数学终极押题猜想（全国二卷通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

2026年高考数学终极押题猜想 目 录 押题猜想01 抽象函数性质综合应用 押题猜想02 平面向量-投影向量、最值问题 押题猜想03 三角函数-三角换元、 𝛚范围求解 押题猜想04 圆锥曲线离心率及面积比值范围问题 押题猜想05 排列组合及条件概率 押题猜想06 立体几何-外接球、内切球与空间向量 押题猜想07 数列-求最值及证明不等式 押题猜想08 解三角形定值与最值-内部含线 押题猜想09 导数-比较大小、零点及恒成立求参问题 押题猜想10 圆锥曲线-定点定值最值问题 押题猜想11 概率统计与数列、函数等模块的综合应用 押题猜想01 抽象函数性质综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：4min 【原创题】已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，若当时，，且，则（    ） A． B． C．存在极大值点 D．有且只有一个零点 【答案】D 【详解】，即，故函数为奇函数， 设，则， 由题意，当时，， 在上单调递增， 又为偶函数，故为奇函数， 在上单调递增，图像连续不断且， 在上单调递增， 当时，，；同理当时，， 对于A，，，，故A错误. 对于B，当时，，则，故B错误. 对于C，由于函数的单调性未知，故该选项不确定，故C错误. 对于D，当时，，当时，，且，有且只有一个零点，故D正确. 分析有理·押题有据 抽象函数不考具体解析式，纯考逻辑与性质，区分度高，是中档生和尖子生的分水岭。连续多年在选择第8～11题位置出现，属于“必考中档压轴”，极少缺席。重思维、轻计算，考单调性、奇偶性、对称性、周期性综合，完美匹配“素养立意”命题思路。可与不等式、零点、导数结合既能单独出小题，也能 作为导数大题的铺垫，命题空间极大。  近5年全国Ⅱ/甲卷真题高频重复，奇偶性 + 单调性解不等式；对称性 + 周期性求函数值；抽象函数 + 图像判断零点个数；每年至少1道，从未断档。考纲要求：理解函数奇偶性、单调性、周期性、对称性，能综合运用性质解决问题。抽象函数是对这一要求最直接的考查。各省模拟卷大量出现“双对称推周期”“奇偶+单调解不等式”，与全国卷命题高度同频。抽象函数无法死记硬背题型，必须理解逻辑，非常适合高考选拔。。 密押预测·精练通关 1．（2026·四川·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，且为偶函数，是减函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的定义域均为R，且为偶函数，得， 求导得，则，由是R上的减函数， 得当时，，因此函数在上单调递减， 所以. 2．（2026·山东青岛·一模）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得函数关于点对称， 又，得函数关于直线对称， 从而函数是周期为4的周期函数. 又当时，，则， 即是的单调递增函数，，，可画出的部分图象， 又方程的根即与的交点横坐标，如图 两函数共有17个交点，并且关于点对称，故所有根之和为17. 3．（2026·山东青岛·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【详解】因为为偶函数，为奇函数， 所以，， 所以函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 所以，令，则，即， 所以，令，则，所以的周期为4， 又，，所以，所以， 又函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 又的周期为4，所以，，， 所以函数一个周期内的函数值为，，，， 所以， 所以 ， 所以. 4．（2026·山西大同·一模）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数满足对任意的，，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令， 因为当时，都有， 所以函数在上单调递增. 又不等式两边同乘以， 得，即， 即，所以， 故，解得，即. 5．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是偶函数 【答案】C 【详解】对于A，令，则，故，故A错误； 对于B，令，则， 所以，故为等差数列，首项为零，公差为， 故，故B错误； 对于C，因为，，故， 故，同理， 在中令， 则，由B的分析可得， 所以，所以， 所以，所以， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于D，由C的分析可得即， 故函数是奇函数，故D错误. 6．（2026·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对任意的，，， 所以的图象关于直线对称，又关于点对称， 所以，， 所以，所以，即， 所以，故是周期为的周期函数． 因为的定义域为，所以对称中心在的图象上，可得，则． 当时，，有， 当或时，；当时，. 可知在上递增，在区间上递减，在上递增． 当时，，， 又因为，，所以，， 由于的图象关于点对称，故当时，，． 故当时，，． 由于的图象关于直线对称，故当时，，． 因为是周期为的周期函数，故当时，，． 因此的最大值与最小值的差为. 7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（   ） A．的一个周期为6 B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A，的图像向左平移个单位得到， 又关于中心对称， 关于中心对称，， 将式子中的用代替，得到， 是定义在上的偶函数，， ，将此式子中的用代替，得到， 则是一个以为周期的周期函数，故选项A错误； 选项B，关于中心对称，的定义域为，， 是定义在上的偶函数，，故选项B正确； 选项C，，，但是根据题中已知条件无法得到，故选项C错误； 选项D，是一个以为周期的周期函数， ，， ，，， ， ，， ， 仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出，故选项D错误. 8．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，在R上单调递增，为奇函数，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】AC 【详解】因为为奇函数，所以， 令，得，得，故A正确； 令，则，即， 若，则恒成立，与在R上单调递增矛盾，故B错误； 因为，所以的图象关于点中心对称， 又，在R上单调递增，所以时，时， 故在上单调递减，在上单调递增， 又函数的导函数为，则，得，其中为常数， 令，得，得，故， 故的图象关于直线对称，故C正确； 由的对称性可知，， 因为，以及的单调性可知，，故D错误. 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则（    ） A．0 B．1 C．10 D．20 【答案】A 【详解】令，则， 令，则． 令，则，所以函数的图象关于直线对称． 令，则， 所以，的图象关于点对称． 由和，可得， 令，则， 故，则， 是周期的函数． 又，所以． 10．（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的偶函数满足，且在上是单调递增函数，若函数，则下列结论正确的是（   ） A．为偶函数 B．在上是单调递增函数 C． D． 【答案】C 【详解】已知（①），将替换为得 （②）， 由①+②得，则， 即函数周期为，且恒成立， 又是定义域的偶函数，故，且在单调递增， 因此，结合得. 选项A：（③）， 由得，代入③式得， 而，显然，故A错误； 选项B：时，，，递增， 故在递减； 同时，在上单调递增， 因此，根据单调性运算性质可知递减函数，故B错误； 选项C：因此， 已知，故，故C正确； 选项D：，故D错误. 押题猜想02 平面向量-投影向量、最值问题 试题前瞻·能力先查 限时：4min 【原创题】已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 【答案】A 【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上， 令，由点在线段上， ，得， 则， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 分析有理·押题有据 位置极其固定，全国Ⅱ卷多年稳定在选择第5～8题，一道纯向量小题，5分必出，极少缺席。难度适中、区分度好，不偏不难，但很容易因公式记错、投影搞反、几何转化不到位丢分，是二轮必抓稳分点。 新高考命题偏好“几何+代数”双视角，向量既能考坐标运算，又能考几何投影、数量积、模长最值，完美契合“数形结合”素养。可与圆锥曲线、解三角形、立体几何自然结合，单独考小题，也常作为大题工具出现，命题灵活、覆盖面广。 近5年全国Ⅱ/甲卷真题高频重复，向量数量积与夹角；投影与投影向量；模长最值、系数线性组合最值；向量与三角形四心（重心、外心、垂心、内心）简单结合，考纲与教材核心要求明确要求掌握：向量线性运算、数量积、投影、模长公式、坐标运算，以及向量在几何中的应用。2026各地模拟卷高度一致 一模二模普遍聚焦：投影向量计算；数量积范围问题，与全国卷命题风格完全同频。反套路但不超纲 不考复杂技巧，重在公式理解与几何直观，非常适合高考基础中档题定位。 密押预测·精练通关 1．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在边长为2的正方形中，， 设，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 2．（2026·山西朔州·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，展开整理得， 由得，即， 所以，即 所以. 3．（2026·山西晋中·模拟预测）在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为三个力的作用下恰好处于平衡状态，所以， 设，根据向量的坐标运算，，所以，所以. 因为，所以在上的投影向量的坐标为. 4．（2026·辽宁大连·模拟预测）在中，点是直线上一点，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，所以． 又，而， 则． 故选：D. 5．（2026·辽宁大连·一模）已知点是圆上一点，直线与圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，直线可化为，所以直线过定点； 圆的圆心为，半径为，所以，所以定点在圆的内部； 如上图（左），作的中点，则，所以； 如上图（中），在中，，当与重合时取等号，此时； 如上图（右），在中，，当与共线时取等号； 所以.当与重合，且，共线时取等号. 故选：D. 6．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 所以，又， 所以向量与的夹角为， 故选：B 7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点是的重心，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】 设是的中点，则. 所以. 因为，所以， 因此. 8．（2026·黑龙江·一模）如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 【答案】/ 【详解】在正方形中，因为为AD中点，所以，且， 则， 则 . 9．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点分别为A和B，O为坐标原点，则_________． 【答案】3 【详解】由函数，令，解得，所以，即， 再令，解得，所以，即 所以。 10．（2026·贵州毕节·二模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，， 则向量在向量上的投影向量为. 押题猜想03 三角函数-三角换元、𝛚范围求解 试题前瞻·能力先查 限时：4min 【原创题】若函数（）在内存在唯一的，使得，则的取值可能为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】BC 【详解】由，知在内存在唯一的解. 当时，，则，即， 因仅有选项B,C中的值在此范围，故B,C正确. 分析有理·押题有据 小题必考，位置稳定，全国Ⅱ卷连续多年固定在选择第6～9题出一道三角函数小题，分值5分，几乎从不缺席。ω范围问题是近年“固定压轴小题”三角函数图像性质、单调性、零点、对称轴求 ω 范围，是全国卷最爱的中档拉分题，区分度极高。三角换元是二轮隐形高频工具，常在求最值、圆锥曲线参数方程、不等式中出现，属于“不单独考但处处用”的核心方法。完美契合新高考方向，重图像、重性质、重数形结合，不考死记硬背，非常适合考查数学素养。2026全国Ⅱ卷三角函数小题必出，ω范围题概率接近100%，三角换元大概率在函数/解析几何最值中用到。  近5年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，三角函数图像平移、伸缩变换；由单调性、零点、对称轴求 ω 范围；- 三角恒等变换与最值；三角换元求无理函数、二次型最值，考纲与教材核心要求掌握正弦型函数 y=Asin(wx+ų) 图像与性质；掌握同角关系、诱导公式、和差倍角；会用换元思想转化问题，2026各地一模二模一致指向各地模拟卷高频出现：给定区间单调 → 求 ω；给定零点个数 → 求 ω；给定对称轴/极值点 → 求 ω完全贴合全国卷命题风格。命题稳定、难度可控既能基础送分，又能适度综合卡中档学生，是命题人最爱的题型之一。 密押预测·精练通关 1．（2026·云南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，则， 所以，可得， 由，则，故， 代入，则， 所以，则， 所以， 所以. 2．（2026·云南大理·二模）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上只有一个零点 C．在上单调递增 D．点是图象的一个对称中心 【答案】BD 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变， 可以得到，再将所得图象向右平移个单位长度， 可得到函数的图象． 对于A选项，函数的最小正周期为，A选项错误； 对于B选项，，，解得， 只有一个零点，B选项正确； 对于C选项，，，而在上不单调， 故在上并不单调，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确． 故选：BD. 3．（2026·山西朔州·一模）已知，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．当在有2个不同实根时，的取值范围是 【答案】AD 【详解】的定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，A正确； ，所以关于对称，B错； 当，时，， ，，则， 当，时，， ，，则， 综上可得的值域为，C错； 时，，图象如下所示： 所以，，则，D正确. 4．（2026·山西运城·一模）若函数的图象关于点对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 因为，所以. 令，得，所以函数的对称中心为. 因为函数的图象关于点对称， 所以，解得，取最大的整数. 此时，所以的最大值为. 5．（2026·山西大同·一模）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．直线是函数图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．的图象可通过的图象上所有点向右平移个单位长度得到 D．若，且，则 【答案】BD 【详解】对于A，，0不是函数的最值，所以函数不关于对称，故A错误； 对于B，令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为， 令，得函数在上单调递增， 又，所以函数在上单调递增，故B正确； 对于C，将函数的图象上所有点向右平移个单位长度得到，故C错误； 对于D，，解得，，， 则， 故当时，，故D正确. 6．（2026·辽宁抚顺·一模）已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，所以，所以. 因为，所以，所以，解得. 7．（2026·辽宁·模拟预测）将函数的图象按照以下顺序进行变换： ①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（    ） A．若，则的取值范围为 B．若函数在上的图象与直线有且只有一个交点，在上单调递减，则 C．若函数在区间上的最值分别为，则的取值范围是 D．若方程在内恰有两个根，则 【答案】ABD 【详解】由题意得将的图象向左平移个单位长度， 则， 而横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍， 得到， 而向下平移个单位长度， 可得， 则，即. 对于A，由，得， 由三角函数的图象可得， 可得的取值范围为，故A正确； 对于B，由题意得， 令，可得， 而，则， 若在上的图象与直线有且只有一个交点， 则在上有且只有一个解， 可得，解得. 若在上单调递减，则在上单调递增， 因为，所以， 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 可得，解得， 综上可得，，故B正确； 对于C，由题意得， 不妨设函数在区间上的最大值为，最小值为， 令，则区间变为，可得， 则，即， 此时， 即的取值范围是不成立，故C错误； 对于D，令，则，， 若方程在内恰有两个根，， 则，即在内恰有两个根， 则，且，得到， 故，故D正确. 故选：ABD 8．（2026·广西·模拟预测）已知函数（），若曲线关于点中心对称，则的最小值为__________. 【答案】/ 【详解】由正切函数性质可知，函数的对称中心为， 因为曲线关于点中心对称， 所以，即 因为，所以，解得， 因为，所以，故. 故答案为： 9．（2026·陕西铜川·一模）设为奇函数，将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， 因为将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像， 所以向右平移个单位长度后，得到函数的图像， 所以， 又因为为奇函数，所以，所以， 又，所以. 故选：B. 10．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数，为的一个零点，的图象关于点对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】AC 【详解】因为的一个零点为，的图象关于点对称，且在上单调递增， 所以，所以，A正确； 由及，得，B错误； 所以，C正确； 因为时，不存在，因为， 所以函数在上单调递增，故D错误． 押题猜想04 圆锥曲线离心率及面积比值范围问题 试题前瞻·能力先查 限时：4min 【原创题】已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 由双曲线的定义，可得，所以， 又由， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， ，即， 即，所以，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 所以双曲线的离心率为. 分析有理·押题有据 地位：小题必考“黄金考点”全国Ⅱ卷每年必有一道离心率小题，位置稳定在选择 6～8题，分值5分，几乎从不缺席。区分度极强，二轮必争之分入门简单、想快很难，能轻松拉开中等生与尖子生差距，是命题人最爱用的“卡分题”。可结合：焦点三角形、渐近线、垂直、向量、中点、几何性质，考法多但套路固定。新高考风格高度契合，重几何性质、轻暴力计算，强调数形结合与转化，完全符合新课标命题思路。 近5年全国Ⅱ/甲卷真题高频重复，焦点三角形求离心率；垂直条件（向量垂直、斜率乘积＝-1）；渐近线夹角、倾斜角；中点弦、对称点，每年必考一类，从未断档。 考纲与教材核心要求离心率 e=c/a 是描述圆锥曲线形状的核心量，考纲明确要求熟练求解。 2026各地一模二模高度一致各地模拟卷几乎都把离心率作为小题必考，考法与全国卷高度同频。不超纲、不偏怪，可深可浅，既能简单送分，也能稍加包装变成小压轴，命题弹性极佳。 密押预测·精练通关 1．（2026·陕西榆林·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以点在轴左侧， 如图，作轴，垂足为．由，得， 所以，即， 则，， 所以，即，则，则点的坐标为或， 结合，将代入到椭圆方程有， 解得，则，则. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D．点F到直线OM的距离为 【答案】BC 【详解】抛物线的焦点，准线， 对于A，由抛物线的定义，得，则，A错误； 对于B，由点在抛物线C上，得，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，设点F到直线OM的距离为d，则，，D错误. 3．（2026·陕西商洛·二模）已知双曲线，圆为以实轴为直径的圆，试验发现将圆竖直上移个单位或水平右移个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题，圆，竖直上移个单位或水平右移个单位后， 分别得到圆，， 若圆，圆均与双曲线的渐近线相切，不妨取渐近线， 有，即，解得， 所以双曲线的离心率. 4．（2026·陕西西安·模拟预测）设抛物线的焦点为，准线为l，过点的直线交于两点，以为圆心，为半径的圆交l于两点.若，则一定有（   ） A． B．直线的斜率是 C． D．的面积是 【答案】D 【详解】对于A，以为圆心，为半径的圆交准线于两点,且 故，所以是等边三角形，所以， 设准线与轴交于点,则，如下图： 故故A错误； 对于B，因为,平行于轴， 故，故当点位于第一象限时，直线的倾斜角为； 当点位于第四象限时，直线的倾斜角为；所以直线的斜率是，故B不正确； 对于C，因为直线的斜率是，且抛物线， 故直线的方程为：， 联立方程得，即 设则，故，故C不正确； 对于D,由A知 ，故 故,故D正确. 5．（2026·陕西铜川·一模）已知双曲线，的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于点，与直线交于点，下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为2 B． C．若，则 D．若是线段的中点，则 【答案】ABD 【详解】由双曲线，可得，所以， 所以左顶点，右焦点，离心率，故A正确； 设直线的方程为，代入双曲线方程得， 整理得， 设，则，所以， 又点Q在双曲线的右支上，则，解得，故B正确； 若，所以，又， 所以， 又因为，所以 ， 解得，故C错误； 直线与直线交于点， 若是线段的中点，则由中点坐标公式得，解得， 故，解得，符合，故D正确. 故选：ABD. 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线：（，）的右焦点为，半焦距为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（    ） A．2 B．2或 C．2或 D．2或 【答案】D 【详解】由题可得双曲线的渐近线为，这里不妨取，即， 点到直线的距离， 在中， 所以，则， 又因，所以， 化简可得，等式两边同时除以，可得， 即，解得或， 因，所以或. 7．（2026·黑龙江·一模）已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（   ） A．若，则点P的坐标为 B．若，则的最小值为6 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【详解】对于A，因为焦半径，所以，代入，解得， 所以，故A错误； 对于B，将横坐标5代入抛物线方程中，得，所以点A在抛物线内， 所以，当且仅当与轴平行时取等，故B正确； 对于C，设，则， 所以， 所以的最小值为，C正确； 对于D，设点M是x轴上点A右侧一点，不妨设P位于第一象限， 如图所示： 则 ， 令，分母为，则， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 所以当时，， 此时，由图知，所以，故D正确. 8．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，为的中点， 过点作轴，交轴于点， 设， 过点的直线的斜率为2，， ， ，，，，， ，，，， 设， 为的中点，，， 是双曲线的渐近线上的点， ， ，， ， ，， ， . 故选：B. 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（   ） A．的周长是 B．时，的面积是 C．的最大值是2 D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，由椭圆知椭圆焦点在轴上，且， 则的周长是，故A正确； 对于B，由椭圆的定义得，， 由余弦定理得，， 则，即，则， 所以的面积为，故B错误； 对于C，由，则， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，先证明：椭圆上的一点处的切线方程为. 联立，得， 点在椭圆上，， ，即， ， 得，故直线和椭圆仅有一个公共点， 则椭圆上的一点处的切线方程为. 设，由题意知的切线斜率存在，则切线方程为， 令，得，令，得，即， 又，则， 即，当且仅当时等号成立， 则面积为， 即的面积的最小值为，故D正确. 10．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线，、是其左右焦点，点为双曲线上在第一象限内的一点，连接点与右焦点的直线交双曲线的右支于另一点，记点到两渐近线的距离为、，点到两渐近线的距离为、，、的内切圆圆心分别为、，则下列结论正确的是（   ） A． B．两内切圆相切于轴上同一点 C．点在以为直径的圆上 D．两内切圆周长之和的取值范围是 【答案】BCD 【详解】对于双曲线，，，则，如图所示： 对于A选项，设点、，则，， 双曲线的渐近线方程为，即， 所以，同理可得， 故，A错； 对于B选项，设的内切圆分别切边、、于点、、， 由切线长定理可得，，， 因为， 又因为 ，所以，即，解得， 故圆切轴于点，同理可知圆切轴于点， 故两内切圆相切于轴上同一点，B对； 对于C选项，因为为的内心，故，同理可得， 因为，即， 即，故，即，故点在以为直径的圆上，C对； 对于D选项，由图可知，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得， 因为直线与双曲线的右支交于两点， 所以， 由韦达定理可得，， 由题意可得， 可得，解得， ， 可得，解得， 设直线的倾斜角为，当时，则，此时， 当时，， 当时，则，此时， 综上所述， 设，则，所以，则， 故，所以， 设圆、圆的半径分别为、， 因为，， 所以，则，且， 故两内切圆周长之和为， 构造函数，其中， 由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，故， 所以两内切圆周长之和为， 故两内切圆周长之和的取值范围是，D对. 押题猜想05 排列组合及条件概率 试题前瞻·能力先查 限时：4min 【原创题】黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每位志愿者仅去一个地点且每个地点至少需要1名学生，则不同的分配方法种数为（   ） A．81 B．72 C．36 D．12 【答案】C 【详解】先从四人中选出两人当成一组，共种分法， 再将三组人进行分配，共种， 故共有种分配方法. 分析有理·押题有据 小题必考，5分稳在全国Ⅱ卷多年稳定在选择第9～11题考一道排列组合小题，偶尔结合概率一起考，基本年年都有。区分度高，中档生必争思路对就秒出，思路错怎么算都不对，是典型“一看就会、一做就错”的拉分题。命题风格固定、不跑偏不考偏难怪，只考：相邻不相邻、分组分配、特殊位置优先、间接法（正难则反），套路极强。常结合选课、排队、分配岗位、数字组成等真实场景，非常贴合全国卷命题习惯。 近5年全国Ⅱ/甲卷高频重复，相邻捆绑、不相邻插空；特殊元素/特殊位置优先；平均分组、不平均分组；数字问题（奇偶、被几整除）；正难则反（间接法）考纲明确要求，理解分类加法、分步乘法计数原理，能解决简单计数问题，是必考基础模块。 2026各地一模二模模拟卷几乎都围绕：排队、选课、分配、数字组数四类出题，和全国卷完全同频。可与概率、统计自然结合既能单独考小题，也能作为概率大题第一问，命题空间大。 考场万能做题步骤 先看：有序还是无序，有序→排列A，无序→组合C  再看：能不能一步做完 能→分类加；不能→分步乘，有无限制条件：特殊优先、相邻捆绑、不相邻插空，正面复杂就用：总数 - 不符合条件 = 答案，总之相邻捆绑不邻插，特殊位置优先它。均分除重防重复，正难则反最省事。有序排列无序组，分步相乘分类加。 密押预测·精练通关 1．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种. 【答案】150 【详解】第一步：排非耐力打卡：非耐力共有次打卡，同类顺序固定， 只需从5个位置中选2个放柔韧打卡，剩余3个放力量打卡， 放法数为：； 第二步：插入耐力打卡：5个排好的打卡共形成6个空隙（含两端）， 要选4个空隙各插入1次耐力打卡（保证不相邻），且耐力顺序固定， 选法数为：， 第三步：根据分步乘法计数原理，总顺序数为：. 2．（2026·山西朔州·一模）某自动化生产线连续生产编号为1到10的10个产品，计划从中抽取3个进行检测，若抽取的3个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为__________. 【答案】112 【详解】从编号为1到10的10个产品中任意抽取3个，共有种方法， 当取到的3个产品编号是相邻整数时，不符合要求，即123，234，345，456，567，678，789，8910，这8种情况不符合要求， 所以抽取的产品编号不全是连续整数的抽取方法有种方法. 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）将编号为的个小球放入编号为的个盒子中，其中，要求每个盒子至多放一个小球，且对于任意的号球放入的盒子所对应编号都小于号球放入的盒子所对应编号，则号球放入编号为______________的盒子的概率最大. 【答案】 【详解】将编号为的个小球放入编号为的个盒子中，要求每个盒子至多放一个小球， 看作是从 2n 个盒子中选出n个并按球的编号顺序排列，因此总的放法数为. 设事件：第号球放入盒子，满足，设时概率最大， 前个球要从编号 1,2,…, 中选个盒子并排序，方法数为； 第个球要从编号中选 1 个盒子，方法数为； 因此，对固定k，满足的放法数为. 要使概率最大，只需求的最大值， 令，得，整理得， 即，当时， 因为 k 为整数，且，所以取最接近的整数，可得. 故答案为： 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种. 【答案】200 【详解】 将有阴影的圆分别标为， 由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字， 当阴影的圆中的数字为时，则将填在中有种方法，接着剩下的个数字填到圆中有种方法，所以共有种方法； 当阴影的圆中的数字为时，若将填到，则接着安排有种方法，与相邻的两个圆只能从中选两个有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有种方法； 若将填到或，有种方法，则接着安排有种方法，与相邻的三个圆只能填有种方法，剩下一个数有种填法，所以共有种方法； 当阴影的圆中的数字为时，则只能填到，则接着安排有种方法，与相邻的两个圆只能安排有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有种方法； 所以总共有种填法. 故答案为： 5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】B 【详解】第一类：先排3名男生，甲在两端的排序有种，再2名女生插空有种； 第二类：先排3名男生，甲在中间的排序有种，再2名女生插空有种， 故男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（种）. 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，任意取的2个球共有种， 取出的2个球的编号之和为奇数， 则取出的2个球的编号必须为一个奇数一个偶数，且至少有一个为黑球， 所以，一个白球（奇数）一个黑球（偶数）有种， 一个白球（偶数）一个黑球（奇数）有种， 两个黑球（一奇一偶）共有种，故概率为． 故选：C． 7．（2026·广西河池·二模）在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（   ） A．18种 B．36种 C．48种 D．54种 【答案】B 【详解】将甲、乙视为1个人，即相当于将4名同学安排到3个项目的方案，有种． 8．（2026·广西南宁·一模）某市十景包含扬美古风、青山塔影、明山锦绣、望仙怀古、伊岭神宫、九龙戏珠、南湖情韵、凤江绿野、邕江春泛、龙虎猴趣，每个景点都有其独特的魅力．某游客计划从这10个景点中随机选择2个景点进行游玩，则青山塔影被选中的概率是______． 【答案】/ 【详解】从10个景点中随机选择2个景点， 总共有 种选择方法， 若要确保青山塔影被选中，则需从剩余9个景点中再选1个， 有 种选择方法， 因此，青山塔影被选中的概率为 . 故答案为： 9．（2026·广西南宁·一模）某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向．学校安排6名教师负责这5个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（   ） A．2400 B．1800 C．1500 D．2100 【答案】B 【详解】由题意可得其中一个研学活动有2名教师负责，剩下四个研学活动有1名教师负责， 故不同的分配方法种数为. 故选：B 10．（2026·重庆·模拟预测）将6个相同的小球分别标上数字2，3，4，6，7，8，从中随机地取两个小球.记事件A为“取出的两个小球上的数字均为偶数”，事件B为“取出的两个小球中至少有一个小球上的数字能被3整除”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题设可得样本空间中样本点的总数为， 而中样本点的个数为，中样本点的个数为， 对于A，由古典概型的概率公式得，， 故，故，故A正确； 对于B，中样本点的个数为，故， 而，故B错误； 对于C，中样本点的个数为，故， 故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 押题猜想06 立体几何-外接球、内切球与空间向量 试题前瞻·能力先查 限时：4min 【原创题】在长方体中，，为线段上的动点，为的中点，过点且与直线垂直的平面交于点，交于点为内的动点，四点均在球的表面上，则（） A． B．三棱锥的体积是定值 C．球与该长方体的公共部分的体积为 D．的周长的最小值为 【答案】BCD 【详解】对于A，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 已知，则，. 可得， 设，则. 因为平面过点与直线垂直并交于点，所以， 又，则， 化简得：，解得，即，可得，故A错误； 对于B，在长方体中，易得，因，则平面， 又因，则点到平面的距离为定值，而点的位置固定，即的面积为定值，故三棱锥的体积是定值，故B正确； 对于C，由，则，又在平面上的射影为， 在正方形中，，故，即点为的交点， 下面证明的中点即经过 四点的球的球心. 如图，因是的中点，则，由上分析已得， 又，则，即， 故的中点即经过 四点的球面的球心， 由图知，该球与长方体公共部分的体积为球体积的，即，故C正确； 对于D，因的周长为，因为的中点，则， 于是，依题意，只需求的最小值. 由上分析知点与点关于平面对称，为平面内的动点，则，， 因点与点在平面的两侧，故当且仅当三点共线时，取得最小值为， 此时，的周长取得最小值.故D正确. 故选：BCD 分析有理·押题有据 题型极其固定全国Ⅱ卷结构：小题 1 道：外接球 / 内切球（选择 8～11 题，5-6 分）；大题 1 道：空间向量求角与距离（解答第 16或 17 题，15 分）合计 20 分左右，占比极高，基本不会缺席。外接球是“中档生分水岭”公式多、模型固定，会模型就秒杀，不会就卡死，区分度极强。空间向量大题完全套路化 建系→求点→求法向量→算夹角，步骤固定，是必拿满分大题。新高考趋势：重几何模型 + 重计算规范，不考怪题，考常见几何体、常见模型，完全贴合二轮复习重点。 近 5 年全国Ⅱ/甲卷高度重复，小题几乎每年：长方体外接球；直棱柱、正棱锥外接球；墙角模型（三条棱两两垂直）大题必用：线面垂直建系；求线面角、二面角；偶尔考动点、存在性问题，考纲核心要求 ；掌握球、柱、锥的结构与表面积体积；掌握空间向量运算与夹角计算；会用向量解决空间角问题， 2026 各地模拟卷高度一致全部围绕：外接球半径、体积、表面积；空间向量求线面角 / 二面角完全复刻全国卷风格。  今年重点小题押：外接球（内切球考得极少）重点押 4 大模型：墙角模型（三条棱两两垂直） 长方体/正方体模型；直棱柱外接球； 正棱锥（高+底面外接圆）。大题押：空间向量；二面角（最高频）； 线面角；存在性问题（是否存在点 P 满足某角度）；简单体积/距离计算 密押预测·精练通关 1．（2026·陕西商洛·二模）祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一个空心铁质半球壳，外半径为，内半径为（厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已知浸入水中部分的深度为，则浸入水中部分的体积为______． 【答案】 【详解】以半球壳的球心为坐标原点，在高度为处作水平截面，半球壳的截面为圆环， 则圆环外半径为，内半径为， 则浸入水中部分的截面面积为，与无关， 发现浸入水中部分的截面面积与一个高度为，底面半径为的圆柱的截面面积相同， 又浸入水中部分的深度为，由祖暅原理知，浸入水中部分的体积为． 2．（2026·吉林通化·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为，，半径为2的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设内切球的半径为， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处， 设球与母线切于点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理， 圆台的母线长， 又，所以，解得， 又，所以， 所以，，圆台的表面积为． 3．（2026·陕西西安·三模）如图，菱形的各点都在同一平面上，且边长为4，.设，分别为，的中点，分别以，，为折痕把，，折起，使点，，重合于点，并构成三棱锥.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为________.    【答案】 【详解】连接交于点， 把，，折起后构成的三棱锥如图1所示， 故.    在中，由余弦定理可得 ， 故. 其中是边长为2的正三角形，所以，. 设为的外心，则在上，且. 设为的外心，则在上， 故过且垂直于平面的直线与过且垂直于平面的直线的交点即为球心， 即过且垂直于的直线与过且垂直于的直线的交点即为球心， 设球心为，另设交于点，如图2所示.    在中，如图3所示，，，. 因为，即，解得，. 在中，由余弦定理得， 故，. 在中，， 又由，可得， 故， 所以球的半径， 故球的体积为. 故答案为： 4．（2026·山西大同·一模）如图，在几何体中，底面是边长为1的正方形，棱底面，，且，则下列表述一定正确的是（    ） A．平面 B．几何体外接球表面积是 C．几何体的体积是 D．当时，几何体一定有内切球 【答案】AC 【详解】因为且， 所以四边形为平行四边形，所以， 根据线面平行的判定定理可知平面，故A正确； 几何体外接球即为长方体的外接球， 所以，所以外接球表面积是，故B错误； 对于C选项，可以将几何体补成长方体， 如图，几何体的体积为，故C正确； 当时，假设几何体有内切球， 则根据等体积法可得， 即，因为平面上的点与平面上的点的距离是1， 即内切球半径为，矛盾，故几何体没有内切球，故D错误. 5．（2026·辽宁沈阳·一模）已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 【答案】 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，    设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为， 棱台体积为， 所以球与棱台的体积比为. 故答案为：. 6．（2026·黑龙江大庆·二模）已知正方体的棱长为3，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．三棱锥的外接球的表面积为 C．若该正方体表面上的动点满足，则动点的轨迹长度是 D．若该正方体的内切球表面上的动点满足平面，则线段长度的最小值为 【答案】ABD 【详解】如图：    对于A：在正方体中，，平面平面，所以平面，故A正确； 对于B：三棱锥与正方体有相同的外接球， 所以外接球的半径，所以，故B正确； 对于C：当平面时，因为平面平面，所以， 因为，所以， 所以点的运动轨迹是以为圆心，半径为的圆的，其长度是； 同理，当点为正方形或内部及边界上的动点时，点的轨迹长度均为； 当点为正方形内部及边界上的动点时， 若，则；若，则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆的，其长度是； 同理，当点为正方形或内部及边界上的动点时，点的轨迹长度均为， 所以动点的轨迹长度为.故C不正确； 对于D：在正方体中，平面平面， 因为点满足平面，所以点在平面上. 又因为点在正方体的内切球表面上， 所以点的轨迹为正三角形的内切圆，记圆心为.    则的最小值为，故D正确. 故选：ABD 7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）动点在棱长为4的正方体内部及表面运动，动球是以点为球心，半径为1的球，求动点在运动过程中球的轨迹形成的几何体体积（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】球的轨迹形成的几何体为一个棱长为4的正方体和6个长宽高分别为4，4，1的长方体，以及12个以1为底面半径，4为高的四分之一个圆柱体加上8个以1为半径的八分之一球， 所以球的轨迹形成的几何体体积为. 故选：D. 8．（2026·贵州毕节·二模）如图，平行六面体的底面是正方形，，且，E，F，G，H分别是，，，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）因为分别是的中点，所以是的中位线，得， 又因为分别是​的中点，所以​， 在平行六面体中，， 因此， 平面，平面，故平面； 由是 ​中点，是的中点， 结合平行六面体的性质可得，且， 所以四边形​是平行四边形，得， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，因此平面平面； （2） 如图以为原点建立空间直角坐标系，不妨设， 根据题设条件得各点坐标， 设则由，且， 可得都是等边三角形，即， 则，解得，即所以 取平面中向量： ，， 设平面 ​的法向量， 则，不妨令，则， 即平面 ​的法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 因为为锐角，所以， 即与平面所成角的余弦值为. 9．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，，. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. (3)在线段上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 【详解】（1）因为，，所以，所以. 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为四边形是矩形，所以. 因为平面，平面，且，所以平面； （2）由（1）可知，，两两垂直，则以A为坐标原点， ，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，，所以，，，，. 设平面的法向量为， 则，令，得. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. （3）假设存在满足条件的点D，且（）， 使得直线与平面所成角的正弦值为. 由（2）可知，，， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以. 解得，所以，即， 则存在满足条件的点D，此时. 10．（2026·云南·模拟预测）如图，平面四边形是棱长为3的正方形．平面，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面?若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，是上靠近的三等分点， 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面； （2）如下图所示，因为，则四点共面， 延长交于E，延长交于F，易得平面平面， 作，连接， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 由平面，则，，即平面与平面夹角为， 易知，所以，则， ； （3）假设线段上存在点M满足题意， 由平面平面，平面，平面，则， 又平面平面，平面，平面，则， 所以，即是上靠近的三等分点，此时 押题猜想07 数列-求最值及证明不等式 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【原创题】已知函数（且）的图象经过点，记数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)．(2)证明见解析 【详解】（1）由题意， 所以数列的前项和为． 当时，； 当时，． 当时，上式亦成立，所以数列的通项公式为． （2）由（1）知， 则， 所以 . 因为，所以． 又因为时，单调递增，所以， 所以． 分析有理·押题有据 位置固定，必考题型，全国Ⅱ卷近几年，数列大题第二问，要么考最值，要么考不等式证明，几乎是固定搭配，分值 5～6 分，是整张卷“中档压轴”常客。区分度极高，必练求最值：会作差/作商就稳，不会就卡壳；不等式证明：放缩尺度难把握，是拉开分数的关键；能有效筛选基础扎实、逻辑严谨的学生。 求最值、裂项放缩、等比放缩、累加法，都是全国卷“老演员”，几乎不跑偏。与新高考方向高度契合，重逻辑推理、重结构、轻偏怪技巧，非常适合考查数学核心素养。2026 全国Ⅱ卷数列大题，第二问 90% 概率考：数列最值 或 数列不等式证明。 近 5 年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，求通项后，求 an 或 Sn 的最值；证明：求和 < C 型不等式；裂项相消后放缩、等比放缩；与函数单调性结合判断数列增减；考纲明确要求；理解数列是特殊函数，会用函数方法研究单调性、最值；会用放缩、累加法证明简单不等式。2026 各地一模二模一致指向，模拟卷数列题几乎都是：第一问：求通项，第二问：最值 / 不等式证明完全贴合全国卷风格。 密押预测·精练通关 1．（2026·山西运城·一模）设正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式; (2)若，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）依题意，当时，，，则； 当时，，，两式相减， 整理可得，又为正项数列，故， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）证明：由（1）可知，所以，显然， 当，则，即， 此时， 综上，成立. 2．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：因为， 所以当时，，解得， 当时，， 所以，即. 所以， 又， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知，. 所以， 则，① ，② ①减去②，得： 所以. 3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，其前项和为，证明：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）由题意得解得 所以. （2）由， 所以 . 4．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析(2)①；②. 【详解】（1）因为，所以 ， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）在数列中，，，，且是等差数列. (1)求； (2)证明：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）设，则， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. （2）由（1）知，，则的公差为2，首项为6， 则，即， 当时， 将各式相加，得， 即，即，而满足上式， 因此，， 则， 因为，则，则，得证. 6．（2026·黑龙江·一模）数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 【答案】(1)选择任一条件都有，(2) 【详解】（1）若选①，设的公比为，则，且， 解得，，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选②，设的公比为，由成等差数列，得，解得，因此 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选③，设的公比为，则，解得，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． （2）数列满足，则， 所以 ． 7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数. (1)当时，求函数在上的值域； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【详解】（1）当时，，则， 令，则，即； 令，则，即. 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以的值域为. （2）由，得， 设，则， ， 设，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以. ①当时，在上单调递减，则，不满足题意； ②当时，，使得， 当时，在上单调递减，则，不满足题意； ③当时，在上单调递增，则，满足题意. 综上可得，即实数的取值范围是. （3）证明：由（2）得，当时，任意恒成立， 即， 所以， 所以 . 令，则， 存在，使得. 则当时，；当时，， 于是在上单调递增，在上单调递减，而， 所以，即当时，. 所以， 所以 . 综上所述，. 8．（2026·广西·模拟预测）已知公比的等比数列，其前n项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，所以，即， 因为数列为等比数列，所以， 因为，所以的通项公式为； （2）设， 由（1）知，， 则， 两式作差得 ， 故. 9．（2026·广西南宁·一模）已知数列的前n项和（p为常数），且． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)；(2)证明过程见解析 【详解】（1）因为，解得， 故， 故当时，， 又，故也满足， 综上，通项公式为； （2）， 故， 所以 . 10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列中，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求； (3)数列满足：，求的最大项． 【答案】(1)证明见解析，(2)(3)1 【详解】（1）等式两边同除以，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．由上知，即得． （2）由（1）知，． 当为偶数时， 当为奇数时，． 综上，． （3）当时，；当时， 有，可得． 所以，．记，则． 令，则， 可得在区间上单调递增，则，即得，即． 所以当时，，即，可知数列从第4项开始每一项均小于1． 因为，所以数列的最大项是第三项， 其值为1，即得数列的最大项为1． 押题猜想08 解三角形定值与最值-内部含线 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【原创题】已知函数，恒成立，且． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由，得，而，则， 由恒成立，得，即，， 因此，解得，而，则， 所以的解析式为. （2）由（1）得，，而，解得， 由，解得， 由余弦定理得， 由正弦定理，得． 分析有理·押题有据 大题必考，位置极稳，全国Ⅱ卷近几年，解三角形固定在第15题，13分，是第一道大题，必须拿满分。 “内部一条线”是近年最热考法，单纯考边、角、面积太简单，现在高频考：角平分线、中线、高线、平行线，难度适中、区分度好。定值+最值是标准考法，第一问求角/边（定值），第二问求周长、面积、边长范围（最值），是全国卷最成熟的命题结构。不超纲、不玄学，全是套路，只用：正余弦定理 + 面积公式 + 基本不等式。2026 全国Ⅱ卷解三角形大题，90% 考：三角形内部一条线 + 定值+最值。 近5年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，给中线、角平分线、高线，求边长或角度；求面积最值、周长最值 ；结合基本不等式、三角恒等变换，考纲核心要求熟练运用正余弦定理解三角形，掌握面积公式与最值问题，是基础大题必考内容。2026各地一模二模高度一致，几乎所有模拟卷解三角形都在考：三角形内有一条线；定值+范围双问完全贴合全国卷风格。 今年重点只押三类“内部一条线”，覆盖全部考法： 中线问题（最高频）；角平分线问题（次高频） ；高线 / 垂线问题（常规）外加必考：面积最值；周长最值；边长范围。 密押预测·精练通关 1．（2026·陕西咸阳·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求角； (2)若点在上，，，求． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由正弦定理得得， 所以，所以由余弦定理得， 因为，所以． （2）在中，，所以，， 又， 在中，由正弦定理得． 2．（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 【答案】(1)；(2)2 【详解】（1）因为，由正弦定理得. 因为的角平分线交于点，所以， 由，得， 则， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 即； （2）由，得， 得， 化简得，即， 所以，即， 当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值， 此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线. 即重合，故. 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）由与正弦定理可得 展开得， 所以，即得， 由于为锐角三角形，和均在内， 则或， 当时，因，则，即得，此时题设条件不满足，舍去. 故，又平分，所以． 故．    （2）由（1）知，则． 因为为锐角三角形， 所以 解得 已知，由正弦定理，得 因平分，则 设，则，且由（1）知， 则得（*） 因， 则， 设，由，得，则． 由可得， 又函数在上单调递增， 故，即. 4．（2026·辽宁大连·模拟预测）△中角的对边分别为，满足，. (1)证明：； (2)求△的内切圆半径的取值范围； (3)若，△的内切圆上有一点，求点到三点的距离的平方和的最值. 【答案】(1)证明见解析(2)(3)最小值为，最大值为 【详解】（1）证明，由知，在中由余弦定理得： （2）由 可知 又 而. （3） 由 解得，可知为直角三角形，且， 以为原点，分别为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，设内心有 设 整理得：， ，即所求得最小值为，最大值为. 5．（2026·辽宁大连·一模）已知与，点C与点在直线的同侧，且边与边相交于点，为中点，，，. (1)若平分，求； (2)若，求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为平分，所以， 又因为为中点，且边与边相交于点， 所以在中，是的平分线且过对边的中点， 故是等腰三角形，即， 在中，由余弦定理得：， ， 所以，， 则在中，，，，由余弦定理得： ，解得， 又因为，则， 所以， 同理，在中，，，，由余弦定理得： ， ， 所以. （2）以为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 由图可知坐标为， 因为，，得坐标为， 又因为为中点，由中点坐标公式得出点坐标为， 设点坐标为，由和，得出点坐标为, 所以，， 则， 所以， 所以. 6．（2026·吉林白山·二模）如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记． (1)若，求线段的长度； (2)当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为的面积为，，， 所以，则， 在中利用余弦定理得， 所以线段的长度为. （2）设， 因为的面积为，，所以，则， 因为，所以， 因为，所以 在中利用正弦定理可得，， 则 ， 因为，所以，则， 则，则， 等号成立时，则，即， 故当时线段的长度最小，最小为. 7．（2026·吉林·模拟预测）已知的内角的对应边分别为，且． (1)求； (2)若，数列的通项公式为，设为数列的前项和，求． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则，即， 于是，而，则，又， 所以. （2）由（1）知，，而，则，又，则由正弦定理得， 因此，函数的最小正周期为3， 因此数列是以3为周期的周期数列， ，而， 所以. 8．（2026·吉林长春·一模）在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，，所以， 又的面积，所以， 所以. （2）由正弦定理得，则，所以， 由余弦定理，，解得， 即，又的面积， 解得，即边上的高为. 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为， 根据正弦定理得，. 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）根据余弦定理得，， 将，代入上式整理得，， 又因为且，解得，， 所以，所以为以AB为斜边的直角三角形， 所以斜边AB上的高为. 10．（2026·黑龙江大庆·二模）在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由正弦定理得：， 在三角形中，所以， 即， 因为，所以， 因为，所以 （2），所以， 由余弦定理得，所以， 则， 所以的周长为. 押题猜想09 导数-比较大小、零点及恒成立求参问题 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【原创题】已知函数，且为函数的极值. (1)求实数a的值； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围； (3)证明：当时，． 【答案】(1)(2)或(3)证明见解析 【详解】（1）因为，又为函数的极值， 所以，即，解得. 验证极值点：当时，. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此是的极小值点，符合题意，故. （2）由(1)得，设， 设， . 当时，，因此在上单调递增，. 情况1： 此时，故，在上单调递增，最小值为. ，解得或，结合，得. 情况2： 在上单调递增，且，时， 故存在唯一，使得，即. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此的最小值为，代入， 化简得， 因，故，解得. 设，， ， 故在上单调递减， 因此， 综上所述，实数的取值范围是或. （3）证明：由(1)得，因此. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以，所以 所以不等式（当且仅当时取等号）， 令，得，且时，故. 因此对，有： ，即 因为， 所以. 因时，故，即，不等式得证. 分析有理·押题有据 压轴地位不可动摇全国Ⅱ卷第18、19题必是导数大题，选择填空也常出一道导数小题，总分值20分左右，是整张试卷区分尖子生与普通生的核心题。三大考法高度固定，大题结构几乎年年一样：第1问：单调性、切线、极值（送分）；第2问：零点个数 / 恒成立求参 / 比较大小（拉分）命题风格成熟、不跑偏，不考怪招，重点考：分类讨论、分离参数、构造函数、隐零点、放缩，套路极强，二轮突击性价比极高。重思维轻计算，侧重逻辑分析、函数构造、数形结合，完美契合新课标“理性思维”考查目标。2026全国Ⅱ卷导数大题100%必考，90%概率考：零点问题 或 恒成立求参 或 比较大小。 近5年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，恒成立求参数范围（含端点效应、隐零点）；函数零点个数判断、存在性证明；双变量比较大小、极值点偏移；含参单调性讨论，考纲核心要求：熟练应用导数研究函数单调性、极值、最值；能够解决函数零点、不等式证明、恒成立问题。2026各地一模二模各地模拟卷导数题均围绕：含参单调性；恒成立求参；零点个数；构造函数比大小，完全复刻全国卷命题逻辑。 今年重点只押3类，覆盖99%考法：恒成立求参数范围（最高频），函数零点个数与存在性（次高频）  双变量/单变量比较大小、不等式证明（压轴考法）解题口诀：导数题，先求导，单调极值先找到。恒成立，分离参，不行再把分类谈。零点题，看符号，单调区间要分好。比大小，作差构，同构放缩压轴路。 密押预测·精练通关 1．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 【答案】(1)当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)（ⅰ）当时，证明：； （ⅱ）当时，设，且.求证：. 【答案】(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）， ①当时，，在单调递增， ②当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在单调递增； 当时，在上单调递增， 在上单调递减. （2）设， 则， 因为在上单调递增，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当且仅当时取等， 所以，即，当且仅当，时取等； （ⅱ）法一：由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以， 由（2）可知，，， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 所以 法二： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 设，，易知在上单调递增， 所以当时，，即， 上式整理得，即 设，，所以在上单调递减， 所以，即， 因为，所以，所以，即， 所以 所以（同法一） 法三： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 设，， 所以，所以在上单调递增， 显然，所以，即， 因为，所以，所以，即， 根据基本不等式，，所以， 所以， 所以 法四： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 因为，所以 根据基本不等式，， 设，所以，整理得， 设， 所以，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以为增函数， 因为，所以当且仅当时，， 所以， 根据基本不等式，，所以， 所以 所以（同法三） 3．（2026·广西河池·二模）已知函数． (1)讨论的极值； (2)当时，证明：． 【答案】(1)当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值.(2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为，求导得： ， 当时，对任意恒成立，故，在上单调递减，无极值； 当时，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故当时取得极大值，无极小值. 综上，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值. （2）因为， 所以原不等式等价于，因，两边除以得：只需证. 当时，不等式显然成立； 当时，，只需证，因为，故只需证. 令，求导得： ， 令，在上单调递减，且，， 故存在唯一，使得，即. 当时，，，单调递增；当时，，，单调递减. 故当时，取得极大值也是最大值. 代入得：，令， 则恒成立，则在上单调递减， 故，即成立. 综上，原不等式得证. 4．（2026·广西南宁·一模）（1）若函数图象的两个相邻对称中心的横坐标相差6，求． （2）在（1）的条件下，设函数，试判断并证明函数图象的对称性． （3）已知（2）中的导函数有两个零点,且． （i）求的取值范围； （ii）当时，证明：． 【答案】（1）；（2）的图象关于点成中心对称，证明见解析； （3）（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）依题意，函数的最小正周期满足，则， 故； （2）由（1），， 则函数关于点成中心对称，证明如下： 由，可得，即函数的定义域为， 因， ， 则， 即函数的图象关于点成中心对称. （3）（i）由，求导得， 由可得，显然，可得， 设，可知该函数在上单调递增，在上单调递减， 且，如图，要使的导函数有两个零点，且， 则需使函数与在上有2个交点，即需使，解得，即的取值范围是.    （ii）由，可得，化简得：， 因，则得，即，且，则， 要证，需证，即证， 因，不妨取，（若此时不等式成立，因，则易得时更成立）， 即需证，因，代入整理得， 设，则，由可得，于是可得， 即需证（*）. 设，则， 令，则， 所以在上单调递减，， 所以，即在上单调递增，又， 则， 即（*）成立，故当时，得证. 5．（2026·广西南宁·一模）已知函数． (1)求在上的最值． (2)设函数． （i）讨论的单调性； （ii）若为的一个极值点，且，，证明为定值． 【答案】(1)最大值为，最小值为.(2)（i）见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1），令，解得或. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在时取得极大值，在时取得极小值， 又，， 所以在上的最大值为，最小值为. （2）（i）， ， 判别式， 当时，，，在上单调递增； 当时，，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （ii）因为为的一个极值点，所以，即， 所以， 由得， 整理得， ， 化简得， 因为，所以， 将代入，得， 整理得， ， 化简得， 因为，所以，即， 所以为定值. 6．（2026·广西柳州·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，记的极小值为，证明：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）当时，， 所以的定义域为，，， 所以，即在点处的切线斜率为. 由点斜式可知曲线在点处的切线方程为，即. （2）由知的定义域为，且. ①当时，恒成立，是增函数，没有极小值，不符合题意. ②当时，若，则，所以在上单调递减； 若，则，所以在上单调递增， 所以有极小值，且极小值为，所以. 要证，即，只需证. 令，则， 由复合函数的单调性知在上单调递增， 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在时取得极小值，也是最小值， 所以，即， 即. 7．（2025·广西河池·三模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)设的导函数为，证明：存在唯一零点. (3)求的最大值. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）已知，则， ，则，所以切线方程为， 即 （2）由（1），其定义域为， 设， 则， 所以在上单调递减， 由， ，即存在唯一零点. （3）由（2）知在上单调递减， 且存在唯一零点，使得，当时，，在上单调递增； 当时，， 在上单调递减；所以的最大值为. 因为，所以，即， 化简为。则，而 ， 故的最大值为 8．（2026·重庆九龙坡·一模）已知函数为的导数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)对，都有，求的取值范围； (3)设，若在上有零点，求证：. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【详解】（1）由，得， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由，则， 即对于恒成立， 设，，则， 设，， 则，函数在上单调递增，且， 当，即时，，则函数在上单调递增， 所以，则函数在上单调递增， 则，即对于恒成立； 当，即时，令，得， 令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，， 此时函数在上单调递减，则，不符合题意. 综上所述，的取值范围为. （3）由，， 令，即， 设在上的零点为，则， 则点为直线上一点， 所以表示点到原点的距离， 则，即， 设，，则， 所以函数在上单调递减，则， 即，又， 则， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即. 9．（2026·贵州安顺·一模）已知函数，． (1)令，求在点处的切线方程： (2)讨论在上的单调性； (3)证明：（i）当时， （ii）． 【答案】(1)(2)在单调递增．(3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1），则，，， 所以在点处的切线方程为，即． （2），则 ， 记， 故 设，则 当时，，单调递减，所以，即，所以单调递减， 所以，故在单调递增． （3）证明：（i）令，则， 所以在上单调递增，所以，即当时， 所以当时，； （ii）由（i）可知当时，，故， 由于,则，故， 由（2）可知在单调递增，在单调递减，故在单调递减，即在单调递减， 故，所以． 10．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)当时，证明：当时，. (3)若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)(2)证明见解析；(3). 【详解】（1）当时，，则， 从而，， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）设，则. 显然在上恒成立，所以在上单调递减. 又，所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 故，即当时，. （3）由题意可得. 设，则. ①若，显然，则在上单调递增，即在上单调递增. 又，所以当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，所以只有一个零点，故不符合题意. ②若，则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，又， 所以存在唯一的，使得. 当时，，当时，， 则在，上单调递增，在上单调递减. 又，所以，又当时，， 所以恰有两个零点，则符合题意. ③若，则由（2）知在R上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以只有一个零点，则不符合题意. ④若，则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，又， 所以存在唯一的，使得. 当时，，当时，， 则在，上单调递增，在上单调递减. 又，所以，又当时，， 所以恰有两个零点，则符合题意. 综上，a的取值范围为. 押题猜想10 圆锥曲线-定点定值最值问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】已知椭圆的左顶点，上顶点． (1)求椭圆的方程和直线的方程； (2)过椭圆上异于的点作轴的垂线交直线于点，延长至点，使，直线交椭圆于点． （i）求证：直线的斜率之和为定值； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1)，；(2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）由椭圆的左顶点，上顶点，得， 所以椭圆的方程为，直线的方程为. （2）（i）直线斜率存在，设其方程为，点 由，得，则， 解得，即点， 直线交直线于点， 由点是线段的中点，得点， 因此直线的斜率，即， 所以直线的斜率之和为定值. （ii）由（i）同理得，， 点到直线的距离， 则的面积， 显然，，令， ，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 当时，，所以面积的最大值为. 分析有理·押题有据 大题必考，位置固定全国Ⅱ卷解析几何大题基本都在第17或18题，17分，是除导数外第二大压轴题。 考法高度统一第二问几乎就考三件事：定点问题（直线过定点、点在定直线上）；定值问题（斜率积、长度积、面积为定值）；最值问题（面积最值、弦长最值、斜率范围）思路清晰就能拿满分，思路混乱算到崩溃，是二轮必须突破的重点。重几何、轻死算，不考怪题，考对称、韦达定理、设而不求，完全贴合全国卷风格。2026全国Ⅱ卷圆锥曲线大题，100%考定点/定值/最值中的一类或组合。  近5年全国Ⅱ/甲卷高度重复，直线过定点（x轴、y轴上定点最常见）；斜率和、斜率积为定值；面积最值、弦长最值；向量条件转化为韦达，考纲与教材要求，熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系，会用韦达定理、设而不求解决综合问题。2026各地一模二模一致指向模拟卷几乎全是：定点 + 定值，定值 + 最值。 今年重点押直线过定点（最高频）； 斜率之积/之和为定值； △AOB 面积最值；弦长最值、参数范围 密押预测·精练通关 1．（2026·山西运城·一模）已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为． (1)求C的方程； (2)若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； (3)若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题意可得：，即， 由离心率，所以. 故椭圆方程为：. （2）倾斜角为，可得斜率. 设直线方程为：，与椭圆联立： 代入得：， 满足，即. 则，. 设，， 则中点横坐标： ，纵坐标：. 消去参数得：， 所以中点轨迹方程为：. （3） 由题意可知直线：与椭圆交于,， 设，，，， 与椭圆联立方程：，消去可得. 则，， 根据，可得，即， 整理得：，即， 可得：， 因为，为常数，则不恒成立.，则，得：. 2．（2026·山西朔州·一模）已知椭圆上顶点为，直线与椭圆交于两点.当时，. (1)求椭圆的方程； (2)当的外接圆面积最大时，求其外接圆的方程. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为上顶点为，所以， 当时，直线，代入椭圆方程得，整理得， 解得，故 又， ，所以，解得， 所以椭圆方程为 （2） 设，外接圆方程为 代入得，两式相加得， 两式相减得 又点既在，又在椭圆上，所以， 所以， 代入到外接圆方程得， 故， 设，则，， ， 所以外接圆半径 时，故其在上单调递增，在时取最大值， 此时，，， 即，，， 所以的外接圆面积最大时，其外接圆的方程为 3．（2026·山西晋中·模拟预测）已知椭圆的方程为，其长轴长为6，且点在上. (1)求的方程； (2)设的左顶点为，动直线的斜率为，且与交于两点，为坐标原点. （i）若，且的重心在轴上，求的方程； （ii）若经过的右焦点，点在第一象限，是关于原点的对称点，且四边形与的面积之比为，求的值. 【答案】(1)(2)（i）；（ii） 【详解】（1）由长轴长为6，可得，则. 将点的坐标代入椭圆方程，可得， 解得. 故的方程为. （2）（i）由（1）可知，设直线. 联立得可得. 由，可得. 的重心的横坐标为，则， 即，符合， 故直线的方程为. （ii）由（i）可知. 设， 联立得可得， 则 如图，因为的面积， 四边形的面积 所以，得. 故，① ，② 联立①②，得，又在第一象限，所以， 故解得，所以. 4．（2026·新疆·一模）已知双曲线的右顶点是抛物线的焦点，过双曲线C的右焦点作斜率不为0的直线与抛物线交于两点，且 (1)求双曲线C的方程； (2)点在双曲线C的左支上，过点作抛物线的两条切线，其斜率分别为，求的最大值． 【答案】(1)(2). 【详解】（1）由抛物线的焦点为得，设双曲线右焦点为， 直线， 与抛物线方程联立可得． 则， 解得，所以，故的方程为. （2）设抛物线的切线方程为，显然， 与抛物线方程联立可得， 令，得， 切线方程为． 设，代入切线方程可得， ． 点在的左支上，． 代入得， 故当时，的最大值为. 5．（2026·新疆·模拟预测）已知椭圆：与椭圆：的离心率相等，且椭圆经过点. (1)求的方程； (2)已知直线与交于，两点（点，异于点）. （i）若原点到直线的距离为，证明：； （ii）若直线过点，且以线段为直径的圆恒过点，求实数的值. 【答案】(1)(2)（i）证明过程见解析；（ii） 【详解】（1）由题意得， 椭圆：的离心率为， 故椭圆：的离心率为， 又，故，， 所以的方程为； （2）（i）当直线的斜率不为0时，设为， 原点到直线的距离为，故， 与联立可得， 设，，解得， 则， 所以 ， ， 当直线的斜率为0时，设为， 原点到直线的距离为，故， 不妨令，中，令得， 不妨设， 则， 故，综上，若原点到直线的距离为，则； （ii）若直线过点， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时直线与交于， 此时点，不异于点，不合要求； 当直线的斜率不为0时，设直线为， 与联立可得， 设，，解得， 则， 所以， 故的中点坐标为， 其中 ， 故以线段为直径的圆的半径为， 以线段为直径的圆的方程为， 又以线段为直径的圆过定点，将其代入上式，可得 ， 化简得， 上式需满足，解得或， 当时，重合（不满足点，异于点），不合要求，舍去； 当时，满足要求， 综上，. 6．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）椭圆的一个顶点是，为坐标原点，离心率为. (1)求椭圆方程； (2)是椭圆上轴上方一点，是右焦点，的斜率为，求四边形的面积. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题知，，解得：，所以椭圆方程为； （2）因为，所以：，联立， 得，解得或， 因为点在轴上方，所以，解得，故不合题意，应舍去，所以， 所以四边形的面积. 7．（2026·甘肃·一模）如图所示，焦点在轴上的椭圆的顶点分别为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆上任意一点作四边形的内切圆的两条切线，切点分别为，当切线斜率存在时，记切线斜率分别为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)若切线与椭圆的另一个交点分别为，求的最小值. 【答案】(1)(2)为定值，为(3)2 【详解】（1）因为，所以，即， 可设椭圆的方程为，又因为椭圆过点， 代入椭圆的方程得：，解得， 所以椭圆的方程为：； （2）是定值.理由如下： 根据对称性，易知四边形的内切圆的圆心为 因为直线的方程为，所以圆的半径， 设椭圆上任一点，则， 当圆的切线斜率存在时，可设过点的圆的切线方程为， 即， 所以圆的半径， 两边平方化简得： 因为切线的斜率分别为， 所以是方程的两个不同的根， 故； （3）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，设， 因为直线为圆的切线，所以，化简得， 联立方程，消去得：， 显然恒成立，为上式的两个不同的根，且， ， 可得，同理可证. 所以三点共线，故弦恒过点， 所以当与或重合时，. ②当直线或直线的斜率不存在时，易得， 综上可知，. 8．（2026·云南·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于两点，已知点，为直线上的一点，且． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)求点的横坐标． 【答案】(1)，离心率为．(2)． 【详解】（1）由题意知，，． 又，，，， 所以椭圆的方程为，离心率． （2）由题意知，，． 又，，，， 所以椭圆的方程为，离心率． （2）当直线的斜率不为0时，设其方程为，， 由，得， 得到， 则． 如图4，设，由点是直线上一点， 则存在实数，使得， 则，即， 由，得， 则，故， 代入可得． 当直线的斜率为0时，不妨取，，，符合题意． 故点的横坐标为． 9．（2026·贵州安顺·一模）已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为． (1)求曲线的方程； (2)不过原点的直线与曲线交于不同的两点，若以为直径的圆过坐标原点． （i）证明：直线过定点； （ii）点是曲线上位于直线下方的一动点，若对于给定的直线，记的面积最大值为，对所有符合题设条件的动直线，求的最小值． 【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）1 【详解】（1）设点，则以为直径的圆的圆心为，半径， 因为该圆与x轴相切，所以， 所以，整理得， 故曲线的方程为． （2）（i）设直线，，， 则，消去得，所以，， 以为直径的圆过原点，所以， 则， 因，解得，所以直线方程为，恒过定点． （ii）对于给定的，直线与交于， 则， 将，，代入得， 又点在上且位于下方，即， 点到直线的距离为， 由知，故， 令，则对于给定的，为开口向下的一元二次函数， 所以当时，取得最大值，此时最大，， 所以面积的最大值， 令，，易知单调递增， 所以当，即时，取得最小值． 10．（2026·贵州毕节·二模）已知中心在原点的椭圆C的一个焦点为，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知，，在C上， ①若A是C与x轴的一个交点，B是C与y轴的一个交点，求的面积的最大值； ②记线段中点为M， ，记的面积为，判断是否为定值，并说明理由. 【答案】(1)(2)①；②为定值，且定值为，理由见解析 【详解】（1）因为椭圆C的一个焦点为，所以，所以， 所以可设椭圆的标准方程为， 又因为椭圆C过点，所以， 解方程可得或（舍去）. 所以椭圆C的标准方程为； （2）①由椭圆的对称性，不妨取， 则直线的方程为，即， 设，则到直线的距离， 所以当时，，又， 所以的面积的最大值为； ②为定值，且定值为，理由如下： 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得， 整理得，所以，， 因为线段中点为M，所以，所以， 因为，所以，所以， 又在C上，所以， 整理得，所以， 又 ， 又点到直线的距离， 所以. 又因为线段中点为M，所以， 又，所以，所以， 所以是否为定值，定值为； 当直线的斜率不存在时，线段的中点在轴上， 由对称性不妨取，此时，此时，； 综上所述：为定值，且定值为. 押题猜想11 概率统计与数列、函数等模块的综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：7min 【原创题】在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多. (1)若，求，并根据全概率公式求； (2)是否存在值且，使得，请说明理由. 【答案】(1)，(2)不存在，理由见解析 【详解】（1）当时，， 则，解得， 由题意，得， ，. 由全概率公式，得 . （2）假设存在，使 又.得，化简得 即 令则 因为，所以在上存在，使得 所以即 且在为正，在为负 从而在为增函数，在为减函数 所以当时，，即不存在值，使得 分析有理·押题有据 新高考最主流命题趋势，近几年全国Ⅱ卷概率大题明显变难、变综合，不再是单纯套公式，而是概率+递推数列+函数/导数捆绑考查，位置稳定在第17题，15分。区分度拉满，压轴级大题，既能考统计阅读、概率计算，又能考数列递推、单调性、最值，一道题覆盖三大模块，是选拔高分考生的“王牌题”。 情境真实、贴近时代常考：疾病检测、芯片合格率、游戏闯关、资金增长、排队模型，完全符合新课标“数学建模、实际应用”导向。套路极强：读懂情境 → 建立递推关系 → 转化为数列/函数问题 → 求最值/范围 学会框架就能拿高分。2026 全国Ⅱ卷概率大题，极高概率考：概率与数列递推 / 函数单调性 / 最值综合。  近5年全国Ⅱ/甲卷真题反复出现，递推概率：Pn = aPn-1+b；构造等比数列求通项；期望与数列求和综合；概率表达式转化为函数，用导数/单调性求最值，考纲与新课标高度契合强调在实际问题中建立概率模型，运用数列、函数知识解决问题。2026各地一模二模一致指向几乎所有高质量模拟卷都在出：闯关概率递推；检验、检测类概率模型；期望 + 数列求和 + 函数最值与全国卷命题方向完全一致。 今年重点只押三类综合题，覆盖99%考法：概率递推 + 数列（最高频）构造 Pn 递推式 → 等比数列 → 求通项、极限； 概率/期望表达式 + 函数单调性/最值，把表达式写成函数 f(x)，用导数或不等式求最优方案； 统计数据 + 函数拟合 + 决策，给出数据，求回归方程，再用函数做预测、选最优。 密押预测·精练通关 1．（2026·贵州毕节·二模）某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的关系，统计了最近10场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得：，. (1)求销售额y关于直播带货中平台流量推广投入x的线性回归方程； (2)该公司计划下一场直播投入总额10万元，现有两种方案：方案一：全部用于平台流量推广；方案二：部分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入x万元（），主播佣金激励投入（）万元.根据以往经验，主播佣金激励投入t万元的销售额为（）万元；平台流量推广的效果仍符合（1）中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额. 参考公式：线性回归方程中，，. 【答案】(1)(2)分配6万元投入平台流量推广、4万元投入主播佣金，最大销售额为万元. 【详解】（1）由题意知，样本量 ， ，, 根据公式变形得回归系数： , 则 ， 因此，销售额y关于直播带货中平台流量推广投入x的线性回归方程为：； （2）方案一：全部投入平台流量推广，即代入回归方程得销售额：万元； 方案二：投入万元到流量推广，万元到主播佣金，且， 总销售额为流量销售额加佣金销售额：， 对称轴为 ，在定义域内，最大值为 万元， 因为 ，所以投入6万元到平台流量推广，4万元到主播佣金时销售额最大，最大销售额为76万元。 综上可得：分配6万元投入平台流量推广、4万元投入主播佣金时销售额最大，最大销售额为万元. 2．（2026·贵州安顺·一模）有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测． 若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测． 若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）． (1)若，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率； (2)用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值； (3)设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若，每组人数，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）设小组中有酶的人数为X，则． 已知混合样本阳性，即，则恰有2人有酶的概率为 ． （2）设每组检测次数，则的分布列为 1 p 期望为 则总检测次数的期望； （3）若分组检测，检测次数的期望为． 总成本期望为， 若逐一检测，则总成本为．由节省50%以上得． 代入，，，得， 整理得，因此，，故的取值范围是． 3．（2026·山西运城·一模）一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． (1)若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； (2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1)(2)的分布列为： 数学期望为1 【详解】（1）单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立， 因此单个志愿者通过培训考核的概率为， 则单个志愿者没有通过培训考核的概率为. 因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”， 因此所求概率. （2）由题意，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为， 分别计算概率得，， ，， 因此的分布列为： 所以数学期望为. 4．（2026·辽宁抚顺·一模）某科技兴趣小组研发了一种AI模型，用于图象识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了若干次试验，在每次试验中识别相同数目的图象，并记录该模型正确识别图象的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图． (1)求的值，并估计该模型在一次试验中正确识别图象数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)以频率估计概率，在相同的条件下，随机对该模型进行4次试验，用表示这4次试验中正确识别图象不少于50个的次数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)， (2)的分布列为： 0 1 2 3 4 . 【详解】（1）由. 所以. （2）以频率估计概率，正确识别图象不少于50个的概率为. 表示这4次试验中正确识别图象不少于50个的次数，则. 所以，, ，， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 5．（2026·辽宁·模拟预测）2014年，中华人民共和国国务院发布《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，启动了高考恢复以来最全面、最深刻的招生考试改革.依据《实施意见》精神，结合新时代高校选才需求和修订后的高中课标，新高考外语科目推进考试内容改革，2017年起在部分新高考省份试点新的试卷结构，其中包括完形填空这一题型.针对这一题型，某高中的李老师提出了经验：“对于完形填空中的一道题，如果你不确定，那么你就不要对第一次选择的答案进行改动，因为根据经验表明，第一次选择的答案正确率为60%．”请根据此话中的数据回答下列题目． (1)现已知有一篇完形填空有道题，小朱在作答完形填空时，有的概率会做，在会做的条件下有的概率因混淆词义做错；有的概率不会做．已知小朱不会放弃任何一次作答机会，那么他“根据经验”进行作答． ①若，，求小朱做对一道完形填空小题的概率； ②在①的条件下，已知，若已知小朱每道完形填空的作答情况不受前一道题目作答情况的影响（即相互独立），设小朱答对的题目数为，求的分布列与期望； (2)现已知有一篇完形填空有道题，小佳同学在做完形填空时，第道题的正确与否与第道题是否答对有关．若第道题没有把握（看作答错），则第道题正确的概率为；若第道题有把握答对（看作答对），则第道题正确的概率为．在（1）①的条件下，设第道题正确的概率为，求． 【答案】(1)①；②分布列见解析，2.1(2) 【详解】（1）①设小朱会做某题为事件A，混淆词义出错为事件B，蒙对一道题为事件D． 其中，，， 根据全概率公式，有 ，     ②小朱答对的题目数服从二项分布，则 分布列如下： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 （道） （2）根据全概率公式，有 化简得：    设新数列，满足 解得： 数列是以为首项、为公比的等比数列． 所以 6．（2026·黑龙江吉林·一模）截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 合计 300 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响. (2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式及数据：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表为 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 有关联，解释见解析， (2)随机变量的分布列为 0 1 2 3 期望为 【详解】（1）因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，故样本中偏好燃油汽车的人数为， 因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的，故样本中女性驾驶员的人数为， 由题意，列联表补充如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 零假设为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联． 根据列联表数据，计算得． 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01． 男性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为，女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为，前者明显小于后者．根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大． （2）由题意，抽取的8人中偏好燃油汽车的人数为人，偏好新能源汽车的人数为人． 随机变量的可能值为0，1，2，3． ，， ，． 所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3 的数学期望． 7．（2026·河南濮阳·一模）某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数； (2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)；这300名市民评分的平均数为.(2)分布列见解析， 【详解】（1）解在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 则，解得. 这300名市民评分的平均数为： . 所以这300名市民评分的平均数为：. （2）解因为评分在分以上的市民所占的频率为， 由题意可知，， 所以，，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. 8．（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 (1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值． 【答案】(1)(2)分布列见解析(3) 【详解】（1）估计平均年龄为. （2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内的有（人）， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以，，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 （3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且得， 所以， 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即， 所以． 9．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调查了200位社区居民，得到如下数据（单位：人）： 学历 关注 不关注 合计 本科及以上 80 20 100 本科以下 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？ (2)现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下： 第一关：设置3道必答题，参与者需至少答对2道才能参与下一关答题，否则淘汰； 第二关：设置3道题，前2道题每答对1道奖励200元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励400元，答错前2道奖励减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3道题每道题答对的概率均为，第二关答题的前2道题每道题答对的概率均为，第3道题答对的概率为，各题答对与否相互独立. （i）求甲能进入第二关答题的概率； （ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多. 参考公式及参考数据：. 0.05 0.01 3.841 6.635 【答案】(1)能(2)（i）；（ii）当时，建议挑战第3道题；当时，挑战和不挑战第3道题都可以；当时，建议不挑战第3道题. 【详解】（1）解：零假设为：对航天工程的关注情况与学历无关， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为对航天工程的关注情况与学历有关. （2）解：（i）记甲能进入第二关答题为事件，即3道题至少答对2道题， 所以 （ii）若确定不挑战第3道题，获得奖金为，的可能取值为0,400， ， 则的分布列为： 0 400 所以； 若确定挑战第3道题，获得奖金为，的可能取值为0,200,800， ，， 则的分布列为 0 200 800 所以. 令， 故当时，，建议挑战第3道题； 当时，，挑战和不挑战第3道题都可以； 当时，，建议不挑战第3道题. 10．（2026·陕西·二模）小明和小红参加班级数学老师组织的游戏，游戏共2轮，每轮的规则如下：每轮开始时，小明和小红手中各有两张牌，一张是王牌，一张是鬼牌，每人每次独立地随机取出1张牌相互交换，交换3次后该轮结束.2轮进行完游戏结束． (1)记每轮游戏在交换1次后，小明手里王牌的张数为，求的分布列及数学期望； (2)定义事件为“至少有1轮结束后，小明手里的两张牌种类相同”．求事件的概率 (3)若游戏改为仅进行1轮，交换次数变为变量．若老师规定：若最终小明手里两张牌相同，则小明获胜并获得奖金100元；若不同，则小红获胜并获得奖金100元．为了使游戏公平（即双方期望收益相等），交换次数应满足什么条件？ 【答案】(1) 0 1 2 数学期望为1 (2)(3) 【详解】（1）交换1次后，随机变量的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以随机变量的分布列为 0 1 2 随机变量的期望 （2）设表示交换次后小明手中两张牌种类相同的概率，则，， 则经过3次后，. 事件“至少有1轮结束后，小明手里的两张牌种类相同”的对立事件为“两轮结束后，小明手里的两张牌种类不同”，其概率为， 所以事件的概率为. （3）设表示交换次后小明手中两张牌种类相同的概率，则，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 为了使游戏公平，小明获胜的概率应为，所以，解得. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学终极押题猜想 目 录 押题猜想01 抽象函数性质综合应用 押题猜想02 平面向量-投影向量、最值问题 押题猜想03 三角函数-三角换元、 𝛚范围求解 押题猜想04 圆锥曲线离心率及面积比值范围问题 押题猜想05 排列组合及条件概率 押题猜想06 立体几何-外接球、内切球与空间向量 押题猜想07 数列-求最值及证明不等式 押题猜想08 解三角形定值与最值-内部含线 押题猜想09 导数-比较大小、零点及恒成立求参问题 押题猜想10 圆锥曲线-定点定值最值问题 押题猜想11 概率统计与数列、函数等模块的综合应用 押题猜想01 抽象函数性质综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：4min 【原创题】已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，若当时，，且，则（    ） A． B． C．存在极大值点 D．有且只有一个零点 分析有理·押题有据 抽象函数不考具体解析式，纯考逻辑与性质，区分度高，是中档生和尖子生的分水岭。连续多年在选择第8～11题位置出现，属于“必考中档压轴”，极少缺席。重思维、轻计算，考单调性、奇偶性、对称性、周期性综合，完美匹配“素养立意”命题思路。可与不等式、零点、导数结合既能单独出小题，也能 作为导数大题的铺垫，命题空间极大。  近5年全国Ⅱ/甲卷真题高频重复，奇偶性 + 单调性解不等式；对称性 + 周期性求函数值；抽象函数 + 图像判断零点个数；每年至少1道，从未断档。考纲要求：理解函数奇偶性、单调性、周期性、对称性，能综合运用性质解决问题。抽象函数是对这一要求最直接的考查。各省模拟卷大量出现“双对称推周期”“奇偶+单调解不等式”，与全国卷命题高度同频。抽象函数无法死记硬背题型，必须理解逻辑，非常适合高考选拔。。 密押预测·精练通关 1．（2026·四川·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，且为偶函数，是减函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东青岛·一模）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东青岛·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 4．（2026·山西大同·一模）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是偶函数 6．（2026·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（   ） A．的一个周期为6 B． C． D． 8．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，在R上单调递增，为奇函数，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则（    ） A．0 B．1 C．10 D．20 10．（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的偶函数满足，且在上是单调递增函数，若函数，则下列结论正确的是（   ） A．为偶函数 B．在上是单调递增函数 C． D． 押题猜想02 平面向量-投影向量、最值问题 试题前瞻·能力先查 限时：4min 【原创题】已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 分析有理·押题有据 位置极其固定，全国Ⅱ卷多年稳定在选择第5～8题，一道纯向量小题，5分必出，极少缺席。难度适中、区分度好，不偏不难，但很容易因公式记错、投影搞反、几何转化不到位丢分，是二轮必抓稳分点。 新高考命题偏好“几何+代数”双视角，向量既能考坐标运算，又能考几何投影、数量积、模长最值，完美契合“数形结合”素养。可与圆锥曲线、解三角形、立体几何自然结合，单独考小题，也常作为大题工具出现，命题灵活、覆盖面广。 近5年全国Ⅱ/甲卷真题高频重复，向量数量积与夹角；投影与投影向量；模长最值、系数线性组合最值；向量与三角形四心（重心、外心、垂心、内心）简单结合，考纲与教材核心要求明确要求掌握：向量线性运算、数量积、投影、模长公式、坐标运算，以及向量在几何中的应用。2026各地模拟卷高度一致 一模二模普遍聚焦：投影向量计算；数量积范围问题，与全国卷命题风格完全同频。反套路但不超纲 不考复杂技巧，重在公式理解与几何直观，非常适合高考基础中档题定位。 密押预测·精练通关 1．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西朔州·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西晋中·模拟预测）在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁大连·模拟预测）在中，点是直线上一点，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁大连·一模）已知点是圆上一点，直线与圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点是的重心，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 8．（2026·黑龙江·一模）如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 9．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点分别为A和B，O为坐标原点，则_________． 10．（2026·贵州毕节·二模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 押题猜想03 三角函数-三角换元、𝛚范围求解 试题前瞻·能力先查 限时：4min 【原创题】若函数（）在内存在唯一的，使得，则的取值可能为（   ） A． B． C．1 D．3 分析有理·押题有据 小题必考，位置稳定，全国Ⅱ卷连续多年固定在选择第6～9题出一道三角函数小题，分值5分，几乎从不缺席。ω范围问题是近年“固定压轴小题”三角函数图像性质、单调性、零点、对称轴求 ω 范围，是全国卷最爱的中档拉分题，区分度极高。三角换元是二轮隐形高频工具，常在求最值、圆锥曲线参数方程、不等式中出现，属于“不单独考但处处用”的核心方法。完美契合新高考方向，重图像、重性质、重数形结合，不考死记硬背，非常适合考查数学素养。2026全国Ⅱ卷三角函数小题必出，ω范围题概率接近100%，三角换元大概率在函数/解析几何最值中用到。  近5年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，三角函数图像平移、伸缩变换；由单调性、零点、对称轴求 ω 范围；- 三角恒等变换与最值；三角换元求无理函数、二次型最值，考纲与教材核心要求掌握正弦型函数 y=Asin(wx+ų) 图像与性质；掌握同角关系、诱导公式、和差倍角；会用换元思想转化问题，2026各地一模二模一致指向各地模拟卷高频出现：给定区间单调 → 求 ω；给定零点个数 → 求 ω；给定对称轴/极值点 → 求 ω完全贴合全国卷命题风格。命题稳定、难度可控既能基础送分，又能适度综合卡中档学生，是命题人最爱的题型之一。 密押预测·精练通关 1．（2026·云南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南大理·二模）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上只有一个零点 C．在上单调递增 D．点是图象的一个对称中心 3．（2026·山西朔州·一模）已知，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．当在有2个不同实根时，的取值范围是 4．（2026·山西运城·一模）若函数的图象关于点对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山西大同·一模）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．直线是函数图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．的图象可通过的图象上所有点向右平移个单位长度得到 D．若，且，则 6．（2026·辽宁抚顺·一模）已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·辽宁·模拟预测）将函数的图象按照以下顺序进行变换： ①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（    ） A．若，则的取值范围为 B．若函数在上的图象与直线有且只有一个交点，在上单调递减，则 C．若函数在区间上的最值分别为，则的取值范围是 D．若方程在内恰有两个根，则 8．（2026·广西·模拟预测）已知函数（），若曲线关于点中心对称，则的最小值为__________. 9．（2026·陕西铜川·一模）设为奇函数，将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数，为的一个零点，的图象关于点对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D．在上单调递增 押题猜想04 圆锥曲线离心率及面积比值范围问题 试题前瞻·能力先查 限时：4min 【原创题】已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（   ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 地位：小题必考“黄金考点”全国Ⅱ卷每年必有一道离心率小题，位置稳定在选择 6～8题，分值5分，几乎从不缺席。区分度极强，二轮必争之分入门简单、想快很难，能轻松拉开中等生与尖子生差距，是命题人最爱用的“卡分题”。可结合：焦点三角形、渐近线、垂直、向量、中点、几何性质，考法多但套路固定。新高考风格高度契合，重几何性质、轻暴力计算，强调数形结合与转化，完全符合新课标命题思路。 近5年全国Ⅱ/甲卷真题高频重复，焦点三角形求离心率；垂直条件（向量垂直、斜率乘积＝-1）；渐近线夹角、倾斜角；中点弦、对称点，每年必考一类，从未断档。 考纲与教材核心要求离心率 e=c/a 是描述圆锥曲线形状的核心量，考纲明确要求熟练求解。 2026各地一模二模高度一致各地模拟卷几乎都把离心率作为小题必考，考法与全国卷高度同频。不超纲、不偏怪，可深可浅，既能简单送分，也能稍加包装变成小压轴，命题弹性极佳。 密押预测·精练通关 1．（2026·陕西榆林·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D．点F到直线OM的距离为 3．（2026·陕西商洛·二模）已知双曲线，圆为以实轴为直径的圆，试验发现将圆竖直上移个单位或水平右移个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）设抛物线的焦点为，准线为l，过点的直线交于两点，以为圆心，为半径的圆交l于两点.若，则一定有（   ） A． B．直线的斜率是 C． D．的面积是 5．（2026·陕西铜川·一模）已知双曲线，的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于点，与直线交于点，下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为2 B． C．若，则 D．若是线段的中点，则 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线：（，）的右焦点为，半焦距为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（    ） A．2 B．2或 C．2或 D．2或 7．（2026·黑龙江·一模）已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（   ） A．若，则点P的坐标为 B．若，则的最小值为6 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 8．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（   ） A．的周长是 B．时，的面积是 C．的最大值是2 D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为 10．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线，、是其左右焦点，点为双曲线上在第一象限内的一点，连接点与右焦点的直线交双曲线的右支于另一点，记点到两渐近线的距离为、，点到两渐近线的距离为、，、的内切圆圆心分别为、，则下列结论正确的是（   ） A． B．两内切圆相切于轴上同一点 C．点在以为直径的圆上 D．两内切圆周长之和的取值范围是 押题猜想05 排列组合及条件概率 试题前瞻·能力先查 限时：4min 【原创题】黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每位志愿者仅去一个地点且每个地点至少需要1名学生，则不同的分配方法种数为（   ） A．81 B．72 C．36 D．12 分析有理·押题有据 小题必考，5分稳在全国Ⅱ卷多年稳定在选择第9～11题考一道排列组合小题，偶尔结合概率一起考，基本年年都有。区分度高，中档生必争思路对就秒出，思路错怎么算都不对，是典型“一看就会、一做就错”的拉分题。命题风格固定、不跑偏不考偏难怪，只考：相邻不相邻、分组分配、特殊位置优先、间接法（正难则反），套路极强。常结合选课、排队、分配岗位、数字组成等真实场景，非常贴合全国卷命题习惯。 近5年全国Ⅱ/甲卷高频重复，相邻捆绑、不相邻插空；特殊元素/特殊位置优先；平均分组、不平均分组；数字问题（奇偶、被几整除）；正难则反（间接法）考纲明确要求，理解分类加法、分步乘法计数原理，能解决简单计数问题，是必考基础模块。 2026各地一模二模模拟卷几乎都围绕：排队、选课、分配、数字组数四类出题，和全国卷完全同频。可与概率、统计自然结合既能单独考小题，也能作为概率大题第一问，命题空间大。 考场万能做题步骤 先看：有序还是无序，有序→排列A，无序→组合C  再看：能不能一步做完 能→分类加；不能→分步乘，有无限制条件：特殊优先、相邻捆绑、不相邻插空，正面复杂就用：总数 - 不符合条件 = 答案，总之相邻捆绑不邻插，特殊位置优先它。均分除重防重复，正难则反最省事。有序排列无序组，分步相乘分类加。 密押预测·精练通关 1．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种. 2．（2026·山西朔州·一模）某自动化生产线连续生产编号为1到10的10个产品，计划从中抽取3个进行检测，若抽取的3个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为__________. 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）将编号为的个小球放入编号为的个盒子中，其中，要求每个盒子至多放一个小球，且对于任意的号球放入的盒子所对应编号都小于号球放入的盒子所对应编号，则号球放入编号为______________的盒子的概率最大. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种. 5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·广西河池·二模）在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（   ） A．18种 B．36种 C．48种 D．54种 8．（2026·广西南宁·一模）某市十景包含扬美古风、青山塔影、明山锦绣、望仙怀古、伊岭神宫、九龙戏珠、南湖情韵、凤江绿野、邕江春泛、龙虎猴趣，每个景点都有其独特的魅力．某游客计划从这10个景点中随机选择2个景点进行游玩，则青山塔影被选中的概率是______． 9．（2026·广西南宁·一模）某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向．学校安排6名教师负责这5个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（   ） A．2400 B．1800 C．1500 D．2100 10．（2026·重庆·模拟预测）将6个相同的小球分别标上数字2，3，4，6，7，8，从中随机地取两个小球.记事件A为“取出的两个小球上的数字均为偶数”，事件B为“取出的两个小球中至少有一个小球上的数字能被3整除”，则（    ） A． B． C． D． 押题猜想06 立体几何-外接球、内切球与空间向量 试题前瞻·能力先查 限时：4min 【原创题】在长方体中，，为线段上的动点，为的中点，过点且与直线垂直的平面交于点，交于点为内的动点，四点均在球的表面上，则（） A． B．三棱锥的体积是定值 C．球与该长方体的公共部分的体积为 D．的周长的最小值为 分析有理·押题有据 题型极其固定全国Ⅱ卷结构：小题 1 道：外接球 / 内切球（选择 8～11 题，5-6 分）；大题 1 道：空间向量求角与距离（解答第 16或 17 题，15 分）合计 20 分左右，占比极高，基本不会缺席。外接球是“中档生分水岭”公式多、模型固定，会模型就秒杀，不会就卡死，区分度极强。空间向量大题完全套路化 建系→求点→求法向量→算夹角，步骤固定，是必拿满分大题。新高考趋势：重几何模型 + 重计算规范，不考怪题，考常见几何体、常见模型，完全贴合二轮复习重点。 近 5 年全国Ⅱ/甲卷高度重复，小题几乎每年：长方体外接球；直棱柱、正棱锥外接球；墙角模型（三条棱两两垂直）大题必用：线面垂直建系；求线面角、二面角；偶尔考动点、存在性问题，考纲核心要求 ；掌握球、柱、锥的结构与表面积体积；掌握空间向量运算与夹角计算；会用向量解决空间角问题， 2026 各地模拟卷高度一致全部围绕：外接球半径、体积、表面积；空间向量求线面角 / 二面角完全复刻全国卷风格。  今年重点小题押：外接球（内切球考得极少）重点押 4 大模型：墙角模型（三条棱两两垂直） 长方体/正方体模型；直棱柱外接球； 正棱锥（高+底面外接圆）。大题押：空间向量；二面角（最高频）； 线面角；存在性问题（是否存在点 P 满足某角度）；简单体积/距离计算 密押预测·精练通关 1．（2026·陕西商洛·二模）祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一个空心铁质半球壳，外半径为，内半径为（厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已知浸入水中部分的深度为，则浸入水中部分的体积为______． 2．（2026·吉林通化·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为，，半径为2的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·三模）如图，菱形的各点都在同一平面上，且边长为4，.设，分别为，的中点，分别以，，为折痕把，，折起，使点，，重合于点，并构成三棱锥.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为________.    4．（2026·山西大同·一模）如图，在几何体中，底面是边长为1的正方形，棱底面，，且，则下列表述一定正确的是（    ） A．平面 B．几何体外接球表面积是 C．几何体的体积是 D．当时，几何体一定有内切球 5．（2026·辽宁沈阳·一模）已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 6．（2026·黑龙江大庆·二模）已知正方体的棱长为3，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．三棱锥的外接球的表面积为 C．若该正方体表面上的动点满足，则动点的轨迹长度是 D．若该正方体的内切球表面上的动点满足平面，则线段长度的最小值为 7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）动点在棱长为4的正方体内部及表面运动，动球是以点为球心，半径为1的球，求动点在运动过程中球的轨迹形成的几何体体积（   ） A． B． C． D． 8．（2026·贵州毕节·二模）如图，平行六面体的底面是正方形，，且，E，F，G，H分别是，，，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的余弦值. 9．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，，. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. (3)在线段上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 10．（2026·云南·模拟预测）如图，平面四边形是棱长为3的正方形．平面，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面?若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 押题猜想07 数列-求最值及证明不等式 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【原创题】已知函数（且）的图象经过点，记数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 分析有理·押题有据 位置固定，必考题型，全国Ⅱ卷近几年，数列大题第二问，要么考最值，要么考不等式证明，几乎是固定搭配，分值 5～6 分，是整张卷“中档压轴”常客。区分度极高，必练求最值：会作差/作商就稳，不会就卡壳；不等式证明：放缩尺度难把握，是拉开分数的关键；能有效筛选基础扎实、逻辑严谨的学生。 求最值、裂项放缩、等比放缩、累加法，都是全国卷“老演员”，几乎不跑偏。与新高考方向高度契合，重逻辑推理、重结构、轻偏怪技巧，非常适合考查数学核心素养。2026 全国Ⅱ卷数列大题，第二问 90% 概率考：数列最值 或 数列不等式证明。 近 5 年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，求通项后，求 an 或 Sn 的最值；证明：求和 < C 型不等式；裂项相消后放缩、等比放缩；与函数单调性结合判断数列增减；考纲明确要求；理解数列是特殊函数，会用函数方法研究单调性、最值；会用放缩、累加法证明简单不等式。2026 各地一模二模一致指向，模拟卷数列题几乎都是：第一问：求通项，第二问：最值 / 不等式证明完全贴合全国卷风格。 密押预测·精练通关 1．（2026·山西运城·一模）设正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式; (2)若，记数列的前n项和为，证明：． 2．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，其前项和为，证明：. 4．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）在数列中，，，，且是等差数列. (1)求； (2)证明：. 6．（2026·黑龙江·一模）数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数. (1)当时，求函数在上的值域； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)证明：. 8．（2026·广西·模拟预测）已知公比的等比数列，其前n项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求. 9．（2026·广西南宁·一模）已知数列的前n项和（p为常数），且． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列中，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求； (3)数列满足：，求的最大项． 押题猜想08 解三角形定值与最值-内部含线 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【原创题】已知函数，恒成立，且． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 分析有理·押题有据 大题必考，位置极稳，全国Ⅱ卷近几年，解三角形固定在第15题，13分，是第一道大题，必须拿满分。 “内部一条线”是近年最热考法，单纯考边、角、面积太简单，现在高频考：角平分线、中线、高线、平行线，难度适中、区分度好。定值+最值是标准考法，第一问求角/边（定值），第二问求周长、面积、边长范围（最值），是全国卷最成熟的命题结构。不超纲、不玄学，全是套路，只用：正余弦定理 + 面积公式 + 基本不等式。2026 全国Ⅱ卷解三角形大题，90% 考：三角形内部一条线 + 定值+最值。 近5年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，给中线、角平分线、高线，求边长或角度；求面积最值、周长最值 ；结合基本不等式、三角恒等变换，考纲核心要求熟练运用正余弦定理解三角形，掌握面积公式与最值问题，是基础大题必考内容。2026各地一模二模高度一致，几乎所有模拟卷解三角形都在考：三角形内有一条线；定值+范围双问完全贴合全国卷风格。 今年重点只押三类“内部一条线”，覆盖全部考法： 中线问题（最高频）；角平分线问题（次高频） ；高线 / 垂线问题（常规）外加必考：面积最值；周长最值；边长范围。 密押预测·精练通关 1．（2026·陕西咸阳·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求角； (2)若点在上，，，求． 2．（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 4．（2026·辽宁大连·模拟预测）△中角的对边分别为，满足，. (1)证明：； (2)求△的内切圆半径的取值范围； (3)若，△的内切圆上有一点，求点到三点的距离的平方和的最值. 5．（2026·辽宁大连·一模）已知与，点C与点在直线的同侧，且边与边相交于点，为中点，，，. (1)若平分，求； (2)若，求. 6．（2026·吉林白山·二模）如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记． (1)若，求线段的长度； (2)当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值． 7．（2026·吉林·模拟预测）已知的内角的对应边分别为，且． (1)求； (2)若，数列的通项公式为，设为数列的前项和，求． 8．（2026·吉林长春·一模）在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 10．（2026·黑龙江大庆·二模）在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 押题猜想09 导数-比较大小、零点及恒成立求参问题 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【原创题】已知函数，且为函数的极值. (1)求实数a的值； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围； (3)证明：当时，． 分析有理·押题有据 压轴地位不可动摇全国Ⅱ卷第18、19题必是导数大题，选择填空也常出一道导数小题，总分值20分左右，是整张试卷区分尖子生与普通生的核心题。三大考法高度固定，大题结构几乎年年一样：第1问：单调性、切线、极值（送分）；第2问：零点个数 / 恒成立求参 / 比较大小（拉分）命题风格成熟、不跑偏，不考怪招，重点考：分类讨论、分离参数、构造函数、隐零点、放缩，套路极强，二轮突击性价比极高。重思维轻计算，侧重逻辑分析、函数构造、数形结合，完美契合新课标“理性思维”考查目标。2026全国Ⅱ卷导数大题100%必考，90%概率考：零点问题 或 恒成立求参 或 比较大小。 近5年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，恒成立求参数范围（含端点效应、隐零点）；函数零点个数判断、存在性证明；双变量比较大小、极值点偏移；含参单调性讨论，考纲核心要求：熟练应用导数研究函数单调性、极值、最值；能够解决函数零点、不等式证明、恒成立问题。2026各地一模二模各地模拟卷导数题均围绕：含参单调性；恒成立求参；零点个数；构造函数比大小，完全复刻全国卷命题逻辑。 今年重点只押3类，覆盖99%考法：恒成立求参数范围（最高频），函数零点个数与存在性（次高频）  双变量/单变量比较大小、不等式证明（压轴考法）解题口诀：导数题，先求导，单调极值先找到。恒成立，分离参，不行再把分类谈。零点题，看符号，单调区间要分好。比大小，作差构，同构放缩压轴路。 密押预测·精练通关 1．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)（ⅰ）当时，证明：； （ⅱ）当时，设，且.求证：. 3．（2026·广西河池·二模）已知函数． (1)讨论的极值； (2)当时，证明：． 4．（2026·广西南宁·一模）（1）若函数图象的两个相邻对称中心的横坐标相差6，求． （2）在（1）的条件下，设函数，试判断并证明函数图象的对称性． （3）已知（2）中的导函数有两个零点,且． （i）求的取值范围； （ii）当时，证明：． 5．（2026·广西南宁·一模）已知函数． (1)求在上的最值． (2)设函数． （i）讨论的单调性； （ii）若为的一个极值点，且，，证明为定值． 6．（2026·广西柳州·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，记的极小值为，证明：. 7．（2025·广西河池·三模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)设的导函数为，证明：存在唯一零点. (3)求的最大值. 8．（2026·重庆九龙坡·一模）已知函数为的导数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)对，都有，求的取值范围； (3)设，若在上有零点，求证：. 9．（2026·贵州安顺·一模）已知函数，． (1)令，求在点处的切线方程： (2)讨论在上的单调性； (3)证明：（i）当时， （ii）． 10．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)当时，证明：当时，. (3)若有两个零点，求a的取值范围. 押题猜想10 圆锥曲线-定点定值最值问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【原创题】已知椭圆的左顶点，上顶点． (1)求椭圆的方程和直线的方程； (2)过椭圆上异于的点作轴的垂线交直线于点，延长至点，使，直线交椭圆于点． （i）求证：直线的斜率之和为定值； （ii）求面积的最大值． 分析有理·押题有据 大题必考，位置固定全国Ⅱ卷解析几何大题基本都在第17或18题，17分，是除导数外第二大压轴题。 考法高度统一第二问几乎就考三件事：定点问题（直线过定点、点在定直线上）；定值问题（斜率积、长度积、面积为定值）；最值问题（面积最值、弦长最值、斜率范围）思路清晰就能拿满分，思路混乱算到崩溃，是二轮必须突破的重点。重几何、轻死算，不考怪题，考对称、韦达定理、设而不求，完全贴合全国卷风格。2026全国Ⅱ卷圆锥曲线大题，100%考定点/定值/最值中的一类或组合。  近5年全国Ⅱ/甲卷高度重复，直线过定点（x轴、y轴上定点最常见）；斜率和、斜率积为定值；面积最值、弦长最值；向量条件转化为韦达，考纲与教材要求，熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系，会用韦达定理、设而不求解决综合问题。2026各地一模二模一致指向模拟卷几乎全是：定点 + 定值，定值 + 最值。 今年重点押直线过定点（最高频）； 斜率之积/之和为定值； △AOB 面积最值；弦长最值、参数范围 密押预测·精练通关 1．（2026·山西运城·一模）已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为． (1)求C的方程； (2)若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； (3)若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 2．（2026·山西朔州·一模）已知椭圆上顶点为，直线与椭圆交于两点.当时，. (1)求椭圆的方程； (2)当的外接圆面积最大时，求其外接圆的方程. 3．（2026·山西晋中·模拟预测）已知椭圆的方程为，其长轴长为6，且点在上. (1)求的方程； (2)设的左顶点为，动直线的斜率为，且与交于两点，为坐标原点. （i）若，且的重心在轴上，求的方程； （ii）若经过的右焦点，点在第一象限，是关于原点的对称点，且四边形与的面积之比为，求的值. 4．（2026·新疆·一模）已知双曲线的右顶点是抛物线的焦点，过双曲线C的右焦点作斜率不为0的直线与抛物线交于两点，且 (1)求双曲线C的方程； (2)点在双曲线C的左支上，过点作抛物线的两条切线，其斜率分别为，求的最大值． 5．（2026·新疆·模拟预测）已知椭圆：与椭圆：的离心率相等，且椭圆经过点. (1)求的方程； (2)已知直线与交于，两点（点，异于点）. （i）若原点到直线的距离为，证明：； （ii）若直线过点，且以线段为直径的圆恒过点，求实数的值. 6．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）椭圆的一个顶点是，为坐标原点，离心率为. (1)求椭圆方程； (2)是椭圆上轴上方一点，是右焦点，的斜率为，求四边形的面积. 7．（2026·甘肃·一模）如图所示，焦点在轴上的椭圆的顶点分别为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆上任意一点作四边形的内切圆的两条切线，切点分别为，当切线斜率存在时，记切线斜率分别为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)若切线与椭圆的另一个交点分别为，求的最小值. 8．（2026·云南·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于两点，已知点，为直线上的一点，且． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)求点的横坐标． 9．（2026·贵州安顺·一模）已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为． (1)求曲线的方程； (2)不过原点的直线与曲线交于不同的两点，若以为直径的圆过坐标原点． （i）证明：直线过定点； （ii）点是曲线上位于直线下方的一动点，若对于给定的直线，记的面积最大值为，对所有符合题设条件的动直线，求的最小值． 10．（2026·贵州毕节·二模）已知中心在原点的椭圆C的一个焦点为，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知，，在C上， ①若A是C与x轴的一个交点，B是C与y轴的一个交点，求的面积的最大值； ②记线段中点为M， ，记的面积为，判断是否为定值，并说明理由. 押题猜想11 概率统计与数列、函数等模块的综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：7min 【原创题】在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多. (1)若，求，并根据全概率公式求； (2)是否存在值且，使得，请说明理由. 分析有理·押题有据 新高考最主流命题趋势，近几年全国Ⅱ卷概率大题明显变难、变综合，不再是单纯套公式，而是概率+递推数列+函数/导数捆绑考查，位置稳定在第17题，15分。区分度拉满，压轴级大题，既能考统计阅读、概率计算，又能考数列递推、单调性、最值，一道题覆盖三大模块，是选拔高分考生的“王牌题”。 情境真实、贴近时代常考：疾病检测、芯片合格率、游戏闯关、资金增长、排队模型，完全符合新课标“数学建模、实际应用”导向。套路极强：读懂情境 → 建立递推关系 → 转化为数列/函数问题 → 求最值/范围 学会框架就能拿高分。2026 全国Ⅱ卷概率大题，极高概率考：概率与数列递推 / 函数单调性 / 最值综合。  近5年全国Ⅱ/甲卷真题反复出现，递推概率：Pn = aPn-1+b；构造等比数列求通项；期望与数列求和综合；概率表达式转化为函数，用导数/单调性求最值，考纲与新课标高度契合强调在实际问题中建立概率模型，运用数列、函数知识解决问题。2026各地一模二模一致指向几乎所有高质量模拟卷都在出：闯关概率递推；检验、检测类概率模型；期望 + 数列求和 + 函数最值与全国卷命题方向完全一致。 今年重点只押三类综合题，覆盖99%考法：概率递推 + 数列（最高频）构造 Pn 递推式 → 等比数列 → 求通项、极限； 概率/期望表达式 + 函数单调性/最值，把表达式写成函数 f(x)，用导数或不等式求最优方案； 统计数据 + 函数拟合 + 决策，给出数据，求回归方程，再用函数做预测、选最优。 密押预测·精练通关 1．（2026·贵州毕节·二模）某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的关系，统计了最近10场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得：，. (1)求销售额y关于直播带货中平台流量推广投入x的线性回归方程； (2)该公司计划下一场直播投入总额10万元，现有两种方案：方案一：全部用于平台流量推广；方案二：部分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入x万元（），主播佣金激励投入（）万元.根据以往经验，主播佣金激励投入t万元的销售额为（）万元；平台流量推广的效果仍符合（1）中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额. 参考公式：线性回归方程中，，. 2．（2026·贵州安顺·一模）有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测． 若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测． 若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）． (1)若，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率； (2)用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值； (3)设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若，每组人数，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：） 3．（2026·山西运城·一模）一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． (1)若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； (2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 4．（2026·辽宁抚顺·一模）某科技兴趣小组研发了一种AI模型，用于图象识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了若干次试验，在每次试验中识别相同数目的图象，并记录该模型正确识别图象的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图． (1)求的值，并估计该模型在一次试验中正确识别图象数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)以频率估计概率，在相同的条件下，随机对该模型进行4次试验，用表示这4次试验中正确识别图象不少于50个的次数，求的分布列和数学期望． 5．（2026·辽宁·模拟预测）2014年，中华人民共和国国务院发布《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，启动了高考恢复以来最全面、最深刻的招生考试改革.依据《实施意见》精神，结合新时代高校选才需求和修订后的高中课标，新高考外语科目推进考试内容改革，2017年起在部分新高考省份试点新的试卷结构，其中包括完形填空这一题型.针对这一题型，某高中的李老师提出了经验：“对于完形填空中的一道题，如果你不确定，那么你就不要对第一次选择的答案进行改动，因为根据经验表明，第一次选择的答案正确率为60%．”请根据此话中的数据回答下列题目． (1)现已知有一篇完形填空有道题，小朱在作答完形填空时，有的概率会做，在会做的条件下有的概率因混淆词义做错；有的概率不会做．已知小朱不会放弃任何一次作答机会，那么他“根据经验”进行作答． ①若，，求小朱做对一道完形填空小题的概率； ②在①的条件下，已知，若已知小朱每道完形填空的作答情况不受前一道题目作答情况的影响（即相互独立），设小朱答对的题目数为，求的分布列与期望； (2)现已知有一篇完形填空有道题，小佳同学在做完形填空时，第道题的正确与否与第道题是否答对有关．若第道题没有把握（看作答错），则第道题正确的概率为；若第道题有把握答对（看作答对），则第道题正确的概率为．在（1）①的条件下，设第道题正确的概率为，求． 6．（2026·黑龙江吉林·一模）截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 合计 300 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响. (2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式及数据：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 7．（2026·河南濮阳·一模）某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数； (2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 8．（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 (1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值． 9．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调查了200位社区居民，得到如下数据（单位：人）： 学历 关注 不关注 合计 本科及以上 80 20 100 本科以下 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？ (2)现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下： 第一关：设置3道必答题，参与者需至少答对2道才能参与下一关答题，否则淘汰； 第二关：设置3道题，前2道题每答对1道奖励200元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励400元，答错前2道奖励减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3道题每道题答对的概率均为，第二关答题的前2道题每道题答对的概率均为，第3道题答对的概率为，各题答对与否相互独立. （i）求甲能进入第二关答题的概率； （ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多. 参考公式及参考数据：. 0.05 0.01 3.841 6.635 10．（2026·陕西·二模）小明和小红参加班级数学老师组织的游戏，游戏共2轮，每轮的规则如下：每轮开始时，小明和小红手中各有两张牌，一张是王牌，一张是鬼牌，每人每次独立地随机取出1张牌相互交换，交换3次后该轮结束.2轮进行完游戏结束． (1)记每轮游戏在交换1次后，小明手里王牌的张数为，求的分布列及数学期望； (2)定义事件为“至少有1轮结束后，小明手里的两张牌种类相同”．求事件的概率 (3)若游戏改为仅进行1轮，交换次数变为变量．若老师规定：若最终小明手里两张牌相同，则小明获胜并获得奖金100元；若不同，则小红获胜并获得奖金100元．为了使游戏公平（即双方期望收益相等），交换次数应满足什么条件？ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $