第2章 二元一次方程组（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材浙教版七年级下册

第2章 二元一次方程组（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．以下方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列x、y的值是二元一次方程的解的是（  ） A．2，1 B．3， C．2，4 D．，2 3．用“代入消元法”解方程组时，把①代入②，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知是关于，的二元一次方程的解，则的值是（    ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 5．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：隔墙听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤．（注：1斤两）其意思是：隔墙听到客人在分银了，不知道有多少人，也不知道有多少银子．如果每人分7两，会多出四两；如果每人分9两，则会少半斤．试问客人有几人？银有多少两？设客有人，银有两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．把方程改写成用含的式子表示的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 8．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 9．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 10．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（    ） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若是关于的二元一次方程，请写出一个符合条件的的值：______． 12．已知二元一次方程．当时，________；当时，________． 13．为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共个，若桌子腿数与凳子腿数的和为条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组是______． 14．若方程组的解为，则被遮盖的表示的数为______． 15．已知关于，的方程组与方程组同解，则________，________． 16．小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是________． 2、 解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）（1）解方程组； （2）解方程组：； 18．（8分）某面粉加工厂要加工一批小麦，台大面粉机和台小面粉机同时工作可加工小麦吨；台大面粉机和台小面粉机同时工作可加工小麦吨．求台大面粉机和台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ 19．（8分）已知，当时，；当时，． (1)求k、b的值； (2)当时，求x的值． 20．（8分）在抗战“新冠病毒”期间，一批救援物资需要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车， 已知过去两次租用这两种货车的情况如下表所示： 第一次 第二次 甲种货车辆数 1 3 乙种货车辆数 2 4 累计运货物吨数 8 19 现租用该公司2辆甲种货车及3辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？ 21．（10分）解二元一次方程组时，可把①代入②得：，求得，再把代入①得：，所以二元一次方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这样的方法解下列方程组． 22．（10分）对于关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_____(填“具有”或“不具有”)“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 23．（10分）2023年2月，我省各地市中小学生陆续正常开学，新气象、新面貌．开学之际，学生对书包的需求量增加． 市场调研： 某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进款式、大小、颜色、价格都不相同的A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款920元．已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵40元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利 问题解决： （1）每个A款书包的进价为______元，每个B款书包的进价为_______元； 信息应用： （2）利用列方程解应用题，求出信息二中B款书包的打折数． 24．（10分）冬春季节是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，且每瓶甲品牌消毒液比每瓶乙品牌消毒液的价格低15元． (1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格． (2)若我校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 二元一次方程组（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．以下方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程是二元一次方程，符合题意； B、方程中，含有未知数的项的次数不都是1，不是二元一次方程，不符合题意； C、方程中，含有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、方程不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； 故选：A． 2．下列x、y的值是二元一次方程的解的是（  ） A．2，1 B．3， C．2，4 D．，2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的概念，根据使方程左右两边相等的未知数的值是二元一次方程的解，代入验证即可. 【详解】解：A.当 ，时，，故错误； B.当 ，时， ，故错误； C. 当 ，时，，故正确； D. 当 ，时，，故错误； 故选：C. 3．用“代入消元法”解方程组时，把①代入②，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代入消元法，解题的关键是熟练掌握代入消元法．把①代入②，将②中的y替换为即可． 【详解】解： 把①代入②得，， 整理得， 故选：B． 4．已知是关于，的二元一次方程的解，则的值是（    ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，将方程的解代入原方程是解题的关键．将代入关于x，y的二元一次方程得到关于k的方程，解这个方程即可得到k的值． 【详解】解：将代入关于x，y的二元一次方程得： ． ∴． 故选：A． 5．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：隔墙听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤．（注：1斤两）其意思是：隔墙听到客人在分银了，不知道有多少人，也不知道有多少银子．如果每人分7两，会多出四两；如果每人分9两，则会少半斤．试问客人有几人？银有多少两？设客有人，银有两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组， 先根据题意，设客人有人，银有两，根据两种情形分别对应两个方程可得答案． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 6．把方程改写成用含的式子表示的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，解题的关键是将看作已知数求出即可． 【详解】解：， 解得：． 故选：A． 7．适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解． 【详解】解：通过表1发现与表2中相同， 所以方程组的解是 故选：C． 8．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程． 【详解】解：观察图3得， 解得， ． 故选：A． 9．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查换元法求方程组的解，把和作为一个整体，进而得到方程组的解为，再进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得； 故选D． 10．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，找到等量关系，列出方程组是解题的关键．设小长方形的长为米，宽为米，根据图中长方形活动场地的长与宽找到等量关系，列出方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意，得， 解得， ∴布置文化展示区域的面积是， 故选：C． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若是关于的二元一次方程，请写出一个符合条件的的值：______． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，未知数的系数不能为零，因此的系数． 【详解】解：因为方程是关于的二元一次方程， 所以的系数 ，即， 因此，可以是除以外的任意实数，例如． 故答案为：2（答案不唯一）． 12．已知二元一次方程．当时，________；当时，________． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键；将给定值代入方程，求解另一个未知数即可． 【详解】解：当时，代入方程，得：，解得：； 当时，代入方程，得：，解得：； 故答案为1；2． 13．为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共个，若桌子腿数与凳子腿数的和为条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设有张桌子，有条凳子，根据“四条腿的桌子和三条腿的凳子共个，若桌子腿数与凳子腿数的和为条”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设有张桌子，有条凳子， 根据题意可知：， 故答案为： 14．若方程组的解为，则被遮盖的表示的数为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先将方程组的解代入第二个方程求出y，从而可得方程组的解，再将方程组的解代入第一个方程计算即可得． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 故答案为：0． 15．已知关于，的方程组与方程组同解，则________，________． 【答案】 1 8 【分析】本题考查两个方程组同解求参数，先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b． 【详解】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 ，得， 解得 故答案为 1，8． 16．小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是________． 【答案】21 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握在加数后多写一个等价于该数乘以的数量关系，从而建立方程组是解题的关键． 设两个加数分别为和，根据题意列出方程组并求解，比较大小得出较小加数． 【详解】解：设原来两个加数分别为和． 根据题意，得方程组 解方程组，将第一式乘以，得， 减去第二式，得，解得． 代入第一式，得， 即，解得． ∴方程组的解为 故原来两个加数分别为和，较小的加数是． 故答案为：． 2、 解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）（1）解方程组； （2）解方程组：； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟知代入消元法与加减消元法是正确解答此题的关键． （1）用代入消元法将①代入②求得x的值，再将x的值代入①得出y的值即可； （2）由①＋②×2消去y，求得x的值，再将x的值代入①得出y的值． 【详解】解：（1）解方程组； 将①代入②得， ， ， ， 将代入①得， 是方程组的解； （2）解方程组： ①＋②×2得， ， 将代入①得，，， 是方程组的解． 18．（8分）某面粉加工厂要加工一批小麦，台大面粉机和台小面粉机同时工作可加工小麦吨；台大面粉机和台小面粉机同时工作可加工小麦吨．求台大面粉机和台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ 【答案】台大面粉机每小时加工小麦吨，台小面粉机每小时加工小麦吨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 设台大面粉机每小时加工小麦吨，台小面粉机每小时加工小麦吨，列方程组得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设台大面粉机每小时加工小麦吨，台小面粉机每小时加工小麦吨， 根据题意得， 解得， 答：台大面粉机每小时加工小麦吨，台小面粉机每小时加工小麦吨． 19．（8分）已知，当时，；当时，． (1)求k、b的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，解题关键是掌握解题方法． （1）利用将x和y的对应值代入即可求解． （2）将代入即可求解． 【详解】（1）由题意，， ∴解得； （2）∵ ∴， ∴当时，， 解得． 20．（8分）在抗战“新冠病毒”期间，一批救援物资需要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车， 已知过去两次租用这两种货车的情况如下表所示： 第一次 第二次 甲种货车辆数 1 3 乙种货车辆数 2 4 累计运货物吨数 8 19 现租用该公司2辆甲种货车及3辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？ 【答案】货主应付运费元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键． 设甲种货车每次运输吨，乙种货车每次运输吨，列二元一次方程组得到甲种货车每次运输吨，乙种货车每次运输吨，由此得到货物的吨数，由此即可求解． 【详解】解：设甲种货车每次运输吨，乙种货车每次运输吨， ∴，解得，， ∴甲种货车每次运输吨，乙种货车每次运输吨， ∵现租用该公司2辆甲种货车及3辆乙种货车一次刚好运完这批货， ∴共有（吨）货物， 如果按每吨付运费30元计算， ∴（元）， ∴货主应付运费元． 21．（10分）解二元一次方程组时，可把①代入②得：，求得，再把代入①得：，所以二元一次方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这样的方法解下列方程组． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（整体代入法），解题的关键是识别方程组中可整体代入的部分，将其代入另一方程简化计算． 观察方程组，把看作整体，代入第二个方程求出，再将代入第一个方程求． 【详解】解：方程组为 将①代入②得：， ，， 解得， 把代入①得：， ，， 解得． 所以方程组的解为． 22．（10分）对于关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_____(填“具有”或“不具有”)“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 【答案】(1)具有； (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及新定义“友好关系”的应用，关键是理解“友好关系”的本质为，通过解方程组或结合该关系式求解未知量． （1）先求解给定的二元一次方程组，得到、的具体值后，验证是否等于1，即可判断是否具有“友好关系”； （2）将代入方程组，先求出、的值，再代入含的方程计算即可． 【详解】（1）解：解方程组，得， ，满足“友好关系”的定义， 故答案为：具有； （2）解：方程组的解与具有“友好关系”， ， 联立，解得， 将代入方程， 得，解得． 23．（10分）2023年2月，我省各地市中小学生陆续正常开学，新气象、新面貌．开学之际，学生对书包的需求量增加． 市场调研： 某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进款式、大小、颜色、价格都不相同的A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款920元．已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵40元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利 问题解决： （1）每个A款书包的进价为______元，每个B款书包的进价为_______元； 信息应用： （2）利用列方程解应用题，求出信息二中B款书包的打折数． 【答案】（1）60；100；（2）九折 【分析】本题考查列方程解应用题，需要设未知数，并找到等量关系列出方程并解出方程． （1）通过设A、B款书包进价为未知数，根据题意列二元一次方程组即可求解； （2）设打折出售，根据利润列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：（1）设每个款书包的进价为元，每个款书包的进价为元， 由题意，得， 解得， 故答案为：60；100； （2）设款书包实际销售时打折出售， 由题意得：， 解得， 故款书包打九折． 24．（10分）冬春季节是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，且每瓶甲品牌消毒液比每瓶乙品牌消毒液的价格低15元． (1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格． (2)若我校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案． 【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元 (2)方案一：购买10瓶甲消毒液，瓶乙消毒液；方案二：购买5瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程和方程组是解题的关键． （1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，且每瓶甲品牌消毒液比每瓶乙品牌消毒液的价格低15元列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶，根据甲，乙两种品牌消毒液总共列出方程，求出方程的所有整数解，即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元， 由题意可得， ， 解得， 答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）解：设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶，则由题意可得， ， 整理得，， 当时，， 当时，， ∴方案一：购买10瓶甲消毒液，瓶乙消毒液； 方案二：购买5瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $