11.重难题型卷(四)平行线-【真题圈】2024-2025学年七年级下册数学练考试卷（北京版·新教材）北京专版

真题圈数学 同步调研卷 七年级下5E 11.重难题型卷（四） 平行线 尽 蝴 低细 题型一 判定与性质的综合 名期 1.（期末·燕山地区)如图，直线a,b被c,d所截，∠1+∠2= 180°，∠3=60°，则∠4的度数为( A.30° B.45° C.60° D.120° A 16 B 第1题图 第2题图 2.（期中·北京一零一中学)如图，在四边形ABCD中，E是CB 製 延长线上一点，下列推理正确的是( A.如果∠1=∠2，那么AB∥CD B.如果∠3=∠4，那么AD∥BC C.如果AD∥BC,那么∠2=∠5 D.如果∠6+∠BCD=180°，那么AD∥BC 3.情境题（期中·北京一零一中学）共享单车是一种低碳环保 批 的交通工具，如图是某品牌共享单车的简化结构示意图，其中 AB,CD都与地面I平行，CE平分∠ACD,∠BAC=52°，则当 ∠MAC为( )度时，AM与CB平行 A.69 B.64 C.59 D.52 B A D 第3题图 第4题图 槛加 阳嗣 4.如图，请添加一个条件，使得AB∥CD,则添加的条件 题 是 敏 5.(期中·首师大附中)如图，已知线段AB与线段AC,点O为 AB上一点，∠A=60° (1)按要求完成下列画图： 在AB下方画射线BE,使∠OBE=60°，连接CO并延长交射 线BE于点D, (2)请补全证明过程或推理依据. 求证：∠C=∠CDB. 证明：，∠A=60°，∠OBD=60°，.∠A=∠OBD, ∴.AC∥BD( ∴.∠C=∠CDB( 第5题图 6.情境题如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底 座CD都平行于地面EF,前支架OE与后支架OF分别与CD 交于点G和点D,AB与DM交于点N,∠AOE=∠BNM (1)求证：OE∥DM (2)若OE平分∠AOF,∠ODC=30°，求扶手AB与靠背DM 的夹角∠ANM的度数. N G D 第6题图 —35 题型二“拐点”问题 7.(期中·北京交大附中)三角尺和直尺按如图所示放置，若∠1 =20°，则∠2的度数为( A.60° B.50° C.40° D.309 309y (1) (2) 第7题图 第8题图 8.如图(1)，当光线从空气斜射入某种透明的液体中时发生了折 射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3：2.如图(2)，在 同一平面内，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入 射光线与水平液面夹角分别为α，B,在液体中两条折射光线 的夹角为y,则a,B,y三者之间的数量关系为( A号(a+f)=y B.号(a+f)=120°-7 C.a+B=y D.a+B+y=180° 9.（期末·丰台区)为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳 光体育一小时活动.图(1)是一位同学抖空竹时的一个瞬间， 小明把它抽象成图(2)的数学问题：已知AB∥CD,∠EAB= 80°，∠ECD=110°，则∠E的度数是 拒绝盗印 (1) (2) 第9题图 第10题图 10.(期中·北京十三中分校)有一种生活中常见的折叠拦道闸， 可将其抽象为几何图形，如图所示，BA垂直于地面AE于 点A,CD平行于地面AE,则∠ABC+∠BCD= 11.（期中·北京一零一中学)某学生上学路线如图所示，他总共 拐了三次弯，最后行车路线与开 1509 始的路线相互平行，已知第一次 120/ 转过的角度，第三次转过的角 第11题图 度，则∠1的度数是 12.(期中·陈经纶中学改编)如图(1)，点E在AB上，点F在CD 上，点M在直线AB,CD之间，且∠BEM+∠DFM=∠EME A E E —B A (1) (2) 第12题图 (1)求证：AB∥CD. (2)如图(2)所示，点M,N在AB,CD之间，且位于EF的异侧， 连接MN,若2∠EMN=3∠MNF,则∠AEM,∠NFD,∠MNF 三个角之间存在何种数量关系？请说明理由· 精品图书 金星教育 题型三与角平分线的综合问题 13.如图，直线AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F, ∠BEF的平分线交CD于点G,若∠BEF=118°，则∠EGC 的大小是( ) A.124° B.118° C.62° D.59° E B G外D 第13题图 第14题图 14.（期末·东城区)如图，AB∥CD,AD∥BC,∠BAD的平分 线AM交BC于点M,且MD平分∠AMC.若∠ADC=100°， 则∠ADM= 15.（期中·清华附中上地学校)如图，已知AB∥CD,BE平 分∠ABC,DE平分∠ADC,∠BAD=70°，∠BCD=40°，则 ∠BED的度数为 B D 第15题图 16.如图，AD∥BC,∠BAD的平分线交CD于点F,交线段BC 的延长线于点E,∠CFE=∠1.求证：∠B+∠BCD=180°. 请将下面的证明过程及推理依据补充完整， 证明：，AD∥BC, .∠DAE=∠1.（依据： ,AE平分∠BAD, ∴.∠BAE=∠DAE,(依据： ∴.∠BAE=∠1. ,∠CFE=∠1，∴.∠CFE=∠ ,(依据：等量代换) .AB∥CD,(依据： .∠B+∠BCD=180°.（依据： D 第16题图 36 17.(期中·北京四中)如图(1)，MN∥PQ,直线AD与MN,PQ 分别交于点A,D,点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD, 垂足为G. N M G B D (1) (2) (3) 第17题图 (1)∠MAG+∠PBG= (2)若点C在线段AD上（不与点A,D,G重合），连接BC, ∠MAG和∠PBC的平分线交于点H. ①请在图(2)中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数 量关系； ②若直线AD的位置如图(3)所示，请直接写出∠CBG与 ∠AHB的数量关系： 爱学子 拒绝盗印答案与解析 定义).，∠1+∠2=90°（已知），.∠3=∠2（同角的余角相等）， ∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行). 23.【解】(1)40 (2)∠B+∠E=180°.理由如下： BA∥ED,BC∥EF,∴.∠B=∠DOC,∠BOE+∠E=180°. 又∠DOC=∠BOE,.∠B+∠E=180°. 24.【证明】：AB∥CD,.∠A=∠D. :∠CEF+∠BOD=180°，∠BOD+∠DOC=180°， .∠CEF=∠DOC,∴.EF∥AD, ∴∠EFC=∠D,∴.∠EFC=∠A. 25.【解(1)CF∥BN证明如下： :∠1=110°，.∠1=∠EFH=110° ∠2=70°，∴.∠EFH+∠2=180°，.CF∥BN (2)CE∥AB,.∠CEB+∠B=180°. ∠B=50°，.∠CEB=130°. 由(1)知CF∥BN,.∠CEB+∠3=180°， 即130°+∠3=180°，解得∠3=50°. 26.【解】(1)如图(1)所示，∠3与∠4互为同旁外角 13 a 2 (1) (2) 第26题答图 (2)35分析：如图(2)，.直线a∥b,.∠3+∠4=180°. 又∠1=∠3，∠2=∠4，.∠1+∠2=180°. ∠1=145°，.∠2=180°-∠1=35°. (3)∠1+∠2=180°，∠1+∠a=180°，.∠2=∠a,∴.a∥b. 归纳结论：同旁外角互补，两直线平行. 27.【解】【问题解决(1)80 (2)90 分析：CD∥AB,∴∠DCB+∠ABC=180°， :∠1+∠2+∠ABC+∠3+∠4+∠DCB=180°+180°=360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°. ∠1=∠2，∠3=∠4，.2（∠2+∠3）=180°， .∠2+∠3=90°. ∠M0N4∠2+∠3=180°，.∠MOW=180°-∠2-∠3= 180°-90°=90°..当∠MON=90时，AB∥CD. 【尝试探究】：∠1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠3=180°-a, ∴.∠1+∠4=180°-a. ,∠1+∠2+∠ABC+∠3+∠4+∠DCB=180°+180°=360°， ∴.∠ABC+∠DCB=2a ∠BEC+∠ABC+∠DCB=180°，∴.∠BEC=180°-2a. 28.(1)【证明：∠GOF与∠AE0互余，.∠GOF+∠AE0=90°. .∠EOF=∠EOG+∠GOF=90°， .∠AEO=∠EOG,∴AB∥OG. 又：AB∥CD,∴.OG∥CD. (2)【解如图(1)，过点O作OQ∥AB,则OQ∥AB∥CD, ∴.∠AE0=∠EOQ,∠CFO=∠FOQ, ∴.∠EOF=∠EOQ+∠FOQ=∠AEO+∠CFO. '∠AEO-∠CFO=B,∴.∠CFO=∠AEO-R.又：∠EOF=a, ∴.∠AEO+∠CFO=∠AEO+∠AEO-B=a, ∴∠AE0=+E 2 如图(2)，过点O作OQ∥AB,则OQ∥AB∥CD, .∠AE0+∠E0Q=180°，∠CFO+∠FOQ=180°， .∠EOF=∠EOQ+∠FOQ=180°-∠AE0+180°-∠CF0= 360°-（∠AEO+∠CFO),∴.∠EOF+∠AEO+∠CFO=360°. :∠AEO-∠CFO=B,.∠CFO=∠AEO-B. 又：∠EOF=a,.a+∠AE0+∠AE0-B=360°， :.∠AB0=360°+月-&=180°-a,2 2 2 综上，LAE0=十P或∠AE0=180°-a-里 2 2 A B A E B Q 0 F D F D (1) (2) 第28题答图 11.重难题型卷（四）平行线 1.C【解析】如图，∠1+∠2=180°， ∠3=60°， a .a∥b, .∠3=∠5=60°， .∠4=∠5=60°. 故选C. 2.C 第1题答图 3.B【解析】AB,CD都与地面1平行， ..AB∥CD,∴.∠BAC+∠ACD=180° ∠BAC=52°，∴.∠ACD=128°. :CE平分Z4CD,∠ACB=∠4CD=64. 当∠MAC=∠ACB=64时，AM与CB平行.故选B. 4.∠B=∠BDF(答案不唯一) 5.【解(1)如图所示 (2)内错角相等，两直线平行两 直线平行，内错角相等 6.(1)【证明】∠BNM=∠AND, ∠AOE=∠BNM, .∠AOE=∠AND, A ∴.OE∥DM YD (2)【解】扶手AB与底座CD 第5题答图 都平行于地面EF, .AB∥CD, ∴.∠B0D=∠ODC=30°. :∠AOF+∠BOD=180°， ∴.∠AOF=150°. :OE平分LAOF, ·∠E0F=i∠A0F=75, ∴.∠BOE=∠B0OD+∠EOF=105°. :OE∥DM,∴.∠AWM=∠BOE=105°. 7.C【解析】如图，过点E作EF∥AB,则AB∥EF∥CD, ∴.∠1=∠3，∠2=∠4. 由题意可知∠3+∠4=60°， ∴.∠1+∠2=60°. ∠1=20°，.∠2=40°.故选C. P E A A 30 B …F D C DG 第7题答图 第8题答图 8.B【解析】如图所示，过点B,D,F分别作水平线的垂线，则 PC∥ED∥QG,.∠BDF=∠BDE+LFDE=∠DBC+∠DFG 由题意可得，∠DBC=号ABP=号(90-a.∠DrG=号∠HrQ -号(90°-f,∠BDF=号(90°-a)+号(90°-B)=(180°-a B),即7=120°-号(a+B),号(a+B)=120°-故选B. 9.30°【解析】如图，过点E作 E EF∥AB,∴.∠EAB+∠AEF =180°. ,∠EAB=80°，.∠AEF =180°-80°=100°. E. AB∥CD,.CD∥EF, D ,.∠ECD+∠CEF=180°. :∠ECD=110°， 第9题答图 .∠CEF=180°-110°=70°，∴.∠AEC=∠AEF-∠CEF= 100°-70°=30°.故答案为30°. 10.270【解析】过点B作BF∥AE,如图，：CD∥AE, .BF∥CD, ∴.∠BCD+∠CBF=180° B AB⊥AE,.AB⊥BF,.∠ABF =90°，∴.∠ABC+∠BCD=∠ABF TTT1TH A +∠CBF+∠BCD=90°+180°= 第10题答图 270°.故答案为270. 11.90°【解析】如图，过点A作AD∥EF, ∴.∠DAE+∠E=180°， ---D ÷∠DME=180°-150=30°.B120/个5 由题可知EF∥BC, E ∴AD∥BC,∴.∠DAC=∠C 第11题答图 =120°，.∠1=∠DAC-∠DAE=120°-30°=90°. 故答案为90°. 12.(1)【证明】如图(1)，过点M作MN∥AB, 则∠BEM=∠LEMN :∠BEMH∠DFM=∠EMF,∠EMN+∠FMN=∠EMF, ∴.∠DFM=∠FMN,.MN∥CD,∴.AB∥CD. E E A —B A W----------->M M D Q 一D D F (1) (2) 第12题答图 (2)【解】号LMNF=∠AEM-∠NFD.理由如下： 如图(2)，过点M作MP∥AB,过点N作NQ∥AB, :AB∥CD,MP∥AB,NQ∥AB,.AB∥CD∥MP∥NQ, ∴.∠AEM=∠EMP,∠PMN=∠MNQ,∠QNF=∠NFD, 真题圈数学七年级下5E .∠EMN=∠EMP+∠PMN=∠AEM+∠MWQ,∠MNF= ∠MNQ+∠QNF=∠MWQ+∠NFD. :2LEMN=3LNE,·∠EMN-多∠MNE,·多∠MNP- ∠MNF=LAEM-∠NFD,∴.∠MNF=∠AEM-∠NFD. 13.D【解析】：EG平分LBEF,·LBEG=∠BEF=号× 118°=59°.AB∥CD,∴.∠EGC=∠BEG=59°.故选D, 14.70°【解析】AB∥CD,∠ADC=100°，∠BAD=180° ∠ADC=80°.：AM平分∠BAD,∠MAD=)∠BAD=40. :AD∥BC,.∠AMC=180°-∠MAD=140°.：MD平分 ∠AMC,∠CMD=3∠AMC=70.'AD∥BC,∠ADM =∠CMD=70°.故答案为70°. 15.55°【解析】AB∥CD,∠BAD=70°，∠BCD=40°， .∠ADC=∠BAD=70°，∠ABC=∠BCD=40°. :B距平分∠ABC,DE平分∠ADC,·LABE=LCBE=3ABC =20°，LADE=∠CDE=3∠ADC=3S° 如图，过点E作EF∥AB,:AB∥ B CD,∴AB∥EF∥CD,.∠ABE ---->E =∠BEF,∠DEF=∠CDE, .∠BED=∠BEF+∠DEF= ∠ABE+∠CDE=20°+35°= D C 55°.故答案为55°. 第15题答图 16.【解】两直线平行，内错角相等角平分线的定义BAE同位 角相等，两直线平行两直线平行，同旁内角互补 17.【解】(1)90° (2)①补全图形如图(1)(2)所示，分两种情况： I.当点C在线段4G上时，如图(1)，猜想：2∠AHB-∠CBG=90° 证明：过点C作CE∥MN,则∠MAC=∠ACE. 又：MN∥PQ,.CE∥BD,.∠CBD=∠ECB, .∠ACB=∠MAC+∠CBD. 同理可得∠AHB=∠MAH+∠DBH. :AH平分∠MAC,BH平分∠DBC,.∠MAC=2∠MAH, ∠DBC=2∠DBH,∴.∠ACB=2(∠MAH+∠DBH)=2∠AHB. BG⊥AD,.∠CGB=90°， .∠ACB=180°-∠BCG=∠CBG+∠CGB=∠CBG+90°， ∴.2∠AHB=∠CBG+90°，即2∠AHB-∠CBG=90°. Ⅱ.当点C在线段DG上时，如图(2)，猜想： 2∠AHB+∠CBG=90° 证明：方法同I 同理可得，∠ACB=2∠AHB,∠ACB=90°-∠CBG, .2∠AHB=90°-∠CBG, 即2∠AHB+∠CBG=90° ②2∠AHB+∠CBG=270°或2∠AHB-∠CBG=270° 分析：I.当点C在线段AG上时，如图(3)， 同①可得∠AHB=∠MAH+∠PBH,∠MAC+∠PBC=2(∠MAH+ ∠PBH),∠ACB=∠NAC+∠DBC,∠ACB=180°-∠BCG =90°+∠CBG .'∠WAC=180°-∠MAC,∠DBC=180°-∠PBC, .∠ACB=360°-∠MAC-∠PBC =360°-2（∠MAH+∠PBH)=360°-2∠AHB, .360°-2∠AHB=90°+∠CBG, 即2∠AHB+∠CBG=270°. Ⅱ.当点C在线段DG上时，如图(4)，同理可得2∠AHB- 答案与解析 ∠CBG=270° 女 A M D B Q B (1) (2) B (3) (4) 第18题答图 12.第八章学情调研 题号 12345678 答案BC DBDDAD 1.B2.C3.D 4.B【解析】-3ax-3ar=-3ar(a+1),故A选项不符合题意；x2- 2xy2+y=(x-y)2,故B选项符合题意；4x2-y2=(2x+y)(2x-y), 故C选项不符合题意；x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y),故D选项 不符合题意.故选B. 5.D【解析】(x-5)(x+n)=x2+nx-5x-5n,x2+mx-10=(x- 5)(x+n）,∴.nx-5x=mx,-5n=-l0,∴.n-5=m,n=2,解得 m=-3,n=2,=23=日故选D 6.D【解析】20252026-20252024=20252024×(20252-1)= 2025204×(2025+1)×(2025-1)=2025224×2026×2024, 20252026-20252024=2025×2024×2026,.20252024× 2026×2024=2025×2024×2026.∴.x=2024.故选D. 7.A【解析】.'ac-bc+a2-ab=c(a-b)+a(a-b)=(a-b)(c+a), a-b=3,a+c=-5,∴.ac-bc+a2-ab=3×（-5)=-15.故选A. 8.D【解析】x3-9y2=x(x2-9y2)=x(x+3y)(x-3y),当x=10, y=1时，x=10,x+3y=10+3=13,x-3y=10-3=7, 所以上述方法生成的密码可以是10137.故选D. 9.x(y+1)(y-1) 10.12y-3x-1【解析】36y2-9x3y-3xy=3y(12y-3x-1). 故答案为12y-3x-1. 11.2x(答案不唯一)【解析】：x2士2x+1=(x士1)2，x2+(2x-1)+ 1=x2+2x=x(x+2),.O可以为2x,-2x,2x-1等，答案不唯 一.故答案为2x(答案不唯一). 12.110【解析】12.752-7.252=(12.75+7.25)×（12.75-7.25)= 20×5.5=110(cm2).故答案为110. 13.-5或7 14.4【解析】：a+b-2=0,.a+b=2,.a2-b+4b=(a-b)(a+ b)+4b=2(a-b)+4b=2a+2b=2(a+b)=4.故答案为4. 15.6【解析】由题可设x2+ax-12=(x+m)(x+n),m,n为整数， ∴mn=-12,m+n=a.-12=1×(-12)=(-1)×12= 2×(-6)=(-2)×6=3×(-4)=(-3)×4,.a=±11或a= ±4或a=±1，共有6个. 故答案为6. 16.(1)13(答案不唯一)(2)36 【解析】(1)，13=22+32，∴.13是完美数.（答案不唯一） (2):M=x2+445y2-12y4k=(x+2y)2+(y-6)2+k-36,∴.当k= 36时，M是完美数.故答案为(1)13（答案不唯一）方(2)36 17.【解】(1)ab-ab=ab(a2-1)=ab(a-1)(a+1). (2)3a2-12a+12=3(a2-4a+4)=3(a-2)2. 18.【解】(1)822×3-175×3=3×(8252-1752)=3×(825+175)× (825-175)=3×1000×650=1950000. (2)57×99+44×99-99=99×(57+44-1)=99×100=9900. 19.【解】若选择和n,用“-”号连接成m-,则对其进行因式 分解为m-n4=（m2+n2)(m2-m2)=(m2+n2)(m+n)(m-n).(答案 不唯一) 20.【解】x(x+y)(x-y)-x(x+y)2=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]=-2y(x+ 以.当xw=1,y=-时，原式=-2×（)×1=1 21.【解】1-22+32-42+52-62+…+992-1002+1012=1+32-22+52- 42+…+1012-1002=1+(3+2)×(3-2)+(5+4)×(5-4)+…+ (101+100)×(101-100)=1+(3+2)+(5+4)+…+(101+100)= 1+2+3+4+5++100+101=+10四×101=5151. 2 22.【解】甲：2(x-3)(x+2)=2x2-2x-12,乙：2(x-3)(x+4)=2x2+ 2x-24.:甲同学看错了常数项，但没有看错一次项系数，乙同 学看错了一次项系数，但没有看错常数项，∴.b=2,c=-24, ∴.原多项式为2x2-2x-24.·2x2-2x-24=2(x+3)(x-4), “.正确的分解结果为2(x+3)(x-4). 23.【解】(1)②三 (2)-4y2+16x2=16x2-4y2=4(4x2-y2)=4(2x+y)(2x-y). 24.【解】(1)x2-2xy+y2-4=(x-y)2-4=(x-y42)(x-y-2). （2)△ABC是等腰三角形.理由：.a2-ab-ac+bc=0,∴.a(a b)-c(a-b)=0,∴.(a-c)(a-b)=0,.a=b或a=c, .△ABC是等腰三角形. 25.【解(1)x=2和x=-20 (2)士4分析：x2+a+4的0值只有一个，.x2+ax+4= (x±2)2.又(x士2)2=x2±4x+4,.a=±4. (3)09分析：·x2-bx=x(x-b),∴.x2-bx的0值为x=0 和x=b.x<x2,b>0,∴x1=0.”x2-6x+m的0值与轴值 相等，.x2-6x+m的0值只有一个，∴.x2-6x+m=(x-3)2=x2- 6x+9,即m=9.此时x2-6x+m的0值为x=3,轴值为3+3=3. 2 26.【解】(1)C(2)能，最后的结果为(x-2)4. (3)设x2+6x=y,则(x2+6x)(x2+6x+18)+81=y(0y+18)+81= y2+18y+81=(6y49)2=(x2+6x+9)2=(x+3)4 27.【解】(1)如图所示.（图形不唯一） aaa b (2)6(5a+b)(a+b) (3)a+2b分析：3张边长为a的正 b 方形卡片的面积是32,4张长为b, 宽为a(b>a)的长方形卡片的面积是 第27题答图 4ab,5张边长为b的正方形卡片的 面积是5b2,·a2+4ab+4b=（a+2b)2,∴.拼成的正方形的边长 最长可以为a+2b. 28.【解】(1)x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=(x-2)2-1. （2)x2+y2-4x+6y+28=x2-4x+y2+6y+28=x2-4x+4-4+y2+6y4+9- 9+28=(x-2)2+(y+3)2+15..(x-2)2≥0，(y+3)2≥0，∴.当x-2 =0,+3=0时，原式有最小值，∴.当x=2,y=-3时，原式 有最小值，最小值为15.