数学二模模拟卷（江苏淮安专用）学易金卷：2026年中考第二次模拟考试

2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1[AJ[B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A]IB][C][D] 6.[A][B][C][D] 7AJIBJIC]ID] 8[A]IB][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 10 11. 1) 13 15. 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共11个小题，共102分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(10分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) E A D F 20.(8分) (1) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 一班竞赛成绩统计图 二班竞赛成绩统计图 人数 12 12 16% 10 D级 A级 8 6 C级 44% 6 5 36% 42 0 等级 A B C D B级4% (2)a= ,b= ,C= 22.(8分) 0 B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) y/件 1000 800 0 5060x/元 24.(8分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) y A ⊙ 26.(12分) C B C B C B p E H E M D D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(14分) 0 0 D ⊙ A B E 图 D Q M 图2 C N B A B A 图3 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．﹣2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 2．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　） A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011 4．下列运算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a2•a4＝a8 D．a3÷a＝a2 5．如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为（　　） A．π B．π C． D． 6．《算法统宗》也是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则不足8两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，1斤＝16两），设客人有x人，银有y两，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在正六边形中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若∠EFG＝20°，则∠ABI＝（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 8．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（1，0），∠ABC＝90°，BC＝2AB，若点C在函数y（x＞0）的图象上，则k的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．分式方程的解为　 　 ． 10．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 11．如图，已知AB＝AC，∠A＝70°，∠DBC＝∠ACD，则∠D＝ 　 　 ． 12．将点A（1，﹣2）先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点A′，则点A′的坐标为　 　 ． 13．如图，已知，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，BE⊥AC于点E．若CD＝5，则OE＝　 　 ． 14．一次函数向上平移a个单位后，经过点（﹣3，2a），则平移后的解析式为 　 　 ． 15．已知实数a、b、c满足a+b+c＝2，bca2﹣1，则实数a的最大值为　 　 ． 16．如图，CE和CF分别是△ABC的内、外角平分线，且EF∥BC交AC于点 P，若AP＝2，AC＝5，则CE2+CF2的值是 　 　 ． 三、解答题（本大题共11个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）（1）计算：． （2）解方程组：． 18．（8分）先化简，再求值：，从1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 19．（8分）如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，∠A＝∠D，AF＝DE．求证：△ACF≌△DBE． 20．（8分）笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（A或B），再经过第二道门（C或D或E）才能出去． （1）松鼠经过第一道门时，从B口出去的概率是 　 　 ； （2）请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过E门出去的概率． 21．（8分）某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，试根据以上提供的信息解答下列问题： （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据下表填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 a b 90 二班 87.6 80 c 22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，且DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）∠A＝45°，⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积． 23．（8分）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量y（件）与销售单价x（元）（x≥50）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该纪念品的月销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 24．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，在CD边上取一点E，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）请利用尺规作图确定点E的位置（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若DF＝1，求CE的长． 25．（10分）如图，已知二次函数y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）当y＞0时，直接写出x的取值范围； （3）若直线y＝m与二次函数y＝x2﹣4x+3有两个公共点，直接写出m的取值范围． 26．（12分）在综合实践活动课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在正方形ABCD中，CD＝6，动点P在BC边上，将△ABP沿折痕AP折叠，得到△AEP，点B的对应点为点E． （1）【初步感知】如图1，当点E在AB的垂直平分线KH上时，求∠EAB的度数； （2）【探究应用】如图2，当P是BC的中点时，延长AE交CD于点Q，求CQ的长； （3）【拓展延伸】如图3，延长AE交BC边于点F，M是AP的中点，连接FM并延长交AB于点N．若，直接写出△AMN的面积． 27．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是射线CA上的动点，以OC为半径作⊙O交射线CA于点D． （1）如图1，当BO平分∠CBA时，判断⊙O与AB的位置关系，并证明； （2）当CD＞AC时， ①如图2，连接BD交⊙O于点E，求证：2DB•BE＝AB2； ②如图3，分别延长AC，BA至点M，N，使得AM＝BN，连接BM，DN．延长BC至点Q使得BQ＝AB，连接NQ．当BMAN取得最小值时，探究点O在运动过程中，是否存在ND∥BM的情形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．﹣2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 2．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　） A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011 4．下列运算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a2•a4＝a8 D．a3÷a＝a2 5．如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为（　　） A．π B．π C． D． 6．《算法统宗》也是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则不足8两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，1斤＝16两），设客人有x人，银有y两，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在正六边形中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若∠EFG＝20°，则∠ABI＝（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 8．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（1，0），∠ABC＝90°，BC＝2AB，若点C在函数y（x＞0）的图象上，则k的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．分式方程的解为　 　 ． 10．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 11．如图，已知AB＝AC，∠A＝70°，∠DBC＝∠ACD，则∠D＝ 　 　 ． 12．将点A（1，﹣2）先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点A′，则点A′的坐标为　 　 ． 13．如图，已知，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，BE⊥AC于点E．若CD＝5，则OE＝　 　 ． 14．一次函数向上平移a个单位后，经过点（﹣3，2a），则平移后的解析式为 　 　 ． 15．已知实数a、b、c满足a+b+c＝2，bca2﹣1，则实数a的最大值为　 　 ． 16．如图，CE和CF分别是△ABC的内、外角平分线，且EF∥BC交AC于点 P，若AP＝2，AC＝5，则CE2+CF2的值是 　 　 ． 三、解答题（本大题共11个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）（1）计算：． （2）解方程组：． 18．（8分）先化简，再求值：，从1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 19．（8分）如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，∠A＝∠D，AF＝DE．求证：△ACF≌△DBE． 20．（8分）笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（A或B），再经过第二道门（C或D或E）才能出去． （1）松鼠经过第一道门时，从B口出去的概率是 　 　 ； （2）请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过E门出去的概率． 21．（8分）某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，试根据以上提供的信息解答下列问题： （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据下表填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 a b 90 二班 87.6 80 c 22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，且DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）∠A＝45°，⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积． 23．（8分）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量y（件）与销售单价x（元）（x≥50）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该纪念品的月销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 24．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，在CD边上取一点E，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）请利用尺规作图确定点E的位置（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若DF＝1，求CE的长． 25．（10分）如图，已知二次函数y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）当y＞0时，直接写出x的取值范围； （3）若直线y＝m与二次函数y＝x2﹣4x+3有两个公共点，直接写出m的取值范围． 26．（12分）在综合实践活动课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在正方形ABCD中，CD＝6，动点P在BC边上，将△ABP沿折痕AP折叠，得到△AEP，点B的对应点为点E． （1）【初步感知】如图1，当点E在AB的垂直平分线KH上时，求∠EAB的度数； （2）【探究应用】如图2，当P是BC的中点时，延长AE交CD于点Q，求CQ的长； （3）【拓展延伸】如图3，延长AE交BC边于点F，M是AP的中点，连接FM并延长交AB于点N．若，直接写出△AMN的面积． 27．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是射线CA上的动点，以OC为半径作⊙O交射线CA于点D． （1）如图1，当BO平分∠CBA时，判断⊙O与AB的位置关系，并证明； （2）当CD＞AC时， ①如图2，连接BD交⊙O于点E，求证：2DB•BE＝AB2； ②如图3，分别延长AC，BA至点M，N，使得AM＝BN，连接BM，DN．延长BC至点Q使得BQ＝AB，连接NQ．当BMAN取得最小值时，探究点O在运动过程中，是否存在ND∥BM的情形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D D C B C C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10．x≥1 11．125° 12．（﹣3，3） 13． 14．yx+5 15．2 16．36 三、解答题（本大题共11个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分） 解：（1） ＝21 ．···········································································5分 （2）， 解不等式2x+1＞﹣3得：x＞﹣2； 解不等式得：x≤6， ∴原不等式组的解集为﹣2＜x≤6．······················································10分 18．（8分） 解：原式 ，··············································································4分 ∵x≠1，x≠2， ∴x选择3，··········································································6分 当x＝3时，原式．···························································8分 19．（8分） 证明：∵A，B，C，D四点共线，AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∴AC＝DB， 在△ACF和△DBE中， ， ∴△ACF≌△DBE（SAS）．·······························································8分 20．（8分） 解：（1）从B口走出去的概率是， 故答案为：；········································································4分 （2）画树状图如下： 共有6种等可能的情况，其中松鼠经过E门出去的情况有2种， ∴松鼠经过E门出去的概率是 ．···················································8分 21．（8分） 解：（1）一班C等级的人数为25﹣6﹣12﹣5＝2（人）， 统计图为： ······················································2分 （2）一班的平均数a6×100+12×90+2×80+5×70）＝87.6（分）， b90（分）， 二班A等级所占百分比最高，故众数c＝100； 故答案为：87.6、90、100．··························································8分 22．（8分） （1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD于点D， ∴DE是⊙O的切线．·······························································3分 （2）解：设⊙O交AC于点F，连接OF、OD，作DH⊥AB于点F，则OF＝OA，∠OHD＝90°， ∵∠A＝45°，⊙O的半径为5， ∴∠OFA＝∠A＝45°，OF＝OA＝OD＝OB＝5， ∴∠AOF＝180°﹣∠OFA﹣∠A＝90°， ∴S扇形OAF，S△OAF5×5， ∵OD∥AC， ∴∠BOD＝∠A＝45°， ∴∠HDO＝∠HOD＝45°， ∴OH＝DH， ∵ODDH＝5， ∴DH， ∴S扇形OBD，S△OBD5， ∴S阴影＝S扇形OAH﹣S△OAH+S扇形OBD﹣S△OBD， ∴阴影部分的面积为．···················································8分 23．（8分） 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（50，1000），（60，800）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+2000（x≥50）；····································4分 （2）根据题意得：（x﹣50）（﹣20x+2000）＝12000， 整理得：x2﹣150x+5600＝0， 解得：x1＝70，x2＝80． 答：该纪念品当月的销售单价为70或80元．············································8分 24．（8分） 解：（1）如图，点E即为所求； ······················································4分 （2）连接EF，设CE＝EF＝x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，AB＝CD＝3， ∵DF＝1， 在Rt△DEF中，则有x2＝（3﹣x）2+12， 解得x， ∴CE．············································································8分 25．（10分） 解：（1）令y＝0，即x2﹣4x+3＝0， 解得x2＝3，x1＝1， ∴抛物线与x轴的交点坐标分别为B（3，0），A（1，0）， 令x＝0，则y＝3， ∴交点坐标为C（0，3）．·······························································3分 （2）由二次函数图象可知，当y＞0时，x＜1或x＞3．·····································6分 （3）由得，x2﹣4x+3＝m，即x2﹣4x+3﹣m＝0， ∵直线y＝m与二次函数y＝x2﹣4x+3有两个公共点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（3﹣m）＝4m+4＞0， 解得m＞﹣1， ∴当直线y＝m与二次函数y＝x2﹣4x+3有两个公共点时，m＞﹣1．··························10分 26．（12分） 解：（1）如图1，连接EB， ∵KH垂直平分线段AB， ∴AE＝BE， 由翻折的性质得，AB＝AE， ∴AB＝AE＝BE， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠EAB＝60°；······································································3分 （2）如图2，连接PQ， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠C＝∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝6， ∵点P为线段BC的中点， ∴， 由翻折的性质得，PE＝PB＝3，∠AEP＝∠B＝90°，AE＝AB＝6， ∴PC＝PE，∠PEC＝∠C＝90°， 又∵PQ＝PQ， ∴Rt△PCQ≌Rt△PEQ（HL）， ∴CQ＝EQ， 假设CQ＝EQ＝x，则 DQ＝6﹣x，AQ＝6+x， 由勾股定理得DQ2+AD2＝AQ2， 即（6﹣x）2+36＝（6+x）2， 解得， ∴；········································································7分 （3）△AMN的面积为，理由如下： 如图3，过点M作MG⊥BC于点G，作MH⊥AB于点H， ∵△ABP与△APF为同高的三角形， ∴， 假设BP＝4x，FP＝5x， ∴PE＝PB＝4x， 由勾股定理得， ∴， 解得或x＝0（舍去）， ∴，BP＝2， ∵∠PGM＝∠PBA＝90°，∠MPG＝∠APB， ∴△PMG∽△PAB， ∵M是AP的中点， ∴， ∴PG＝1，MG＝3， 同理，， ∵∠FGM＝∠FBN＝90°，∠MFG＝∠NFB， ∴△MFG∽△NFB， ∴， 即， 解得， ∴， ∴△AMN的面积的面积为．·································12分 27．（14分） （1）解：⊙O与AB相切，证明如下： 如图，过点O作OH⊥AB于点H， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∵BO平分∠CBA， ∴OH＝OC， ∵OC为半径， ∴OH也是半径， 即点H在⊙O上， ∴⊙O与AB相切；·····································································3分 （2）①证明：连接CE，如图， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DEC＝90°， ∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠DCE+∠D＝90°， ∴∠D＝∠BCE， ∴△BCD∽△BEC， ∴， 即BC2＝BD•EB， ∴BD•EB， ∴2DB•BE＝AB2；·····································································8分 ②解：存在， 在△ABM和△BNQ中， ， ∴△ABM≌△BQN（SAS）， ∴BM＝QN， 如图，过点N作NP∥AC交BQ于点P，作AG⊥NP于点G，连接QG，如图， ∵NP∥AC， ∴∠GNA＝45°， ∵在Rt△ANG中，NG＝NA•cos45°， ∴， ∴， ∴QN﹣NG≥NP﹣NG， 当且仅当N，G，P三点共线时，取得最小值， 此时点Q与点P重合． ∴∠QNB＝45°， ∴AMB＝45°， ∴∠ABM＝90°， ∵ND∥BM， ∴∠NDA＝∠AMB， 又∵∠MAB＝∠NAD， ∴△AND∽△ABM， ∴， 设CD＝kAC， ∵， ∴， ∴， ∵AD＝CD﹣AC， ∴AD＝（k﹣1）AC， ∴， ∴， ∴．·····································································14分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ----------------------------一-------- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[X)[][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1[A][B][C][D] 2.[AJ[B][C1[D] 3.A1[B1[C1[D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 7.[AJ[B1[C1[D1 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 9 10. 11. 13 15. 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共102分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(10分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) B 20.(8分) (1) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 一班竞赛成绩统计图 二班竞赛成绩统计图 12人数 12 16% 10L D级 A级 6 C级 44% 6 5 4 36% 2 等级 0 A B B级4% (2)a= ,b= 22.(8分) 0 B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) y/件 1000 800 、 0 5060x/元 24.(8分) y D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) C A 26.(12分) B F C B C C B Q E H E D 图 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(14分) c 0 0 0 A B 图1 D Q M 图2 c N A B A 图3 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．﹣2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：﹣2026的相反数是2026． 故选：B． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 2．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念求解即可． 【解答】解：A、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，符合题意； C、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； D、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是关键． 3．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　） A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：175000000000＝1.75×1011． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．下列运算正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a2•a4＝a8 D．a3÷a＝a2 【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则即可得出答案． 【解答】解：A、2a与3b不是同类项，没法合并，故选项A不符合题意； B、（a2）3＝a6，故选项B不符合题意； C、a2•a4＝a6，故选项C不符合题意； D、a3÷a＝a2，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查了合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为（　　） A．π B．π C． D． 【分析】设该圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr，然后解方程即可． 【解答】解：设该圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得2πr，解得r， 所以该圆锥的底面圆的半径为． 故选：C． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 6．《算法统宗》也是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则不足8两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，1斤＝16两），设客人有x人，银有y两，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则不足8两”可以列出相应的二元一次方程组． 【解答】解：由题意可得：， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 7．如图，在正六边形中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若∠EFG＝20°，则∠ABI＝（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 【分析】求出∠AFE＝∠BAF120°，得到∠AFG＝100°，由平行线的性质推出∠FAH+∠AFG＝180°，求出∠FAH＝80°，得到∠BAI＝120°﹣80°＝40°，由直角三角形的性质即可得到∠ABI的度数． 【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AFE＝∠BAF120°， ∵∠EFG＝20°， ∴∠AFG＝120°﹣20°＝100°， ∵AH∥FG， ∴∠FAH+∠AFG＝180°， ∴∠FAH＝80°， ∴∠BAI＝120°﹣80°＝40°， ∵BI⊥AH， ∴∠AIB＝90°， ∴∠ABI＝90°﹣∠BAI＝50°． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，正多边形的性质，直角三角形的性质，关键是由平行线的性质推出∠FAH+∠AFG＝180°． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（1，0），∠ABC＝90°，BC＝2AB，若点C在函数y（x＞0）的图象上，则k的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】利用△AOB∽△BDC求出OD和CD，得到点C坐标即可求出k值． 【解答】解：作CD⊥x轴，垂足为点D， ∵点A（0，2），B（1，0）， ∴OA＝2，OB＝1， ∵∠AOB＝∠BDC，∠ABO＝∠BCD， ∴△AOB∽△BDC， ∵BC＝2AB， ∴， ∴BD＝2AO＝4，CD＝2BO＝2， ∴OD＝5， ∴C（5，2）， ∵点C在函数y（x＞0）的图象上， ∴k＝5×2＝10． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． 第Ⅱ卷 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．分式方程的解为　　 ． 【分析】方程两边同乘x（x﹣3），得整式方程，求出整式方程的解，注意进行检验取舍即可． 【解答】解：， 5x﹣3（x﹣3）＝0， 5x﹣3x﹣9＝0， 2x＝9， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴分式方程的解为． 故答案为：． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键． 10．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥1　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【解答】解：根据题意可知，4x﹣4≥0， 解得：x≥1． 故答案为：x≥1． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是关键． 11．如图，已知AB＝AC，∠A＝70°，∠DBC＝∠ACD，则∠D＝ 　125°　 ． 【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理求出，求出∠DBC+∠BCD＝55°，根据三角形内角和定理求出答案即可． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴， ∵∠DBC＝∠ACD， ∴∠DBC+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝55°， ∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝180°﹣55°＝125°， 故答案为：125°． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键． 12．将点A（1，﹣2）先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点A′，则点A′的坐标为　（﹣3，3）　 ． 【分析】根据平移的性质，向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加． 【解答】解：根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标可得：点A（1，﹣2）先向左平移4个单位长度，横坐标为1﹣4＝﹣3；再向上平移5个单位长度，纵坐标为﹣2+5＝3； ∴点A′的坐标为（﹣3，3）． 故答案为：（﹣3，3）． 【点评】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 13．如图，已知，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，BE⊥AC于点E．若CD＝5，则OE＝　　 ． 【分析】取BC的中点M，连接OM、EM，由平行四边形的性质得OA＝OC，AB＝CD＝5，AB∥CD，则∠BAC＝∠ACD，再证∠BAC＝2∠BCA，然后由三角形中位线定理得OM∥AB，OMAB，则∠MOC＝∠BAC＝2∠BCA，进而证∠OEM＝∠OME，即可得出结论． 【解答】解：如图，取BC的中点M，连接OM、EM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AB＝CD＝5，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∵， ∴∠ACD＝2∠BCA， ∴∠BAC＝2∠BCA， ∵OA＝OC，M是BC的中点， ∴OM是△ABC的中位线， ∴OM∥AB，OMAB， ∴∠MOC＝∠BAC＝2∠BCA， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∵M是BC的中点， ∴MEBC＝MC＝MB， ∴∠MEC＝∠BCA， ∵∠MOC＝∠OEM+∠OME， ∴∠OEM＝∠OME， ∴OE＝OM， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，正确正确作出辅助线是解题的关键． 14．一次函数向上平移a个单位后，经过点（﹣3，2a），则平移后的解析式为 yx+5　 ． 【分析】利用平移的规律求得平移后的直线解析式，点点（﹣3，2a）代入得到关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：一次函数向上平移a个单位后得到yx+2+a， ∵经过点（﹣3，2a）， ∴2a＝1+2+a， ∴a＝3， ∴平移后的解析式为yx+5． 故答案为：yx+5． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 15．已知实数a、b、c满足a+b+c＝2，bca2﹣1，则实数a的最大值为　2　 ． 【分析】由已知条件变形后，得b+c＝2﹣a，结合bca2﹣1，即可得到b、c是方程x2﹣（2﹣a）x+（a2﹣1）＝0的两个根，利用根的判别式得到有关a的不等式后确定a的取值范围． 【解答】解：∵a+b+c＝2， ∴b+c＝2﹣a， ∵bca2﹣1， ∴b、c是方程x2﹣（2﹣a）x+（a2﹣1）＝0的两个根， ∴Δ≥0， ∴（2﹣a）2﹣4×1×（a2﹣1）≥0， ∴8﹣4a≥0， ∴a≤2， ∴a的最大值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了函数最值问题，解决本题的关键是利用根的判别式得到有关未知数的不等式，进而求得a的取值范围． 16．如图，CE和CF分别是△ABC的内、外角平分线，且EF∥BC交AC于点 P，若AP＝2，AC＝5，则CE2+CF2的值是 　36　 ． 【分析】由角平分线的定义证出△CEF是直角三角形，再由平行线的性质以及角平分线的定义证出EP＝CP＝FP，然后求出EF的长度，利用勾股定理列式计算即可． 【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠BCE＝∠ACE∠ACB，∠ACF＝∠DCF∠ACD， ∴∠ACE+∠ACF（∠ACB+∠ACD）180°＝90°， ∴△CEF是直角三角形， ∵EF∥BC， ∴∠BCE＝∠FEC，∠DCF＝∠F， ∴∠ACE＝∠FEC，∠ACF＝∠F， ∴EP＝CP，CP＝FP， ∴EP＝CP＝FP， ∵AP＝2，AC＝5， ∴EP＝FP＝CP＝AC﹣AP＝3， ∴EF＝EP+FP＝6， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2＝62＝36， 故答案为：36． 【点评】本题考查的是勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形的判定以及角平分线的定义等知识，证明△CEF为直角三角形是解题的关键． 三．解答题（共11小题，满分102分） 17．（10分）（1）计算：． （2）解方程组：． 【分析】（1）首先计算乘方、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）先求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可． 【解答】解：（1） ＝21 ． （2）， 解不等式2x+1＞﹣3得：x＞﹣2； 解不等式得：x≤6， ∴原不等式组的解集为﹣2＜x≤6． 【点评】此题主要考查了实数的运算和解一元一次不等式组的方法，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分． 18．（8分）先化简，再求值：，从1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再结合分式有意义的条件选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【解答】解：原式 ， ∵x≠1，x≠2， ∴x选择3， 当x＝3时，原式． 【点评】本题考查了分式的混合运算—化简求值等知识，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键． 19．（8分）如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，∠A＝∠D，AF＝DE．求证：△ACF≌△DBE． 【分析】先根据A，B，C，D四点共线，AB＝CD得AC＝DB，再根据已知条件即可依据“SAS”判定△ACF和△DBE全等． 【解答】证明：∵A，B，C，D四点共线，AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∴AC＝DB， 在△ACF和△DBE中， ， ∴△ACF≌△DBE（SAS）． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． 20．（8分）笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（A或B），再经过第二道门（C或D或E）才能出去． （1）松鼠经过第一道门时，从B口出去的概率是 　；　 ； （2）请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过E门出去的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图列出所有等可能结果与松鼠从E门走出笼子的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）从B口走出去的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有6种等可能的情况，其中松鼠经过E门出去的情况有2种， ∴松鼠经过E门出去的概率是 ． 【点评】本题主要考查了画树状图、根据树状图求概率等知识点，正确画出树状图是解答本题的关键． 21．（8分）某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，试根据以上提供的信息解答下列问题： （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据下表填空：a＝ 　87.6　 ，b＝ 　90　 ，c＝ 　100　 ； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 a b 90 二班 87.6 80 c 【分析】（1）用样本容量分别减去一班中A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全一班竞赛成绩统计图； （2）先利用扇形统计图计算出二班中各等级的人数，然后利用众数、中位数和平均数的定义计算a、b、c的值． 【解答】解：（1）一班C等级的人数为25﹣6﹣12﹣5＝2（人）， 统计图为： （2）一班的平均数a6×100+12×90+2×80+5×70）＝87.6（分）， b90（分）， 二班A等级所占百分比最高，故众数c＝100； 故答案为：87.6、90、100． 【点评】本题考查了众数、中位数、平均数和统计图，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键． 22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，且DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）∠A＝45°，⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，所以∠ODB＝∠C，则OD∥AC，而DE⊥AC于点E，所以∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE是⊙O的切线． （2）设⊙O交AC于点F，连接OF、OD，作DH⊥AB于点F，由∠A＝45°，⊙O的半径为5，得∠OFA＝∠A＝45°，OF＝OA＝OD＝OB＝5，则∠AOF＝90°，求得S扇形OAF，S△OAF，可证明∠HDO＝∠HOD＝45°，则OH＝DH，由ODDH＝5，得DH，求得S扇形OBD，S△OBD，则S阴影＝S扇形OAH﹣S△OAH+S扇形OBD﹣S△OBD． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD于点D， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：设⊙O交AC于点F，连接OF、OD，作DH⊥AB于点F，则OF＝OA，∠OHD＝90°， ∵∠A＝45°，⊙O的半径为5， ∴∠OFA＝∠A＝45°，OF＝OA＝OD＝OB＝5， ∴∠AOF＝180°﹣∠OFA﹣∠A＝90°， ∴S扇形OAF，S△OAF5×5， ∵OD∥AC， ∴∠BOD＝∠A＝45°， ∴∠HDO＝∠HOD＝45°， ∴OH＝DH， ∵ODDH＝5， ∴DH， ∴S扇形OBD，S△OBD5， ∴S阴影＝S扇形OAH﹣S△OAH+S扇形OBD﹣S△OBD， ∴阴影部分的面积为． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 23．（8分）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量y（件）与销售单价x（元）（x≥50）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该纪念品的月销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 【分析】（1）根据图中点的坐标，利用待定系数法，可求出y与x之间的函数关系式； （2）利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（50，1000），（60，800）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+2000（x≥50）； （2）根据题意得：（x﹣50）（﹣20x+2000）＝12000， 整理得：x2﹣150x+5600＝0， 解得：x1＝70，x2＝80． 答：该纪念品当月的销售单价为70或80元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据图中点的坐标，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 24．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，在CD边上取一点E，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）请利用尺规作图确定点E的位置（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若DF＝1，求CE的长． 【分析】（1）以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点F，作BE平分∠CBF交CD于点E，点E即为所求； （2）连接EF，设CE＝EF＝x，利用勾股定理构建方程求解． 【解答】解：（1）如图，点E即为所求； （2）连接EF，设CE＝EF＝x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，AB＝CD＝3， ∵DF＝1， 在Rt△DEF中，则有x2＝（3﹣x）2+12， 解得x， ∴CE． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，矩形的性质，翻折变换，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 25．（10分）如图，已知二次函数y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）当y＞0时，直接写出x的取值范围； （3）若直线y＝m与二次函数y＝x2﹣4x+3有两个公共点，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）令y＝0，求出对应的x的值，即可得抛物线与x轴的交点坐标，令x＝0，求出对应的y的值，即可得抛物线与y轴的交点坐标； （2）根据当y＞0时，即二次函数图象在x轴上方的部分，即可写出x的取值范围； （3）将y＝m，y＝x2﹣4x+3联立，根据一元二次方程有两个不相等的实数根时Δ＞0即可求解． 【解答】解：（1）令y＝0，即x2﹣4x+3＝0， 解得x2＝3，x1＝1， ∴抛物线与x轴的交点坐标分别为B（3，0），A（1，0）， 令x＝0，则y＝3， ∴交点坐标为C（0，3）． （2）由二次函数图象可知，当y＞0时，x＜1或x＞3． （3）由得，x2﹣4x+3＝m，即x2﹣4x+3﹣m＝0， ∵直线y＝m与二次函数y＝x2﹣4x+3有两个公共点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（3﹣m）＝4m+4＞0， 解得m＞﹣1， ∴当直线y＝m与二次函数y＝x2﹣4x+3有两个公共点时，m＞﹣1． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数与不等式的关系，正确掌握相关性质是解题的关键． 26．（12分）在综合实践活动课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在正方形ABCD中，CD＝6，动点P在BC边上，将△ABP沿折痕AP折叠，得到△AEP，点B的对应点为点E． （1）【初步感知】如图1，当点E在AB的垂直平分线KH上时，求∠EAB的度数； （2）【探究应用】如图2，当P是BC的中点时，延长AE交CD于点Q，求CQ的长； （3）【拓展延伸】如图3，延长AE交BC边于点F，M是AP的中点，连接FM并延长交AB于点N．若，直接写出△AMN的面积． 【分析】（1）连接EB，根据线段垂直平分线的性质和翻折的性质得出等边三角形，即可求解； （2）连接PQ，根据正方形的性质证明Rt△PCQ≌Rt△PEQ，得出CQ＝EQ，假设CQ＝EQ＝x，则DQ＝6﹣x，AQ＝6+x，利用勾股定理列出方程求解即可； （3）过点M作 MG⊥BC于点G，作MH⊥AB于点H，连接MB，根据同高三角形的性质得出底的比，假设BP＝4x，FP＝5x，利用勾股定理及面积比求出，然后证明三角形相似，求出相应的边长，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：（1）如图1，连接EB， ∵KH垂直平分线段AB， ∴AE＝BE， 由翻折的性质得，AB＝AE， ∴AB＝AE＝BE， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠EAB＝60°； （2）如图2，连接PQ， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠C＝∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝6， ∵点P为线段BC的中点， ∴， 由翻折的性质得，PE＝PB＝3，∠AEP＝∠B＝90°，AE＝AB＝6， ∴PC＝PE，∠PEC＝∠C＝90°， 又∵PQ＝PQ， ∴Rt△PCQ≌Rt△PEQ（HL）， ∴CQ＝EQ， 假设CQ＝EQ＝x，则 DQ＝6﹣x，AQ＝6+x， 由勾股定理得DQ2+AD2＝AQ2， 即（6﹣x）2+36＝（6+x）2， 解得， ∴； （3）△AMN的面积为，理由如下： 如图3，过点M作MG⊥BC于点G，作MH⊥AB于点H， ∵△ABP与△APF为同高的三角形， ∴， 假设BP＝4x，FP＝5x， ∴PE＝PB＝4x， 由勾股定理得， ∴， 解得或x＝0（舍去）， ∴，BP＝2， ∵∠PGM＝∠PBA＝90°，∠MPG＝∠APB， ∴△PMG∽△PAB， ∵M是AP的中点， ∴， ∴PG＝1，MG＝3， 同理，， ∵∠FGM＝∠FBN＝90°，∠MFG＝∠NFB， ∴△MFG∽△NFB， ∴， 即， 解得， ∴， ∴△AMN的面积的面积为． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 27．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是射线CA上的动点，以OC为半径作⊙O交射线CA于点D． （1）如图1，当BO平分∠CBA时，判断⊙O与AB的位置关系，并证明； （2）当CD＞AC时， ①如图2，连接BD交⊙O于点E，求证：2DB•BE＝AB2； ②如图3，分别延长AC，BA至点M，N，使得AM＝BN，连接BM，DN．延长BC至点Q使得BQ＝AB，连接NQ．当BMAN取得最小值时，探究点O在运动过程中，是否存在ND∥BM的情形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）过点O作OH⊥AB于点H，由角平分线的性质可得OH＝OC，再由OH是半径，点H在⊙O上，可得出结论； （2）①连接CE，先求得∠CAB＝∠CBA＝45°，可得出，再由CD是⊙O的直径，可得∠DEC＝90°，从而得出∠D＝∠BCE，可证得△BCD∽△BEC，得出，即BC2＝BD•EB，可得出，再求解即可； ②过点N作NP∥AC交BQ于点P，作AG⊥NP于点G，连接QG，先证得△ABM≌△BQN（SAS），可得BM＝QN，当且仅当N，G，P三点共线时，取得最小值，再求解即可． 【解答】（1）解：⊙O与AB相切，证明如下： 如图，过点O作OH⊥AB于点H， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∵BO平分∠CBA， ∴OH＝OC， ∵OC为半径， ∴OH也是半径， 即点H在⊙O上， ∴⊙O与AB相切； （2）①证明：连接CE，如图， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DEC＝90°， ∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠DCE+∠D＝90°， ∴∠D＝∠BCE， ∴△BCD∽△BEC， ∴， 即BC2＝BD•EB， ∴BD•EB， ∴2DB•BE＝AB2； ②解：存在， 在△ABM和△BNQ中， ， ∴△ABM≌△BQN（SAS）， ∴BM＝QN， 如图，过点N作NP∥AC交BQ于点P，作AG⊥NP于点G，连接QG，如图， ∵NP∥AC， ∴∠GNA＝45°， ∵在Rt△ANG中，NG＝NA•cos45°， ∴， ∴， ∴QN﹣NG≥NP﹣NG， 当且仅当N，G，P三点共线时，取得最小值， 此时点Q与点P重合． ∴∠QNB＝45°， ∴AMB＝45°， ∴∠ABM＝90°， ∵ND∥BM， ∴∠NDA＝∠AMB， 又∵∠MAB＝∠NAD， ∴△AND∽△ABM， ∴， 设CD＝kAC， ∵， ∴， ∴， ∵AD＝CD﹣AC， ∴AD＝（k﹣1）AC， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，解方程，切线的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线才能解决问题． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $