专题04 二项分布与正态分布四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第三册

专题04 二项分布与正态分布四大常考题型 题型一：二项分布的分布列及均值 题型二：二项分布概率最大问题 题型三：正态分布图像问题 题型四：正态分布综合问题 题型一：二项分布的分布列及均值 1．某人参加射击比赛，他击中目标的概率是． (1)设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列； (2)若他只有6颗子弹，且当他击中目标时，就不再射击；当他未击中目标时，就继续射击，直至子弹打完，求他射击次数的分布列； (3)设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列． 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； (3)分布列见解析. 【分析】（1）某人每次的射击是相互独立且互不影响的，相当于多次重复试验．满足二项分布定义，可以用二项分布性质求解． （2）求离散型随机变量的分布列时要注意随机变量的所有可能取值． （3）应用独立重复试验的概率求法求分布列即可. 【详解】（1）因为此人每次击中目标的概率是， 所以他射击6次，击中目标次的概率． 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 （2）的取值为，若，则前次均未击中目标． 则, 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 6 （3）由（2）可得， 所以的分布列为： 1 2 3 2．某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖． (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率； (2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为2 【分析】（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”， 则事件包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票，利用二项分布的概率公式求解即可； （2）所含“获奖”票和“待定”票票数之和的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，即可得到的分布列和数学期望. 【详解】（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”， 则事件包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票． 因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响， 所以． （2）所含“获奖”票和“待定”票票数之和的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 因此的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望． （或由，得）. 3．某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ． 【答案】 【分析】①用全概率事件来求解即可；②用二项分布概率公式来求解即可. 【详解】①设事件表示使用已校正的气枪，事件表示射中10环， 则， 故任取一支气枪射中10环的概率是； ②4次射击中恰有2次射中10环的概率为：. 故答案为：①；②. 4．随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由独立重复事假概率计算公式即可求解； （2）由题意确定私家车遇到红灯的概率是，由二项分布即可求解. 【详解】（1）由题设，路口遇到红灯私家车数量，则． （2）由题设，路口遇到红灯私家车数量， 一辆私家车遇到红灯的方差为， 当且仅当时方差达到最大，此时私家车遇到红灯的概率是． 由题可得，的可能取值为，则 ， ， ． 所以其分布列为： 0 1 2 3 4 5 ． 5．某商场为了刺激消费，进行消费抽奖活动，规则如下：顾客消费每满600元即可获得抽奖券1张，每张抽奖券中奖的概率均为，若获奖，则可获得价值150元的现金券．已知小王在该商场购买了价值3800元的手机，则小王得到750元现金券的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到获奖次数服从，由获得750元现金券需要中奖5次，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，小王购买了价值3800元的手机，可得小王购物后可以获得6张抽奖券， 因为每张抽奖券中奖的概率均为，所以获奖次数服从， 又因为若获奖获得价值150元的现金券，则获得750元现金券需要中奖5次， 所以小王得到750元现金券的概率为． 故答案为：. 6．甲、乙两队参加某次知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且每个人答对与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分. (1)求随机变量的分布列； (2)设表示事件“甲得2分，乙得1分"，求. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）根据题意分析可知：，结合二项分布求相应概率和分布列； （2）分别求甲得2分和乙得1分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）因为甲队中每人答对的概率均为， 由题意可知：，则的可能取值为0，1，2，3， 且，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）甲得2分，乙得1分，两事件是相互独立的， 由（1）可知：甲得2分，其概率， 乙得1分，用表示事件“乙得1分”，则． 根据相互独立事件的概率公式得. 7．（多选）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ） A．取出的白球个数X服从二项分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 【答案】BD 【分析】根据超几何分布的定义即可求解AB，根据超几何的概率公式即可求解CD. 【详解】对于A，B，取出的白球个数X，黑球个数Y均服从超几何分布，故A错误，B正确； 对于C，取出2个白球的概率为，故C错误； 对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出4个黑球的总得分最大，∴总得分最大的概率为，故D正确． 故选：BD． 8．若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A．39 B．50 C．63 D．68 【答案】C 【分析】先利用二项分布的概率公式求出的值，再利用排列数公式和组合数公式求解． 【详解】随机变量服从二项分布，且， ， ， ， ． 故选：C． 9．设随机变量，随机变量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的期望 D．的期望 【答案】AC 【分析】因为X服从二项分布，A,B选项代入即可判断；C选项代入期望公式即可判断，D选项利用二项分布期望的性质即可. 【详解】,故A正确； ，，故B错误； ，故C正确； ,故D错误； 故选：AC 10．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解. 【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且， 所以 . 故选：D． 题型二：二项分布概率最大问题 11．罚球是篮球运动员在篮球比赛时得分的方式之一．已知某篮球运动员经过长期的训练和比赛，将罚球命中率稳定在70%，若该运动员在某场比赛中获得了5次罚球的机会，且每罚中一球可得到1分，则该名运动员通过罚球最有可能得 分． 【答案】4 【分析】设最有可能得分，根据独立重复试验的概率公式，得到，求得的值，即可求解. 【详解】设该名运动员通过罚球命中的次数为，则， 则， 再设最有可能得分，其中， 则，即， 解得，所以则，所以该名运动员通过罚球最有可能得分． 故答案为：. 12．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：h），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从这500名学生中随机抽取一人，求日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 【答案】(1)0.20． (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据分层抽样的抽样比计算的人生，即可根据超几何分布的概率公式即可求解， （3）根据二项分布的概率公式,结合组合数的性质即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图得，， 解得，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20． （2）由频率分布直方图得，这500名学生中日平均阅读时间在三组内的学生人数分别为． 若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取人，现从这10人中随机抽取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （3），理由如下： 由频率分布直方图得抽取的学生中日平均阅读时间在内的概率为0.50，所以从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列大致服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大． 13．某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错扣1分.甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响.则甲得 分的概率最大. 【答案】112 【分析】根据二项分布的概率公式结合组合数计算即可. 【详解】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大， 易知， 所以，即， 易知时，最大， 所以得分的概率最大. 故答案为：112 14．某项测试共有8道题，每道题答对5分，不答或答错得0分．某人答对每道题的概率都是，每道试题答对或答错互不影响，设某人答对题目的个数为X． (1)求此人得分的期望； (2)指出此人答对几道题的可能性最大，并说明理由． 【答案】(1) (2)此人答对道题的可能性最大；理由见解析. 【分析】（1）根据已知条件，确定，得分为，求即可； （2）根据二项分布概率公式有，通过作商法求出，与比较大小即可确定在时取最大值. 【详解】（1）某人答对每道题的概率都是，则答对题目的个数服从二项分布， 即，，由于每道题答对得分， 所以此人答题得分为，因此，在此项测试中， 此人答题得分的期望为. （2）设此人答对道题的可能性为，， 记，则 ，， 当时，，随的增加而增加，即； 当时，，随的增加而减小，即； 所以当时，最大，因此此人答对道题的可能性最大. 15．随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题能被软件正确应答的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？ 【答案】(1)0.75 (2)7或8 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）由题意可知：且，结合数列单调性分析求解. 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B， 由题意可知：，则， 所以. （2）由（1）可知：， 则，可得， 令，则， 令，解得，可知当，可得； 令，解得，可知当，可得； 令，解得，可得； 所以当或时，最大，即n为7或8时，的值最大. 16．聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%. (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值. 【答案】(1)0.75 (2)6 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据二项分布的概率公式，利用不等式即可求解最值. 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件， 由题意，，，则 ， . （2）依题意，，， 当最大时，有 即解得：，， 故当最大时，. 17．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，用表示这8名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，请直接写出的值.（不需要说明理由） 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）由题意，根据频率分布直方图中小矩形面积之和为1，，能求出的值，进而估计出概率； （2）先按比例抽取人数，由题意可知此分布列为超几何分布，即可求出分布列； （3）求出的式子进行判断． 【详解】（1）由概率和为1得：， 解得； （2）由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在、、三组内的学生人数分别为： 人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则应从阅读时间在中抽取5人，从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人， 现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望． （3），理由如下： 由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在,内的概率为0.50， 从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，恰有名学生日平均阅读时间在,内的分布列服从二项分布， ，由组合数的性质可得时最大． 18．某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题. (1)求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望； (2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)3次或4次 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. （2）根据二项分布的知识求得闯关成功的次数的分布列，由此求得正确答案. 【详解】（1）由题知：可取0，1，2，3，则: ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 则的期望为：. （2）方法1、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为 若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则. 故 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 方法2、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为 若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则 故 ∴假设当时，对应概率取值最大，则 解得，而 故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 19．一质点从平面直角坐标系原点出发，每次只能向右或向上运动1个单位长度，且每次运动相互独立，质点向上运动的概率为.质点运动5次后，所在位置对应的坐标为（3，2）的概率为 ，质点运动2023次后，最有可能运动到的位置对应的坐标为 . 【答案】 【分析】根据二项分布的概率公式，以及组合数的对称性质，可得答案. 【详解】由运动次后，所在位置对应坐标为，则运动中有次向右，次向上，由题意可得：其概率； 设质点运动次，所在位置对应的坐标为，则其概率，令，，解得， 故当时，取得最大值，此时质点所在位置对应的坐标为. 故答案为：；. 20．某公司通过游戏获得积分以激励员工.游戏规则如下：甲袋和乙袋中各装有形状和大小完全相同的10个球，其中甲袋中有5个红球和5个白球，乙袋中有8个红球和2个白球，获得积分有两种方案.方案一：从甲袋中有放回地摸球3次，每次摸出1个球，摸出红球获得10分，摸出白球得0分；方案二：掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲袋中随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙袋中随机摸出一个球，若摸出的是红球，则获得积分15分，否则得5分. (1)某员工获得1次游戏机会，若以积分的均值为依据，请判断该员工应该选择方案一还是方案二？ (2)若某员工获得10次游戏机会，全部选择方案一，记该员工摸出红球的次数为，当取得最大值时，求的值. 【答案】(1)选择方案一 (2)15 【分析】（1）选择方案一：法一，设出积分为，写出可能取值及相应的概率，求出分布列和期望；法二：设抽中红球的次数为，积分为，则，利用二项分布求解期望值；选择方案二：利用条件概率求出最终摸出红球的概率，进而得到积分的期望值，比较后得到结论； （2）由题意得到，列出不等式组，求出答案. 【详解】（1）选择方案一：法一： 因为甲袋中有5个红球和5个白球，故从甲袋中有放回地摸球，每次摸到红球的概率为， 由题意可得，设积分为， 可能取值为0，10，20，30， ，， ，， 则的分布列为 0 10 20 30 且； 法二： 由题意可得，设抽中红球的次数为，积分为， 因为，所以， 因为，所以； 若选择方案二：设事件“从甲袋摸球”，则事件“从乙袋摸球”，事件“摸出的是红球”，设方案二的积分为， 则， 则， 因为，所以选择方案一； （2）由题意得，则， 解得，又，即时，最大. 题型三：正态分布图像问题 21．设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决． 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 22．