精品解析：广东湛江市博雅学校2025-2026学年九年级下学期第一次学科调研学试题

2026年九年级第二学期第一次学科调研 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2 2. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点，，均在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（　　） A. 0.759精确到个位为1 B. 18.04精确到0.1为18.0 C. 5.7万精确到十分位 D. 356700精确到万位为 7. 某篮球队名队员的身高（单位：厘米）分别为，，，，．现用一名身高为厘米的队员换下身高为厘米的队员，与换人前相比，场上队员身高（ ） A. 平均数变大，方差变小 B. 平均数变大，方差变大 C. 平均数变小，方差变小 D. 平均数变小，方差变大 8. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 10. 已知整式（），其中n为正整数，（i为整数，）均为整数，，记，且，下列说法中，正确的个数为（ ） ①在所有满足条件的整式M中，有且只有4个单项式； ②当，时，所有满足条件的整式M之和的最小值为； ③当时，满足条件的整式M共有12种． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________． 12. 从，，0，这四个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是________． 13. 若m为正整数，且满足，则________． 14. 若实数m，n同时满足，，则的值为________． 15. 如图，在正六边形中，，将一个含的直角三角板的直角放入正六边形内，保证点同时在三角板的边上，转动三角板．连接，则线段的最小值为___________． 三、解答题（每小题7分，共21） 16. 求不等式组：的所有非负整数解． 17. 年春节天假期，重庆文旅市场迎来“开门红”．据市文旅委统计，全市重点监测的家级景区累计接待游客万人次，较年同期增长了．为了解游客对热门景区的体验评价，相关部门从甲景区和乙景区各随机抽取了名游客进行满意度评分（满分分，得分均为整数，注：本次调查得分均在至分之间）．相关数据整理如下：乙景区中评分在分段的具体得分为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲景区；名游客评分频数分布表： 评分区间x（分） 频数（人数） 甲、乙景区游客评分统计量表： 景区 平均数 中位数 众数 甲景区 乙景区 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个景区的游客体验更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若甲、乙景区共接待游客的数量占年家级景区累计接待游客总人数的，请根据样本数据估计甲、乙景区接待的游客体验“优秀”（评分在分及以上）的人数．（单位：万人次） 18. 图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°． （1）求车位锁的底盒长BC． （2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07） 四、解答题（每小题9分，共27） 19. 小明在做数学练习时，遇到下面的题目： 如图，在中，为边上一点，，，．若，的周长为14，求的长． 参考答案： 小明的计算结果与参考答案不同，因此他对参考答案产生了质疑．下面是他的分析、探究过程，请你补充完整： 第一步，读题，并顺次标记题目条件如下：在中，为边上一点，①；②；③；④；⑤的周长为14． 第二步，依据条件③、④、⑤可以求得___________； 第三步，作出，如图2所示； 第四步，依据条件①，在图2中作出；（尺规作图，保留作图痕迹） 第五步，对所作图进行观察、测量，发现与标记的条件__________不符（填序号），去掉这个条件，题目中的其他部分保持不变，即可求得长． 请你写出去掉条件后求长的具体求解过程． 20. 年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． （1）若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元；若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ （2）在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求的值． 21. 如图，为的外接圆，为直径，点C为上一点，连接，与交于点F，点E为延长线上一点，连接，且． （1）求证：为切线； （2）若，求的半径长． 五、解答题（22小题13分，23小题14分，共27） 22. 如图，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连结并延长，交于点．四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）令．求证：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，点是上方抛物线上的一个动点，过点作于点，作轴于点，交于点，点，是直线上的两个动点（点在点的上方），且，连接，．当取得最大值时，求此时点的坐标以及的最小值； （3）在（2）问中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点的对应点为点，点关于新抛物线对称轴的对称点为点，点为新抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级第二学期第一次学科调研 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，6710亿， 故选：B 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故A符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意； 故选：A． 4. 若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的取值范围，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴比例系数， 解不等式得． 5. 如图，点，，均在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由同弧所对的圆周角为圆心角的一半可得， ． 6. 下列说法错误的是（　　） A. 0.759精确到个位为1 B. 18.04精确到0.1为18.0 C. 5.7万精确到十分位 D. 356700精确到万位为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查近似数的精确度判断．根据各选项的数值单位及精确位数逐一分析． 【详解】解：选项A：0.759精确到个位时，需看十分位的数字7，，向个位进1，结果为1，说法正确，本选项不符合题意； 选项B：18.04精确到0.1（十分位）时，需看百分位的数字4，，舍去，结果为18.0，说法正确，本选项不符合题意； 选项C：5.7万表示57000，以万为单位时，小数点后第一位（十分位）对应实际数值的千位．因此，“精确到十分位”指精确到千位，但选项描述为“精确到十分位”，容易误解为原数57000的小数点后第一位（实际不存在），表述不严谨，本选项符合题意； 选项D：356700精确到万位时，千位数字为，向万位进1，得36万，科学记数法为，说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 7. 某篮球队名队员的身高（单位：厘米）分别为，，，，．现用一名身高为厘米的队员换下身高为厘米的队员，与换人前相比，场上队员身高（ ） A. 平均数变大，方差变小 B. 平均数变大，方差变大 C. 平均数变小，方差变小 D. 平均数变小，方差变大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差，先计算没换之前平均身高和方差，换下身高厘米队员后的平均身高和方差，然后比较即可，掌握平均数和方差的公式是解题的关键． 【详解】解：由没换之前平均身高为：，方差为：， 换下身高厘米队员后的平均身高为：，方差为：， ∵，， ∴平均数变小，方差变小， 故选：． 8. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点在同一个函数图象上，可得N、P关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴得N、P关于y轴对称， ∴选项A、C错误， ∵在同一个函数图象上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴选项D错误，选项B正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 9. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据菱形的性质，，，再利用勾股定理可得，根据线段和差可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 10. 已知整式（），其中n为正整数，（i为整数，）均为整数，，记，且，下列说法中，正确的个数为（ ） ①在所有满足条件的整式M中，有且只有4个单项式； ②当，时，所有满足条件的整式M之和的最小值为； ③当时，满足条件的整式M共有12种． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到系数为严格递增整数，结合平方和条件，分情况讨论逐一验证三个说法即可． 【详解】解：①∵是单项式，则只有一个非零系数， ∵，故仅，其余． 当时，，不满足，排除； 当时，仅，则，满足， ∴，， ∴正整数或2或3或4，共4个单项式，故①正确； ②当，时，，， ∵（i为整数，）均为整数，，且， ∴或或 ∴或或 ∴所有满足条件的整式M之和为 ∵ ∴抛物线开口向上 ∴二次函数的最小值为，故②正确； ③当时，，， ∵（i为整数，）均为整数，， ∴或或或或或或或或或或或， ∴满足条件的整式M共有12种，故③正确． 综上，正确个数为3． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可； 【详解】解：由题可知， 解得： 故答案为： ． 12. 从，，0，这四个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据无理数的定义找出无理数的个数，而抽到无理数的概率等于无理数的个数除以数的总个数，据此求解即可． 【详解】解：在，，0，这四个数中，无理数有，，共2个， ∴从，，0，这四个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是． 13. 若m为正整数，且满足，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】先利用不等式的性质得到的取值范围，再估算出的取值范围，结合为正整数即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ， ， 为正整数，且满足， ． 14. 若实数m，n同时满足，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将化简为，再分情况求出，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 则，， 当时，，无解； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，与矛盾，故无解； 当时，，无解； 综上，，则． 15. 如图，在正六边形中，，将一个含的直角三角板的直角放入正六边形内，保证点同时在三角板的边上，转动三角板．连接，则线段的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了最值问题，正多边形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题关键是能准确分析出点H的运动轨迹．连接，过点作，垂足为，易得点在以为直径的圆弧上，当点共线时，取最小值，解直角三角形求出，，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为， ， 点在以为直径的圆弧上， 当点共线时，取最小值， 在正六边形中，， ， ， ，在中，， ， ， 即线段的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（每小题7分，共21） 16. 求不等式组：的所有非负整数解． 【答案】，， 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再写出其中的非负整数解即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 将不等式①和②的解集表示在数轴上为： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的所有非负整数解为：，，． 17. 年春节天假期，重庆文旅市场迎来“开门红”．据市文旅委统计，全市重点监测的家级景区累计接待游客万人次，较年同期增长了．为了解游客对热门景区的体验评价，相关部门从甲景区和乙景区各随机抽取了名游客进行满意度评分（满分分，得分均为整数，注：本次调查得分均在至分之间）．相关数据整理如下：乙景区中评分在分段的具体得分为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲景区；名游客评分频数分布表： 评分区间x（分） 频数（人数） 甲、乙景区游客评分统计量表： 景区 平均数 中位数 众数 甲景区 乙景区 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个景区的游客体验更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若甲、乙景区共接待游客的数量占年家级景区累计接待游客总人数的，请根据样本数据估计甲、乙景区接待的游客体验“优秀”（评分在分及以上）的人数．（单位：万人次） 【答案】（1），，； （2）乙景区的游客体验更好．理由见解析（言之有理即可） （3）甲、乙景区接待游客体验“优秀”的人数约有75.6万人次 【解析】 【分析】（1）用甲景区的样本总数减去其他组的频数即可求得，用减去其他组的圆心角即可得到，根据中位数的定义可计算出； （2）从平均数、中位数和众数的维度选一条评价即可； （3）利用样本中“优秀”的人数的占比，估算总体即可． 【小问1详解】 解：， ，即， 乙景区分段和分段的人数之和为（人）， ∴从低到高排序，乙景区数据的第个数为，第个数为， ∴乙景区数据的中位数； 【小问2详解】 解：乙景区的游客体验更好．理由：乙景区游客满意度评分的中位数89分高于甲景区游客满意度评分的中位数85分，所以乙景区的游客体验更好．（言之有理即可） 【小问3详解】 解：甲、乙景区接待总人数：（万人次） 乙景区样本优秀人数：（人）， ∴甲、乙景区样本总优秀率：， ∴甲、乙景区接待游客体验“优秀”的人数约有（万人次） 答：甲、乙景区接待游客体验“优秀”的人数约有万人次． 18. 图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°． （1）求车位锁的底盒长BC． （2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07） 【答案】（1）68cm；（2）当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位 【解析】 【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． （2）根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断． 【详解】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H， ∵AB＝AC， ∴BH＝HC， 在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50， ∴BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34， ∴BC＝2BH＝68cm． （2）在Rt△ABH中， ∴AH＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5， ∴36.5＞30， ∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型． 四、解答题（每小题9分，共27） 19. 小明在做数学练习时，遇到下面的题目： 如图，在中，为边上一点，，，．若，的周长为14，求的长． 参考答案： 小明的计算结果与参考答案不同，因此他对参考答案产生了质疑．下面是他的分析、探究过程，请你补充完整： 第一步，读题，并顺次标记题目条件如下：在中，为边上一点，①；②；③；④；⑤的周长为14． 第二步，依据条件③、④、⑤可以求得___________； 第三步，作出，如图2所示； 第四步，依据条件①，在图2中作出；（尺规作图，保留作图痕迹） 第五步，对所作图进行观察、测量，发现与标记的条件__________不符（填序号），去掉这个条件，题目中的其他部分保持不变，即可求得长． 请你写出去掉条件后求长的具体求解过程． 【答案】第二步：6；第四步：作图见解析；第五步：②，18 【解析】 【分析】第二步、根据三角形周长的定义，可知，由此即可求解； 第四步、作线段的垂直平分线交的延长线于，连接，即为所求； 第五步、由得，由此即可解决问题 【详解】解：第二步，∵，，周长为， ∴， 第四步，作线段的垂直平分线交的延长线于，连接，即为所求； 第五步，通过测量发现，所以②不符合； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． （1）若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元；若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ （2）在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求的值． 【答案】（1）甲型机器人的每台进价为万元，乙型机器人的每台进价为万元 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元，根据题意列出二元一次方程组，并求解即可； （2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型机器人每台的进价为万元，乙型机器人每台的进价为万元． 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解且符合题意． 答：的值为． 21. 如图，为的外接圆，为直径，点C为上一点，连接，与交于点F，点E为延长线上一点，连接，且． （1）求证：为切线； （2）若，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由等腰三角形的性质以及三角形的外角性质可得，再由可得，则，即可证明； （2）连接，先证明为等边三角形，然后求出，则，再证明，则，最后解即可． 【小问1详解】 证明： ∵为半径 ∴为切线； 【小问2详解】 解：连接， 为等边三角形 ∴， ， 在中，， ∴ ∴的半径． 五、解答题（22小题13分，23小题14分，共27） 22. 如图，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连结并延长，交于点．四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）令．求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由四边形是矩形，可得，而四边形与关于所在直线成轴对称，有，故，； （2）过作于，设，可知，，根据点为矩形的对称中心，可得，故，在中，，解得的值从而可得的长为； （3）过作于，连接，，，由点为矩形的对称中心，过点，可得为中点，，，证明，得，即，故，即可得． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， 四边形与关于所在直线成轴对称， ， ， ； 【小问2详解】 解：过作于，如图： 设，则， ， ， 四边形是矩形， ，， 点为矩形的对称中心， ， ， 在中，， ， 解得（此时大于，舍去）或， ； 的长为； 【小问3详解】 证明：过作于，连接，，，如图： 点为矩形的对称中心，过点， 为中点，，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ，， ， ，， ． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，点是上方抛物线上的一个动点，过点作于点，作轴于点，交于点，点，是直线上的两个动点（点在点的上方），且，连接，．当取得最大值时，求此时点的坐标以及的最小值； （3）在（2）问中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点的对应点为点，点关于新抛物线对称轴的对称点为点，点为新抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】（1） （2），的最小值 （3），，过程见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线经过及对称轴为直线得出，解方程组求出、的值即可得答案； （2）先求出直线的解析式为，设，可得，，证明，得出，，根据二次函数点性质求出，将平移至，点与点是对应点，作点关于的对称点，连接、，根据平移的性质得出，得出四边形是平行四边形，，利用勾股定理求出，根据点为的中点得出，即可得出当且仅当、、共线时，取得最小值，最小值为； （3）先求出新抛物线解析式为，，，根据，分点在上方和下方两种情况，利用一次函数的性质、结合全等三角形的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，对称轴为直线， ∴， 解得： ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：如图，将平移至，点与点是对应点，作点关于的对称点，连接、， ∵当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，， 设， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， ∵， ∴此时， ∵对称轴为直线，， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵将平移至，， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设与交于点， ∵， ∴ 解得：，（与点重合，舍去）， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∵点与点关于的对称， ∴， ∴当且仅当，共线时，取得最小值，最小值为． 【小问3详解】 解：，，下面求： 如图，沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，过点作轴于，交轴于， ∴平移方式为向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，， ∵， ∴新拋物线解析式为， ∴新抛物线的对称轴为直线， ∴，， 当点在上方时， ∵， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和新抛物线解析式得，， 解得：，（舍） ∴， 当点在下方时，过点作于，交于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴，， 设， ∴， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和新抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法求函数解析式、平移的性质及勾股定理，合理作出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $