专题1.2 等腰三角形 同步讲义（知识梳理+题型解读+巩固测试）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册.

专题1.2 等腰三角形 同步讲义 （新教材北师大版） ☘ 题型归纳 题型1. 等边对等角 题型2. 三线合一 题型3. 等边三角形的性质 题型4. 根据等角对等边证明等腰三角形 题型5. 根据等角对等边证明边相等 题型6. 根据等角对等边求边长 题型7. 等腰三角形的性质和判定 题型8. 格点图中画等腰三角形 题型9. 找出图中的等腰三角形 题型10. 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型11. 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型12. 反证法证明中的假设 题型13. 用反证法证明命题 题型14. 等边三角形的判定 题型15. 等边三角形的判定和性质 题型16. 含30度角的直角三角形 题型17. 巩固测试 💧 知识梳理 【知识点一.等腰三角形】 1.定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形. 如下图所示：相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.性质：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． （1）等边对等角：两边相等 ⇒ 两底角相等。 （2）等角对等边：两角相等 ⇒ 对边相等（判定等腰）。 （3）三线合一： 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （4）对称性： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线。 3.判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.即：在一个三角形中，等角对等边. 重点提示：（1）判定定理的条件和结论不能与性质定理混淆．：判定定理的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．              【知识点二.等边三角形】 1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．也称为正三角形．(如下图) 2. 性质：边：三条边都相等； 角：三个内角都相等，且都等于 60°。 对称性：是轴对称图形，有 3 条对称轴。 3.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识点三、反证法】 1. 概念：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实 、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。 2、 用反证法证明命题的一般步骤： （1） 反设：假设命题结论不成立； （2） 归谬：从假设出发，通过演绎推理，推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果； （3） 定论：由矛盾说明假设不成立，进而得出原结论正确。 【知识点四、含30度角的直角三角形的性质】 1. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：如上图，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB 2.作用：（1）快速求边长，已知一条边，立刻求出另外两条边， （2）用来证明线段 “倍半关系” （3）用来求角度。 💦 题型解读 题型1等边对等角 例1．如图，直线，点A在直线m上，点B、C在直线n上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 变式1．已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于______． 变式2．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 题型2三线合一 例2．如图，在中，，是的平分线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 变式1．在中，，点D为中点，如果，，则______ 变式2.如图，在中，于点，是上一点，连接，已知．求证：． 题型3等边三角形的性质 例3．等边三角形的对称轴有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 变式1．一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，若，则________． 变式2．如图，等边三角形的边长为8，点E是边上一动点（不与点B，C重合），以为边在的下方作等边三角形，连接，． (1)在运动的过程中，与有何数量关系？请说明理由． (2)当时，求的度数． 题型4根据等角对等边证明等腰三角形 例4．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 变式1．如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则_________． 变式2．如图，已知点，在线段上，交于点，，，．求证： 题型5根据等角对等边证明边相等 例5．如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为（    ） A．2 B．1.5 C．3 D．6 变式1．在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求___________． 变式2．如图，长方形纸片中，，，将沿折叠，使点B落在点E处，交于点F，求的长． 题型6根据等角对等边求边长 例6．如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式1．如图，在等边中，是的平分线，点在的延长线上，连接．若，，则的长为_____． 变式2．如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 题型7等腰三角形的性质和判定 例7．如图，在中，，．点D，E在上，且，，若，的长（   ） A． B． C．6 D．8 变式1．在等腰直角中，，为直角边的中点，若，则的长为___． 变式2．如图，等腰直角中，，点P在外，且，连接． (1)若，求； (2)若，求的长． 题型8格点图中画等腰三角形 例8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．4或6 变式1．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有_____个． 变式2．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上． (1)在网格中建立平面直角坐标系，使点坐标为，点坐标为； (2)在第二象限的格点上找一点，使为等腰三角形，画出三角形，并写出点的坐标． 题型9找出图中的等腰三角形 例9．在中，，则的长为（    ） A．4cm B．8cm C． D． 变式1．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    变式2．如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 题型10直线上与已知两点组成等腰三角形的点 例10．如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1.在中，，，在直线或上取点D，使得是等腰三角形，则符合条件的D点有_________个． 变式2．如图，在中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，求的度数． 题型11求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 例11．已知一条直线l和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形．除此之外还能画出符合条件的（　　）个等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．如图，在中，，，，点P在上，当点P与中的两个顶点构成等腰三角形时，的长为______． 变式2．如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 题型12反证法证明中的假设 例12．用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 变式1．．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．若用反证法证明“”，则应假设___________． 变式2．已知：在中，．用反证法证明：． 题型13用反证法证明命题 例13．设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 变式1．填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 变式2．用反证法证明．如图，已知：直线a、b被直线c所截，，求证：a与b不平行． 证明：假设____________，则根据____________，可得．这与____________矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 题型14等边三角形的判定 例14．下列命题中，是假命题的是（   ） A．全等三角形的对应边相等 B．有两个角相等的三角形是等腰三角形 C．有一个角是的三角形是等边三角形 D．三角形的内角和为 变式1．在中，，，，P是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，点B的对应点为点D，若与直线所夹的锐角为，则的长为________． 变式2．已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 题型15等边三角形的判定和性质 例15．如图，在中，，，于D，点E在直线上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点D，E．若，则的长为________． 变式2．小东和小明要测量校园里的一块四边形场地（如图所示），小东经测量得知，，，． (1)求出的长度． (2)直接写出四边形的面积_____． 题型16含30度角的直角三角形 例16．如图，大盈江边一棵竹子在一次强风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵竹子在折断前的高度为（　　） A．4米 B．8米 C．12米 D．15米 变式1．如图，梯形中，，，，若该梯形的中位线长为3，则_________． 变式2．如图，在中，，垂足为．求的长． ✍ 巩固测试 一、单选题 1．下列命题中，是真命题的是（   ） A．两边分别相等的两个直角三角形全等 B．等腰三角形所有的高都相等 C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D．有两个角是的三角形是等边三角形 2．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 3．边长为的等边三角形，它的高是（   ） A． B． C． D． 4．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 5．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．在中，，，的对边长分别为，，．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 二、填空题 7．等腰三角形的腰长，底长，则底边上的高为______． 8．如图，在中，，是的高，请你再添加一个条件使得，这个条件可以是___________． 9．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是_______． 10．如图，点D、E、F是等边三角形边上的点，满足．连接，写出符合题意的三个不同类型的正确结论：________． 11．一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，若，则________． 12．如图，在中，，过点B作，在上取一点E使得，若，则的长度为___________． 三、解答题 13．如图，在中，，，是的高，求的长及的面积． 14．如图，在中，，，为上一点，为上一点，于点E． (1)尺规作图：作的角平分线交于G（不写作图步骤，不下结论，保留作图痕迹）； (2)求证：． 15．如图，与相交于点，．求证：． 16．如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交延长线于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 17．如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点，，． (1)求的大小； (2)若，求的长． 18．在中，，，，垂足为，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 等腰三角形 同步讲义 （新教材北师大版） ☘ 题型归纳 题型1. 等边对等角 题型2. 三线合一 题型3. 等边三角形的性质 题型4. 根据等角对等边证明等腰三角形 题型5. 根据等角对等边证明边相等 题型6. 根据等角对等边求边长 题型7. 等腰三角形的性质和判定 题型8. 格点图中画等腰三角形 题型9. 找出图中的等腰三角形 题型10. 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型11. 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型12. 反证法证明中的假设 题型13. 用反证法证明命题 题型14. 等边三角形的判定 题型15. 等边三角形的判定和性质 题型16. 含30度角的直角三角形 题型17. 巩固测试 💧 知识梳理 【知识点一.等腰三角形】 1.定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形. 如下图所示：相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.性质：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． （1）等边对等角：两边相等 ⇒ 两底角相等。 （2）等角对等边：两角相等 ⇒ 对边相等（判定等腰）。 （3）三线合一： 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （4）对称性： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线。 3.判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.即：在一个三角形中，等角对等边. 重点提示：（1）判定定理的条件和结论不能与性质定理混淆．：判定定理的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．              【知识点二.等边三角形】 1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．也称为正三角形．(如下图) 2. 性质：边：三条边都相等； 角：三个内角都相等，且都等于 60°。 对称性：是轴对称图形，有 3 条对称轴。 3.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识点三、反证法】 1. 概念：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实 、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。 2、 用反证法证明命题的一般步骤： （1） 反设：假设命题结论不成立； （2） 归谬：从假设出发，通过演绎推理，推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果； （3） 定论：由矛盾说明假设不成立，进而得出原结论正确。 【知识点四、含30度角的直角三角形的性质】 1. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：如上图，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB 2.作用：（1）快速求边长，已知一条边，立刻求出另外两条边， （2）用来证明线段 “倍半关系” （3）用来求角度。 💦 题型解读 题型1等边对等角 例1．如图，直线，点A在直线m上，点B、C在直线n上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线，可得，由，可得即可． 【详解】解：∵直线， ∴， 又∵， ∴． 变式1．已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于______． 【答案】 80 【分析】根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形内角和为即可求解. 【详解】解： 等腰三角形的底角等于，等腰三角形的两个底角相等， 顶角的度数为. 变式2．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）先证明，推导出 ，则，即可解答； （2）先证明是等边三角形，得到，则，继而推导出，得到，可推导出是等边三角形，即可解答． 【详解】（1）证明：在中，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：是等边三角形．理由如下： ，， 是等边三角形， ， ∴在中，． 由（1）知，， ， ， ， 又由（1）知， 是等边三角形． 题型2三线合一 例2．如图，在中，，是的平分线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据题意得到并且平分，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：在中，，是的平分线， 并且平分， 在中，， ． 变式1．在中，，点D为中点，如果，，则______ 【答案】20 【分析】先推导出，，进而求出，则，即可解答． 【详解】解：在中，D为中点，，，， ，， ∴， 又， ， ． 变式2.如图，在中，于点，是上一点，连接，已知．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质及平行线的判定定理．关键是利用等腰三角形的性质找到相等的内错角，进而证明两直线平行．先根据等腰三角形“三线合一”的性质，由且推出；再由，利用“等边对等角”得到；通过等量代换得到，最后依据“内错角相等，两直线平行”证明． 【详解】证明：∵，， ∴； ∵， ∴； ∴； ∴． 题型3等边三角形的性质 例3．等边三角形的对称轴有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【分析】根据对称轴的定义，结合等边三角形三边相等、三角相等的特征即可得出结果． 【详解】解：等边三角形每个顶角的角平分线所在直线都能使对折后两部分完全重合，都是它的对称轴， ∴等边三角形一共有3条对称轴． 变式1．一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，若，则________． 【答案】 【分析】设围成的小三角形为，分别用表示出的三个内角，再利用三角形的内角和等于列式整理即可得解． 【详解】解：如图， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 变式2．如图，等边三角形的边长为8，点E是边上一动点（不与点B，C重合），以为边在的下方作等边三角形，连接，． (1)在运动的过程中，与有何数量关系？请说明理由． (2)当时，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】（1）通过已知条件，证明，即可得到； （2）当时，易证，再由（1）可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和是等边三角形， ∴，，； ∴， ∴； （2）∵，， ∴E为的中点， 又∵是等边三角形， ∴， 由（1）知，， ∴． 题型4根据等角对等边证明等腰三角形 例4．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类型． 【详解】解：第三个内角的度数为， ∵有两个内角相等， ∴这个三角形是等腰三角形． 变式1．如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则_________． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度直角三角形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由已知易得为等腰直角三角形，则有；再由含30度直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴为等腰直角三角形，且； 在中，， ∴． 故答案为：． 变式2．如图，已知点，在线段上，交于点，，，．求证： 【答案】见解析 【分析】根据题意容易证得，进而得到，结论即可得到证明． 【详解】因为， 所以． 所以． 又因为，， 所以（SAS）． 所以． 所以． 题型5根据等角对等边证明边相等 例5．如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为（    ） A．2 B．1.5 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造出等腰三角形是解题关键． 延长交于点，证明，得，，然后利用等腰三角形的判定可求出，进而得到． 【详解】解：延长交于点， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 变式1．在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求___________． 【答案】12 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴==， 故答案为：12． 变式2．如图，长方形纸片中，，，将沿折叠，使点B落在点E处，交于点F，求的长． 【答案】 【分析】根据长方形的性质得到，由折叠的性质和平行线的性质证明，得到，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 题型6根据等角对等边求边长 例6．如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】首先求出，然后利用等角对等角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式1．如图，在等边中，是的平分线，点在的延长线上，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，等角对等边． 设，由等边三角形的性质可得，，，再根据三角形外角性质可得，得到，进而列式计算即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，设， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4． 变式2．如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边， （1）借助图中隐含条件，对顶角，通过证明，即可得出； （2）利用（1）中的结论，由角平分线的定义易得，根据等角对等边，推出，再计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：由（1），得，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴．题型 题型7等腰三角形的性质和判定 例7．如图，在中，，．点D，E在上，且，，若，的长（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形判定与性质，等腰三角形判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意易求，根据，，易求，，结合外角可得是等边三角形，故，再利用即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴，，是等边三角形， ∴， ∴． 故选C． 变式1．在等腰直角中，，为直角边的中点，若，则的长为___． 【答案】2或或 【分析】分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：如图1，当时，可得，当为的中点时，；当为的中点时，； 如图2，当时，可得， ∴， ∴， 当为的中点时，； 当为的中点时，可得； 综上所述，的长为2或或． 变式2．如图，等腰直角中，，点P在外，且，连接． (1)若，求； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过C作交延长线于Q，连接，易得是等腰直角三角形，进而得到，证明，推出，利用勾股定理进行求解即可； （2）由（1）知，利用面积公式进行计算即可. 【详解】（1）解：过C作交延长线于Q，连接，如图： ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴； （2）解：由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型8格点图中画等腰三角形 例8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．4或6 【答案】C 【分析】本题考查网格中的等腰三角形，与三角形有关的计算，根据等腰三角形的定义，结合网格特点，画出，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 由图可知：的面积为或； 故选：C． 变式1．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有_____个． 【答案】5/五 【分析】本题考查了等腰三角形的定义；利用等腰三角形的定义和网格的特征找到其中一个端点为A或B且与相等且另一个端点为格点的线段即可，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形. 【详解】如图，共有5个格点符合要求， 故答案为：5． 变式2．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上． (1)在网格中建立平面直角坐标系，使点坐标为，点坐标为； (2)在第二象限的格点上找一点，使为等腰三角形，画出三角形，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）根据已知点的坐标确定原点，再建立坐标系即可； （2）根据等腰三角形的定义和点在第二象限的格点上找到点，满足，可得点坐标； 本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的定义． 【详解】（1）解：∵点坐标为，点坐标为， ∴坐标系的轴到点2个单位，到点1个单位；轴到点2个单位，到点2个单位，建立平面直角坐标系如图所示． （2）∵点在第二象限的格点上， ∴， 则点， 如图，即为所求． 题型9找出图中的等腰三角形 例9．在中，，则的长为（    ） A．4cm B．8cm C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理． 由角度比确定为等腰直角三角形，利用勾股定理计算斜边长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 故选：D． 变式1．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 变式2．如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 【答案】(1)图中有6个三角形，分别是和 (2)直角三角形有和；等腰三角形有 【分析】本题考查三角形的个数，三角形的分类，熟练掌握三角形的基本概念，分类是解题的关键： （1）写出图中三角形，即可得出结果； （2）根据等腰三角形和直角三角形的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：图中有6个三角形，分别是和； （2）∵， ∴， ∴直角三角形有和， ∵， ∴是等腰三角形． 题型10直线上与已知两点组成等腰三角形的点 例10．如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，利用分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．分别以点O、A、B为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为，，，从这三方面分别考虑点B的位置． 【详解】解：如图所示， 当时，以点为圆心，的长为半径作圆，与直线b在点两侧各有一个交点，此时B点有2个； 当时，以点A为圆心，的长为半径作圆，与直线b有一个交点，此时B点有1个； 当时，作的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个； ∴满足条件的B点总共有4个， 故选：D． 变式1.在中，，，在直线或上取点D，使得是等腰三角形，则符合条件的D点有_________个． 【答案】6 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的存在性问题，分别以、为圆心，长为半径画圆与直线或取交点，再作的垂直平分线与直线或取交点即为所求． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，以为圆心，长为半径画圆与直线交于点和，与直线交于点和，则为等边三角形， ∴以为圆心，长为半径画圆与直线交于点和，与直线交于点和， 作的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点， 综上所述，符合条件的D点有6个． 故答案为：． 变式2．如图，在中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，求的度数． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，先画出图形，分三种情形分别求解即可． 【详解】解：， ， 点D在射线上，分以下三种情况讨论：如图， ①当时，则， ； ②当时，则； ③当时，则， ， ． 综上所述，的度数为或或． 题型11求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 例11．已知一条直线l和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形．除此之外还能画出符合条件的（　　）个等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得． 【详解】解：如图， 则除此之外还能画出符合条件的点共有4个， 故选：C． 变式1．如图，在中，，，，点P在上，当点P与中的两个顶点构成等腰三角形时，的长为______． 【答案】2或5或6或 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的定义和性质等知识，分情况讨论是解题关键． 首先根据勾股定理确定的长度，然后结合等腰三角形的定义和性质，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据题意，点P与中的两个顶点构成等腰三角形，可分情况讨论， ①当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ②当为等腰三角形，且时，如下图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ④当为等腰三角形，且时，如下图，过点作于点， ∵， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 综上所述，的长为2或5或6或． 故答案为：2或5或6或． 变式2．如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 【答案】图见解析，10 【分析】根据等腰三角形的两边相等，可通过作线段的垂直平分线得出满足条件的点； 【详解】解：如图，在的边的中垂线上有，，和四个点满足条件，而这样的对称轴有三条，且三条对称轴都经过点， ， 所以满足条件的点共有个． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定（有两条边相等的三角形是等腰三角形），理解等腰三角形的三线和一性质是解答关键． 题型12反证法证明中的假设 例12．用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，找出原结论的否定即可． 【详解】解：∵ 反证法第一步需假设原结论不成立，原命题结论为， ∴ 结论的否定为，即第一步应假设． 变式1．．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．若用反证法证明“”，则应假设___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反证法的应用，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤．根据反证法的步骤：第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明“”时，应假设原命题不成立，即不小于，因此假设．故答案为． 故答案为：． 变式2．已知：在中，．用反证法证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了根据等角对等边证明边相等，反证法证明中的假设，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 假设，根据等腰三角形的性质（等角对等边）推出，与已知条件矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】证明：假设． ∵在中，， ∴（等角对等边）． 但已知，这与上述结论矛盾． ∴假设不成立，故． 题型13用反证法证明命题 例13．设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 【答案】A 【分析】当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数，此时必定不满足，据此可判断A；根据可判断B、C、D． 【详解】解：当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数， ∴是偶数， ∴此时一定不满足， ∴不可能都是奇数，故A结论正确，符合题意； ∵，满足，本例中都是偶数，是偶数， ∴可能都是偶数，故B、C、D结论都错误，不符合题意； 变式1．填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【答案】 这与三角形内角和定理矛盾 不能 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 反证法通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原命题成立．本题假设三角形有两个直角，导致内角和大于，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立． 【详解】解：假设中和都是直角， 则，，． 又， 则， 这与三角形内角和定理矛盾， 故假设不成立， 所以一个三角形中不能含有两个直角． 故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”． 故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能． 变式2．用反证法证明．如图，已知：直线a、b被直线c所截，，求证：a与b不平行． 证明：假设____________，则根据____________，可得．这与____________矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 【答案】；两直线平行，内错角相等； 【分析】利用反证法进行证明，先假设，再证明与原已知条件不符即可． 【详解】证明：假设，则根据两直线平行，内错角相等， 可得． 这与矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 题型14等边三角形的判定 例14．下列命题中，是假命题的是（   ） A．全等三角形的对应边相等 B．有两个角相等的三角形是等腰三角形 C．有一个角是的三角形是等边三角形 D．三角形的内角和为 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定，判断真假命题．根据全等三角形的性质、等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定定理、三角形内角和定理，逐项判断命题真假即可． 【详解】解：A、全等三角形的对应边相等，符合定义，为真命题，该选项不符合题意； B、有两个角相等的三角形是等腰三角形，为真命题，该选项不符合题意； C、仅一个内角为，其余两角可能不为，如和，故不一定是等边三角形，原命题为假命题，该选项符合题意； D、三角形的内角和为，为真命题，该选项不符合题意； 故选：C． 变式1．在中，，，，P是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，点B的对应点为点D，若与直线所夹的锐角为，则的长为________． 【答案】3或 【分析】本题考查了直角三角形的性质、翻折的性质、等边三角形的判定，根据题意准确画出示意图是解题的关键． 根据含30度角的直角三角形的性质可得，再分两种情况讨论：当或时，利用直角三角形和等边三角形的性质求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与直线所夹的锐角为， ∴或； 当时，如图， 由翻折的性质得，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 由翻折的性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 综上，的长为3或． 故答案为：3或． 变式2．已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，见解析 【分析】（1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵a，b，c是的三边长， ∴，，， ∴ ． ； （2）解：∵且，， ∴且， ∴且，即， ∴是等边三角形． 题型15等边三角形的判定和性质 例15．如图，在中，，，于D，点E在直线上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识．先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，，再证明是等边三角形，即可得到的度数． 【详解】解：∵，，于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A 变式1．如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点D，E．若，则的长为________． 【答案】6 【分析】设的中点为O，连接，，，根据三角形内角和定理求出的度数，利用等腰三角形的性质及平角的定义求出的度数，从而判定为等边三角形求解． 【详解】解：设的中点为O，连接，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴ ， ∵．， ∴是等边三角形， ∴． 变式2．小东和小明要测量校园里的一块四边形场地（如图所示），小东经测量得知，，，． (1)求出的长度． (2)直接写出四边形的面积_____． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，得出，，求出，再由勾股定理计算即可得出结果； （2）作于，由（1）可得为等边三角形，则，求出，再由四边形的面积计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图：作于， 由（1）可得为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积 ． 题型16含30度角的直角三角形 例16．如图，大盈江边一棵竹子在一次强风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵竹子在折断前的高度为（　　） A．4米 B．8米 C．12米 D．15米 【答案】C 【分析】给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 即这棵竹子在折断前的高度是米． 变式1．如图，梯形中，，，，若该梯形的中位线长为3，则_________． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，过点作于点，根据中位线的长得到，根据角的直角三角形得到，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ∴ 梯形的中位线长为3， ， ， ， 在梯形中，， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 变式2．如图，在中，，垂足为．求的长． 【答案】 【分析】根据含30度角性质求出，根据勾股定理求出，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ✍ 巩固测试 一、单选题 1．下列命题中，是真命题的是（   ） A．两边分别相等的两个直角三角形全等 B．等腰三角形所有的高都相等 C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D．有两个角是的三角形是等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题的判断，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定等知识点． 选项A中，两边分别相等的两个直角三角形是否全等需考虑对应边和夹角；选项B中，等腰三角形的高不一定相等，如腰上的高与底边上的高可能不等；选项C中，必须是等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高才会重合；选项D中，有两个角为的三角形，第三角必为，故为等边三角形，真命题． 【详解】解：A：两边分别相等的两个直角三角形不一定全等，例如：一个直角三角形斜边与另一个直角三角形长直角边相等，两个直角三角形的短直角边相等，这两个直角三角形不全等，故错误，是假命题 B：等腰三角形中，腰上的高与底边上的高可能不相等，只有两条腰上的高相等，故错误，是假命题 C：等腰三角形中，仅顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，底角的角平分线不与之重合，故错误，是假命题； D：三角形有两角为，则第三角为，故三个内角相等，为等边三角形，是真命题， 故选：D． 2．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 【答案】A 【分析】反证法的步骤中，假设时准确找出原命题结论的反面即可． 【详解】解：由题意得 需假设两锐角都大于． 3．边长为的等边三角形，它的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等边三角形三线合一的性质，得到高平分底边，再结合勾股定理即可计算出高的长度． 【详解】解：等边三角形边长为，高将底边平分为两段，每段长度为， 根据勾股定理可得，高． 4．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类型． 【详解】解：第三个内角的度数为， ∵有两个内角相等， ∴这个三角形是等腰三角形． 5．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 6．在中，，，的对边长分别为，，．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，关键是根据由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理解答． 根据等腰三角形的判定定理，有两边相等或两角相等的三角形是等腰三角形．分别验证各选项是否符合判定条件． 【详解】解：A、 ， ∴ 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； B、∵ ， ，没有两边相等， ∴ △ABC不是等腰三角形，不能判定是等腰三角形，符合题意； C、∵ ， ， ， ， 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； D、， ， ， 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 7．等腰三角形的腰长，底长，则底边上的高为______． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，可得底边一半的长度，再利用勾股定理即可求出底边上的高． 【详解】解：等腰三角形的腰长，底长， 根据等腰三角形三线合一的性质，可得底边的一半长：， 由勾股定理得： 底边上的高为， 故答案为：5． 8．如图，在中，，是的高，请你再添加一个条件使得，这个条件可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键．根据等腰三角形的判定与性质得到，，添加，证明为等边三角形得到，进而可得结论． 【详解】解：，是的高， 我，， 添加，可得为等边三角形， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 9．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是_______． 【答案】10 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证明，则，据此根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵在中，，的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴的周长． 10．如图，点D、E、F是等边三角形边上的点，满足．连接，写出符合题意的三个不同类型的正确结论：________． 【答案】，，是等边三角形（答案不唯一） 【分析】根据等边三角形得到，，结合已知条件可得，即可证明，那么，那么可得到是等边三角形． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 11．一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，若，则________． 【答案】 【分析】设围成的小三角形为，分别用表示出的三个内角，再利用三角形的内角和等于列式整理即可得解． 【详解】解：如图， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 12．如图，在中，，过点B作，在上取一点E使得，若，则的长度为___________． 【答案】 【分析】本题主要涉及直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．先用勾股定理求出的长度．然后通过角度关系和等腰三角形的判定与性质推出，，再根据得到．从而得出的长度，进而在中利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：， ． ，， ． ， ， ∴， ∴， ，则． ， ． ． ． ． ， ． 故答案为：． 三、解答题 13．如图，在中，，，是的高，求的长及的面积． 【答案】，的面积为48 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”求出，进而根据勾股定理即可求出，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，，是的高， ∴，， ∴在中，， ∴． 14．如图，在中，，，为上一点，为上一点，于点E． (1)尺规作图：作的角平分线交于G（不写作图步骤，不下结论，保留作图痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）证明即可得到． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：，， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ． 15．如图，与相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据证明，根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 16．如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交延长线于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线性质得到角相等，结合角平分线定义推导出，再根据等角对等边证明为等腰三角形； （2）先由角平分线定义求出，再通过平行线性质得到，接着利用等腰三角形性质求出，最后根据三角形内角和定理计算出． 【详解】（1）证明：， ，， 平分， ， ， ∴， 为等腰三角形； （2）解：∵平分，， ∵， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 17．如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点，，． (1)求的大小； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，求出的度数是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，由三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此可得答案； （2）由含30度角的直角三角形的性质可得，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：，， ． ， ， ∴． 18．在中，，，，垂足为，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，再由，即可得证； （2）根据等边三角形的性质得，，证明得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $