10.重难题型卷(三)全等三角形-【真题圈】2024-2025学年七年级下册数学练考试卷（北师大版·新教材）四川专版

答案与解析 (3)旋转角度数a的值为15°，40°，130°，195或220°. 分析：因为∠BAC=50°，所以∠CAF=180°-50°=130° 因为AP是∠CAF的平分线，所以∠CAP=65°， 所以∠BAP=∠BAC+∠CAP=50°+65°=115°， 所以∠ABP=180°-∠BAP-∠APB=180°-115°-50°=15° 因为BE是∠ABC的平分线，所以∠CBE=15°，∠ABC=30°， 所以∠ACB=180°-50°-30°=100°. 又易知C0是∠ACB的平分线，所以∠BCO=50°， 所以∠BD0=∠B0C=180°-15°-50°=115°， 所以∠AD0=180°-∠BD0=180°-115°=65° 因为AO是∠BAC的平分线，所以∠DAO=∠CAO=25°， 所以∠DAO+∠AD0=25°+65°=90°，所以LAOD=90° ①如图①，当AD'∥PB时，∠APB+∠PAD'=180° 因为∠APB=50°，所以∠PAD'=130°， 所以旋转角度a=130°-65°-50°=15° A D' D' D 0 C B ① ② 第25题答图 ②如图②，当A0∥PB时，同理可得，∠PA0=130°， 所以旋转角∠0A0的度数a=130°-65°-25°=40° ③如图③，当OD∥PB时，延长0A交PB于点Q, 则∠AQP=180°-∠AOD=90°， 所以∠PAQ=40°，所以∠CAQ=65°-40°=25°， 所以∠OAQ=∠OAC+∠CAQ=25°+25°=50°， 所以旋转角∠0A0的度数a=180°-50°=130°」 0' D1 3 D B ⑤ 第25题答图 ④如图④，当AD'∥PB时，∠DAP=∠APB=50°，所以旋转 角∠0A0的度数a=360°-25°-65°-50°-25°=195° ⑤如图⑤，当A0∥PB时，∠0AP=∠APB=50°， 所以旋转角∠0A0的度数a=360°-25°-65°-50°=220° 综上，旋转角度数a的值为15°，40°，130°，195°或220°. 26.【解1(1)①因为点E为BD的中点，所以BE=DE. 因为AE⊥BC,所以∠AEB=∠AED=90°. 因为BE=DE,AE=AE, 所以△ABE≌△ADE(SAS),所以AB=AD ②猜想：AC=2AG.理由如下： 因为∠ABC=∠BAC=67.5°， 所以∠ACB=45°，∠BAE=180°-90°-67.5°=22.5°」 因为△ABE≌△ADE, 所以∠DAE=∠BAE=22.5°， 所以∠CAD=67.5°-22.5°-22.5°=22.5°， 所以∠EAC=22.5°+22.5°=45° 如图，延长AE至点M,使AM=AC, 所以AM=AC=BC 在△ABM和△ADC中，因为AB= AD,∠BAM=∠DAC,AM=AC, 所以△ABM≌△ADC, ⊙ 所以∠AMB=∠ACB=45°，BM D =CD, 所以∠AMB=∠EAC,BM=AF M 第26题答图① 又∠BGM=∠AGF, 所以△BGM≌△FGA(AAS), 所以GM=AG,所以AM=2AG. 因为AM=AC,所以AC=2AG. (2)存在，BE=手， 如图，作BM∥AC,且BM=BC, 所以∠MBC=∠C. 因为AF=CD,AC=BC, 所以BD=CF, 所以△BDM≌△CFB, B4 、D、 D' 所以DM=FB, 所以AD+BF=AD+DM 所以当A,D,M三点共线时，AD+ DM最小 连接AM,交BC于点D',当点D M 第26题答图② 在点D上时，AD+BF的值最小. 因为AC=BC,所以AC=BM 「∠AD'C=∠MDB, 在△ACD和△MBD'中，{∠C=∠D'BM, AC=MB. 所以△ACD'≌△MBD'(AAS), 所以CD'=BD 因为BC=5,所以BD=3BC=多 因为点E为BD的中点，所以BE=)BD= 综上，存在BE=-时，AD+BF的值最小。 10.重难题型卷（三）全等三角形 1.C【解析J在△MBP和△PCN中，BM=PC,∠B=∠C,BP= NC,所以△MBP≌△PCN(SAS),所以∠BMP=∠CPN. 因为∠MPN=44°，所以∠BPM+∠CPN=180°-∠MPN= 136°，所以∠BPM+∠BMP=136°， 所以∠B=180°-136°=44°. 因为∠A+∠B+∠C=180°，所以LA=92°，故选C. 2.【解J(1)①因为BD1DE,CE⊥DE, 所以∠BDA=∠CEA=90°. 因为∠BAC=90°，所以∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90° 所以∠ABD=∠CAE. 在△ABD和△CAE中，∠BDA=∠CEA,∠ABD=∠CAE,AB= AC,所以△ABD≌△CAE(AAS). ②油(1)可得△ABD≌△CAE,所以BD=AE,CE=DA, 所以DE=AE+DA=BD+CE. (2)成立.理由如下： 因为∠BDA=∠AEC=∠BAC=a, 所以∠BAD+∠CAE=180°-a,∠DBA+∠BAD=180°-Q, 所以∠DBA=∠CAE. 在△ABD和△CAE中，∠BDA=∠CEA,∠ABD=∠CAE,AB= AC,所以△ABD≌△CAE(AAS), 所以BD=AE,CE=DA,所以DE=AE+DA=BD+CE. 3.【解】(1)因为CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAW=90°， 所以∠BDA=∠AFC=90°， 所以∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAF=90°， 所以∠ABD=∠CAR 在△ABD和△CAF中，因为AB=AC,∠ABD=∠CAF,∠BDA =∠AFC,所以△ABD≌△CAF(AAS). (2)因为∠1=∠2，所以∠BEA=∠AFC. 又因为∠BAC=∠2，∠BAC=∠BAE+∠FAC,∠2=∠FAC+ ∠ACF,所以∠BAE=∠ACF 在△ABE和△CAF中，因为AB=AC,∠BAE=∠ACF,∠BEA =∠AFC,所以△ABE≌△CAF(AAS). (3)因为CD=2BD,SAAC=15, 所以SAMm=号×15=5. 由(2)知△ABE≌△CAF,所以S AACE+S△BDE=S△ME+S△BDE= SAABD=5.故△ACF与△BDE的面积之和为5. 4.55【解析】因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC,所以∠1=∠EAC 在△BAD和△CAE中，AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, 所以△BAD≌△CAE(SAS),所以∠2=∠ABD=30°. 因为∠1=25°，所以∠3=180°-∠ADB=∠1+∠ABD= 25°+30°=55°.故答案为55° 5.【解】(1)因为BA=BC,∠DBE=∠ABC=90°，BD=BE, 所以△DBA≌△EBC(SAS),所以AD=CE (2)AD=CE,AD⊥CE.理由如下： 因为LDBE=∠ABC=90°，所以∠DBA=∠CBE=90°-∠DBC 又因为AB=BC,BD=BE,所以△DBA≌△EBC(SAS), 所以AD=CE,∠ADB=∠CEB. 延长DA,EC交于点O,如图① 因为∠BDE+∠BED=90°，所以∠BDE+∠BEC+∠CED=90°， 所以∠BDE+∠ADB+∠CED=90°，所以∠ODE+∠OED=90°， 所以∠O=90°，所以AD⊥CE. A --M ⑦ @ 第5题答图 (3)过点A作AM⊥AC交CD的延长线于点M,过点A作 AW⊥CD交CD于点N,如图②. 因为LACD=45°，所以∠ACD=∠M=45°， 所以△ACM是等腰直角三角形，所以AC=AM 因为∠BAD=90°，AB=AD,∠BAC=∠DAM=90°-∠DAC, 真题圈数学七年级下11M 所以△ABC≌△ADM(SAS), 所以BC=DM,∠ACB=∠M=45°， 所以∠BCD=∠ACB+∠ACD=90° 因为点A到直线CD的距离为7，所以AN=7. 因为AN⊥CD,∠ACD=45°，所以∠ACD=∠CAN=45°， 所以△ACN是等腰直角三角形，所以CN=AN 同理可得，AN=MN,所以CM=2AN=14. 因为BC-子CD,CM=DMCD=BC+CD, 所以BC=6,CD=8, 所以Sam=号BCCD=3×6x8=24 6.8【解析】如图，延长CE至点F,使EF=CE,连接BE 因为CE是△ABC的中线， 所以AE=BE. 因为∠AEC=∠BEF, 所以△AEC≌△BEF(SAS), A E B 所以BF=AC,∠FBA=∠A. 因为AC=AB, 所以BF=AB,∠ACB=∠ABC 第6题答图 因为CB为△ACD的中线，所以BD=AB,所以BD=BE 因为∠CBD=180°-∠ABC,∠ABC+∠ACB+∠A=180°， 所以∠CBD=∠ACB+∠A. 又因为∠CBF=∠ABC+∠FBA,所以∠CBD=∠CBF 又因为CB=CB,所以△CBD≌△CBF(SAS), 所以CD=CF=2CE. 因为3CE+4CD=88,所以3CE+4×2CE=88,解得CE=8. 故答案为8. 7.【解如图，延长BD到点E,使得DE=BD,连接AE. 在△ADE和△CDB中，DE=BD, A ---------- ∠ADE=∠CDB,AD=CD, D 所以△ADE≌△CDB(SAS), 所以AE=BC,∠AED=∠CBD, B☑ 所以AE∥BC(内错角相等，两直线 平行)， 第7题答图 所以∠ABC+∠BAE=180°（两直线平行，同旁内角互补）. 因为∠ABC=90°，所以∠BAE=90°. 在△ABE和△BAC中，AB=BA,∠EAB=∠CBA,AE=BC,所 以△ABE≌△BAC(SAS), 所以AC=BE,所以BD=号BE=方4AC 8.16【解析】如图，在BD上截取BF=DE,连接AE 在Rt△ABC中，因为∠ABC=90°， 所以∠BAC+∠C=90° D E 因为BD是高，所以∠ADB=90°， 所以∠BAD+∠ABD=90°， 所以LABD=LC=∠E. 在△ABF与△BED中，AB=BE, 第8题答图 ∠ABD=∠E,BF=DE, 所以△ABF≌△BED(SAS) 因为5DE=2BD,AD=8,BD=10, 所以BF=DE=4,所以SAe=SAr=3BF·AD=7X 4×8=16.故答案为16 9.【解】(1)6 分析：因为四边形ABCD为正方形， 答案与解析 所以∠ABE=∠ADG=90°，AB=AD, 因为BE=DG,所以△ABE≌△ADG(SAS), 所以AE=AG,∠BAE=∠DAG 因为∠BAD=90°，∠EAF=45°， 所以∠BAE+∠DAF=45°. 因为∠BAE=∠DAG, 所以∠FAG=∠FAD+∠DAG=45°=∠FAE. 又因为AE=AG,AF=AF, 所以△AEF≌△AGF(SAS), 所以EF=GF=GD+DF=BE+DF=2+4=6. (2)EF=BE+DF理由如下： 如图①所示，延长CD至点G,使得DG=BE,连接AG. 因为∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°， 所以∠B=∠ADG. 因为AB=AD,∠B=∠ADG,BE=DG, 所以△ABE≌△ADG(SAS), 所以AE=AG,∠BAE=∠DAG. 因为∠BAD=120°，∠EAF=60°， 所以∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=∠FAG=60°」 又因为AE=AG,AF=AF, 所以△AEF≌△AGF(SAS), 所以EF=FG=GD+DF=BE+DF,即EF=BE+DF 北，甲道路C --- 东 D 乙道路 B B 南 ① ② 第9题答图 (3)1680 分析：如图②所示，延长DB至点E,使得BE=AC,连接OE. 因为AC∥0F,所以∠AOF=90°-10°=80°， 所以∠0AC=180°-80°=100°. 因为乙道路的起点在指挥中心南偏东20°的B处，乙道路是从 B处开始沿北偏东60方向修建， 所以∠OBD=20°+60°=80°， 所以∠0BE=180°-80°=100°， 所以∠OAC=∠OBE. 因为OA=OB,∠OAC=∠OBE,BE=AC, 所以△AOC≌△BOE(SAS), 所以OC=OE,∠AOC=∠BOE. 因为∠A0B=180°-10°-20°=150°，∠C0D=75°， 所以∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=75°， 所以∠BOE+∠BOD=75°，即∠EOD=∠COD=75°. 因为OC=OE,∠EOD=∠COD,OD=OD, 所以△OCD2△OED(SAS), 所以CD=ED=EB+BD=AC+BD. 因为甲、乙两道路的修建速度分别是每天120m、160m,当两道 路同时开工六天时，分别修建到C,D处， 所以CD=AC+BD=120×6+160×6=1680(m). 10.(1)号或号(2)2或4【解折11)因为S4m=乞BD·AH =12cm2,AH=4cm,所以BD=6cm. 若D在B点右侧，则CD=BC-BD=2cm,1=子： 若D在B点左侧，则CD=BC+BD=14cm,1=号 综上，当1=号或号时，△ABD的面积为12cm (2)分情况讨论： ①若点E在射线CM上，则点D必在CB上，当BD=CE时， 在△ABD和△ACE中，AB=AC,∠ABD=∠ACE=45°，BD =CE,所以△ABD≌△ACE(SAS). 此时，CE=tcm,BD=(8-3t)cm, 所以t=8-3t,所以t=2. ②若点E在CM的反向延长线上，则点D必在CB的延长线上， 当BD=CE时， 在△ABD和△ACE中，AB=AC,∠ABD=∠ACE=135°，BD =CE,所以△ABD≌△ACE(SAS) 此时，CE=tcm,BD=(3t-8)cm,所以t=3t-8,所以t=4. 综上，当t=2或4时，△ABD2△ACE, 故答案为(1)号或号：(2)2或4 11.【解】(1)(10-2t) (2)当△ABP≌△DCP时，BP=CP=5cm, 故2t=5,解得t=2.5. (3)存在.分情况讨论：①如图①，当△ABP≌△QCP时，BA= CQ,PB=PC, 所以BP=PC=号BC=5cm,则21=5，解得1=25 BA=CQ=6cm,则v×2.5=6,解得v=2.4 ②如图②，当△ABP≌△PCQ时，BP=CQ,AB=PC 因为AB=6cm,所以PC=6cm, 所以BP=10-6=4(cm),则2t=4,解得t=2. CQ=BP=4cm,则v×2=4,解得v=2. 综上所述，当v的值为2.4或2时，△ABP与△PQC全等 D(Q) A B P B→P ① ② 第11题答图 11.第五章学情调研 题号1 23456 78 答案B BDC BCCD 1.B 2.B【解析】因为等腰三角形的顶角为40°，所以这个等腰三角形 的底角为(180°-40°)÷2=70°.故选B. 3.D【解析】A点P到点A,点A'的距离相等，所以AP=AP; B.点C,点C到直线MN的距离相等，点A,点A'到直线MN的 距离相等，故MN垂直平分A4',CC; C.因为△ABC与△A'B'C关于直线MN对称，所以这两个三角 形的面积相等； D.直线AB,A'B的交点一定在MN上，此选项错误.故选D.真题圈数学 同步调研卷 七年级下11M 10.重难题型卷（三） 湘神 全等三角形 副 题型一 全等三角形模型 类型1一线三等角 1.如图，在△ABC中，∠B=∠C,M,N,P分 别是边AB,AC,BC上的点，且BM= CP,CN=BP,若∠MPN=44°，则∠A的 度数为() 第1题图 A.44°B.88° C.92° D.1369 2.（期中·23-24成都树德实验沙河改编)树小沙在学习三角形 的全等时，发现了下面这种典型的“一线三等角”图形 0 (1)如图①，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线 m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E. ①试说明：△ABD≌△CAE. ②试说明：DE=BD+CE. 布 (2)如图②，将(1)中的条件改为在△ABC中，AB=AC,D,A, E三点都在直线m上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中 a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立？请 说明理由 金星教有 D ① ② 第2题图 华咖 3.探究性问题(1)如图①，∠MAN=90°，射线AE在∠MAN的 内部，点B,C分别在边AM,AN上，且AB=AC,CF⊥AE于 点F,BD⊥AE于点D.试说明：△ABD2△CAF (2)如图②，点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上，点E,F 都在∠MAN内部的射线AD上，∠1，∠2分别是∠AEB,∠AFC 的邻补角.已知AB=AC,且∠1=∠2=∠BAC.试说明： △ABE≌△CAF (3)如图③，在△ABC中，AB=AC,AB>BC.点D在边BC 上，CD=2BD,点E,F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若 △ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和 M B D D 2 ① ② ③ 第3题图 类型2共顶点旋转 4.(期中·23-24成都石室联中)如图所示，AB=AC,AD= AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°，∠2=30°，则∠3= 2 D 第4题图 —33 5.(期中·23-24成都泡桐树中学)△ABC和△DBE是两个等腰 直角三角形(BA=BC,BE=BD,∠DBE=∠ABC=90°)的 三角板. 【问题初探】(1)当两个三角板如图①所示的位置摆放时，D, B,C在同一直线上，连接AD,CE,试说明：AD=CE 【类比探究】(2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕 点B顺时针旋转到如图②所示的位置，判断AD与CE的数 量关系和位置关系，并说明理由， 【拓展延伸】(3)如图③，在四边形ABCD中，∠BAD=90°， AB=AD,BC=子CD,连接AC,BD,∠ACD=45,点A到 直线CD的距离为7，请求出△BCD的面积. B ① ② ③ 第5题图 拒绝盗印 题型二构造全等 类型1倍长中线 6.(期中·23-24成都七中万达)如图，CE, CB分别是△ABC,△ADC的中线，且AB =AC,3CE+4CD=88,则CE= 第6题图 7.方法探索推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规 则推出其他命题或结论的能力.目前我们已经具备通过一次 全等或者二次全等推出其他结论的能力. 【模型推导】阅读下列材料，完成解答过程 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图①，△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，试 说明：BD=3AC 分析：如图②，要说明BD等于AC的一半，可以用“中线倍长 法”，延长BD到点E,使得DE=BD,连接AE,可得△ADE≌ △CDB,再说明△ABE≌△BAC,最后得到BD=)AC, D ① ② 第7题图 金星教育精品图书 类型2截长补短 8.（期中·23-24成都石室联中)如图，在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是高，E是 △ABC外一点，BE=BA,∠E=∠C,若 5DE=2BD,AD=8,BD=10,则△BDE B 的面积为 第8题图 9.方法探索（期中·21-22成都树德中学） (1)【思维提示】如图①，四边形ABCD为正方形，点E,F分别 在BC,CD上，且∠EAF=45°，延长CD至点G,使得DG= BE,连接AG,若BE=2,DF=4,请计算EF的长度.小明发 现根据条件可证出△ABE≌△ADG,可得到AE=AG,∠BAE =∠DAG,又和同学讨论发现，利用SAS又可证出△AEF≌ △AGF,就能解决上述问题.那么EF的长度为 (2)【拓展应用】如图②，在四边形ABCD中，∠B+∠D= 180°，AB=AD,∠BAD=120°，点E,F分别在边BC,CD上， 且∠EAF=60°，请你观察(1)中的结果，猜想图②中线段BE, EF,DF之间的数量关系： ,并说明理由 (3)【实际应用】图③是某道路修建工程平面示意图，指挥中 心设在O处，甲道路的起点在指挥中心北偏东10°的A处，乙 道路的起点在指挥中心南偏东20°的B处，且A,B两处分别 到指挥中心O的距离相等.已知甲道路是从A处开始沿正东 方向修建，乙道路是从B处开始沿北偏东60°方向修建，当两 道路同时开工六天时，分别修建到C,D处，经测量∠COD= 75°，若甲、乙两道路的修建速度分别是每天120m、160m,请 直接写出C与D两处之间的距离为 m. 北，甲道路 东 0 乙道路 B B E ① ③ ③ 第9题图 —34 题型三动点问题 10.(期末·22-23成都实验外国语)如图，在△ABC中，AB= AC,∠BAC=90°，AH是△ABC的高，AH=4cm,BC= 8cm,直线CM⊥BC.动点D从点C M 开始沿射线CB方向以3cms的速度 运动，动点E也同时从点C开始在直 线CM上以1cm/s的速度向远离C B HD 点的方向运动，连接AD,AE,设运动 第10题图 时间为t(t>0)s. (1)当t= 时，△ABD的面积为12cm2 (2)当t= 时，△ABD≌△ACE. 11.如图①，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm,BC= l0cm,点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动， 设点P的运动时间为ts. (1)PC= cm.(用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，△ABP≌△DCP? (3)如图②，点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发， 以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值， 使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存 在，请说明理由。 拒绝盗印 Q ① ② 第11题图