4.重难题型卷(二)平行线-【真题圈】2024-2025学年七年级下册数学练考试卷（北师大版·新教材）四川专版

所以∠BEF=∠BEH,LCDF=∠HDC, 所以∠F=∠BEF+∠CDF=BE+号HDC=(∠BEH+ ∠HDC),所以∠BEH+∠HDC=2∠F 记AC⊥BD于点M,AB⊥CE于点N(图略)， 所以∠CMD=90°，∠BNE=90°， 所以∠HDC+∠DCA+90°=180°，∠BEH+∠EBA+90°=180°， 所以∠DCA=90°-∠HDC,∠EBA=90°-∠BEH, 所以∠A=∠EBA+∠DCA=90°-∠BEH+90°-∠HDC= 180°-（∠BEH+∠HDC), 所以∠A=180°-2∠F,故∠A+2∠F=180°. 4.重难题型卷（二）平行线 1.48°【解析J如图，因为∠1=96°，纸条的 两边互相平行， 所以∠ABC=∠1=96°. 2入 根据翻折的性质，得∠2=ABC=4g~, B 故答案为48°. 第1题答图 2.56°【解析】因为四边形ABCD是长方形，所以AD∥BC,所 以∠DEG=a,∠AFH=B.由折叠可知∠DEG=∠MEG= a,∠AFH=∠MFH=B,所以∠DEM+∠AFM=2(∠DEG+ ∠AFH)=2(a+B)=2×118°=236°，所以∠MEF+∠MFE= 360°-（∠DEM+∠AFM)=360°-236°=124°，所以∠EMF= 180°-（∠MEF+∠MFE)=56°.故答案为56°. 3.72【解析】因为AD∥CB,所以∠EFC+∠DEF=180°，∠EFB =∠DEF=72°，所以∠EFC=180°-72°=108°，所以∠BFH =108°-72°=36°.因为∠H=∠C=90°，所以∠HMF= 180°-90°-36°=54°，所以∠GMF=126°. 由折叠可得∠NMF=∠HMF=54°，所以∠GMN=∠GMF- ∠NMF=72°.故答案为72. 4.180°-3B【解析】因为四边形ABCD为长方形， 所以AD∥BC,所以LEFH=∠DEF=B,∠EFC=180°-B. 因为长方形纸条ABCD沿EF折叠成题图①，所以∠EFC'= ∠EFC=180°-B, 所以∠HFC=∠EFC'-∠EFH=180°-B-B=180°-2B. 因为长方形纸条ABCD沿HF折叠成题图②， 所以∠C"FH=∠CFH=180°-2B,所以∠C"FE=∠C"FH- ∠EFH=180°-2B-B=180°-3B. 故答案为180°-38. 5.80°【解析】如图，过点P作EF∥AB, 因为AB∥CD, 所以AB∥EF∥CD, 所以∠APE=∠A,∠CDP+∠EPD= E---- 180°. C D 因为∠A=50°，∠D=150°， 第5题答图 所以∠APE=50°，∠EPD=180°-150°=30°， 所以∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°.故答案为80°. 6.69或125°【解析】①如图①，当AB∥DE,BC⊥DC时，过C 作CF∥AB,所以AB∥CF∥DE, 所以∠BCF=a,∠DCF=B,所以a+B=∠BCD=90° 因为a=4B-15°，所以4B-15°+B=90°， 解得B=21°，故a=69°， 真题圈数学七年级下11M A A C------F B E β>D ① ② 第6题答图 ②如图②，当AB∥DE,BC⊥DC时，过C作CF∥AB, 所以AB∥CF∥DE,所以LBCF=a,∠DCF=B, 所以a-B=∠BCD=90°. 因为a=4B-15°，所以4B-15°-B=90°，解得B=35°， 故a=125°. 综上所述，a的度数为69°或125°.故答案为69°或125° 7.67【解析】如图所示，过点A作 AG∥MN,过点B作BH∥CE. 因为CE∥MN, 所以AG∥MN∥BH∥CE. 因为OA⊥MN,所以AG⊥OA, G 即∠OAG=90°.因为∠BAO=157°， 所以∠BAG=∠BAO-∠OAG=67°， M 0 所以∠ABH=∠BAG=67°. 第7题答图 因为CD∥AB,所以∠ABC+∠BCD=180°=∠CBH+∠BCE, 所以∠ABH+∠CBH+∠BCD=18O°=∠CBH+∠BCD+∠DCE, 所以∠DCE=∠ABH=67°.故答案为67° 8.60°【解析】令LAGM=2a,∠CHM=B, 则∠N=2a,∠M=2a+B, E 因为射线GH是∠BGM的平分线， A G B 所以∠FGM=方∠BGM=18o- M<T. ∠AGM0）=90°-a, D 所以∠AGH=∠AGM+∠FGM= 2a+90°-a=90°+a. 第8题答图 因为LM=LN4∠FGN, 所以2a+b=2a+∠FGN,所以∠FGN=2g 如图，过点H作HT∥GN,则∠MHT=∠N=2a,∠GHT= ∠FGN=2B,所以∠MHG=∠MHT+∠GHT=2a+2B,∠CHG =∠CHM+∠MHT+∠GHT=B+2a+2B=2a+3B. 因为AB∥CD,所以∠AGH+∠CHG=180°， 所以90°+a+2a+3B=180°， 所以a+B=30°，所以∠MHG=2(a+B)=60°.故答案为60°. 9.【解】(1)120° （2)如图. E N A -B B 0 C ---.ND G 乙 丙 第9题答图 10.【解】(1)∠APB=∠PAC+∠PBD 分析：如图①，过点P作PE∥1，因为1∥1，所以PE∥ 1∥I,所以LPAC=∠APE,∠PBD=∠BPE, 所以∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD, 即∠APB=∠PAC+∠PBD. 答案与解析 (2)分情况讨论：①点P在点C上方，如图②所示， 过点P作PF∥1，所以∠FPA=∠PAC. 因为L∥，所以PF∥L,所以∠FPB=∠PBD, 所以∠FPB-∠FPA=∠PBD-∠PAC, 即∠APB=∠PBD-∠PAC. ②点P在点D下方，如图③所示， ③ 第10题答图 过点P作PM∥1，所以∠MPA=∠PAC. 因为L∥1，所以PM∥I,所以∠MPB=∠PBD, 所以LMPA-∠MPB=∠PAC-∠PBD,即∠APB=∠PAC-∠PBD. 综上所述，当点P在点C上方时，∠APB=∠PBD-∠PAC;当 点P在点D下方时，∠APB=∠PAC∠PBD. (3)如图④，连接QP,并延长到点E, 因为∠BPE=180°-∠BPQ=∠B+∠BQP,∠DPE=180°- ∠DPQ=∠D+∠DQP, 所以∠BPE+∠DPE=∠BQP+∠PBA+∠DQP+∠PDC, 即∠BPD=∠PBQ+∠PDC+∠BQD. 11.【解】(1)因为AB∥CD,所以∠CPM=∠ABM 因为∠ABM=45°，所以∠CPM=45°. 因为∠MPN=∠CPM4∠CPN,∠CPN=30°， 所以∠MPN=45°+30°=75°. (2)因为∠DEP=10°，所以∠CEP=180°-10°=170°. 因为EF平分∠CEP,所以∠CEF=85°. 因为BF平分∠ABM,∠ABM=40°，所以∠ABF=20°， 如图①，过点F作FK∥AB,过点P作PR∥AB, 所以∠KFB=∠ABF=20°，∠RPM= M ∠ABM=40°. 因为AB∥CD, 所以FK∥CD,PR∥CD, R----- 所以∠KFE=∠CEF=85°，∠EPR= N E D ∠DEP=10°， 第11题答图① 所以∠BFE=∠KFE-∠KFB=85°-20°=65°， ∠MPN=∠RPM+∠EPR=40°+10°=50°， 所以2∠BFE+∠MPN=2×65°+50°=180° (3)∠PQH=号a或∠PQH=90°-号a理由如下： 当点H在点P的左侧时，如图②， 因为AB∥CD, M 所以∠DPG=∠BGP=a 因为∠BPD=180°-∠BPH= ∠PHB+∠PBH,∠PHB=∠PBH, H D 所以∠BPD=2∠PHIB=2∠PBH, 第11题答图② 所以∠PiD=∠PBH=号BPD=号MPN43a 因为PQ平分∠MPN,所以∠MPQ=∠NPQ=)∠MPN, 所以LPBH=∠MPQ+)a 因为∠PBH=180°-∠PBQ=∠MPQ+∠PQH, 所以∠PQ=3a 当点H在点P的右侧时，如图③， 因为AB∥CD, M、 所以∠DPG=∠BGP=a. B G Q 因为∠BPC=180°-∠BPH= ∠PHB+∠PBH,∠PHB=∠PBH,C HD 所以∠BPC=2∠PHB= 第11题答图③ 2∠PBH,所以∠PHB=∠PBH =3∠BPC=180°-∠MPN-a). 因为PQ平分LMPN,所以LMPQ=∠NPQ=∠MPN, 所以∠PHB=∠PBH=90°-∠MPQ-专a 因为∠BPC+∠MPQ=18O°-∠QPH=∠PQH+∠PHB, 所以∠PQH=∠BPC+∠MPQ-∠PHB=2∠PHB+∠MPQ ∠PHB=90°-LMPQ-2a+LMPQ=90°-)a 综上，∠PQH=3a或∠PQH=90°-3x 12.5或35【解析】因为PQ∥MN, 所以∠MBA=∠BAQ=60°. 因为BC平分∠ABM,所以∠CBM=)∠MBA=30°. 当0≤t≤6时，如图①，∠BAQ=(60-10t°，∠ABC=(30-4tP 因为BC∥AQ,所以∠BAQ=∠ABC,即60-10t=30-41,解得 t=5. 当6<1≤5时，不符合题意。 当号<1≤18时，如图②，∠B4Q=(10-60P,∠ABC=(4-30P 因为BC∥AQ,所以∠BAQ=∠ABC,即10t-60=4-30,解得 t=5(舍去). 当18<tK36时，如图③，∠BAQ=(360-10t+60)°，∠ABC= (4-30)°. 因为BC∥AQ,所以∠BAQ+∠ABC=180°， 即360-10t+60+4t-30=180,解得t=35. 故当BC与AQ平行时，1的值为5或35. 故答案为5或35. B N ③ 第12题答图 13.7.5157.5【解析】如图①，ME∥DP,因为MN∥AB,所 以∠EGN=∠EDB=30° 由题意得∠EDP'=t°， ∠MCM'=∠ECG=3t°， M- - 因为M'E∥DP',所以 M' ∠CEG=∠EDP'=t°. 4 D B Q 因为∠EGN=180°- ∠EGC=∠CEG+∠ECG, ① 所以∠EDB=∠EDP'+ ∠MCM, M 所以°+3r°=30°， Q 所以t=7.5. D309 A 如图②，第二次CM所在 直线与PQ平行时， 因为MN∥AB, ② 所以∠PGN=∠MGE= 第13题答图 ∠PDB=30°. 因为CM∥P'D, 所以∠PEM=∠PDP'=to. 因为∠MCM=3r°， 所以∠MCW=180°-31° 因为∠PEM=180°-∠CEG=∠MCN+∠CGE, 所以180°-3°+30°=°，所以t=52.5, 所以3°=3×52.5°=157.5°. 故答案为7.5；157.5. 14.25或65【解析】设射线BM旋转了ts, 因为BM从射线BE出发，绕点B以每秒3°的速度按顺时针方 向旋转，射线CN从射线CE出发，绕点C以每秒1的速度按 顺时针方向旋转， 所以BE旋转31°，CE旋转t° 当点P在点B左侧时， 如图①，∠EBM=3tP,∠ECN=tP, 因为∠BEC=90°，∠BPC=40°， 所以3440=t490,所以t=25. 当点P在点B右侧时， ① 如图②，∠EBM=(360-3t)°，∠ECN N =t°，分别过点B,E作BF∥CD, A B EG∥CD,交CP于点F,G, 因为∠BFC=180°-∠BFP=∠PBF +∠BPF=∠PBF+40°， E G 所以∠DCF=∠BFC=∠PBF+40°. 因为EG∥CD, ② 所以∠CEG+∠ECD=180°， 第14题答图 即∠CEG+t°+∠PBF+40°=180° 因为BF∥CD,EG∥CD,所以BF∥EG, 所以∠FBE+∠BEG=180°， 所以∠FBE+∠BEG+∠CEG+∠ECD=36O°， 所以∠FBE+∠BEG+∠CEG+°+∠PBF+40°=360°， 所以∠EBM+∠BEC+1°+40°=360°， 所以360°-3°+90°+1°+40°=360°，所以1=65. 综上，t的值为25或65. 故答案为25或65. 15.【解(1)26135 分析：如图①，延长PE交CD于点G,设PE,FQ交于点H, 真题圈数学七年级下11M B QND G 第15题答图① 设∠BPE=2a,则∠FPE=方∠BPE=a, 因为AB∥CD,所以LPGQ=∠BPE=2a 因为PE⊥QE,所以∠QEH=∠QEG=90, 所以∠EQC=180°-∠EQG=∠QEG+∠PGQ=90°+2a, 所以∠EQH=EQC=45°+a 因为∠EQW=64°，所以∠EGQ=26°，所以∠MPE=26° 在三角形EQH和三角形PFH中，因为LHEQ+∠HQE+∠EHQ =180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ, 所以∠HEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH, 即90°+45°+a=a+∠PFH,所以∠PFQ=135°. (2)2∠PFQ-∠PEQ=180°.理由如下： 如图①，延长PE交CD于点G,设PE,FQ交于点H, 设∠BPE=2a,则∠FPE=∠BPE=a 因为AB∥CD,所以∠PGQ=∠BPE=2a 因为∠GEQ=180°-∠PEQ,所以∠EQC=180°-∠EQG= ∠QEG+∠PGQ=180°-∠PEQ+2a, 所以LHQE=3∠EQC=90°+a-2∠PEQ, 在三角形EQH和三角形PFH中，因为∠PEQ+∠HQE+∠EHQ =180°，∠FPH+∠FHIP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ, 所以∠PEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH,即∠PEQ+90°+a PEQ=a+∠PFQ,所以2∠PFQ-∠PEQ=I80P. (3)9或苧或号或号或号 分析：根据题意，需要分6种情况： 如图②，当MN∥PH时，110-51=30+10，所以1=9： 如图③，当NM∥F时，90-(180-10t-30)=110-5t, 所以1=号： 如图④，当NM∥PF时，110-51=10r-15,所以1=2空； 3； M M B ⑤ 答案与解析 QND ⑥ ⑦ 第15题答图 如图⑤，当MN∥PH时，360-30-10t+110-5t=180, 所以1=号； 如图⑥，当NM∥FH时，90-(360-10t-30)=110-51, 所以1=9（舍去为 如图⑦，当MM∥Pp时，10-15-180=10-5，所以1-号 综上所述，1-9或号或碧或号或号 5.阶段学情调研（一）】 题号12345678 答案CA CBCACB 1.C 2.A【解析】(2m+1)(3m-2)=62-4m+3m-2=62-m-2.故 选A. 3.C 4.B【解析】因为OE平分∠COB,所以∠COE=∠BOE= 3∠B0C,因为∠B0C=∠A0D=110°，所以∠B0E=3×10 =55°.故选B. 5.C【解析】如图，由平行线的性质，得 ∠3=∠1=80°， 因为∠2+∠3=180°， 所以∠2=180°-80°=100°.故选C. 6.A 7.C【解析】A.当∠C=40时，此时∠C =∠D,则AC∥DE,不能得到AB∥CD; 第5题答图 B.当∠B=40时，此时∠B=∠D,无法证明平行； C.当∠B0C=140°时，∠DOF=140°，此时∠DOF+∠D= 180°，则BF∥DE; D.当∠F=40时，此时∠F=∠D,无法证明平行 故C选项符合题意.故选C. 8.B【解析】因为正方形ABCD的边长为a,正方形EFGB的边长 为b,所以CG=a+b,AE=a-b,S正方带CD=,SE方i形FG= ,S三形m=号，所以S三形c=号EF·AB=号b(a-b)= 3b号6，So=号cG·FG=a+b)b=2ab+号的， 所以S三角形c=S三角形r+S正方希n+S正方形FE0S三角影4c四 1 因为a=10,所以S三角形c=7×102=50.故选B. [提示：本题还可通过连接BF,得到BF∥AC,根据S三角形Ac =S三角能Bc来求解] 9.124 10.5【獬析】(1+2i)(1-2i)=1-42=1-4×(-1)=1+4=5. 故答案为5. 11.55【解析】因为AD∥BC,∠FGE=70°，所以∠GED= 180°-∠FGE=110°.由折叠的性质可知，∠FED=∠FEG= GED=53°，因为AD∥BC,所以∠1=∠FED=55°. 故答案为55. 12.号【解析]因为20×8*×16=2×2×2=2，又因为 2m×8m×16m=22”,所以28m=22,所以8m=22,解得m= 号故答案为4 13.122°【解析】因为AB∥CD,∠ODC=32°， 所以∠BOD=∠ODC=32° 因为OE⊥OF,所以∠EOF=90°，所以∠EOB=90°+32°=122° 因为OE∥DM,所以∠AWM=∠EOB=122°.故答案为122° 14.【解】(1)原式=-8ab+9b·(-3ab)=-8ab5-27ab7. (2)原式=4x2+4y+y2-4(x2+xy-2y2)=4x2+4y4y2-4x2-4y+ 8y2=9y2. 15.【解】(1)[(x+2y)2-y(x+3y)+(x-y)(x+y)]÷2x =(x2+4xy+4y2-xy-3y2+x2-y2）÷2x =(2x+3）÷2x=x+多x 当x=-2y=3时，原式=-2+号×3=-2+号3 (2)(2x+1)(x-1)-(x+1)2=2x2-2x+x-1-x2-2x-1=x2-3x-2. 因为x2-3x+3=0,所以x2-3x=-3, 所以原式=x2-3x-2=-3-2=-5. 16.【解】已知对顶角相等已知等量代换两直线平行，同 旁内角互补12060角平分线的定义 17.【解】(1)2m·2+(2m)n=2m++2mm 因为m+n=3,mn=-1, 所以原式=242=2421=8+方号. (2)m2+2+(m-n)2=m2+n2+2m+[(m-n)2+4mn]-6mn =(m+n)2+(m+n)2-6mn=2(m+n)2-6mn. 因为m+n=3,mm=-1,所以原式=2×32-6×(-1)=24. 18.【解】(1)因为∠ACB=30°，所以∠ACN=180°-∠ACB=150°. 因为CE平分LACW,所以∠ECN=3∠ACW=75°. 因为PQ∥MN,所以∠QEC+∠ECN=180°， 所以∠QEC=180°-75°=105°， 所以∠DEQ=∠QEC-∠CED=105°-45°=60° (2)①因为BG∥CD,所以∠GBC=∠DCN 因为∠DCN=∠ECN-∠ECD=75°-45°=30°， 所以∠GBC=30°，所以6t=30,解得t=5. 所以在旋转过程中，若边BG∥CD,t的值为5. ②3或21.提示：如图①，当BG∥HK时，延长KH交MN于点R 因为BG∥HK,所以∠GBN=∠KRN. 过点K作KS∥PQ,则PQ∥KS∥MN, 所以∠QEK+∠KRN=∠EKS+∠RKS=∠EKR=90° 因为∠QEK=(60+41)°， 所以∠KRN=90°-(60+4t)°=(30-4)°， 所以61=30-4，所以t=3. 如图②，当BG∥HK时，延长HK交NM于点R 因为BG∥HR,所以∠GBN+∠KRM=180°. 因为∠QEK=(60+4I)°，同理，∠EKR=∠PEK+∠KRM, 所以∠KRM=90°-(180°-60°-4°)=(41-30)°， 所以6t+41-30=180,所以1=21. 综上所述，当边BG∥HK时，t的值为3或21.真题圈数学 同步调研卷 七年级下11M 4.重难题型卷（二） 平行线 尽 三细 题型一 折叠问题 日期 1.（期中·23-24成都西川实验)如图，将一个长方形纸条折成 如图所示的形状，若∠1=96°，则∠2的度数是 B 第1题图 第2题图 2.如图，已知长方形纸片ABCD,点E,F在AD边上，点G,H在 BC边上，分别沿EG,FH折叠，使点D和点A都落在点M处， 若a+B=118°，则∠EMF= 製 3.（期中·22-23成都七中高新)如图①，已知长方形纸带 ABCD,将纸带沿EF折叠后，点C,D分别落在H,G的位置， 再沿BC折叠成图②，若∠DEF=72°，则∠GMN= D ②教育 第3题图 总 4.把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠成图①，再沿HF折叠 成图②，若∠DEF=B(0°<B<90°)，用B表示∠C"FE,则 ∠C"FE= 咖 阳 ① ② 第4题图 题型二“拐点”模型 5.（期中·23-24成都锦江师一)如图，已知 直线AB∥CD,P为平面内一点，连接PA, PD.若∠A=50°，∠D=150°，则∠APD的 D 度数为 第5题图 6.(期中·21-22成都金牛中学)已知角a,B(0°<a,B<180°)的 一边互相平行，另一边互相垂直，且α比B的4倍少15度，则 & 7.情境题（期末·22-23成都高新区如图①是一盏可调节台灯， 图②为示意图，固定支撑杆AO⊥底座MN于点O,AB与BC 是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋 转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD,CE组成的 ∠DCE始终保持不变，现调节台灯使最外侧光线CD∥AB, CE∥MN.若∠BAO=157°，则∠DCE的度数为 G C D 第7题图 第8题图 8.（期中·23-24成都列五中学)已知，直线EF分别与直线AB, CD相交于点G,H,且∠AGE+∠DHE=180°，点M在直线 AB,CD之间，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线 上取点N,连接GN,若∠N=∠AGM,∠M=LN4号∠FGN,则 ∠MHG的度数是 9.方法探索已知：如图①，AB∥CD,EF⊥AB于点O,FG交 CD于点P,若∠1=30°，求∠EFG的度数 E 下面提供三种思路： A O R 思路一：过点F作MN∥CD(如图②甲)； P1 -D 思路二：过点P作PN∥EF,交AB于点N; G 思路三：过点O作ON∥FG,交CD于点N 第9题图① 解答下列问题： (1)根据思路一（图②甲），可求得∠EFG的度数为 (2)根据思路二、三分别在图②乙和图②丙中作出符合要求的 辅助线， A- M---- 甲 丙 第9题图② 11 10.探究性问题已知直线1∥1，直线1，交直线1，1，于点C,D, 在直线I,上有动点P(点P与点C,D不重合)，点A,B在直 线1，的左侧，并分别在直线1，和直线1，上 【问题发现】 (1)如图①，当点P在C,D两点之间运动时，∠PAC,∠APB, ∠PBD之间的数量关系为 【拓展探究】 (2)如图②，当点P在C,D两点之外运动时，试探究∠PAC, ∠APB,∠PBD之间的数量关系. 【问题解决】 (3)如图③所示的是一处海滨公园的平面图，BD朝向大海， 由于潮汐的作用，形成了∠BPD形状的沙滩，试探究∠BPD, ∠PDC,∠BQD,∠PBQ之间的数量关系 ② ③ 第10题图 拒绝盗印 11.（期中·23-24成都七初改编)已知AB∥CD,点P是平面 内一点，过点P作射线PN,PM,PM与直线AB相交于点B. (1)如图①，若点P为直线CD上一点，∠ABM=45°，∠CPN =30°，求∠MPN的度数 (2)如图②，若点P为直线AB,CD之间区域的一点，射线 PN交CD于点E,∠ABM和∠CEP的平分线交于点F,已知 ∠ABM=40°，∠DEP=10°，请说明：2∠BFE+∠MPN= 180°. (3)如图③，若点P,H是直线CD上的点，连接HB并延长 交∠MPN的平分线于点Q,射线PN交直线AB于点G,设 ∠BGP=a.当∠PHB=∠PBH时，请用含a的代数式表示 ∠PQH并说明理由. N- ① ② ③ 第11题图 精品图书 金星教育 题型三平行与旋转 12.如图，点A,B分别在直线PQ,MN上，PQ∥MN,∠BAQ= 60°，BC平分∠ABM,将射线BC绕点B以每秒4°的速度按 顺时针方向旋转，射线AQ绕点A以每秒10°的速度按顺时 针方向旋转，设旋转时间为t(t长36)s,当BC与AQ平行时， t的值为 M B N 第12题图 13.(期中·22-23成都实验外国语)如图，直线MN∥AB,点C 在MN上，点D为直线PQ与直线AB的交点，且∠PDB= 30°，现将直线PQ绕，点D以每秒1的速度按顺时针方向旋 转，同时，射线CM绕点C以每秒3°的速度按逆时针方向旋 转，设旋转时间为ts(0≤t≤60)，在旋转的过程中，射线 CM所在直线与PQ第一次平行时，t的值为 ；射 线CM所在直线与PQ第二次平行时，射线CM共旋转了 度 名 AD∠30° Q 第13题图 第14题图 14.（期中·23-24成都七初)如图，AB∥CD,点E在直线BC 左侧，∠BEC=90°，∠ABE=60°，射线BM从射线BE出发， 绕，点B以每秒3°的速度按顺时针方向旋转，同时射线CN 从射线CE出发，绕点C以每秒1°的速度按顺时针方向旋 转，当射线BM旋转240°时两条射线都停止旋转.射线BM 与射线CN交于点P,若∠BPC=40°，则射线BM旋转了 S 15.探究性问题已知AB∥CD,直线MN交AB于点M,交CD 于点N.点E是线段MN上一点，P,Q分别在射线MA, NC上，连接PE,QE,PF平分∠MPE,QF平分∠CQE,如图 所示. 12 (1)若PE⊥QE,∠EQN=64°，则∠MPE= ∠PFQ= (2)求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由 (3)当PE⊥QE时，若∠APE=150°，∠MWD=110°，过点 P作PH⊥QF交QF的延长线于点H.将直线MN绕点N 顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线 为MN,同时三角形FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒 10°，三角形FPH旋转后的对应三角形为三角形F'PH,当 直线MN首次落到CD上时，整个运动停止.在此运动过程 中，经过ts后，直线MN恰好平行于三角形FPH的一条边， 请直接写出所有满足条件的t的值 M A Q ND 备用图 第15题图 学子 拒绝盗印