12.第八章 因式分解 学情调研-【真题圈】2024-2025学年七年级下册数学练考试卷（北京版·新教材）北京专版

真题圈数学 同步调研卷 七年级下5E 恐 12.第八章学情调研 (时间：120分钟满分：100分) 名期 一、选择题（共16分，每小题2分） 1.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是() A.x2-y B.x2+2x C.x2+y2 D.x2-xy+y2 2.(期中·北京八十中)下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( A.2a2-2a+1=2a(a-1)+1 B.(x+y)(x-y)=x2-y2 C.x2-4xy44y2=(x-2y)2 D41=x+) 製 3.(期中·清华附中)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( A.-a2-b2 B.x2+(-y)3 C.(-x)2+(-y)2 D.-m2+1 4.(期末·顺义区)下列因式分解正确的是( A.-3a2x-3ax=-3ax(a-1) B.x2-2xy2+y4=(x-y2)2 C.4x2-y2=(4x+y)(4x-y) D.x(x-y)-y(y-x)=x2-y2 批 5.（期末·北京八中)若x2+mx-10=(x-5)(x+n),则n"的值为( ) A.-6 B.8 C-G D 6.已知2025226-20252024=2025*×2024×2026，则x的值为( ) A.2027 B.2026 C.2025 D.2024 7.(月考·北京一六一中学)已知a-b=3,a+c=-5,则代数式ac-bc+a2-ab的值为() A.-15 B.-2 C.-6 D.6 些咖 H 8.情境题（期末·大兴亦庄实验中学）在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因 题 式分解”法生成的密码，方便记忆.如：对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2), 若取x=9,y=9,则各个因式的值是x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162” 国 作为一个六位数的密码.对于多项式x3-9y2,取x=10,y=1时，用上述方法生成的密码可以 是( A.101001 B.1307 C.1370 D.10137 二、填空题（共16分，每小题2分） 9.(（中考·北京)分解因式：y2-x= 10.多项式36y2-9xy-3y提公因式后的另一个因式为 11.开放性问题（期末·海淀区)在O处填入一个整式，使关于x的多项式x2+O+1可以因式分 解，则O可以为 .(写出一个即可) 12.在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积 为 cm2. 13.（期末·石景山区)若关于x的整式x2+(m-1)x+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的 值是 14.(期中·北京十一实验学校)已知a+b-2=0,则代数式a2-b2+4b的值等于 15.（期中·清华附中创新班)若二次三项式x2+a-12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符 合条件的整数a的个数是 16.新定义问题（期末·西城区）若一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数)的形式，则称这个数为“完 美数” 例如，因为5=22+12，所以5是一个“完美数” (1)请你再写一个大于10且小于20的“完美数”： (2)已知M是一个“完美数”，且M=x2+4y+5y2-12y+k(x,y是两个任意整数，k是常数)，则k 的值为 三、解答题（共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每 小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分) 17.(期末·平谷区)分解因式：(1)ab-ab.绝盗印 (2)3a2-12a+12. 18.用简便方法计算： (1)8252×3-1752×3. (2)57×99+44×99-99. 7 19.开放性问题（期末·顺义区）从单项式m,n4,2m2n2中任选2个，并用“_”号连接成一个多项式， 再对其进行因式分解. 20.(期中·西城区)将x(x+y)(x-y）-x(xy)2进行因式分解，并求出当xty=1,y=-时此式 的值 精品图书 金星教育 21.利用因式分解计算：1-22+32-42+52-62+…+992-1002+1012. 22.（期中·海淀区)已知多项式2x2-bx+c,甲同学看错了常数项，分解因式为2(x-3)(x+2),乙同学 看错了一次项系数，分解因式为2(x-3)(x+4),请求出正确的分解结果， 23.程序框图（期末·门头沟区）学完因式分解后，小明同学总结出了因式分解的过程并画出流程 图，如图所示. 下面是小亮同学的因式分解过程： -4y2+16x2 =16x2-4y2① =(4x)2-(2y)2② =(4x+2y)(4x-2y).③ (1)如果按照小明同学的流程图进行因式分解，那么小亮同学从第 (填序号)步开始出 现了问题，与流程图的第 步不一致 (2)写出按流程图进行因式分解的过程 拒绝盗印 (因式分解) 第一步 负号 判断首项符号 提取负号或改变位置 正号 第二步 有公因式 观察结构特征 无公因式 第三步 第四步 提公因式 判断公式类型 平方差公式 完全平方公式十字相乘法 第五步 结果检验 (结果 第23题图 8 24.方法探索（期中·海淀区）阅读图中的材料： 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解.如x2-4y-2x+4y,细 会 附 心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别分解因式后又出现 新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式.具体过程如下： 共嫩 x2-4y2-2x+4y =(x2-4y2)-(2x-4y) 低州 名期 =(x+2y)(x-2y)-2(x-2y) =(x-2y)(x+2y-2) 像这种将一个多项式适当分组后分解因式的方法叫作分组分解法 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：x2-2xy+y2-4. (2)已知△ABC的三边长a,b,c满足a2-ab-aC+bc=0,判断△ABC的形状并说明理由 精品图书 金星教育 垫咖 图 25.（期末·怀柔区)小柔在进行因式分解时发现一个现象，一个关于x的多项式x2+x+b若能分 解成两个一次整式相乘的形式(x+p)(x+g),则当x+p=0或x+g=0时原多项式的值为0，因 此定义x=-p和x=-q为多项式x2+ax+b的0值，-p和-q的平均值为轴值.例：x2-2x-3= (x-3)(x+1),当x-3=0或x+1=0时，x2-2x-3=0,则x=3和x=-1为x2-2x-3的0值，3和-1 的平均值1为x2-2x-3的轴值 (1)x2-4的0值为 轴值为 (2)若x2+ax+4的0值只有一个，则a= ,此时0值与轴值相等 (3)若x2-bx(b>0)的0值为x,x(x<x2),轴值为m,则x,= ;若x2-6x+m的0值与轴 值相等，则m= 26.思维探索阅读某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程，并解决问题. 解：设x2-4x=y, 则原式=(y+2)(y+6)+4(第一步) =y2+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步) =(x2-4x+4)2.（第四步) (1)该同学第二步到第三步的变形运用了() A.提公因式法 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式 (2)该同学在第三步用所设的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能否进一步因式 分解？如果能，请写出最后的结果 (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2+6x)(x2+6x+18)+81进行因式分解 绝盗印 27.（期中·北师大附属实验中学)数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多 数学问题进行直观推导和解释.如图(1)，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡 片.用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图(2)的长方形，通过计算面积可以解释因式分解： 2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b) (1)若解释因式分解3a2+4ab+b2=(a+b)(3a+b),需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都 要取到)拼成一个长方形，请画出相应的图形. (2)若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到）拼成一个长方形，使其面积为5ad+mab +b2,则m的值为 ,将此多项式因式分解为 (3)有3张A类、4张B类、5张C类卡片，从中取出若干张卡片，每种卡片至少取一张，把取出 的这些卡片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为 6 A类 B类 C类 (1) (2) 第27题图 精品图书 金星教育 4 28.(期末·平谷区)阅读下列材料： 我们知道，对于二次三项式a+2ab+b2,可以利用完全平方公式将它变形为(a+b)2的形式，但是 对于一般的二次三项式x2+bx+c就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在原式中先加上 次项系数的一半的平方，即(，使其凑成完全平方式，再减去()，使整个式子的值不变，这样 有+h+c自x+9+m例如R-6x+1三R-6x+9-9+1=(G-3】 请根据上述材料解决下列问题： (1)将多项式x2-4x+3变形为(x+m)2+n的形式 (2)当x,y分别取何值时，x2+y2-4x+6y428有最小值？求出这个最小值。 (3)若m=a2+b2-1,n=2a-4b-7,则m与n的大小关系是 盗印必 关爱学子 拒绝盗印答案与解析 ∠CBG=270° 女 A M D B Q B (1) (2) B (3) (4) 第18题答图 12.第八章学情调研 题号 12345678 答案BC DBDDAD 1.B2.C3.D 4.B【解析】-3ax-3ar=-3ar(a+1),故A选项不符合题意；x2- 2xy2+y=(x-y)2,故B选项符合题意；4x2-y2=(2x+y)(2x-y), 故C选项不符合题意；x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y),故D选项 不符合题意.故选B. 5.D【解析】(x-5)(x+n)=x2+nx-5x-5n,x2+mx-10=(x- 5)(x+n）,∴.nx-5x=mx,-5n=-l0,∴.n-5=m,n=2,解得 m=-3,n=2,=23=日故选D 6.D【解析】20252026-20252024=20252024×(20252-1)= 2025204×(2025+1)×(2025-1)=2025224×2026×2024, 20252026-20252024=2025×2024×2026,.20252024× 2026×2024=2025×2024×2026.∴.x=2024.故选D. 7.A【解析】.'ac-bc+a2-ab=c(a-b)+a(a-b)=(a-b)(c+a), a-b=3,a+c=-5,∴.ac-bc+a2-ab=3×（-5)=-15.故选A. 8.D【解析】x3-9y2=x(x2-9y2)=x(x+3y)(x-3y),当x=10, y=1时，x=10,x+3y=10+3=13,x-3y=10-3=7, 所以上述方法生成的密码可以是10137.故选D. 9.x(y+1)(y-1) 10.12y-3x-1【解析】36y2-9x3y-3xy=3y(12y-3x-1). 故答案为12y-3x-1. 11.2x(答案不唯一)【解析】：x2士2x+1=(x士1)2，x2+(2x-1)+ 1=x2+2x=x(x+2),.O可以为2x,-2x,2x-1等，答案不唯 一.故答案为2x(答案不唯一). 12.110【解析】12.752-7.252=(12.75+7.25)×（12.75-7.25)= 20×5.5=110(cm2).故答案为110. 13.-5或7 14.4【解析】：a+b-2=0,.a+b=2,.a2-b+4b=(a-b)(a+ b)+4b=2(a-b)+4b=2a+2b=2(a+b)=4.故答案为4. 15.6【解析】由题可设x2+ax-12=(x+m)(x+n),m,n为整数， ∴mn=-12,m+n=a.-12=1×(-12)=(-1)×12= 2×(-6)=(-2)×6=3×(-4)=(-3)×4,.a=±11或a= ±4或a=±1，共有6个. 故答案为6. 16.(1)13(答案不唯一)(2)36 【解析】(1)，13=22+32，∴.13是完美数.（答案不唯一） (2):M=x2+445y2-12y4k=(x+2y)2+(y-6)2+k-36,∴.当k= 36时，M是完美数.故答案为(1)13（答案不唯一）方(2)36 17.【解】(1)ab-ab=ab(a2-1)=ab(a-1)(a+1). (2)3a2-12a+12=3(a2-4a+4)=3(a-2)2. 18.【解】(1)822×3-175×3=3×(8252-1752)=3×(825+175)× (825-175)=3×1000×650=1950000. (2)57×99+44×99-99=99×(57+44-1)=99×100=9900. 19.【解】若选择和n,用“-”号连接成m-,则对其进行因式 分解为m-n4=（m2+n2)(m2-m2)=(m2+n2)(m+n)(m-n).(答案 不唯一) 20.【解】x(x+y)(x-y)-x(x+y)2=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]=-2y(x+ 以.当xw=1,y=-时，原式=-2×（)×1=1 21.【解】1-22+32-42+52-62+…+992-1002+1012=1+32-22+52- 42+…+1012-1002=1+(3+2)×(3-2)+(5+4)×(5-4)+…+ (101+100)×(101-100)=1+(3+2)+(5+4)+…+(101+100)= 1+2+3+4+5++100+101=+10四×101=5151. 2 22.【解】甲：2(x-3)(x+2)=2x2-2x-12,乙：2(x-3)(x+4)=2x2+ 2x-24.:甲同学看错了常数项，但没有看错一次项系数，乙同 学看错了一次项系数，但没有看错常数项，∴.b=2,c=-24, ∴.原多项式为2x2-2x-24.·2x2-2x-24=2(x+3)(x-4), “.正确的分解结果为2(x+3)(x-4). 23.【解】(1)②三 (2)-4y2+16x2=16x2-4y2=4(4x2-y2)=4(2x+y)(2x-y). 24.【解】(1)x2-2xy+y2-4=(x-y)2-4=(x-y42)(x-y-2). （2)△ABC是等腰三角形.理由：.a2-ab-ac+bc=0,∴.a(a b)-c(a-b)=0,∴.(a-c)(a-b)=0,.a=b或a=c, .△ABC是等腰三角形. 25.【解(1)x=2和x=-20 (2)士4分析：x2+a+4的0值只有一个，.x2+ax+4= (x±2)2.又(x士2)2=x2±4x+4,.a=±4. (3)09分析：·x2-bx=x(x-b),∴.x2-bx的0值为x=0 和x=b.x<x2,b>0,∴x1=0.”x2-6x+m的0值与轴值 相等，.x2-6x+m的0值只有一个，∴.x2-6x+m=(x-3)2=x2- 6x+9,即m=9.此时x2-6x+m的0值为x=3,轴值为3+3=3. 2 26.【解】(1)C(2)能，最后的结果为(x-2)4. (3)设x2+6x=y,则(x2+6x)(x2+6x+18)+81=y(0y+18)+81= y2+18y+81=(6y49)2=(x2+6x+9)2=(x+3)4 27.【解】(1)如图所示.（图形不唯一） aaa b (2)6(5a+b)(a+b) (3)a+2b分析：3张边长为a的正 b 方形卡片的面积是32,4张长为b, 宽为a(b>a)的长方形卡片的面积是 第27题答图 4ab,5张边长为b的正方形卡片的 面积是5b2,·a2+4ab+4b=（a+2b)2,∴.拼成的正方形的边长 最长可以为a+2b. 28.【解】(1)x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=(x-2)2-1. （2)x2+y2-4x+6y+28=x2-4x+y2+6y+28=x2-4x+4-4+y2+6y4+9- 9+28=(x-2)2+(y+3)2+15..(x-2)2≥0，(y+3)2≥0，∴.当x-2 =0,+3=0时，原式有最小值，∴.当x=2,y=-3时，原式 有最小值，最小值为15. (3)m>n分析：.'m-n=a2+b2-1-（2a-4b-7)=a2-2a+1+b2+ 4b+4+1=(a-1)2+(b+2)2+1>0,∴.m>n. 13.阶段学情调研（二） 题号1 2 345678 答案BD CAC CBA 1.B2.D 3.C【解析】A.x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1),故不符合题意； B.(x-2)2=x2-4x+4是乘法运算，不是因式分解，故不符合题意； D.x2+x+1=x(x+1)+1,等号右边不是乘积形式，不是因式分解， 故不符合题意.故选C. 4.A【解析】由平移可得BO∥DP,.∠BON=∠DPN=40° :∠AOM4∠AOB+∠BON=180°，∴.∠AOB=180°-40°- 35°=105°.故选A. 5.C 6.C【解析】2y-x2-y2=-(x2-2y+y2)=-(x-y)2故选C. 7.B【解析】x2+6x+2=x2+6x+9-9+2=(x+3)2-7.故选B. &A【解析D若a>b,b>0,则日>方，假命题.理由：a>b, 0品>品君分②站0，若则>，假命题 理：0，日>分空>装ah诺ab,日>言 则b>0,假命题.理由：>6，日>方a,6异号， .ab<0..组成真命题的个数为0.故选A. 9.<>10.x(x+4)(x-4) 11.55°【解析】∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠1=∠3 .∠4=∠2=55°.故答案为55° 12.2【解析】31=27,3x1=33,.x+1=3,x=2 故答案为2. 13.∠6=∠D同位角相等，两直线平行（答案均不唯一） 14.-3【解析2x+y=4, ①×2-②，得3x=3,解得x=1, x+2y=5,② 把x=1代入①，得y=2,所以x2-y2=1-4=-3.故答案为-3. 15.-2【解析】：m2=+2,2=m+2(m≠n),.m2-2=n-m, ∴.(m+n)(m-n)-(n-m)=0,∴.(m+n+1)(m-n)=0..m≠ n,.m+n+1=0,∴.m+n=-1,.原式=m(n+2)-2mn+ n(m+2)=mm+2m-2mn+mn+2n=2(m+n)=-2.故答案为-2. 16.85【解析】设本次“体育节”五个比赛项目的记分总和为 m,则m=5(a+b+c).:四个班在本次“体育节”的总成绩分 别为21,6,9,4，.m=21+6+9+4=40..5(a+b+c)=40. .a+b+c=8.又a>b>c,a,b,c均为正整数，.当c=1时， 若b=2,则a=5;当c=1时，若b=3,则a=4,此时，第 一名的班级五个比赛项目都是第一，总得分为20分<21分， 不符合题意，舍去；当c=2时，若b=3,则a=3,不满足 a>b,舍去；当c=3时，若b=4,则a=1,不满足a>b,舍去 综上所述，a=5,b=2,c=1.故答案为8；5. 17.【解】(1)原式=3(x2-2y+y2)=3(x-y)2. (2)原式=m(a-3)-2(a-3)=(m-2)(a-3) 18.【解1(1)原式=方+1=多 (2)原式=4xy÷(-2xy)-6xy2÷(-2y)+2xy÷(-2y) =-2x2+3xy-1. 19.【解】解不等式①得x<2,解不等式②得x≥-3，∴.不等式组 真题圈数学七年级下5E 的解集为-3≤x<2,∴.不等式组的非负整数解为0,1. 20.【解】(1)20232+202524046×2025 =20232-2×2023×2025+20252=(2023-2025)2 =(-2)2=4 (2)43×46-4×21.52-4×11.52 =43×46-22×21.52-22×11.52=43×46-432-232 =-(432-2×43×23+232)=-(43-23)2=-400 21.【解】两直线平行，内错角相等∠E内错角相等，两直线平行 22.【解】能.理由：n(n+7)-(n-3)(n-2)=n2+7n-(n2-5n+6) =m2+7n-2+5n-6=6(2n-1). ,6(2n-1)能被6整除，.原代数式的值都能被6整除 ax2+bxy+cy2=1,① 23.【解】cx2+by+ay2=l,②(a≠c,①-②，得(a-c)(x2-y2)=0. x+y=1③ a≠c,.x2-y=0,∴.(x+y)(x-y）=0. x+y=1,.xy=0由0得x=y= 把x=y=)代入①，得a+b+c=4 24.【解】1(1)x2+2y+y2(x+y)2=x2+2y+y (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (2)(a+b+c)2=a2+b+c2+2ab+2ac+2bc, ..a+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2ac-2bc=(a+b+c)2-2(ab+ac+bc) =62-2×11=14. 25.(1)【证明】：DE⊥AC 于点H,.∠DHC=90°. ∠BAC=90°， ∴.∠DHC=∠BAC, H AB∥DE, .∠ABD+∠BDE=180°. :∠ABD+∠CED=180°， 第25题答图 ∴，∠BDE=∠CED, .BD∥EC (2)【解】如图，由(1)知∠ABD+∠BDE=180°， ∠BDE=30°，.∠ABD=150°. :∠ABD=∠ABE+∠DBE且∠DBE=∠ABE+5O°， .∠DBE=100°. :BD∥EC,.∠DBE+∠CEB=180°，∴.∠CEB=80°. 26.【解】(1)设销售1台A型新能源汽车的利润是x万元，销售 1台B型新能源汽车的利润是y万元. 根紧超意将化1。解化0股 y=0.5. 答：销售1台A型新能源汽车的利润是0.3万元，销售1台 B型新能源汽车的利润是0.5万元. (2)设采购B型新能源汽车m台，则采购A型新能源汽车(30- m)台.利润不低于13.1万元， ∴.0.5m+0.3(30-m)≥13.1， 解得m≥20.5. m为整数，∴m的最小值取21， 即至少需要采购B型新能源汽车21台. 27.【解】(1)< (2)①2分析：8=2×2-4×7×1×1=4-2=2 ②S,=2×2-7×(2-x)xx×4=42x(2-x)=22-4x+4