某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为 .（参考数据：若，则） 【答案】1 【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，，然后列不等式组可解． 【详解】依题意可知，，又， 所以，要使合格率达到99.74%，则， 所以，解得：，故至多为1． 故答案为：1． 23．毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图的性质，代入计算，即可得到结果： （2）根据题意，由正态分布的概率公式可得，再由二项分布的期望公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得． （2）由题意得 ， 则，， ，， 即随机变量Y的期望约为. 24．某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 【答案】A 【分析】利用正态分布的性质，结合区间概率，即可求解. 【详解】学生的抽测成绩服从正态分布， 则 ， 由于总人数为30000，则抽测成绩在内的学生人数大约为， 故选：A． 25．近年来，巫溪县大力发展生态农业，蒲莲蜜柚因其形大、汁多、味甜深受消费者追捧．已知某批次蜜柚的重量（单位：克），，规定重量不小于1300克的蜜柚为合格品，重量在1500克到1700克之间的蜜柚为优等品．现从该批次蜜柚中随机抽取一个，下列说法正确的有（   ） A．该蜜柚是优等品的概率为 B．该蜜柚是合格品的概率为 C．若该蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为m D．若该蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为 【答案】ABC 【分析】根据正态分布的概念，判断分布曲线的对称轴和方差，根据正态分布的对称性，以及条件概率公式，逐一判断各选项正误. 【详解】由题意，则随机变量服从正态分布，对称轴为，， 因为，即， 所以，A正确； 由，可知， 所以，B正确； 由正态分布曲线的对称轴为，所以，， 设事件为蜜柚重量大于1500克，则，事件为蜜柚为优等品，则， 由条件概率可知蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为，C正确； 蜜柚是合格品的概率为，重量不小于1500克的概率为， 设事件为蜜柚是合格品，则，设事件为蜜柚重量不小于1500克，则， 由条件概率可知蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为，D错误； 故选：ABC 26．下列有关说法正确的有（   ） A．设随机变量ξ服从正态分布，若，则 B．记两个变量的样本相关系数为r，若越接近0，线性相关程度越强 C．已知随机变量，则 D．数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的对称性、相关系数的性质，结合二项分布的数学期望公式、数学期望性质、下四分位数的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为随机变量ξ服从正态分布，且， 所以，因此本选项说法正确； B：由样本相关系数的性质可知：越接近0，线性相关程度越弱，因此本选项说法不正确； C：因为，所以， 所以，因此本选项说法正确； D：数据1，3，9，4，5，16，7，11从小到大排列为： 1，3，4，5，7，9，11 ，16， 因为 所以这组数据的下四分位数为，因此本选项说法正确. 故选：ACD 27．某区举行模拟考试，共有5000名学生参加，考试分两次，对第一次考试成绩不满意的学生可参加第二次考试.为了解考生情况，随机抽取了100名学生第一次考试中某科目的成绩(满分:100分)，并绘制样本频率分布直方图，如图所示. (1)若学生第一次考试中某科目的成绩X近似服从正态分布，其中μ为样本平均数的估计值，请估计第一次考试中某科目的成绩高于86分的人数.(同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)设第一次考试中某科目成绩在区间内对应的等级分别为优秀、良好、合格与不合格，若该科目第一次考试等级为良好，合格与不合格的学生都参加了第二次考试，假设第二次考试后，原等级为良好、合格与不合格的学生分别有的概率提升一个等级，不晋级则保留原等级，每位学生的考试成绩相互独立.将频率视为概率，从全体学生中任取一人，求在已知该生是第二次考试后晋级的条件下，第一次考试评级为合格的概率. 附:若随机变量，则. 【答案】(1)114人； (2). 【分析】（1）根据频率分布直方图的均值计算公式得出平均数，再利用正态分布的对称性求出概率，进而得出人数； （2）根据频率分布直方图得出评级为合格、不合格的概率，再利用条件概率的计算公式即可. 【详解】（1）样本平均数的估计值为 ，即， 又，则，则， 又，所以估计第一次考试中某科目的成绩高于86分的学生有114人. （2）由频率分布直方图知第一次考试评级是良好的频率为(0.024+0.012)×10=0.36， 评级为合格的频率为，评级为不合格的频率为， 记事件A为“第二次考试后该学生晋级”，事件B为“该学生第一次考试评级为合格”， ，，所以， 故在已知该生是第二次考试后晋级的条件下，第一次考试评级为合格的概率为 28．某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求值. 【详解】设1包糖果的质量为，则， 所以， 又， 所以. 故选：D 29．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布、特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数. (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似：当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，利用其与正态分布的联系求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为0.1%，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数. ①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； ②若，，求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过与①的计算结果比较，你发现了什么规律？ (3)若，当时，记的取值范围为集合，证明. 参考数据：若，则有，，；，，. 【答案】(1)0.136 (2)①0.2644；②,规律见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）分析可知，利用正态分布原则,可求得的值； （2）分别利用独立重复试验的概率公式和泊松分布的概率公式可求得，比较大小后可得出结论； （3）利用泊松分布得出，进而结合题意得，再构造函数，继续通过研究其单调性得，使得，故，即可证明. 【详解】（1）解：因为当，且时，可近似地认为， 即，这里，， 所以， （2）①若， 则； ②若，其中， 则. 比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是非常接近的，说明某些特定情形下，可以用泊松分布来计算二项分布. （3）由于，所以，， 由泊松分布的概率公式可得，， 所以，， 因为，即， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 由于，，所以，， 所以，使得，即 所以 30．已知随机变量，若，则 . 【答案】 【分析】根据正态分布的性质，求得，结合，故，即可求解. 【详解】由正态分布的性质，可得， 因为，所以， 解得， 又由随机变量，根据正态分布曲线的对称性，可得. 故答案为：. 题型四：正态分布综合问题 31．实验测量中，测量数据往往存在误差，故测量数据常常服从正态分布.在一次实验测量中，某同学的测量数据近似服从正态分布，且. (1)在的条件下，求的概率； (2)已知事件“”与事件“”相互独立，求实数； (3)若认为该实验在时测量精度较高，且已知随机变量时，，请评价本次实验测量的测量精度. 【答案】(1)0.8 (2) (3)本次实验的测量精度不高 【分析】（1）利用正态分布的对称性及条件概率计算即可； （2）利用正态分布的对称性及事件的相互关系、相互独立事件的性质分类讨论计算参数即可； （3）设变量，分类讨论二者大小，结合条件得出的充要条件，利用正态分布的性质计算得出，从而判定测量精度即可. 【详解】（1）在的条件下，的概率等价于， 由题意可知，其概率密度函数图象关于直线对称， 所以， 根据对称性，， 故 （2）设事件为“”，事件为“”， 且事件“”等价于事件“或”. 由题意得， 则由对称性得， 由事件“”与“”互斥，则， 因为事件与相互独立，所以， 当时，等价于事件“”， 则，解得，无解； 当时，等价于事件“”， 则，即，解得， 由于，故. 当时，等价于事件“或”. 此时有， 故由正态分布性质，拆分可得 ， 又，代入解得， 而，故，无解. 综上所述，； （3）由题可计算得， 又对于任意，由于等价于 ， 则对于任意均有， 时，同理， 故是的充要条件. 由正态分布性质有，且数据比较， 即， 故，再由上述的充要条件， 这等价于的情况，故必有，即， 故，即可做出本次实验的测量精度不高的评价. 32．某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣，特地举办了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩，其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（    ） A．该知识竞赛的及格率为60% B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据正态分布的性质求得这次知识竞赛的及格率.分析得到随机变量服从二项分布，即可求得. 【详解】选项A：因为学生成绩，根据正态分布的对称性得：， 所以，即该知识竞赛的及格率为80%，故选项A错误； 选项B、C、D：因为，由题意可得， 所以，，. 故选项B、D正确，选项C错误. 故选：BD. 33．为提高同学们的科学积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验.在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正态分布的性质，结合题给条件逐一判断选项求解. 【详解】根据正态分布的对称性，若，则. 由于，表明分布中心向右偏移，因此，故A正确； 方差影响分布的宽度，但已知条件无法直接推导出方差的大小， 当且时，满足，但， 因此不一定大于4，故B错误； 正态分布中，，由于，正态分布的均值大于0， 故，故C错误； 同理，，故D正确. 故选：AD. 34．已知某场考试考生人数为10000人，考试的成绩服从正态分布，若录取分数线为350分，则录取人数约为 ．（结果四舍五入取整数）(参考数据：若服从正态分布,则) 【答案】1587 【分析】首先确定正态分布的参数，然后计算分数线对应的标准分数，利用已知的概率数据求出超过分数线的概率，最后用总人数乘以该概率得到录取人数. 【详解】因为考试成绩服从正态分布， 故， 所以录取人数为人. 故答案为：1587 35．中心极限定理是概率论中的一个重要定理.根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（    ）（参考数据：） A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865 【答案】B 【分析】设向上的点数为偶数的次数为X，易得，满足且，可得，，，进而结合正态分布的对称性求解. 【详解】投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，设向上的点数为偶数的次数为X， 则，，， 由于且，由中心极限定理可知， 且，， 因为， 故， 所以利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数小于1300的概率为. 故选：B. 36．统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的概念可判断A；根据正太分布的对称性可判断BC；根据题设原则计算概率进行比较可判断D． 【详解】A选项：由题可得均值，方差，故A正确； B选项：与关于对称，，故B正确； C选项： ∵，∴， ∵，∴， ∴，故C错误； D选项：根据原则，零件长度大于42的概率应该小于， 现在抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，其概率为，这远远大于， 故应该对生产线进行检修，故D正确． 故选：ABD． 37．我国新能源汽车电驱技术世界领先，新能源汽车主要分为两大类，一种是纯电，一种是混动.某新能源汽车厂科研部对纯电类汽车和混动类汽车都使用的关键部件的某一指标进行测试，经统计纯电类部件的指标X和混动类部件的指标Y都服从正态分布，且，，.科研部规定：部件指标高于110的为优质品，部件指标低于90的为不合格品，则（    ） A． B．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高” C．混动类部件优质品率高于其不合格品率 D．纯电类部件优质品率高于其不合格品率 【答案】BC 【分析】由正态分布的性质可判断各选项. 【详解】根据正态分布的性质可知，，，所以，故A错误； 因为，所以X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高”，故B正确； 因为Y对应的正态曲线的对称轴方程为，所以， 又，所以，即混动类部件优质品率高于其不合格品率，故C正确； 因为X对应的正态曲线的对称轴方程为，所以，则纯电类部件优质品率等于其不合格品率，故D错误. 故选：BC. 38．若随机变量的数学期望和方差分别为，对于任意，不等式成立，某次数学考试满分150分，共有8600名学生参加考试，全体学生的成绩，则分数不低于115分的学生人数最多为 . 【答案】387 【分析】由已知，可取，带入题目给的不等式中，计算分数不低于115分的学生的概率，然后再乘以总人数即可完成求解. 【详解】因为，所以 取，则， 所以， 所以分数不低于115分的学生人数最多为. 故答案为：387. 39．某数学研究小组对一家商铺进行了研究分析，发现每日客流量X服从正态分布，其密度函数峰值为，均值为100，且商铺规定消费一次可以获得不同数量的积分：获得1分的概率为，获得2分的概率为，获得3分的概率为.每次消费获取积分相互独立. (1)求； (2)记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z的分布列与期望. 附：正态密度函数，其中为均值，为标准差.，，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先求出，结合特定区间上的概率可求； （2）利用独立事件的概率公式求出的分布列后可求其期望. 【详解】（1）由于，所以， 所以. 那么 . （2）依题意，所有可能的取值为2，3，4，5，6. ，， ，， . 所以的分布列如下. 2 3 4 5 6 . 40．甲工厂有，两条生产线生产同一种零件，现利用分层抽样抽50件零件统计零件尺寸的误差（单位：）如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 30 0.2 2.1 20 1.1 (1)求这50件零件尺寸的误差的平均数和标准差； (2)假设该工厂生产的零件尺寸的误差服从正态分布．以此次抽取样本的平均数和标准差分别作为，的估计值，规定为一等品，其余为二等品． （i）若从该工厂生产的零件抽取1000件，估计其中一等品的件数； （ii）乙企业拟向甲工厂购买这种零件，先对该零件进行抽检，检测的方案是：从该工厂生产的零件中逐一抽取进行检测，若检测出4件二等品或抽取件数达到20件即停止检测．设第次检测停止的概率为，是否存在最大值？若存在，求取得最大值时的值；若不存在，试说明理由． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 参考数据：，． 【答案】(1)平均数为0，标准差为1.79． (2)（i）680件；（ii）答案见解析 【分析】（1）根据已知条件和平均数和方差的公式求出平均数和方差，然后即可求得标准差. （2）对于（i），根据正态分布的性质可求得零件是一等品的概率值，进而可得到一等品的件数；对于（ii），首先列出的表达式并化简，然后根据单调性确定其是否有最大值并求得的值. 【详解】（1）设这50件零件尺寸误差的平均数为，方差为，则 ， ， 所以． 所以这50件零件尺寸的误差的平均数为0，标准差为1.79． （2）（i）由（1）得零件尺寸的误差服从正态分布， 则， 零件是一等品的概率估计为0.68，， 所以估计其中一等品的件数约为680件． （ii）第次检测停止，即前次抽到3件二等品，第次抽到第4件二等品， 则当时，． 当时，由， 解得． 所以当时，单调递增；当时，单调递减． 综上，存在最大值.当时，取得最大值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二项分布与正态分布四大常考题型 题型一：二项分布的分布列及均值 题型二：二项分布概率最大问题 题型三：正态分布图像问题 题型四：正态分布综合问题 题型一：二项分布的分布列及均值 1．某人参加射击比赛，他击中目标的概率是． (1)设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列； (2)若他只有6颗子弹，且当他击中目标时，就不再射击；当他未击中目标时，就继续射击，直至子弹打完，求他射击次数的分布列； (3)设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列． 2．某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖． (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率； (2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和的分布列及数学期望． 3．某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ． 4．随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 5．某商场为了刺激消费，进行消费抽奖活动，规则如下：顾客消费每满600元即可获得抽奖券1张，每张抽奖券中奖的概率均为，若获奖，则可获得价值150元的现金券．已知小王在该商场购买了价值3800元的手机，则小王得到750元现金券的概率为 ． 6．甲、乙两队参加某次知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且每个人答对与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分. (1)求随机变量的分布列； (2)设表示事件“甲得2分，乙得1分"，求. 7．（多选）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ） A．取出的白球个数X服从二项分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 8．若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A．39 B．50 C．63 D．68 9．设随机变量，随机变量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的期望 D．的期望 10．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 题型二：二项分布概率最大问题 11．罚球是篮球运动员在篮球比赛时得分的方式之一．已知某篮球运动员经过长期的训练和比赛，将罚球命中率稳定在70%，若该运动员在某场比赛中获得了5次罚球的机会，且每罚中一球可得到1分，则该名运动员通过罚球最有可能得 分． 12．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：h），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从这500名学生中随机抽取一人，求日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 13．某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错扣1分.甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响.则甲得 分的概率最大. 14．某项测试共有8道题，每道题答对5分，不答或答错得0分．某人答对每道题的概率都是，每道试题答对或答错互不影响，设某人答对题目的个数为X． (1)求此人得分的期望； (2)指出此人答对几道题的可能性最大，并说明理由． 15．随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题能被软件正确应答的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？ 16．聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%. (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值. 17．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，用表示这8名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，请直接写出的值.（不需要说明理由） 18．某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题. (1)求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望； (2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 19．一质点从平面直角坐标系原点出发，每次只能向右或向上运动1个单位长度，且每次运动相互独立，质点向上运动的概率为.质点运动5次后，所在位置对应的坐标为（3，2）的概率为 ，质点运动2023次后，最有可能运动到的位置对应的坐标为 . 20．某公司通过游戏获得积分以激励员工.游戏规则如下：甲袋和乙袋中各装有形状和大小完全相同的10个球，其中甲袋中有5个红球和5个白球，乙袋中有8个红球和2个白球，获得积分有两种方案.方案一：从甲袋中有放回地摸球3次，每次摸出1个球，摸出红球获得10分，摸出白球得0分；方案二：掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲袋中随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙袋中随机摸出一个球，若摸出的是红球，则获得积分15分，否则得5分. (1)某员工获得1次游戏机会，若以积分的均值为依据，请判断该员工应该选择方案一还是方案二？ (2)若某员工获得10次游戏机会，全部选择方案一，记该员工摸出红球的次数为，当取得最大值时，求的值. 题型三：正态分布图像问题 21．设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 22．某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为 .（参考数据：若，则） 23．毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 24．某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 25．近年来，巫溪县大力发展生态农业，蒲莲蜜柚因其形大、汁多、味甜深受消费者追捧．已知某批次蜜柚的重量（单位：克），，规定重量不小于1300克的蜜柚为合格品，重量在1500克到1700克之间的蜜柚为优等品．现从该批次蜜柚中随机抽取一个，下列说法正确的有（   ） A．该蜜柚是优等品的概率为 B．该蜜柚是合格品的概率为 C．若该蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为m D．若该蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为 26．下列有关说法正确的有（   ） A．设随机变量ξ服从正态分布，若，则 B．记两个变量的样本相关系数为r，若越接近0，线性相关程度越强 C．已知随机变量，则 D．数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5 27．某区举行模拟考试，共有5000名学生参加，考试分两次，对第一次考试成绩不满意的学生可参加第二次考试.为了解考生情况，随机抽取了100名学生第一次考试中某科目的成绩(满分:100分)，并绘制样本频率分布直方图，如图所示. (1)若学生第一次考试中某科目的成绩X近似服从正态分布，其中μ为样本平均数的估计值，请估计第一次考试中某科目的成绩高于86分的人数.(同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)设第一次考试中某科目成绩在区间内对应的等级分别为优秀、良好、合格与不合格，若该科目第一次考试等级为良好，合格与不合格的学生都参加了第二次考试，假设第二次考试后，原等级为良好、合格与不合格的学生分别有的概率提升一个等级，不晋级则保留原等级，每位学生的考试成绩相互独立.将频率视为概率，从全体学生中任取一人，求在已知该生是第二次考试后晋级的条件下，第一次考试评级为合格的概率. 附:若随机变量，则. 28．某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（   ） A． B． C． D． 29．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布、特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数. (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似：当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，利用其与正态分布的联系求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片，次品率为0.1%，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数. ①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； ②若，，求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过与①的计算结果比较，你发现了什么规律？ (3)若，当时，记的取值范围为集合，证明. 参考数据：若，则有，，；，，. 30．已知随机变量，若，则 . 题型四：正态分布综合问题 31．实验测量中，测量数据往往存在误差，故测量数据常常服从正态分布.在一次实验测量中，某同学的测量数据近似服从正态分布，且. (1)在的条件下，求的概率； (2)已知事件“”与事件“”相互独立，求实数； (3)若认为该实验在时测量精度较高，且已知随机变量时，，请评价本次实验测量的测量精度. 32．某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣，特地举办了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩，其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（    ） A．该知识竞赛的及格率为60% B． C． D． 33．为提高同学们的科学积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验.在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布.已知，则（    ） A． B． C． D． 34．已知某场考试考生人数为10000人，考试的成绩服从正态分布，若录取分数线为350分，则录取人数约为 ．（结果四舍五入取整数）(参考数据：若服从正态分布,则) 35．中心极限定理是概率论中的一个重要定理.根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（    ）（参考数据：） A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865 36．统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 37．我国新能源汽车电驱技术世界领先，新能源汽车主要分为两大类，一种是纯电，一种是混动.某新能源汽车厂科研部对纯电类汽车和混动类汽车都使用的关键部件的某一指标进行测试，经统计纯电类部件的指标X和混动类部件的指标Y都服从正态分布，且，，.科研部规定：部件指标高于110的为优质品，部件指标低于90的为不合格品，则（    ） A． B．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高” C．混动类部件优质品率高于其不合格品率 D．纯电类部件优质品率高于其不合格品率 38．若随机变量的数学期望和方差分别为，对于任意，不等式成立，某次数学考试满分150分，共有8600名学生参加考试，全体学生的成绩，则分数不低于115分的学生人数最多为 . 39．某数学研究小组对一家商铺进行了研究分析，发现每日客流量X服从正态分布，其密度函数峰值为，均值为100，且商铺规定消费一次可以获得不同数量的积分：获得1分的概率为，获得2分的概率为，获得3分的概率为.每次消费获取积分相互独立. (1)求； (2)记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z的分布列与期望. 附：正态密度函数，其中为均值，为标准差.，，. 40．甲工厂有，两条生产线生产同一种零件，现利用分层抽样抽50件零件统计零件尺寸的误差（单位：）如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 30 0.2 2.1 20 1.1 (1)求这50件零件尺寸的误差的平均数和标准差； (2)假设该工厂生产的零件尺寸的误差服从正态分布．以此次抽取样本的平均数和标准差分别作为，的估计值，规定为一等品，其余为二等品． （i）若从该工厂生产的零件抽取1000件，估计其中一等品的件数； （ii）乙企业拟向甲工厂购买这种零件，先对该零件进行抽检，检测的方案是：从该工厂生产的零件中逐一抽取进行检测，若检测出4件二等品或抽取件数达到20件即停止检测．设第次检测停止的概率为，是否存在最大值？若存在，求取得最大值时的值；若不存在，试说明理由． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 参考数据：，． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $