专题03 超几何分布、二项分布、正态分布六大题型（高效培优专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题03 超几何分布、二项分布、正态分布六大题型 题型一：超几何问题（小题） 题型二：超几何问题（大题） 题型三：二项分布问题（小题） 题型四：二项分布问题（大题） 题型五：正态分布问题（小题） 题型六：正态分布问题（大题） 题型一：超几何问题（小题） 1．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 2．第七届数字中国建设峰会数字福建建设成果摄影展向社会进行作品征集，该摄影展从全新的视角呈现了数字福建近年来的建设成果，展现了数字福建蓬勃发展的朝气．某企业计划从信息基础设施领域的幅作品和文化领域的7幅作品中随机选取若干幅作品参赛，若选取2幅作品，全是文化领域的概率为．若选取3幅作品，假设选取的文化领域的作品个数为，则（    ） A． B． C．2 D．3 3．高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（    ） A． B． C． D． 4．某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（    ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．恰有2个先进班级 5．若随机变量服从超几何分布，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 6．一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机的摸出20个，用表示采取放回摸球时摸到黄球的个数，用表示采取不放回摸球时摸到的黄球个数，，的概率分布图如下所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 7．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．变量分布列是， 8．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 9．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（    ） A．增加，增加 B．增加，减小 C．减小，增加 D．减小，减小 10．设随机变量服从超几何分布，从含有5个红球､3个白球的总体中不放回抽取4个球，记为抽取的红球个数，则的方差 （结果用分数表示）. 11．已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则 ． 12．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，已知不全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则 . 13．一批排球共有30个，其中有7个不合格．从这批排球中随机抽取8个，记抽到的不合格的排球个数为，则 ． 14．已知在12件产品中可能存在次品，从中抽取2件检测，设次品数为.若，且该产品的次品率不超过40%，则这12件产品的次品率为 . 15．已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则 . 题型二：超几何问题（大题） 16．某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 17．为研究浙江省小微企业发展状况，某研究机构从“雏鹰计划”项目库中随机抽取 100 家企业进行调研，统计数据显示，这些企业上年度的营业收入增幅（单位：%）分布情况如下： 增幅分组 企业数量 5 20 30 25 20 注：规定营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”. (1)根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值（计算时取各组的组中值代表该组数据）； (2)为进一步研究高成长型企业，现采用分层抽样的方式，从“高成长型企业”中选取 9 家，再从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ，写出 的概率分布列，并求其数学期望 . 18．某班组织竞赛活动，规定比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答．假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题目且另外2道题不能完成． (1)求甲正确完成其中2道题的概率； (2)设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望． 19．体育锻炼有助于学生全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随机抽取了100名学生进行调查，并绘制频率分布直方图如下：    (1)估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数； (2)若规定“日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生”. （i）采用分层随机抽样抽取8人，再从这8人中随机抽出3人，记抽到运动积极型学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （ii）用样本估计总体，从本市任选4名学生，求这4名学生中运动积极型学生个数Y的期望与方差. 20．2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰. (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率. 21．从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.数据的分组依次为，，，，，.    (1)求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (2)若成绩在前25%的学生可获得“消防达人”的称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“消防达人”? (3)从低于60分的学生中随机抽2名学生，记成绩在内的人数为，求的分布列及期望. 22．甲、乙两工厂共同生产一种零件， 经过抽样调查， 质检人员发现: 甲工厂生产的一批零件的合格品率为 85%；乙工厂生产的另一批零件的合格品率为 95%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 89%. (1)设甲工厂生产的这批零件有 件，乙工厂生产的这批零件有 件. 求证: ； (2)按照分层随机抽样的方法从两个工厂生产的零件中随机抽取 5 个，再从这 5 个零件中抽取 3 个，记这 3 个零件中来自乙工厂的个数为 ，求 的分布列和数学期望. 题型三：二项分布问题（小题） 23．已知随机变量，则（    ） A．18 B．17 C．6 D．5 24．已知随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 25．设随机变量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 26．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 27．随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 28．2025年2月13日，《哪吒之魔童闹海》在上映的第16天，票房成功突破百亿，成为中国影史首部票房破百亿（全球票房）的影片后，哪吒的故事愈发深入人心.在影片中的一场经典战斗里，哪吒身处一片无垠的海面与敖丙对抗.此时，每次挥动混天绫，哪吒有的概率朝着敖丙方向前进一步.有的概率向后退一步，且向前向后相互独立.当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步处的概率为（    ） A． B． C． D． 29．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各40名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，则 ；将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名，设其中了解deepseek的学生人数为，则当取得最大值时，的值为 . 30．一个袋中装有个白球和个黑球，甲从袋中有放回的随机取次球，每次取个球，取到次白球得分，取到次黑球得分．记甲取球总得分为，则 ． 31．某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，若不放回地连续摸两次球，则在第二次摸到红球的情况下，第一次也摸到红球的概率是 ；若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸到红球记1分，摸到绿球记0分，设四次摸球总得分为X，则X的数学期望 . 32．某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为 . 题型四：二项分布问题（大题） 33．某电视台对《秧BOT》节目进行了观众满意度调查，从观看该节目的观众中随机抽取了100名观众，其中60名观众表示非常满意，30名观众表示满意，10名观众表示不满意. (1)若从这100名观众中随机选取2名观众，已知其中一名观众不满意，求另一名观众也不满意的概率； (2)若以这100名观众的满意度情况来估计所有观众的满意度情况，现从所有观众中随机抽取3名观众，设表示非常满意的观众人数为，求的分布列和数学期望. 34．甲、乙两人共进行局比赛，假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)设，若全部局比完后，所赢局数多者获胜.甲获胜的概率记为， （i）求； （ii）试比较与的大小，并证明你的结论. (2)设，“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率记为，证明：. 35．某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. (1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 36．某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出7位候选人，然后在这7人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛. (1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围7位候选人之中，现从这7人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为X，求X的分布列与数学期望； (2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； (3)假如只有A组与B组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.A组每道题先做对的概率都为，B组先做对的概率都为q，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供A组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为A组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程. 37．随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. (1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； (2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 38．某公司举办抽奖活动，活动分为，两个项目，规则为：每位参与者先掷一枚质地均匀的骰子一次，若掷出点数为1或2，则参加项目抽奖；若掷出点数为3，4，5，6，则参加项目抽奖.每位参与者仅抽奖一次，已知，两个项目中奖的概率分别为，，中奖者可获得价值200元的购物券，未中奖者可获得价值100元的购物券. (1)求每位参与者中奖的概率； (2)已知甲、乙、丙3人参加抽奖活动，记3人获得的购物券总价值为元，求的分布列和期望. 题型五：正态分布问题（小题） 39．下列说法正确的有（   ） ①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6； ②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等； ③若随机变量，满足，则，； ④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式． ⑤在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好． ⑥样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为2． ⑦若随机变量X服从正态分布，且，则 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 40．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 41．已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．64 B．128 C．-64 D．-128 42．某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 43．某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（    ） 附：若，则，. A．130 B．228 C．260 D．1587 44．某校期末考试的数学成绩服从，若，则（   ） A．90 B．85 C．80 D．75 45．设随机变量，则（       ） A． B． C． D． 46．某产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于96至104之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需要较高的生产工艺，使得不超过（备注：若，则（   ） A． B． C．1 D． 47．设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 48．已知随机变量，设随机变量，则（    ） A． B． C． D． 49．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 50．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 51．随机变量，且，则 ． 52．已知随机变量，且，则 ． 53．某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 54．某公司销售某种业务保单，已知每份业务保单的利润现值随机变量PVP可以用正态分布近似，且满足：,.已知标准正态分布随机变量Z满足,那么该业务保单的利润现值可以以95%的概率大于 ． 55．随机变量，，若，那么实数的值为 . 56．某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是 ． 题型六：正态分布问题（大题） 57．某企业车载电池LG型有A，B两条生产线，产品质检员随机从A，B两条生产线共抽取50件车载电池进行电量误差检测，误差（单位：kwh）统计的数据如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 A 30 0.2 2.1 B 20 1.1 (1)若两条生产线的车载电池电量的误差X服从正态分布，以抽取样本的误差的平均数作为的估计值，并规定为特等品，其余为一等品或二等品，求两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数的估计值； (2)某小型新能源汽车装配了特等品和一等品车载电池，该车载电池特等品的续航优秀率为60%，为了测试特等品车载电池的续航功能，从装配了特等品的该新能源汽车中随机抽取4辆进行测试，记续航优秀的台数为，求随机变量X的分布列和数学期望. 附：，若，则，，. 58．潮阳实验学校高二学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布. (1)求成绩在70分到90分之间的概率； (2)若该校有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过90分的学生人数； (3)若从成绩前的学生中选2人参加省级竞赛，求选中的2人成绩都超过95分的概率. 附注：若，则， 59．某区举行模拟考试，共有5000名学生参加，考试分两次，对第一次考试成绩不满意的学生可参加第二次考试.为了解考生情况，随机抽取了100名学生第一次考试中某科目的成绩(满分:100分)，并绘制样本频率分布直方图，如图所示. (1)若学生第一次考试中某科目的成绩X近似服从正态分布，其中μ为样本平均数的估计值，请估计第一次考试中某科目的成绩高于86分的人数.(同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)设第一次考试中某科目成绩在区间内对应的等级分别为优秀、良好、合格与不合格，若该科目第一次考试等级为良好，合格与不合格的学生都参加了第二次考试，假设第二次考试后，原等级为良好、合格与不合格的学生分别有的概率提升一个等级，不晋级则保留原等级，每位学生的考试成绩相互独立.将频率视为概率，从全体学生中任取一人，求在已知该生是第二次考试后晋级的条件下，第一次考试评级为合格的概率. 附:若随机变量，则. 60．某地区某疾病的患病率为0.05．现对该地区1000人进行抽样调查． (1)设X为样本中患病人数，求X的期望和方差． (2)利用棣莫弗—拉普拉斯定理，近似计算的值（已知标准正态分布）． (3)若实际调查中患病人数为70人，根据正态近似，判断该结果是否为小概率事件（概率小于0.05）． (4)比较正态近似与切比雪夫不等式在估计时的精度． 61．某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)设随机变量服从二项分布，记 则当时，可认为η服从标准正态分布.若保证投中的频率在区间的概率不低于，求该同学至少要投多少次. 附: 若，则，. 62．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 63．某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组两个评委组，每组人.每首参赛歌曲都需要位评委打分（满分为分，且各评委打分相互独立）.从专业评委组的个分数中去掉一个最高分，去掉一个最低分，可求出剩余个有效得分的平均分，按照同样的方法可得到业余评委组打分的平均分.参赛选手该歌曲的最终得分为.在该比赛中，对某选手在初赛中参赛歌曲的得分进行整理，得到如下茎叶图. (1)计算、两小组各自有效得分的均值、及标准差、； (2)①专业评委组由于其专业性，有效打分通常比较集中；业余评委组由于水平不一，有效打分通常比较分散.利用（1）的计算结果推断、两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组？请说明理由； ②在①的推断下，计算此选手初赛歌曲的最终得分； (3)若（2）的推断正确，且该选手成功进入复赛，复赛中位评委所打分数大致服从正态分布，试估计位评委中，打分在分以上的人数. 参考数据：①组名评委打分总和为，组名评委打分总和为；；； ②若，则，，. 64．近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 65．从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 超几何分布、二项分布、正态分布六大题型 题型一：超几何问题（小题） 题型二：超几何问题（大题） 题型三：二项分布问题（小题） 题型四：二项分布问题（大题） 题型五：正态分布问题（小题） 题型六：正态分布问题（大题） 题型一：超几何问题（小题） 1．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设选到深度贫困村数为，根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求得的值． 【详解】设选到深度贫困村数为，则随机变量的可能取值有0、1、2、3， 则，，，， 所以． 故选：B 2．第七届数字中国建设峰会数字福建建设成果摄影展向社会进行作品征集，该摄影展从全新的视角呈现了数字福建近年来的建设成果，展现了数字福建蓬勃发展的朝气．某企业计划从信息基础设施领域的幅作品和文化领域的7幅作品中随机选取若干幅作品参赛，若选取2幅作品，全是文化领域的概率为．若选取3幅作品，假设选取的文化领域的作品个数为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】解法1：利用超几何分布求得分布列，得到数学期望；解法2：利用超几何分布的数学期望公式求解即可. 【详解】解法1：由题意，共有幅作品，选取2幅作品有种方法， 其中全是文化领域的有种方法，因此全是文化领域的概率为，从而解得． 的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 则随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 则． 解法2：同法1，求得后可用下列方法求解． 由题意可知服从参数为，，的超几何分布，则． 故选：A. 3．高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法1；由事件与事件互为对立事件，求出，即可求出； 解法2：由题可得，直接利用概率公式求解即可. 【详解】解法1：因为事件与事件互为对立事件，而， 所以（直接法求解较复杂时，考虑用间接法）． 解法2：由题意可知的可能取值为0，1，2，3，，， ，则． 故选：B 4．某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（    ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．恰有2个先进班级 【答案】B 【分析】用X表示选取的3个班级中先进班级的个数，则X服从超几何分布，则，分别求得概率，再验证各选项即可. 【详解】用X表示选取的3个班级中先进班级的个数，则X服从超几何分布， 故， 所以， ，， 对于A，因为，故A不正确； 对于B，因为．故B正确； 对于C，因为.故C不正确； 对于D，因为，故D不正确. 故选：B． 5．若随机变量服从超几何分布，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】根据超几何分布计算，然后利用期望的性质计算. 【详解】因为服从超几何分布，所以， 所以. 故选：C 6．一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机的摸出20个，用表示采取放回摸球时摸到黄球的个数，用表示采取不放回摸球时摸到的黄球个数，，的概率分布图如下所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布和超几何分布的期望和方差的性质进行判断即可. 【详解】由题意可知服从二项分布，服从超几何分布，因此它们的期望相同， 又因为超几何分布更集中在均值附近，所以有， 故选：A 7．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．变量分布列是， 【答案】B 【分析】根据超几何分布和二项分布的定义判断两个试验，再根据不同的分布计算概率、期望和方差，判断各个选项； 【详解】试验一：从袋子中逐个不放回地随机摸出20个球是超几何分布模型， 记取到黄球的个数为,, 则变量分布列是，， ，. 试验二：从袋子中逐个有放回地随机摸出20个球是二项分布模型； 记取到黄球的个数为，则,则期望和方差分别为，， 对于A,试验二是二项分布模型，A正确；对于B,，B错误； 对于C,，C正确；D正确； 故选：B. 8．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【详解】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 9．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（    ） A．增加，增加 B．增加，减小 C．减小，增加 D．减小，减小 【答案】C 【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，. 故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故选：C. 【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 10．设随机变量服从超几何分布，从含有5个红球､3个白球的总体中不放回抽取4个球，记为抽取的红球个数，则的方差 （结果用分数表示）. 【答案】 【分析】利用超几何分布的方差公式求解. 【详解】超几何分布（总体数），（红球数），（抽取数），期望，方差公式，代入得， 故答案为： 11．已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则 ． 【答案】 【分析】方法一：通过二项式定理得出在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项，求随机变量的分布列，再由期望公式求期望. 方法二：通过二项式定理得出在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项，然后结合超几何分布求得相应的概率，进而结合均值公式即可得解． 【详解】方法一：的二项展开式的通项为， 由题意，解得， 设为有理项，则能被3整除，故， 所以在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项． 若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为． 则的所有可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以． 方法二：的二项展开式的通项为， 由题意，解得， 设为有理项，则能被3整除，故， 所以在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项． 若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为． 则服从参数为，，的超几何分布，则． 故答案为： 12．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，已知不全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则 . 【答案】 【分析】先求出袋中黑球个数，进而得到的可能取值和对应的概率，得到期望和方差. 【详解】设袋中黑球个数为，则白球个数为， 则，故， 则的可能取值为1,2,3， ，，， 故， 故答案为： 13．一批排球共有30个，其中有7个不合格．从这批排球中随机抽取8个，记抽到的不合格的排球个数为，则 ． 【答案】25 【分析】由超几何分布的定义和均值公式，以及均值的性质可得结果. 【详解】依题意得服从超几何分布，且，，，则， 故． 故答案为：25. 14．已知在12件产品中可能存在次品，从中抽取2件检测，设次品数为.若，且该产品的次品率不超过40%，则这12件产品的次品率为 . 【答案】25% 【分析】先根据，列式求出x，进而可求出次品率． 【详解】设这12件产品中的次品数为，， 则，且，解得， 故这12件产品的次品率为. 故答案为：25%. 15．已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则 . 【答案】/ 【分析】根据已知求出的值，比较得出大于的个数，进而得出可能取值情况，根据超几何分布概率公式求出分布列，根据期望公式得出，进而代入方差公式求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 所以，. 所以，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数可能为0，1，2， 显然服从超几何分布， 所以，，， 所以，， . 故答案为：. 题型二：超几何问题（大题） 16．某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1)的分布列详见解析； (2)66 【分析】（1）根据分布列、数学期望及超几何分布概率计算公式求解即可. （2）根据二项分布求出，比较与1的大小关系，判断数列的单调性，从而找到最大值点. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. （2）由频率估计概率，单次抽到次品的概率为， 则个零件中恰有2件次品的概率为. . 令，即，解得；令，解得. 因此，当时，，当时，，所以​在时取得最大值. 故取得最大值时的值为66. 17．为研究浙江省小微企业发展状况，某研究机构从“雏鹰计划”项目库中随机抽取 100 家企业进行调研，统计数据显示，这些企业上年度的营业收入增幅（单位：%）分布情况如下： 增幅分组 企业数量 5 20 30 25 20 注：规定营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”. (1)根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值（计算时取各组的组中值代表该组数据）； (2)为进一步研究高成长型企业，现采用分层抽样的方式，从“高成长型企业”中选取 9 家，再从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ，写出 的概率分布列，并求其数学期望 . 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）利用平均数公式计算即可； （2）利用超几何分布求出 的概率分布列，结合数学期望即可求出. 【详解】（1）根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值为 （2）营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”中，占家，占家， 所以“高成长型企业”中选取 9 家中，抽取：家， 抽取：家； 从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ， 所以可能取值为：， 所以， ， ， 则 的概率分布列为： 18．某班组织竞赛活动，规定比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答．假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题目且另外2道题不能完成． (1)求甲正确完成其中2道题的概率； (2)设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）结合独立重复试验概率公式即可求解； （2）先求对应的值，再结合超几何分布公式求出对应概率，写出分布列，求出期望. 【详解】（1）令事件为甲正确完成其中2道题， 所以； （2）由已知有：的可能取值为， 所以， 所以的分布列为： 所以. 19．体育锻炼有助于学生全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随机抽取了100名学生进行调查，并绘制频率分布直方图如下：    (1)估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数； (2)若规定“日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生”. （i）采用分层随机抽样抽取8人，再从这8人中随机抽出3人，记抽到运动积极型学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （ii）用样本估计总体，从本市任选4名学生，求这4名学生中运动积极型学生个数Y的期望与方差. 【答案】(1)46.5 (2)（i）分布列见解析，2.25；（ii）， 【分析】（1）求各组的频率，以每组区间中间值为代表，结合平均数公式运算求解； （2）（i）根据分层抽样可知运动积极型学生有6人，其他2人，结合超几何分布求分布列和期望；（ii）分析可知，结合二项分布求期望和方差. 【详解】（1）由频率分布直方图可知各组频率依次为：， 以每组区间中间值为代表，估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数为 . （2）（i）由直方图可得日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生占的比例为， 分层抽样抽取的8人中运动积极型学生有人，其他2人， 由题意可知：的可能取值有1，2，3， 则，，， 故X的分布列为 X 1 2 3 P 所以数学期望； （ii）由题意可知：， 所以，. 20．2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰. (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，进而求得数学期望； （2）所求事件可表示为事件得分，得分，得分的和，再求每轮比赛抢到题目答对，抢到题目答错，没抢到题目的概率，结合概率乘法公式概率加法公式求结论. 【详解】（1）设该选手初赛中答对题目数量为，的所有可能取值为 ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 该选手初赛中答对题目数量的期望. （2）甲在决赛中总得分大于分的情况有以下三种： 得分（抢到次且答对次，答错次），得分（抢到次且答对次，次没抢到）， 得分（抢到次且答对次）， 设甲每轮抢到题目且答对为事件， 抢到题目且答错的概率为事件，， 没抢到题目为事件， 得分的概率， 得分的概率， 得分的概率， 甲在决赛中总得分大于分的概率. 21．从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.数据的分组依次为，，，，，.    (1)求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (2)若成绩在前25%的学生可获得“消防达人”的称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“消防达人”? (3)从低于60分的学生中随机抽2名学生，记成绩在内的人数为，求的分布列及期望. 【答案】(1)，76.2分 (2)成绩至少要达到86.25分才可以被评为“消防达人”. (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图的所有频率之和为1，进而求，再根据频率分布直方图求平均数即可求解； （2）根据频率分布直方图估计百分位数即可求解； （3）先求两组中的学生人数，进而得的可能取值，求出对应的概率，即可得分布列，进而利用数学期望的公式即可求解. 【详解】（1）由，得. 估计平均成绩为分. （2）设成绩至少要达到分才可以被评为“消防达人”. 因为成绩在内的频率为0.16，成绩在内的频率为0.24，所以在内. 由，得， 即成绩至少要达到86.25分才可以被评为“消防达人”. （3）由频率分布直方图可知两组中的学生人数分别为2，3， 所以的取值可能是0，1，2， 因为，，， 所以的分布列为 0 1 2 . 22．甲、乙两工厂共同生产一种零件， 经过抽样调查， 质检人员发现: 甲工厂生产的一批零件的合格品率为 85%；乙工厂生产的另一批零件的合格品率为 95%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 89%. (1)设甲工厂生产的这批零件有 件，乙工厂生产的这批零件有 件. 求证: ； (2)按照分层随机抽样的方法从两个工厂生产的零件中随机抽取 5 个，再从这 5 个零件中抽取 3 个，记这 3 个零件中来自乙工厂的个数为 ，求 的分布列和数学期望. 【答案】(1)证明见解析； (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）求出甲、乙合格件数以及混合后合格件数，从而得到方程，即可证明； （2）写出的可能取值，再利用超几何分布求出对应概率值即可，最后得到期望值. 【详解】（1）依题意，甲工厂生产的件零件的合格件数为， 乙工厂试生产的件的合格件数为， 又混合后，总零件数为，合格品率为， 则混合后合格零件数为， 解得，即（证毕）． （2）设甲工厂生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件， 由（1）可知，故抽出的5件产品中有3件来自甲工厂，2件来自乙工厂， 可能取值为0,1,2， 所以， 所以 的分布列为： 0 1 2 . 题型三：二项分布问题（小题） 23．已知随机变量，则（    ） A．18 B．17 C．6 D．5 【答案】A 【分析】先根据二项分布的方差公式计算得出，再应用方差性质计算求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：A 24．已知随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由二项分布的方差公式求出的值，然后代入二项分布的概率公式求解. 【详解】因为，， 则， 解得或， 当时，； 当时，. 故选：D. 25．设随机变量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望公式，求得，再由，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由随机变量，可得， 因为，可得，因为，所以， 又由，可得其对称轴为， 所以在单调递增，所以当，取得最大值，最大值为. 故选：B. 26．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析下落过程碰撞的次数和向左向右落下的概率，分别分析落入③号球槽和⑥号球槽的情况，分析求解，即可得答案. 【详解】下落过程中，需要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为， 落入③号球槽需向左4次，向右2次，则, 落入⑥号球槽需向左1次，向右5次，则， 则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为. 故选：B 27．随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二项分布的概率公式求出的值，再利用方差公式计算即可. 【详解】由题意得，，又，， ，，即，又，， ，解得，. 故选：. 28．2025年2月13日，《哪吒之魔童闹海》在上映的第16天，票房成功突破百亿，成为中国影史首部票房破百亿（全球票房）的影片后，哪吒的故事愈发深入人心.在影片中的一场经典战斗里，哪吒身处一片无垠的海面与敖丙对抗.此时，每次挥动混天绫，哪吒有的概率朝着敖丙方向前进一步.有的概率向后退一步，且向前向后相互独立.当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步处的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设哪吒向前走的步数为，依题意，，利用二项分布概率公式计算即得. 【详解】设哪吒向前走的步数为，依题意，. 当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步，即哪吒向前走了3步，向后退了2步， 根据二项分布概率公式，有. 故选：A. 29．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各40名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，则 ；将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名，设其中了解deepseek的学生人数为，则当取得最大值时，的值为 . 【答案】 / 【分析】对①，由求得，代入求得，进而计算；对②，由求解. 【详解】对于①：因为，所以， 又，所以， 所以; 对于②：将样本的频率视为概率，则从全校的学生中随机抽取名，每名学生了解的概率都是， 可知，若取得最大值， 则，即 所以，即， 解得，又，所以. 故答案为：①②. 30．一个袋中装有个白球和个黑球，甲从袋中有放回的随机取次球，每次取个球，取到次白球得分，取到次黑球得分．记甲取球总得分为，则 ． 【答案】 【分析】设甲3次取球取到的白球数为，根据二项分布可得，由二项分布的数学期望及期望的性质即可得甲取球总得分为的期望的值. 【详解】依题意，得甲每次取到白球的概率为， 设甲3次取球取到的白球数为，则， 所以， 又甲取球总得分满足， 所以． 故答案为：. 31．某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，若不放回地连续摸两次球，则在第二次摸到红球的情况下，第一次也摸到红球的概率是 ；若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸到红球记1分，摸到绿球记0分，设四次摸球总得分为X，则X的数学期望 . 【答案】 【分析】①利用条件概率公式及全概率公式即可求解第一次也摸到红球的概率； ②由题意可得，根据二项分布的特征即可求解数学期望. 【详解】①记第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B. . 所以. 故在第二次摸球时摸到红球的条件下，第一次摸球时摸到红球的概率为. ②由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为. 记四次摸球活动中，摸到红球的次数为，则. 因为四次摸球总得分为，所以.所以. 所以的数学期望是. 故答案为：；. 32．某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为 . 【答案】 【分析】由题意分析得每局第一个答题是甲或乙，概率均为，设事件表示一局比拼中甲获胜，甲得分有两种情况：3分或2分，分类求出一局后甲获胜的概率，再由独立事件乘法公式求这场比赛甲获胜的概率. 【详解】由题意，每局第一个答题是甲或乙，概率均为，且每局不可能出现平局， 设事件表示某一局甲获胜，则甲得分有两种情况：3分或2分， 若甲第一个答题， 甲得3分：3题甲都答对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为甲对甲对甲错、甲对甲错乙错、甲错乙错甲对，故其概率为， 若乙第一个答题， 甲得3分：3题对错依次为乙错甲对甲对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为乙对乙错甲对、乙错甲对甲错、乙错甲错乙错，故其概率为， 综上，一局比拼，甲获胜的概率为， 所以甲在这场比赛中获胜的概率为. 故答案为： 题型四：二项分布问题（大题） 33．某电视台对《秧BOT》节目进行了观众满意度调查，从观看该节目的观众中随机抽取了100名观众，其中60名观众表示非常满意，30名观众表示满意，10名观众表示不满意. (1)若从这100名观众中随机选取2名观众，已知其中一名观众不满意，求另一名观众也不满意的概率； (2)若以这100名观众的满意度情况来估计所有观众的满意度情况，现从所有观众中随机抽取3名观众，设表示非常满意的观众人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】(1) 考查条件概率，利用条件概率公式，分别计算事件“至少1人不满意”和“2人都不满意”的概率，代入求解； (2) 由抽样频率得非常满意的概率，服从二项分布，列出分布列并套用二项分布期望公式计算。 【详解】（1）设事件：选取的2名观众中至少有1名不满意，事件：选取的2名观众都不满意， ， ， 所以. （2）由题意，随机抽取1人，非常满意的概率， 抽取3人，表示非常满意人数，则，的可能取值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为 . 34．甲、乙两人共进行局比赛，假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)设，若全部局比完后，所赢局数多者获胜.甲获胜的概率记为， （i）求； （ii）试比较与的大小，并证明你的结论. (2)设，“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率记为，证明：. 【答案】(1)（i）；（ii），证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）（i）由比赛局数和甲赢的局数服从二项分布即可结合互斥事件概率加法公式计算求解； （ii）记事件“甲获胜”，事件“乙获胜”，由甲乙获胜各赢的局数以及每局赢的概率结合没有平局结果的特性即可求解证明； （2）先根据甲赢的局数服从二项分布和二项式定理原理求出的表达式，接着计算差值和，再由不等式性质分析即可比较大小得证. 【详解】（1）（i）当时，比赛局数为局， 则甲获胜的条件是至少赢两局，且甲赢的局数服从二项分布， 所以； （ii），证明： 记事件“甲获胜”，则甲赢的局数，事件“乙获胜”，则乙赢的局数， 因为，所以， 又因为打的局数为奇数，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. 所以，所以， 所以； （2）由题甲赢的局数服从二项分布， 则“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率 ， 因为， ， 所以， 所以， 同理， 因为，所以，， 所以， 所以，即. 35．某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. (1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题意设事件，结合已知条件利用全概率公式求出第二轮拓展知识比拼成功的概率； （2）先求两项任务均成功的概率，利用独立事件的性质得出闯关成功人数符合二项分布，最后利用二项分布的期望、方差公式计算求解． 【详解】（1）设事件为“第一轮基础知识作答成功”，事件为“第二轮拓展知识比拼成功”， 由题意可知，，则， 根据全概率公式，第二轮拓展知识比拼成功的概率为： . （2）闯关成功需要两项任务均成功，即事件，其概率为： ， 因不同参赛者的第一轮结果相互独立，且第二轮成功概率仅依赖于自身第一轮结果， 故各参赛者的闯关成功事件相互独立， 记为名居民中闯关成功的人数，则， 所以数学期望， 方差：. 36．某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出7位候选人，然后在这7人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛. (1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围7位候选人之中，现从这7人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为X，求X的分布列与数学期望； (2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； (3)假如只有A组与B组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.A组每道题先做对的概率都为，B组先做对的概率都为q，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供A组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为A组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程. 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)组采用赛制二更有利于胜出，理由见解析 【分析】（1）求出随机变量的取值及相应的概率，可得分布列，再利用数学期望公式求解即可； （2）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式来求解可得答案； （3）按照赛制一，设做完选定的题后，求出组取得胜利的概率，按照赛制二，不妨设做完题，求出组取得胜利的概率，再做差比较大小可得答案. 【详解】（1）由题意知随机变量的取值可以为0，1，2，3， ，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望； （2）设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为， 则至少有两人做对该题的事件为： ，所以竞赛小组能进入决赛的概率为 ； （3）按照赛制一，设做完选定的题后，组的得分为，则， 组取得胜利的概率为； 按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完， 不妨设做完题，组取得胜利的概率为， 则， ， 已知，所以， 所以，因此组采用赛制二更有利于胜出. 37．随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. (1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； (2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据全概率公式计算求解即可； （2）结合（1）得，再结合二项分布的概率公式计算求解即可. 【详解】（1）解：记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件， “用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件， 由题意可得，，，， . 所以用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8. （2）解：由（1）知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8， 则，， 令， 则， 令，则；令，则；令，则； 所以或时，取最大值. 38．某公司举办抽奖活动，活动分为，两个项目，规则为：每位参与者先掷一枚质地均匀的骰子一次，若掷出点数为1或2，则参加项目抽奖；若掷出点数为3，4，5，6，则参加项目抽奖.每位参与者仅抽奖一次，已知，两个项目中奖的概率分别为，，中奖者可获得价值200元的购物券，未中奖者可获得价值100元的购物券. (1)求每位参与者中奖的概率； (2)已知甲、乙、丙3人参加抽奖活动，记3人获得的购物券总价值为元，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，420 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）首先求出的所有取值，然后根据二项分布的概率公式求出对应的概率，列出分布列，最后根据期望公式即可求解. 【详解】（1）设“参与者参加项目抽奖”，“参与者参加项目抽奖”， “参与者中奖”， 则，，，. 所以. 所以每位参与者中奖的概率为. （2）依题意得，的所有可能取值为300，400，500，600. ，， ，， 所以的分布列为 300 400 500 600 所以的期望. 题型五：正态分布问题（小题） 39．下列说法正确的有（   ） ①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6； ②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等； ③若随机变量，满足，则，； ④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式． ⑤在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好． ⑥样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为2． ⑦若随机变量X服从正态分布，且，则 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】由百分位数的定义即可得出① 正确，由标准差定义判断② 正确，由随机变量的数学期望及方差性质判断③错误，由排列组合求解分组分配可知④正确. 根据决定系数的意义判断⑤正确；根据方差的性质判断⑥正确；利用正态曲线的对称性计算可判断⑦错误. 【详解】① ：由，得第75百分位数为第5个数，即11，中位数为，故① 正确； ② ：根据标准差定义，一组数据的标准差 时，显然有，故② 正确； ③：若随机变量，满足，则，，故③ 错误； ④ ：一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，男医生人，女医生人， 现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，且女医生去同一个医院， 三个医院人数可以为，共有种分配方式；三个医院人数可以为，共有种分配方式； 综上，共有种分配方式，故④ 正确； ⑤：在回归模型中，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故⑤ 正确； ⑥：若数据的方差为，则数据的方差为，由题意，则，故⑥ 正确； ⑦：因，可得均值，则， 因为，所以 ，故⑦ 错误. 故正确的有①②④⑤⑥共5个. 故选：C. 40．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性，分析求解，即可得答案. 【详解】因为服从正态分布，所以对称轴， 因为，所以， 由对称性得， 所以. 故选：D 41．已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．64 B．128 C．-64 D．-128 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性，求出参数值，再根据赋值法求出二项式展开式的系数之和，判断结果即可. 【详解】由可知正态曲线对称轴为， 因为， 所以，解得， 可得二项式为， 令，则， 所以展开式中各项系数之和为. 故选：B. 42．某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 【答案】A 【分析】利用正态分布的性质，结合区间概率，即可求解. 【详解】学生的抽测成绩服从正态分布， 则 ， 由于总人数为30000，则抽测成绩在内的学生人数大约为， 故选：A． 43．某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（    ） 附：若，则，. A．130 B．228 C．260 D．1587 【答案】B 【分析】由条件求出和值，依据正态分布的对称性可得质量不低于210g的概率，即可得解. 【详解】由可知， ， 故估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为. 故选：B. 44．某校期末考试的数学成绩服从，若，则（   ） A．90 B．85 C．80 D．75 【答案】C 【分析】利用对立事件的概率和也为1，联立可得，从而可得对称轴的取值. 【详解】因为，， 所以， 即. 故选：C. 45．设随机变量，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性及概率加法公式计算可得. 【详解】因为随机变量，所以. 因为，所以，所以. 所以. 所以. 故选：C. 46．某产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于96至104之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需要较高的生产工艺，使得不超过（备注：若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据题意结合正态分布的性质可得，，从而得出的最大值. 【详解】因为产品质量指标服从正态分布，， 且质量指标介于96至104之间的产品为良品，良品率达到99.73%， 所以，， 解得， 所以不超过， 故选：D 47．设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决． 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 48．已知随机变量，设随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布性质以及期望值与方差的性质计算可得，即可判断得出结论. 【详解】由可知， 因此可知， ， 所以可得. 故选：B 49．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得，可判断AB，由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD. 【详解】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 50．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 51．随机变量，且，则 ． 【答案】0.3/ 【分析】利用正态分布的对称性有，即可求. 【详解】因为，即，且， 所以， 则. 故答案为： 52．已知随机变量，且，则 ． 【答案】 【分析】由正态分布的对称性即可得解. 【详解】由题意有正态分布曲线的对称轴是， 所以，解得. 故答案为：. 53．某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【分析】设A等级的原始分最低为，由原始成绩，令，则，即可求解. 【详解】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 54．某公司销售某种业务保单，已知每份业务保单的利润现值随机变量PVP可以用正态分布近似，且满足：,.已知标准正态分布随机变量Z满足,那么该业务保单的利润现值可以以95%的概率大于 ． 【答案】185.5 【分析】由题意知，转化为标准正态分布求出PVP的范围. 【详解】由题意知，则， 因为，所以，所以， 所以该业务保单的利润现值可以以95%的概率大于185.5. 故答案为：185.5 55．随机变量，，若，那么实数的值为 . 【答案】 【分析】由正态分布性质可得，，由此可利用对称性构造方程求得结果. 【详解】，，，， ，，解得：. 故答案为：. 56．某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是 ． 【答案】273 【分析】由图知：，利用原则可求出成绩X位于区间的概率，进而可得出大约人数. 【详解】由题意可知：，由图象可得：， ∵，即， ∴成绩X位于区间的人数大约是. 故答案为：273. 题型六：正态分布问题（大题） 57．某企业车载电池LG型有A，B两条生产线，产品质检员随机从A，B两条生产线共抽取50件车载电池进行电量误差检测，误差（单位：kwh）统计的数据如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 A 30 0.2 2.1 B 20 1.1 (1)若两条生产线的车载电池电量的误差X服从正态分布，以抽取样本的误差的平均数作为的估计值，并规定为特等品，其余为一等品或二等品，求两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数的估计值； (2)某小型新能源汽车装配了特等品和一等品车载电池，该车载电池特等品的续航优秀率为60%，为了测试特等品车载电池的续航功能，从装配了特等品的该新能源汽车中随机抽取4辆进行测试，记续航优秀的台数为，求随机变量X的分布列和数学期望. 附：，若，则，，. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）结合题意先确定，再结合正态分布的性质求出特等品的概率，最后结合题意求解估计值即可. （2）先确定变量服从二项分布，再利用二项分布的概率公式求解概率写出分布列，最后结合二项分布的期望公式求解期望即可. 【详解】（1）设这50件零件尺寸误差的平均数为， 由题意得，则， 而，规定为特等品，则为特等品， 故特等品的概率为， 故两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数约为件. （2）由题意得， 则，， ，，， 则X的分布列如下， 0 1 2 3 4 且. 58．潮阳实验学校高二学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布. (1)求成绩在70分到90分之间的概率； (2)若该校有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过90分的学生人数； (3)若从成绩前的学生中选2人参加省级竞赛，求选中的2人成绩都超过95分的概率. 附注：若，则， 【答案】(1) (2)159 (3) 【分析】（1）根据正态分布原则求解； （2）由正态分布的对称性求得，进而估计成绩超过90分的学生人数； （3）设前分位数为，由结合正态分布表求得，进而求得，根据条件概率公式求得，得解. 【详解】（1）设学生数学竞赛成绩为，则，则，， . （2）因为， 所以估计成绩超过90分的学生人数为人. （3）设前分位数为，则，所以， 由正态分布表得，解得， 又， ， 所以选中的2人成绩都超过95分的概率为. 59．某区举行模拟考试，共有5000名学生参加，考试分两次，对第一次考试成绩不满意的学生可参加第二次考试.为了解考生情况，随机抽取了100名学生第一次考试中某科目的成绩(满分:100分)，并绘制样本频率分布直方图，如图所示. (1)若学生第一次考试中某科目的成绩X近似服从正态分布，其中μ为样本平均数的估计值，请估计第一次考试中某科目的成绩高于86分的人数.(同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)设第一次考试中某科目成绩在区间内对应的等级分别为优秀、良好、合格与不合格，若该科目第一次考试等级为良好，合格与不合格的学生都参加了第二次考试，假设第二次考试后，原等级为良好、合格与不合格的学生分别有的概率提升一个等级，不晋级则保留原等级，每位学生的考试成绩相互独立.将频率视为概率，从全体学生中任取一人，求在已知该生是第二次考试后晋级的条件下，第一次考试评级为合格的概率. 附:若随机变量，则. 【答案】(1)114人； (2). 【分析】（1）根据频率分布直方图的均值计算公式得出平均数，再利用正态分布的对称性求出概率，进而得出人数； （2）根据频率分布直方图得出评级为合格、不合格的概率，再利用条件概率的计算公式即可. 【详解】（1）样本平均数的估计值为 ，即， 又，则，则， 又，所以估计第一次考试中某科目的成绩高于86分的学生有114人. （2）由频率分布直方图知第一次考试评级是良好的频率为(0.024+0.012)×10=0.36， 评级为合格的频率为，评级为不合格的频率为， 记事件A为“第二次考试后该学生晋级”，事件B为“该学生第一次考试评级为合格”， ，，所以， 故在已知该生是第二次考试后晋级的条件下，第一次考试评级为合格的概率为 60．某地区某疾病的患病率为0.05．现对该地区1000人进行抽样调查． (1)设X为样本中患病人数，求X的期望和方差． (2)利用棣莫弗—拉普拉斯定理，近似计算的值（已知标准正态分布）． (3)若实际调查中患病人数为70人，根据正态近似，判断该结果是否为小概率事件（概率小于0.05）． (4)比较正态近似与切比雪夫不等式在估计时的精度． 【答案】(1)， (2) (3)该结果是小概率事件 (4)正态近似更精确 【分析】（1）根据二项分布的期望和方差公式进行计算即可. （2）由棣莫弗—拉普拉斯定理和正态分布进行求解即可. （3）根据正态分布的性质进行求解即可. （4）根据正态分布的性质进行求解即可. 【详解】（1）样本中患病人数． 期望：， 方差： （2）由棣莫弗—拉普拉斯定理，当n较大时，X近似服从正态分布． 标准化：， （3）实际调查中患病人数为70人，计算． 标准化：， 由于，因此该结果是小概率事件． （4）估计或 正态近似： 所以， 切比雪夫不等式：， 比较：正态近似给出的值约为0.0038，而切比雪夫不等式给出的上界为0.11875．正态近似更精确，但需要满足n足够大的条件；切比雪夫不等式更保守，但适用于任何分布． 61．某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)设随机变量服从二项分布，记 则当时，可认为η服从标准正态分布.若保证投中的频率在区间的概率不低于，求该同学至少要投多少次. 附: 若，则，. 【答案】(1) (2)68 【分析】（1）设出事件，由条件概率公式即可求解； （2）首先将题目条件转换为的概率至少为，进一步通过计算得，从而可得，由此即可得解. 【详解】（1）该同学投篮了四次，设分别表示“第二次没有投中”和“恰投中两次”. 则有. （2）随机变量代表次投篮后命中的次数，则服从二项分布， 然后令随机变量，并近似视为其服从正态分布. 题目条件即为，即的概率至少为. 由于我们有， 故命题等价于，解得. 综上，该同学至少要投次. 62．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 【答案】(1)56 (2)分布列见解析 (3)95.45 【分析】（1）利用平均数的定义进行计算； （2）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）计算出，，所以，得到学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为，故，从而计算出. 【详解】（1）. （2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0，1，2，3. 因为，， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （3）因为，， 所以， 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为， 故，所以. 63．某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组两个评委组，每组人.每首参赛歌曲都需要位评委打分（满分为分，且各评委打分相互独立）.从专业评委组的个分数中去掉一个最高分，去掉一个最低分，可求出剩余个有效得分的平均分，按照同样的方法可得到业余评委组打分的平均分.参赛选手该歌曲的最终得分为.在该比赛中，对某选手在初赛中参赛歌曲的得分进行整理，得到如下茎叶图. (1)计算、两小组各自有效得分的均值、及标准差、； (2)①专业评委组由于其专业性，有效打分通常比较集中；业余评委组由于水平不一，有效打分通常比较分散.利用（1）的计算结果推断、两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组？请说明理由； ②在①的推断下，计算此选手初赛歌曲的最终得分； (3)若（2）的推断正确，且该选手成功进入复赛，复赛中位评委所打分数大致服从正态分布，试估计位评委中，打分在分以上的人数. 参考数据：①组名评委打分总和为，组名评委打分总和为；；； ②若，则，，. 【答案】(1)，，， (2)①组更有可能是专业评委组，理由见解析；② (3)大约为人 【分析】（1）根据题意结合平均数公式可求得、，并结合标准差公式可求得、； （2）①比较、的大小，进而可得出结论； ②根据题中公式可求得的值； （3）计算出正态分布的均值，标准差，利用原则求得，再乘以可得结果. 【详解】（1）由题意可知，， ， （2）①因为，因此组更有可能是专业评委组； ②； （3）由（1）（2）可知，正态分布的参数，. 设某评委打出的分数为随机变量，则， 故 . ，于是估计位评委中，打分在分以上的人数大约为人. 64．近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)（ⅰ）；（ⅱ）方案2该平台赠送的学习视频总时长更多，答案见解析 【分析】（1）利用分层抽样求解前3组各组抽取的人数，然后确定的所有可能取值，求出对应的概率，进而求解分布列和数学期望，求解期望时也可用超几何分布的期望公式； （2）（i）由平均数的计算公式求出，再由原则求解即可； （ii）对于方案2，设每位学生所获赠学习视频的小时数为，求出的所有可能取值及其概率，再求出，与方案1比较即可得出答案. 【详解】（1）因为抽样比为， 所以从中抽取（人），从中抽取（人）， 从中抽取（人）． 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 故的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 方法一：． 方法二 ：服从参数的超几何分布，故． （2）（ⅰ），， 所以，，，． 所以． （ⅱ）对于方案2：设每位学生所获赠学习视频小时数为，则可取． ， ， ． ， 因为，所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. 65．从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数计算公式计算即可； （2）（ⅰ）由题意，由可求得，进而可得这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）根据正态分布的性质及原则分析即可． 【详解】（1）由题意可知，． （2）（ⅰ）由题意，， 则， 则，即． 则这批产品质量指标值在的数量约为． （ⅱ）如果生产状态正常，此时一件产品的质量指标值在之外的概率只有， 一天内抽取10件产品中，发现产品质量指标值在之外的概率只有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的方法合理． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $