专题17.5一元二次方程的应用（高效培优讲义，2知识&6题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题17.5一元二次方程的应用 教学目标 1.学生能够准确识别实际问题中可以转化为一元二次方程的数量关系，熟练掌握列一元二次方程解决实际问题的基本步骤（审题、设元、列方程、解方程、检验、作答）。 2.能针对常见的一元二次方程应用题型（如增长率问题、利润问题、几何图形面积问题、行程问题等），准确找到等量关系，列出正确的一元二次方程，并能根据实际意义检验方程的解，得出合理结论。 3.进一步巩固一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），能根据实际问题的特点，选择简便、合适的解法求解方程。 教学重难点 教学重点 1. 掌握列一元二次方程解决实际问题的基本步骤，能准确审题、找出实际问题中的等量关系。 2.能针对常见题型（增长率、利润、几何面积等），熟练列出一元二次方程，并能根据实际意义检验方程的解，得出合理答案。 3.巩固一元二次方程的解法，能根据问题特点选择合适的解法，提高解题效率和准确性。 教学难点 1.准确分析实际问题中的数量关系，找准等量关系，尤其是复杂问题（如多个量之间的关联、隐含的等量关系），避免列错方程。 2.理解实际问题的意义，能对一元二次方程的解进行检验，剔除不符合实际意义的解（如负数解、不合题意的正数解），确保答案的合理性。 3.针对不同类型的应用题型，能灵活运用数学思想方法（如数形结合、转化思想），快速找到解题思路，突破题型差异带来的解题困难。 4.解决几何图形相关的一元二次方程应用问题时，能结合图形特点，将几何关系转化为代数等量关系，突破数形结合的难点。 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知量和未知量，找到它们之间的等量关系 等量关系往往体现在关键词句中 ②设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法(引入辅助未知数，并在解题过程中消去) 有单位的要带单位 ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程 方程两边单位要统一 ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值 一般不必写出解方程的过程 ⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义 一般两个根中只有一个符合实际意义 ⑥答 写出实际问题的答案 遵循“问什么答什么”的原则 知识点02 列一元二次方程解应用题的常见题型 常见问题 等量关系 平均增长率(降低率)问题 a 为起始量，b 为终止量，平均增长率公式：a(1+x)n=b(x为平均增长率，n 为增长的次数)；平均降低率公式：a(1-x)n=b(x 为平均降低率，n 为降低的次数) 几何图形问题 涉及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、各种规则图形的面积、体积或周长公式 数字问题 (1)两位数= 十位上的数字×10 + 个位上的数字； (2) 三位数= 百位上的数字×100 + 十位上的数字×10 + 个位上的数字 商品销售问题 利润= 售价- 进价；利润率=×100%；售价= 进价×(1 + 利润率)；总利润= 总售价- 总成本= 单件利润× 总销量 【即学即练】两个连续奇数的积为，若设其中较小的奇数为，则可列方程为_________________，这两个数分别为_______________． 题型01 增长率问题 【例1-1】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为1.6万人，5月份游客人数为3.6万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率，已知该景区6月1日至6月20日已接待游客3万人，则6月21日至6月30日平均每天接待游客人数最多是多少万人？ 【例1-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某公司实行年薪工资制，职工的年薪工资由基本工资、工龄工资和岗位工资三项组成，具体规定如下： 项目 第一年的工资(万元) 一年后的计算方法 基本工资 2 每年增长率相同 工龄工资 每年增加万元 岗位工资 固定不变 (1)设基本工资每年增长率为x，用含x的代数式表示第三年的基本工资为 ； (2)某人在公司工作了3年，他这3年拿到的工龄工资和岗位工资的和正好是他这3年基本工资总额的，求基本工资每年的增长率是多少？ 【例1-3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． (1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 ①______ 2025 ②______ (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售个，7月份销售个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200个/月，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400个．若增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？ 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）小刘开了一家奶茶店，八月份盈利元，十月份盈利元，且从八月到十月，每月盈利的平均增长率都相同． (1)求每月盈利的平均增长率； (2)按照这个增长率，请你预计这家奶茶店今年十一月的利润将达到多少元． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每人每月资助200元，高中学生每人每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2023年每月资助学生共支出17500元． (1)问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？ (2)2023年受资助的初、高中学生中，分别有和的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬（资助金额未变化）同时，为了激发更多受资助学生，决定对2024年被评为优秀学生的初中学生每人每月增加的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加的资助．在此奖励政策的鼓励下，2024年被评为优秀学生的初、高中学生分别比2023年的人数增加了、．这样，2024年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元． ①2024年优秀初中学生每人每月的资助金额为______元，优秀高中学生每人每月的资助金额为______元；（用含a的代数式表示，不用化简） ②求a的值． 题型02 与图形有关的问题 【例2-1】（23-24八年级下·安徽宣城·期中）如图，某部门举办广场舞比赛，在一块正方形绿地上搭建宽度为的临时舞台（阴影部分）．若舞台中间空白部分的面积为，求正方形绿地的边长． 【例2-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）铝型线材每根长10米，现用2根铝型线材做成窗框．如图，窗框上方是两个全等的正方形，下方是矩形．若正方形边长为． (1)矩形边长____________；窗框面积____________（用含x的代数式表示） (2)当窗框面积为时，求x的值． 【例2-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为米的墙，另三边用总长为59米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形，并在边上留有一扇1米宽的门． (1)若围成的花圃面积为400平方米，求的长； (2)能否使得围成的花圃面积为500平方米？请说明你的理由． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）用同样规格的小正方形瓷砖铺设如图所示的矩形，第个图用了块瓷砖，第个图用了块瓷砖，第个图用了块瓷砖按此规律： (1)第个图，要用______块瓷砖； (2)第个图，要用______块瓷砖； (3)求第几个图要用去块瓷砖． 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． (1) 米(用含x的代数式表示)； (2)若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长； (3)长方形栅栏的面积能达到平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【变式2-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料回答问题． 背景 为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，坚持培育和践行社会主义核心价值观，把劳动教育纳入人才培养全过程，贯通家庭、学校和社会各方面，与德育、智育、体育、美育相融合，紧密结合社会发展变化和学生生活实际，各学校应积极探索特色的劳动教育模式，创新体制机制，注重教育实效，实现知行合一． 素材 为了促进劳动课程的开展，合肥市某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图，墙，篱笆长为，设的长为，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，其他边由篱笆围成． 任务 （1）___________m；（用含x的代数式表示） （2）若生态园的面积为，求x的值； （3）为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，求出生态园的长；如果不能，请说明理由． 题型03 数字问题 【例3-1】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数． 【变式3-1】（22-23八年级下·安徽滁州·月考）两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是__ 【变式3-3】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 题型04 商品销售问题 【例4-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）庐州黄是安徽合肥特有的桂花品种，它将合肥的古称与桂花的颜色相融合，折射着这座城与桂花的不解之缘．某抖音主播以每罐（35克）20元的价格新进一批桂花，根据以往的销售经验，当销售价格定为每罐24元时，每天可售出200罐，后来经过市场调查发现，每罐桂花的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，若设该种桂花的售价为：（）元． (1)该抖音主播每天售出桂花______罐；（用含的式子表示） (2)抖音平台规定：在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过，若该抖音主播销售该种桂花要想平均每天获利1700元，求该种桂花每罐的售价． 【例4-2】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）项目式学习： 【项目背景】 在城市的生鲜市场领域，有一家名为“鲜丰汇”的水果批发商店，正积极参与区域内的水果销售竞争项目．商店近期采购了一批热门水果，成本为每千克12元．当前以每千克15元售卖，日销量稳定在100千克．但周边竞争对手众多，为在这个城市生鲜市场项目中脱颖而出，获取更大市场份额与利润，商店团队需制定灵活的价格与销售策略． 【市场调研】 经市场调研团队分析发现，在本区域消费者购买习惯中，这种水果每千克售价与销售量关系统计如下． 水果每千克售价降低金额（元） 每天销售量（千克） 0 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 … … 【目标任务】 于是，商店运营项目组面临两个关键任务： 任务一：要明确售价降低与销售量的关系．若将这种水果每千克的售价降低元，需准确计算出每天的销售量（用舍的代数式表示），为后续库存管理、成本核算等子项目提供数据支持． 任务二：商店设定了盈利目标与销量保障目标．在这个城市生鲜市场盈利项目中，要实现每天盈利500元，并且为维持市场影响力与客户粘性，保证每天销售量不少于280千克，需精确计算出水果每千克的售价应降低多少元，从而制定出最优的价格策略，在该区域水果销售项目中实现盈利与市场份额的双提升． 请完成这两个任务． 【例4-3】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90 千克，用油的重复利用率为 ，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关． (1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70千克，用油量的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是 千克． (2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克， （i）下降后的润滑用油量为 ，油的重复利用率提高为 ．（用含x的式子填空） （ii）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？ 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： (1)当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利___________元． (2)为了更多的让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ (3)在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15000元？请说说你的理由． 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽池州·期末）2025池州马拉松将于11月16日在池州市平天湖莲花台广场鸣枪开跑．本次赛事按照中国田径协会类和世界田联精英标牌赛事标准打造，延续“相聚池马、逐梦未来”主题．在某电商平台了解到：“池马”吉祥物绿宝玩偶的进货价为每件50元，根据去年的经验：赛事期间销售价定为每件90元，平均每天可售出500件．今年该平台决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件降价1元，那么平均每天就可多售出50件，设每件降价x元． (1)预计今年平均每天将卖出（ ）件，每件盈利（ ）元（用含x的代数式表示并化到最简）； (2)每件售价应定为多少元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠； (3)要想平均每天盈利32000元，可能吗？请通过计算说明． 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、设备折旧等费用，与产品生产件数无关；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的可变成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好．它每天的成本（元）与生产量（个）的关系如下表所示． 成本（元） 15100 15200 15300 15400 15500 … 生产量（件） 1 2 3 4 5 … (1)该工艺品每天的固定成本为___________；每件产品的可变成本为___________． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式； ②若每天生产出来的产品都能销售完，当售价定为多少时，能使厂商每天获得的利润为27000元？ 题型05 动态几何问题 【例5-1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？ 【例5-2】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 【例5-3】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止． (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积为？ (3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【变式5-1】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为 (1) cm， cm；(用含x的式子表示) (2)若的面积为，求x的值． 【变式5-2】（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 【变式5-3】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，点B在射线上，过点B作射线，点C在射线上，且，点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，与直线相交于点D，设点P的运动时间为，的面积为． (1)当点在射线上时，，求的值． (2)求出关于的函数关系式． (3)当点运动多少秒时，． 题型06 可化为一元二次方程的分式方程的实际问题 【例6】为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【变式6-1】列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【变式6-2】今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【变式6-3】列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 一、单选题 1．（23-24九年级上·四川泸州·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．周瑜去世时年龄的十位数字是x，哪位学子算得快，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（   ） A．210 B．100 C．78 D．45 3．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．小明对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．一株椽的价钱为27文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 4．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 二、填空题 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为__________． 6．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）小明将一个100毫升的容器盛满纯酒精，第一次倒出一部分纯酒精后，再用水加满；第二次又倒出同样多的酒精溶液，若此时容器内剩下的纯酒精是81毫升，则小明每次倒出的体积是______毫升． 三、解答题 7．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）某市第四中学将组织一次八年级篮球联赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），恰好需要打场比赛，问共有多少支球队参加比赛？ 8．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决） 9．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）新课改下中考体育改革与创新的目的是促进素质教育全面发展，体育课作为一门重要课程，对促进学生身心健康起着尤为重要的作用．某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为． (1)求安全区域的宽度； (2)某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 10．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 11．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月可以获得利润12250元？ 12．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 13．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.5一元二次方程的应用 教学目标 1.学生能够准确识别实际问题中可以转化为一元二次方程的数量关系，熟练掌握列一元二次方程解决实际问题的基本步骤（审题、设元、列方程、解方程、检验、作答）。 2.能针对常见的一元二次方程应用题型（如增长率问题、利润问题、几何图形面积问题、行程问题等），准确找到等量关系，列出正确的一元二次方程，并能根据实际意义检验方程的解，得出合理结论。 3.进一步巩固一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），能根据实际问题的特点，选择简便、合适的解法求解方程。 教学重难点 教学重点 1. 掌握列一元二次方程解决实际问题的基本步骤，能准确审题、找出实际问题中的等量关系。 2.能针对常见题型（增长率、利润、几何面积等），熟练列出一元二次方程，并能根据实际意义检验方程的解，得出合理答案。 3.巩固一元二次方程的解法，能根据问题特点选择合适的解法，提高解题效率和准确性。 教学难点 1.准确分析实际问题中的数量关系，找准等量关系，尤其是复杂问题（如多个量之间的关联、隐含的等量关系），避免列错方程。 2.理解实际问题的意义，能对一元二次方程的解进行检验，剔除不符合实际意义的解（如负数解、不合题意的正数解），确保答案的合理性。 3.针对不同类型的应用题型，能灵活运用数学思想方法（如数形结合、转化思想），快速找到解题思路，突破题型差异带来的解题困难。 4.解决几何图形相关的一元二次方程应用问题时，能结合图形特点，将几何关系转化为代数等量关系，突破数形结合的难点。 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知量和未知量，找到它们之间的等量关系 等量关系往往体现在关键词句中 ②设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法(引入辅助未知数，并在解题过程中消去) 有单位的要带单位 ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程 方程两边单位要统一 ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值 一般不必写出解方程的过程 ⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义 一般两个根中只有一个符合实际意义 ⑥答 写出实际问题的答案 遵循“问什么答什么”的原则 知识点02 列一元二次方程解应用题的常见题型 常见问题 等量关系 平均增长率(降低率)问题 a 为起始量，b 为终止量，平均增长率公式：a(1+x)n=b(x为平均增长率，n 为增长的次数)；平均降低率公式：a(1-x)n=b(x 为平均降低率，n 为降低的次数) 几何图形问题 涉及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、各种规则图形的面积、体积或周长公式 数字问题 (1)两位数= 十位上的数字×10 + 个位上的数字； (2) 三位数= 百位上的数字×100 + 十位上的数字×10 + 个位上的数字 商品销售问题 利润= 售价- 进价；利润率=×100%；售价= 进价×(1 + 利润率)；总利润= 总售价- 总成本= 单件利润× 总销量 【即学即练】两个连续奇数的积为，若设其中较小的奇数为，则可列方程为_________________，这两个数分别为_______________． 【答案】 或 【分析】设其中较小的奇数为，则较大的奇数为，根据题意，列方程为，解方程即可． 【详解】设其中较小的奇数为，则较大的奇数为， 根据题意，得， 解得， 当时，； 当时，． 故答案为：，或． 题型01 增长率问题 【例1-1】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为1.6万人，5月份游客人数为3.6万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率，已知该景区6月1日至6月20日已接待游客3万人，则6月21日至6月30日平均每天接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1) (2)万人 【分析】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用． （1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设6月21日至6月30日平均每天接待游客人数是a万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 由题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）解：设6月21日至6月30日平均每天接待游客人数是a万人， 由题意，得， 解得， 答：6月21日至6月30日平均每天接待游客人数最多是万人． 【例1-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某公司实行年薪工资制，职工的年薪工资由基本工资、工龄工资和岗位工资三项组成，具体规定如下： 项目 第一年的工资(万元) 一年后的计算方法 基本工资 2 每年增长率相同 工龄工资 每年增加万元 岗位工资 固定不变 (1)设基本工资每年增长率为x，用含x的代数式表示第三年的基本工资为 ； (2)某人在公司工作了3年，他这3年拿到的工龄工资和岗位工资的和正好是他这3年基本工资总额的，求基本工资每年的增长率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题成为解题的关键． （1）依题意，已知基本工资每年的增长率为x，那么第三年的工资为； （2）根据图表可知工龄工资与岗位工资，算出三年的费用后列出等式可求解． 【详解】（1）解：由已知基本工资每年的增长率为x，则第三年的基本工资为． 故答案为：． （2）解：由题意可得： ， 解得：（不合题意，舍去）． 答：基础工资每年的增长率为． 【例1-3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． (1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 ①______ 2025 ②______ (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【答案】(1) (2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为 【分析】本题考查了代数式的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，2023年销售型汽车总额为亿元， 2025年销售型汽车总额为亿元， 故答案为：； （2）解：设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售个，7月份销售个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200个/月，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400个．若增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线．， 解得，（舍去）， 答：从节省成本的角度看，增加4条生产线． 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）小刘开了一家奶茶店，八月份盈利元，十月份盈利元，且从八月到十月，每月盈利的平均增长率都相同． (1)求每月盈利的平均增长率； (2)按照这个增长率，请你预计这家奶茶店今年十一月的利润将达到多少元． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每月盈利的平均增长率为x，根据奶茶店八月份及十月份的盈利额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据今年十一月的利润十月份的盈利额增长率，即可得出答案． 【详解】（1）解：设每月盈利的平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：每月盈利的平均增长率为． （2）元． 答：预计今年十一月份的盈利将达到元． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每人每月资助200元，高中学生每人每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2023年每月资助学生共支出17500元． (1)问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？ (2)2023年受资助的初、高中学生中，分别有和的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬（资助金额未变化）同时，为了激发更多受资助学生，决定对2024年被评为优秀学生的初中学生每人每月增加的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加的资助．在此奖励政策的鼓励下，2024年被评为优秀学生的初、高中学生分别比2023年的人数增加了、．这样，2024年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元． ①2024年优秀初中学生每人每月的资助金额为______元，优秀高中学生每人每月的资助金额为______元；（用含a的代数式表示，不用化简） ②求a的值． 【答案】(1)该乡镇分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助． (2)①，；②20． 【分析】本题主要考查了一元二次方程、一元一次方程的应用等知识点，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程是解题的关键． （1）设该乡镇有x名高中学生获得了资助，则该乡镇有名初中学生受到资助，由题意列出一元一次方程求解即可； （2）①直接根据题意列代数式即可；②以“2024年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元”为等量关系，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该乡镇有x名高中学生获得了资助，则该乡镇有名初中学生受到资助， 由题意得： ， 解得：， 所以． 答：该乡镇分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助． （2）解：①2024年优秀初中学生每人每月的资助金额为； 优秀高中学生每人每月的资助金额为元． 故答案为：，． ②由题意可得： ∴， 设，则方程化为：， ∴， 解得（舍）或 ∴． 题型02 与图形有关的问题 【例2-1】（23-24八年级下·安徽宣城·期中）如图，某部门举办广场舞比赛，在一块正方形绿地上搭建宽度为的临时舞台（阴影部分）．若舞台中间空白部分的面积为，求正方形绿地的边长． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设正方形绿地的边长为，用正方形的面积减去阴影部分的面积得到空白部分的面积，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设正方形绿地的边长为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：正方形绿地的边长． 【例2-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）铝型线材每根长10米，现用2根铝型线材做成窗框．如图，窗框上方是两个全等的正方形，下方是矩形．若正方形边长为． (1)矩形边长____________；窗框面积____________（用含x的代数式表示） (2)当窗框面积为时，求x的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的运用，解一元二次方程，分别写出和窗框面积的代数式是解题的关键． （1）根据窗框的总长度计算即可； （2）根据题意，列关于x的一元二次方程并求解即可． 【详解】（1）解：， 窗框面积， 故答案为：；； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：． 【例2-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为米的墙，另三边用总长为59米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形，并在边上留有一扇1米宽的门． (1)若围成的花圃面积为400平方米，求的长； (2)能否使得围成的花圃面积为500平方米？请说明你的理由． 【答案】(1)20米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式等知识点，根据题意正确列出关于x的方程成为解题的关键． （1）设边的长为x米，则米，然后利用矩形的面积公式列二元一次方程求解，然后再求出验证即可解答； （2）先根据题意列一元二次方程求解，然后运用根的判别式判定方程根的情况即可解答． 【详解】（1）解：设边的长为x米，则米， 根据题意得：，     解得：或． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 答：的长为20米． （2）解：不能，理由如下： 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程不存在实数根． ∴不能使得围成的花圃面积为500平方米． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）用同样规格的小正方形瓷砖铺设如图所示的矩形，第个图用了块瓷砖，第个图用了块瓷砖，第个图用了块瓷砖按此规律： (1)第个图，要用______块瓷砖； (2)第个图，要用______块瓷砖； (3)求第几个图要用去块瓷砖． 【答案】(1) (2) (3)第个图要用去块瓷砖 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，一元二次方程的解法，能根据所给图形发现瓷砖块数的变化规律是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出图形中瓷砖的块数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）结合（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第个图中瓷砖的块数为：； 第个图中瓷砖的块数为：； 第个图中瓷砖的块数为：； ， 所以第个图中瓷砖的块数为块． 当时， 块， 即第个图中瓷砖的块数为块． （2）解：由（1）知， 第个图中瓷砖的块数为块． （3）解：令， 解得舍负， 即第个图要用去块瓷砖． 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． (1) 米(用含x的代数式表示)； (2)若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长； (3)长方形栅栏的面积能达到平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)米； (3)长方形栅栏的面积不能达到平方米，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，根据题意列出一元二次方程是解题的关键； （1）利用的长栅栏的总长度的长，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据长方形围栏的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长米，即可确定结论； （3）假设长方形栅栏的面积能达到平方米，根据长方形围栏的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即长方形栅栏的面积不能达到平方米． 【详解】（1）解：根据题意得：米． 故答案为：； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：栅栏的长为米； （3）长方形栅栏的面积不能达到平方米，理由如下： 假设长方形栅栏的面积能达到平方米， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立， 即长方形栅栏的面积不能达到平方米． 【变式2-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料回答问题． 背景 为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，坚持培育和践行社会主义核心价值观，把劳动教育纳入人才培养全过程，贯通家庭、学校和社会各方面，与德育、智育、体育、美育相融合，紧密结合社会发展变化和学生生活实际，各学校应积极探索特色的劳动教育模式，创新体制机制，注重教育实效，实现知行合一． 素材 为了促进劳动课程的开展，合肥市某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图，墙，篱笆长为，设的长为，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，其他边由篱笆围成． 任务 （1）___________m；（用含x的代数式表示） （2）若生态园的面积为，求x的值； （3）为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，求出生态园的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）能，或11 【分析】本题主要考查代数式，一元二次方程解应用题，准确将线段用代数式表示出来是解题的关键． （1）根据题意得到，再根据矩形的性质即可得到答案； （2）由面积公式计算即可； （3）根据题意将此时的表示出来进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 由于篱笆长为， ， ； 故答案为：；    （2）解：由题意得：， 即， 解得， ， ， ．   （3）解：由题意可得 由于篱笆长为， ， 解得，． 当或11时，生态园的面积能达到． 题型03 数字问题 【例3-1】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得出方程，即可求解． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得 故选：D． 【例3-2】（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数是12或21 【分析】设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“新两位数与原来的两位数的乘积为252”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为， 依题意得： ， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，， 原来的两位数是12或21， 答：原来的两位数是12或21． 【变式3-1】（22-23八年级下·安徽滁州·月考）两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据连续两个奇数相差2，得到较大的一个奇数为，由此列得方程． 【详解】解：设其中较小的一个奇数为x，则较大的一个奇数为， 则， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意表示出较大的一个奇数是解题的关键． 【变式3-2】（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是__ 【答案】74 【分析】设这个两位数的十位数字为a，个数数字为b，然后根据十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27列出方程求解即可． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为a，个数数字为b， 由题意得，， 整理得：， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴原来的两位数是74， 故答案为：74． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 【变式3-3】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)10 (3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出的最大值； （2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵a是正整数， ∴也是正整数， ∴当a越大时，b也越大， 根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24， ∴的最大值为； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴最小数是10； （3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵时，在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 题型04 商品销售问题 【例4-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）庐州黄是安徽合肥特有的桂花品种，它将合肥的古称与桂花的颜色相融合，折射着这座城与桂花的不解之缘．某抖音主播以每罐（35克）20元的价格新进一批桂花，根据以往的销售经验，当销售价格定为每罐24元时，每天可售出200罐，后来经过市场调查发现，每罐桂花的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，若设该种桂花的售价为：（）元． (1)该抖音主播每天售出桂花______罐；（用含的式子表示） (2)抖音平台规定：在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过，若该抖音主播销售该种桂花要想平均每天获利1700元，求该种桂花每罐的售价． 【答案】(1) (2)该抖音主播销售该种桂花要想平均每天获利1700元，每罐的售价应为30元； 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键在于读懂题意，找准等量关系． （1）结合每天可售出200罐，每罐桂花的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，进行列式化简，即可作答． （2）根据数量乘单件利润等于获利1700元，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意得， 整理得， 解得，． ， ， 不符合题意，舍去， ． 答：该抖音主播销售该种桂花要想平均每天获利1700元，每罐的售价应为30元； 【例4-2】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）项目式学习： 【项目背景】 在城市的生鲜市场领域，有一家名为“鲜丰汇”的水果批发商店，正积极参与区域内的水果销售竞争项目．商店近期采购了一批热门水果，成本为每千克12元．当前以每千克15元售卖，日销量稳定在100千克．但周边竞争对手众多，为在这个城市生鲜市场项目中脱颖而出，获取更大市场份额与利润，商店团队需制定灵活的价格与销售策略． 【市场调研】 经市场调研团队分析发现，在本区域消费者购买习惯中，这种水果每千克售价与销售量关系统计如下． 水果每千克售价降低金额（元） 每天销售量（千克） 0 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 … … 【目标任务】 于是，商店运营项目组面临两个关键任务： 任务一：要明确售价降低与销售量的关系．若将这种水果每千克的售价降低元，需准确计算出每天的销售量（用舍的代数式表示），为后续库存管理、成本核算等子项目提供数据支持． 任务二：商店设定了盈利目标与销量保障目标．在这个城市生鲜市场盈利项目中，要实现每天盈利500元，并且为维持市场影响力与客户粘性，保证每天销售量不少于280千克，需精确计算出水果每千克的售价应降低多少元，从而制定出最优的价格策略，在该区域水果销售项目中实现盈利与市场份额的双提升． 请完成这两个任务． 【答案】任务一：千克；任务二：降低2元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务一：先根据表格数据得到每千克的售价每降低元，一天可多售出千克，再利用每天的销售量，即可用含的代数式表示出一天的销售量； 任务二：利用总利润每千克的销售利润每天的销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：任务一：解：根据表格数据：每千克的售价每降低元，一天可多售出千克 若将这种水果每千克的售价降低元，则每天的销售量是千克； 任务二：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 故商店需将水果每千克的售价降低元． 【例4-3】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90 千克，用油的重复利用率为 ，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关． (1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70千克，用油量的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是 千克． (2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克， （i）下降后的润滑用油量为 ，油的重复利用率提高为 ．（用含x的式子填空） （ii）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？ 【答案】(1)28 (2)（i）；；（ii）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是70千克 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列式和列方程是解题的关键． （1）根据题意，实际耗油量﹦用油量×（重复利用率），代入数据计算即可； （2）（i）企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为，润滑用油每减少1千克，用油的重复利用率将增加，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克．即可得到下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为；（ii）根据乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，（千克）， 答：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克. （2）解：（i）由题意得到，下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为. （ii）由题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克． ∴. 答：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是70千克． 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： (1)当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利___________元． (2)为了更多的让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ (3)在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15000元？请说说你的理由． 【答案】(1)14000 (2)每盒应降价40元 (3)本次销售活动中每天利润不能达到15000元，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，一元二次方程的根的判别式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据每盒的利润数量总利润求解即可； （2）根据每天销售这种节能材料获利达14400元，列一元二次方程，求解即可； （3）若销售活动中每天利润能达到15000元，得到方程，再根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，（元）， 故答案为：14000； （2）解：设每盒应降价元，根据题意，得： 化简方程，得： 解得：或， 因为更多的让利消费者，所以每盒应降价40元． 答：每盒应降价40元． （3）解：本次销售活动中每天利润不能达到15000元，理由如下： 设每盒应降价元，根据题意，得： 化简方程，得：， ， ∴方程无实数解， 所以，本次销售活动中每天利润不能达到15000元． 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽池州·期末）2025池州马拉松将于11月16日在池州市平天湖莲花台广场鸣枪开跑．本次赛事按照中国田径协会类和世界田联精英标牌赛事标准打造，延续“相聚池马、逐梦未来”主题．在某电商平台了解到：“池马”吉祥物绿宝玩偶的进货价为每件50元，根据去年的经验：赛事期间销售价定为每件90元，平均每天可售出500件．今年该平台决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件降价1元，那么平均每天就可多售出50件，设每件降价x元． (1)预计今年平均每天将卖出（ ）件，每件盈利（ ）元（用含x的代数式表示并化到最简）； (2)每件售价应定为多少元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠； (3)要想平均每天盈利32000元，可能吗？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2)售价应定为70元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠 (3)平均每天不可能盈利32000元．理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，一元二次方程的根的判别式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“每件降价1元，那么平均每天就可多售出50件”即可表示平均每天的销售量，再由售价减去进价表示每件的盈利； （2）根据每件的盈利乘以销售数量等于每天盈利30000元建立一元二次方程求解； （3）若平均每天盈利32000元，即：，再根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵每件降价1元，那么平均每天就可多售出50件，设每件降价x元 ∴今年平均每天将卖出件，每件盈利元； 故答案为：，； （2）解：由题意知： 整理得： 解得：， ∵要使顾客得到较多的实惠 ∴x取20 ∴ 答：售价应定为70元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠． （3）解：平均每天不可能盈利32000元，理由如下： 若平均每天盈利32000元，即： 整理得： ∴方程无解故平均每天不可能盈利32000元．（答案不唯一，合理即可） 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、设备折旧等费用，与产品生产件数无关；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的可变成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好．它每天的成本（元）与生产量（个）的关系如下表所示． 成本（元） 15100 15200 15300 15400 15500 … 生产量（件） 1 2 3 4 5 … (1)该工艺品每天的固定成本为___________；每件产品的可变成本为___________． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式； ②若每天生产出来的产品都能销售完，当售价定为多少时，能使厂商每天获得的利润为27000元？ 【答案】(1)15000；100 (2)①；②当售价定为20元或21元时，能使厂商每天获得的利润为27000元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由表格可知，每增加一件产品，成本增加100元，据此可得答案； （2）①设销量与销量单价之间的函数关系式，再利用待定系数法求解即可；②根据利润等于销售额减去成本建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，每增加一件产品，成本增加100元， ∴该工艺品每天的固定成本为元；每件产品的可变成本为100元； （2）解：①设销量与销量单价之间的函数关系式 把代入得， 解得 ∴； ②由题意得，， 整理得， 解得或， 答：当售价定为20元或21元时，能使厂商每天获得的利润为27000元． 题型05 动态几何问题 【例5-1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？ 【答案】2秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设经x秒时间使的面积等于，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解． 【详解】解：设经x秒时间使的面积等于，根据题意得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 答：经2秒时间使的面积等于． 【例5-2】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用． （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）根据题意可得面积等于面积的，根据的面积等于三角形的面积的列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． ∴，， 则； 故答案为：． （2）解：∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 解得． 答：当时，的面积等于四边形的面积的． 【例5-3】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止． (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积为？ (3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查的了勾股定理，列代数式，一元二次方程的应用． （1）设运动时间为，则，，，利用勾股定理得出关于t的方程，解方程即可； （2）根据题意得，解方程即可； （3）当的面积会等于面积的一半时，则，再根据的值可得结论． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，，， ∵，的长为， ∴在中，，即， 解得， 即经过，的长为； （2）解：由（1）得，， ∵的面积为， ∴，即， 解得或， ∵当点运动到点时，点和点的运动停止， ∴，即， ∴经过或，的面积为； （3）解：不会，理由如下： 由（2）知， ， 当的面积会等于面积的一半时，则 ， 整理得， 此时， ∴的面积不会等于面积的一半． 【变式5-1】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为 (1) cm， cm；(用含x的式子表示) (2)若的面积为，求x的值． 【答案】(1)， (2)1或5 【分析】（1）根据点，的运动速度及时间，即可用含的代数式表示出当运动时间为时，的长度； （2）根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，的长度；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；． （2）解：依题意得：， 即， 整理得：， 解得：，． 答：的值为1或5． 【变式5-2】（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 【答案】(1)后，的长度为 (2)或后，的面积等于 (3)的面积不可能等于，见解析 【分析】本题主要考查动点与几何图形的综合，理解动点的运动规律，掌握几何图形的面积计算方法，一元二次方程根的判别式等知识是解题的关键． （1）设点运动的时间为，则，，，在中，根据勾股定理即可求解； （2）根据，解方程即可求解； （3）根据，得关于的一元二次方程，运用一元二次方程根的判别式判定方程是否有实数解即可． 【详解】（1）解：设点运动的时间为，则，，，， ∴在中，根据勾股定理，得，， ∴，解得或（舍去）， ∴后，的长度为． （2）解：同（1）中所设，设点运动的时间为，则，，，， ∴，即， 解得或， ∴或后，的面积等于． （3）解：不能，理由如下： 当时，即， ∴，整理得，， ∵， ∴方程没有实数根， ∴的面积不可能等于． 【变式5-3】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，点B在射线上，过点B作射线，点C在射线上，且，点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，与直线相交于点D，设点P的运动时间为，的面积为． (1)当点在射线上时，，求的值． (2)求出关于的函数关系式． (3)当点运动多少秒时，． 【答案】(1) (2) (3)4秒、6秒或12秒 【分析】本题考查了三角形面积公式和一元二次方程的应用，根据已知进行分类讨论是解题的关键； （1）由题在射线上时，秒，此时，，此时，然后根据三角形面积计算公式计算即可得解； （2）分、，两种情况，根据三角形的面积公式求出关于的函数关系式； （3）由即可列出等式，当秒时，则，当秒时，则，解答得到相应的值即可。 【详解】（1）解：，， 为直角三角形， ， 当点在射线上时，， 点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：（舍去负值）， ； （2），点P、Q运动速度是， 当秒时，P在线段上，此时，， ， 当秒时，P在射线上，此时，， ． 关于的函数关系式为：； （3），， 为直角三角形， ， ， 当秒时，， 整理得：， 解得，． 当秒时，， 整理得：， 解得， (不合题意，舍去)， ∴经过4秒、6秒或12秒时，． 题型06 可化为一元二次方程的分式方程的实际问题 【例6】为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【变式6-1】列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 【变式6-2】今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 【变式6-3】列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 一、单选题 1．（23-24九年级上·四川泸州·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．周瑜去世时年龄的十位数字是x，哪位学子算得快，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方解决数字问题，设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据个位平方与寿同列式即可得到答案； 【详解】解：设周瑜去世时年龄的十位数字是x，由题意可得， ， 故选：C． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（   ） A．210 B．100 C．78 D．45 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，先求出前行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为210、100、78、45时的值，判断即可得解．熟练掌握一元二次方方程的应用是关键． 【详解】解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和， A、若和为210，则，解得或（舍去），即前20行的点数之和为，故A不符合题意； B、若和为100，则，解得，不是整数，即不存在前行的点数之和为100，故B符合题意； C、若和为78，则，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故C不符合题意； D、若和为45，则，解得或（舍去），即前9行的点数之和为45，故D不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．小明对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．一株椽的价钱为27文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 根据题意，找出等量关系，列方程求解，对各选项进行分析即可． 【详解】解：设这批椽一共有x株， 根据题意得，， 即， 解得，，（舍去）， ∴这批椽一共有株， ∴一株椽的价钱为：（文）； ．设这批椽的数量为株，则，说法正确，不符合题意； ．一株椽的价钱为文，说法不正确，符合题意； ．一株椽的价钱为文，说法正确，不符合题意； ．这批椽一共有株，说法正确，不符合题意． 故选：． 4．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型． 根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：设运动时间为t秒，则有，， 即， ， ， ， 解得或20（舍去）， 时，的面积为． 故选：A． 二、填空题 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为__________． 【答案】1 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设所修道路的宽为，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：所修道路的宽为． 故答案为：1 6．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）小明将一个100毫升的容器盛满纯酒精，第一次倒出一部分纯酒精后，再用水加满；第二次又倒出同样多的酒精溶液，若此时容器内剩下的纯酒精是81毫升，则小明每次倒出的体积是______毫升． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确的列出一元二次方程是解题的关键．设每次倒出液体为x升，则可计算出第一次倒出再加满水的溶液浓度，再根据第二次倒完后，剩下的纯酒精是81升，列出一个一元二次方程即可求解． 【详解】解：设每次倒出液体为x毫升， 则第一次倒出再加满水的酒精溶液浓度为 ， 由题意可得： ， 整理可得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴每次倒出的液体是10升． 故答案为：10． 三、解答题 7．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）某市第四中学将组织一次八年级篮球联赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），恰好需要打场比赛，问共有多少支球队参加比赛？ 【答案】有支球队参加比赛 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设应邀请支球队参加比赛，根据计划安排171场比赛，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】设有支球队参加比赛，由题意得， ， 解得， 又 有支球队参加比赛． 8．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决） 【答案】一共有8个人过生日． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做个生日贺卡，即共做个．根据一共赠送了56个生日贺卡列方程求解即可． 【详解】解：设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做个生日贺卡，即共做个．由题意得 整理可得 解得（舍） 答：一共有8个人过生日． 9．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）新课改下中考体育改革与创新的目的是促进素质教育全面发展，体育课作为一门重要课程，对促进学生身心健康起着尤为重要的作用．某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为． (1)求安全区域的宽度； (2)某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】(1)安全区域的宽度为1米 (2)每次降价的百分率为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设安全区域的宽度为x米，根据篮球场及安全区域的总面积为，列出方程，解方程即可； （2）设每次降价的百分率为a，根据原价为45万元，连续两次降价后为万元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设安全区域的宽度为x米，由题意得： ， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：安全区域的宽度为1米； （2）解：设每次降价的百分率为a，由题意得： ， 解得（舍去），， 答：每次降价的百分率为． 10．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）基本关系：初量（1+增长率）2=末量，据此列出方程，求解即可； （2）基本关系：总利润=每个的销售利润×月销售量，该零件的实际售价应定为元，用含的代数式表示月销售量，再利用月销售利润达到12000元建立方程求解． 【详解】（1）设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为，根据题意，得 ， 解得：，（舍去） 答：设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为 （2）设该零件的实际售价应定为元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵想尽快减少库存，则售价应该更低， ∴该零件的实际售价应定为元， 答：该零件的实际售价应定为元． 11．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月可以获得利润12250元？ 【答案】任务1：平均增长率为；任务2：零件的实际售价定为65元时，每个月可以获得利润12250元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 任务1：设平均增长率为a，根据题意，直接列方程求解即可； 任务2：设零件的实际售价定为x元，根据每个月可以获得利润12250元列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设平均增长率为a，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：平均增长率为； 任务2：设零件的实际售价定为x元，根据题意得， 解得， ∴当时，每个月可以获得利润12250元， 答：零件的实际售价定为65元时，每个月可以获得利润12250元． 12．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用)、分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 13．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)①55元；②不能实现，说明见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，根据经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①根据使月销售利润达到11250元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； ②根据使月销售利润达到12500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①由题意得：， 解得：，， 当时，月销售量为个； 当时，月销售量为个， 因需要尽快减少库存，故应选择销售量大的方案，所以，舍去， ， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为55元； ②不能实现，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数根， 不能实现利润为12500元． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $