述平移后的△A1B1C1，并写出点A、C、A1、C1的坐标； （2）求出以A、C、A1、C1为顶点的四边形的面积． 训练4 知面积求坐标 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程3（b+1）＝6． （1）求点A，B的坐标； （2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标； 2．如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝3． （1）求点B的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（3，0），．线段BM与y轴交于点，若点D是y轴正半轴上的一个动点，当三角形DBM的面积是△ABM的面积的2倍时，求出点D的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足． （1）填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）若在第三象限内有一点，连接BM交y轴于点，点P是y轴上的动点，当满足△PBM的面积是△ABM的面积的2倍时，求点P的坐标． 5．已知点A（a，0）、B（b，0），且|b﹣2|＝0． （1）求a、b的值． （2）在y轴的正半轴上找一点C，使得三角形ABC的面积是15，求出点C的坐标． （3）过（2）中的点C作直线MN∥x轴，在直线MN上是否存在点D，使得三角形ACD的面积是三角形ABC面积的？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足． （1）填空：a＝　 ，b＝　 　 ； （2）若在第四象限内有一点P（2，m），请用含m的式子表示△ABP的面积； （3）在（2）条件下，线段AP与y轴相交于C，当m＝﹣2时，点D是y轴上的一动点，当满足△APD的面积是△ABP的面积的2倍时，求点D的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，4）且满足，过C作CB⊥x轴于B． （1）求a，b的值； （2）求△ABC的面积； （3）若AC交y轴于Q，而Q的坐标为（0，2），在y轴上是否存在点P，使得△ABC和△ACP的面积相等？若存在，直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A（0，a），B（b，0），C（5，c），且a，b，c满足关系式：． （1）求a，b，c的值； （2）求三角形ABC的面积； （3）是否存在点，使三角形AOP的面积为三角形ABC的面积的3倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，平面直角坐标系中，A（﹣3，﹣2）、B（﹣1，﹣4） （1）直接写出：S△OAB＝　 　 ； （2）延长AB交y轴于P点，求P点坐标； （3）Q点在y轴上，以A、B、O、Q为顶点的四边形面积为6，求Q点坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0． （1）求a，b的值； （2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积； （3）在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM的面积与△ABN的面积相等？若存在，求出点N的坐标，请说明理由． 训练5 平面直角坐标系中新定义问题 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴距离的较小值称为点P的“短距”，点Q到x轴，y轴的距离相等时，称点Q为“等距点”． （1）求点A（﹣1，3）的“短距”． （2）若点B（3a﹣8，﹣a）是“等距点”，求a的值． 2．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣3，2）到x轴的距离为　 　 ，到y轴的距离为　 　 ，点A的“短距”为　 　 ． （2）若点B（3a﹣1，5）是“完美点”，求a的值． （3）若点C（﹣2，3b+1）的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为（4﹣2b，﹣8），试说明：点D是“完美点”． 3．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），我们定义它们两点间的坐标距离如下： 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|y1﹣y2|． 已知点A（3，2），将点A先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B． （1）点B的坐标为 　 　 ，A、B两点间的坐标距离为 　 　 ； （2）M为x轴正半轴上一点，N为y轴正半轴上一点， ①若点M与点A之间的坐标距离等于4，求点M的坐标； ②若M、N与点A之间的坐标距离均为3，求M、N两点间的坐标距离． 4．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，给出如下定义： 点P的“甲变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度； 点P的“乙变换”：将点P向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度． （1）若对点A（2，1）进行1次“甲变换”后得到点的坐标为 　 　 ，若对点B进行1次“乙变换”后得到点（2，1），则点B的坐标为 　 　 ； （2）若对点C（m，0）进行1次“甲变换”，再进行2次“乙变换”后，所得到的点D落在y轴上，求m的值及点D的坐标； （3）若对点P（﹣10，1）进行“甲变换”和“乙变换”共计10次后得到点Q，恰好落在x轴上，直接写出点Q的坐标． 5．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足，，那么称点T是点A和B的衍生点． 例如：M（﹣2，5），N（8，﹣2），则点T（2，1）是点M和N的衍生点． 已知点T（x，y）是点D（3，0），E（m，m+2）的衍生点． （1）请直接写出点T的坐标（用含m的式子表示）． （2）若直线ET交x轴于点H，当∠DHT＝90°时，求点E的坐标． 6．平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x轴、y轴的距离中的最大值等于Q点到x轴、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．已知点A的坐标为（﹣4，2）． （1）在点E（0，5），F（﹣2，3），G（1，4）中，与点A等距的点是 　 ； （2）若点B的坐标为（m，3），且A，B两点为“等距点”，求点B的坐标； （3）若T1（﹣2，﹣k﹣3），T2（6，2k﹣6）两点为“等距点”，求k的值． 7．定义：在平面直角坐标系xOy中，有一点M的坐标为（x，y），若点N的坐标为（x﹣ay，ax﹣y），其中a为常数，则称点N是点M的“a级倍减点”． （1）已知点A（4，﹣2）的“2级倍减点”是点A′，则点A′的坐标为　 　 ； （2）已知点P（m﹣1，2m）的“﹣3级倍减点”Q位于y轴上，求点Q的坐标； （3）在（2）的条件下，若第二象限存在点K，使KP∥x轴，且KP＝2，求点K的坐标． 8．【概念学习】在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同距点．如图中的P（﹣2，3），Q（3，2）两点即为同距点． 【理解概念】 （1）如图，写出点A，B，C，D的坐标：A（ 　 　 ，　 　 ），B（ 　 　 ，　 　 ），C（ 　 　 ，　 　 ），D（ 　 　 ，　 　 ），判断点B，C，D是否是点A的同距点； 【深入探索】 （2）若点E（m﹣1，﹣1）是点A的同距点，求m的值； 【拓展延伸】 （3）已知点N（﹣2，﹣1），若点F（a，b）为点N的同距点，且点F在第二象限，求出此时a，b之间的关系式． 9．新定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q为点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0），如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q为（6，9）． （1）若点P的坐标为（﹣1，2），则它的“2阶派生点”的坐标为　 　 ． （2）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点P1，点P1的“3阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标． 10．对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P，给出如下定义：将图形G沿上、下、左、右四个方向中的任意一个方向平移一次，平移距离小于或者等于1个单位长度，平移后的图形记为G'，若点P在图形G'上，则称点P为图形G的稳定点．例如，当图形G为点（﹣2，3）时，点M（﹣1，3），N（﹣2，3.5）都是图形G的稳定点（点M（﹣1，3）在图形G向右平移一个单位长度得到的图形G′上；点N（﹣2，3.5）在图形G向上平移0.5个单位长度得到的图形G'上）． （1）已知点A（﹣1，0），B（3，0）． ①在点P1（﹣2，0），P2（4，0），，中，线段AB的稳定点是 ． ②若将线段AB向上平移t个单位长度，使得点E（0，2）或者点F（0，7）为线段AB的稳定点，写出t的取值范围　 　 ． （2）边长为a的正方形，一个顶点是原点O，相邻两边分别在x轴、y轴的正半轴上，这个正方形及其内部记为图形G．若以（0，3），（5，0）为端点的线段上的所有点都是这个图形G的稳定点，直接写出a的最小值　 　 ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $