第2章 二元一次方程组（知识清单）数学新教材浙教版七年级下册

第2章 二元一次方程组 1. 二元一次方程的定义：方程中含有 未知数（一般用x和y），并且未知数的次数都是 ，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3.二元一次方程的每一个解，都是 数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个 . 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解. 5.一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组 ，而方程组的解有 . 6.解二元一次方程组的思想 7.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即变成（或）的形式； ②将（或） 另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y（或x），得到一个关于x（或y）的 ； ③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值； ④把x（或y）的值代入（或）中，求y（或x）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 8.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式 ”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值 的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程 ，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 9.当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用 消元法较简单. 10.实际问题与二元一次方程组 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 11.三元一次方程组：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有 相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 ，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做 . 等都是三元一次方程组. 12.三元一次方程组的解法：解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 1.二元一次方程的概念 易错点：要明确“二元”、“未知数次数为1”、“整式”三要素。 例1 （25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2.求二元一次方程的正整数解 易错点：解决此类问题的一般过程是先用一个字母表示另一个字母，然后讨论被表示的字母为整数时，第一个字母所有可能的情况。同时，求正整数解常用在应用题中。 例2 （25-26八年级上·四川成都·月考）二元一次方程的非负整数解有__________个． 例3 （25-26八年级上·陕西西安·月考）某商场用2750元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示： 类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ (3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完，那么学校有哪几种购买方案？ 3.二元一次方程组的概念 易错点：多个方程要同时满足是二元一次方程组。 例4 在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.由二元一次方程组的解求字母参数 易错点：已知二元一次方程组的解，就将这组解代入原方程组，求解方程组中的字母参数即可。 例5 （2026七年级下·福建泉州·专题）若是关于x，y的方程组的解，则的值为（　 　） A．6 B．8 C．10 D．12 5.代入消元法求二元一次方程组的一般步骤 易错点：代入消元法求解二元一次方程组时，需要注意在代入时是整体代入，不要漏掉原来这个未知数的系数和符号。 例6 用代入法解方程组： (1) (2) (3) (4) 6.加减消元法求二元一次方程组的一般步骤 易错点：加减消元法要明确消元对象及消元方式： （1）当同一未知数前系数相等或成正倍数时，（其中一个式子两边同乘以倍数使得该元系数相同后）两式左边右边分别相减，得到消元后的一元一次方程。 （2）当同一未知数前系数互为相反数或成负倍数时，（其中一个式子两边同乘以倍数使得该元系数互为相反数后）两式左边右边分别相加，得到消元后的一元一次方程。 例7 （25-26八年级上·河北保定·期末）解二元一次方程组 (1) (2) 7.公共解问题 易错点：若题干已知标明二元一次方程组的解也是其他二元一次方程或方程组的解时，则： （1）已知或所求得的这组解代入任意一个二元一次方程单式，等式成立。以此求出每个式子中的字母参数即可； （2）在所有二元一次方程单式中，选择没有字母参数的其中两个式子组成方程组，求方程组的解。这组解也是其他二元一次方程单式的解。 例8 （25-26八年级上·四川达州·期末）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 8.看错问题 易错点：看错问题，只要先根据错解的结果反推出（错误的）原式，确定没看错的字母参数，再用没看错的系数组成对的原式，即可再求结果。 例9 甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的m，解得，乙解题时看错了②中的n，解得，试求原方程组的解． 9.整体法求二元一次方程组的解 易错点：若二元一次方程明显存在可以看做整体的代数式，可以考虑用整体法，比如以下两种常见的形式： （1）两个未知数组成两个代数式形式存在的，可以将其分别看作新的两个未知数。如中可以将（2x-y）看作整体，即（2x-y）和x为两个未知数，求出这两个式子的解后再求出x和y。类似还有中的（x+y）和（x-y）； （2）已知一个二元一次方程组的解，求同类型的方程组的解时，可运用整体法将后者方程组中出现的代数式看作整体，将前面的方程组的解直接代入后者代数式即可。如已知方程组的解为，那么在求方程组的解中，将2x和（y-1）看作整体，对应前者方程组的解，可知. 例10 （25-26八年级上·河南郑州·期末）如果方程组的解，则方程组的解为______． 例11 （25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】（1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】（2）利用上述方法解方程组 10.根据解满足的条件求方程中的字母参数 易错点：若已知方程组的解满足方程或不等式，有两种方法： （1）如果已知方程组的解满足方程的，比如已知x和y互为相反数，则可将x+y=0与没有字母参数的另一个方程组成的二元一次方程组，求解这个方程组，再代入有字母参数的方程中。 （2）如果已知方程组的解满足不等式，或字母参数存在每个单式中，可以先将字母参数看作实数正常计算方程组，用字母参数表示出两个未知数的解，然后再根据两个未知数要满足的条件来列式，求出这个字母参数即可。 例12 （25-26八年级上·河南郑州·月考）已知是关于、的二元一次方程组． (1)①当时，该方程组的解为_____； ②该方程组的解为_______（用含的式子表示）． (2)若方程组的解也满足方程，求的值． 11.实际应用中的住房、坐车、坐船等相关的问题 易错点：分配问题要注意两个不变：总（人）数不变，分配用具（车、船、房间等）数量不变。一般我们也将这两个量直接设未知数x和y，然后根据题意列出两个式子，求解问题。 比如在“一个旅行团住宿舍，每间住4人，正好缺两个房间；每间住6人，有一个房间只住了2人”这个题干中，可以设旅行团有x人，房间准备了y间。根据“每间住4人，正好缺两个房间”可列式：x=4（y+2）；根据“每间住6人，有一个房间只住了2人”可列式：x=6（y-1）+2.然后联立方程组求解x和y即可。同时注意理解本案例中： ①“y+2”表示要多两个房间，才能都住上，所以是y+2个房间； ②“y-1”表示除了最后一间外，先全部住满； 例13 （2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 12.实际应用中的分配问题问题 易错点：分配问题是常见的方式为两种，具体如下： （1）将材料按一定比例分配制作两种配件，使得两种配件的数量正好可以按要求制作成成品。 （2）将人分为两部分生产不同的两种配件，使得两种配件的数量正好可以按要求制作成成品。 以上两种情况都要注意列等式时应按照如下方式。若m个A配件与n个B配件组合成成品，那么生产的配件应满足：m×B配件总数=n×A配件总数。 例14 （25-26八年级上·全国·随堂练习）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 13.实际应用中的销售问题 易错点：经营问题最常见的是购买不同的多件物品的总价不同，求每件物品单价的问题。需要注意在销售问题中，还需要注意考虑：①打折；②买赠；③满减；④不同方案。 例15 （25-26七年级上·安徽合肥·期末）从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 (1)打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ (2)某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 14.实际应用中的几何图形问题 易错点：几何问题一般与边长、周长问题相关，列等式时最重要的是边长（或对边）对齐，用具体案例表示如下： 案例 图示 题设 结论 案例1 八个相同小长方形放入大长方形中，部分长度如图所示，设小长方形宽x，长y。 从大长方形的宽来看，可以用x+y表示，也可以用3x+4表示所以有x+y=3x+4；同理从长来看，可知y+4x=16. 案例2 两个相同的长方形不同方式放在桌子上和桌子下。长方形宽a cm，长b cm。 从第一个图可知：h+b－a=80，由第二个图可知：h+a－b=60.这两个式子虽然不能求出三个未知数，但可以将a－b看作整体，求出h的值。 例16 （25-26八年级上·内蒙古包头·期末）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形． (1)每个小长方形的长和宽分别是多少？ (2)图（）正方形的边长是多少？ 15.实际应用中的行程问题 易错点：我们常见的相遇追及问题，顺水逆水行舟问题，上下坡问题等，都可以用二元一次方程组解决，原因是行程问题会有多个不同速度的物体或人运动，或者运动时有不同的速度。要注意，核心还是用路程=时间×速度来列等式，同时学会画线图分析运动中路程关系。其他还有的衍生公式，如： （1） （2）相遇问题：路程（开始距离）=（甲速度+乙速度）×时间；追及问题：路程（开始距离）=（甲速度－乙速度）×时间。以上均建立在甲乙双方同时运动。 （3）流水行船：顺水速度=船速度+水速度，逆水速度=船速度－水速度 （4）火车过桥/隧道：，过桥/隧道表示从火车头进入开始，从火车尾离开结束。 例17 （2025七年级上·上海·专题练习）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要________ 例18 （25-26八年级上·全国·课后作业）为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300米，若两车上坡、下坡的速度分别相同． (1)求坡道的长度； (2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？ 16.解三元一次方程组 易错点：解三元一次方程组看起来很麻烦，实际上与解二元一次方程组的步骤基本一致。只要进行两次消元即可。具体步骤如下：（以为例） （1）通过①②③式两两组合，消去同一“元”。比如我们消去z，可以通过①+3×②和①+③得到两个关于x和y的二元一次方程。 （2）联立得到的二元一次方程组并求解。我们由①+3×②得到：④，通过①+③得到⑤；联立④和⑤得到关于x和y的二元一次方程组，解得：. （3）将二元一次方程组求得的解代入原式任意一个方程中，求出第三个未知数。比如这里将代入①即可求出z=-1. 例19 （24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 1．（21-22七年级下·吉林长春·月考）下列方程中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（16-17七年级下·甘肃平凉·期中）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）某市居民每月缴纳的自来水费包括两个项目：每月使用的净水费和同体积水的污水处理费，其中污水处理费的单价（元/立方米）是净水费的．小明家上个月用了自来水25立方米，共缴纳60元，求净水费和污水处理费每立方米各多少元．小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）方程组的解，的值互为相反数，则的值为（        ） A．0 B．2 C．4 D．6 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（21-22七年级下·吉林长春·月考）利用两块长方体测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度为（    ） A． B． C． D． 7．（2026七年级下·广东广州·专题练习）将方程变形为用含y的式子表示x，那么_______． 8．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知是方程组的解，则的值是___________． 9．（21-22七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知方程组和方程组的解相同，则的值是_____． 10．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（1托为5尺）．意思是，一支竿子和一根绳子，绳子比竿子长5尺，绳子对折后比竿子短5尺．问，竿子长______尺． 11．（25-26八年级上·山东青岛·期末）小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息，你认为图④中纸杯有_____个． 12．（21-22七年级下·吉林长春·期中）对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 13．（25-26八年级上·广东梅州·期末）解方程组 (1) (2)． 14．（25-26七年级上·安徽六安·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计60万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司购进这两种型号汽车共20辆，销售1辆A型汽车可获利7000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，公司将这两种型号的汽车全部卖完后，获得利润为11万元，求公司购进A、B两种型号汽车各多少辆？ 15．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 16．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 二元一次方程组 1. 二元一次方程的定义：方程中含有 两个 未知数（一般用x和y），并且未知数的次数都是 1 ，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3.二元一次方程的每一个解，都是 一对 数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个 二元一次方程组 . 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的 公共解 ，叫做二元一次方程组的解. 5.一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组 无解 ，而方程组的解有 无数个 . 6.解二元一次方程组的思想 7.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即变成（或）的形式； ②将（或） 代入 另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y（或x），得到一个关于x（或y）的 一元一次方程 ； ③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值； ④把x（或y）的值代入（或）中，求y（或x）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 8.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式 仍然成立 ”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值 相等 的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程 相加（或相减） ，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 9.当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用 加减 消元法较简单. 10.实际问题与二元一次方程组 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 11.三元一次方程组：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有 三个 相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1 ，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做 三元一次方程组 . 等都是三元一次方程组. 12.三元一次方程组的解法：解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 1.二元一次方程的概念 易错点：要明确“二元”、“未知数次数为1”、“整式”三要素。 例1 （25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个不同的未知数；②每个含有未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(分母不含未知数)． 【详解】解：A：方程中，含未知数的项是，其次数为2，不满足“含未知数的项的次数都是1”的条件，不是二元一次方程； B：方程含有两个未知数和，含未知数的项、的次数均为1，且方程是整式方程，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； C：方程中，含未知数的项是，其次数为，不满足次数为1的条件，不是二元一次方程； D：方程的分母中含有未知数，属于分式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程． 2.求二元一次方程的正整数解 易错点：解决此类问题的一般过程是先用一个字母表示另一个字母，然后讨论被表示的字母为整数时，第一个字母所有可能的情况。同时，求正整数解常用在应用题中。 例2 （25-26八年级上·四川成都·月考）二元一次方程的非负整数解有__________个． 【答案】 【分析】本题考查了求二元一次方程的特殊解，准确的计算是解决本题的关键． 将方程化为，根据非负整数条件确定x的取值范围，再求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵方程的解为非负整数， ∴，，即， 解得． ∵x为非负整数， ∴，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有4组非负整数解． 故答案为：4． 例3 （25-26八年级上·陕西西安·月考）某商场用2750元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示： 类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ (3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完，那么学校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A型台灯20盏，B型台灯30盏 (2)730元 (3)有两种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏，B型台灯16盏 【分析】此题考查了一元一次方程及二元一次方程的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系． （1）根据题意可得等量关系：、两种新型节能台灯共50盏，种新型节能台灯的台数种新型节能台灯的台数元；设型台灯购进盏，型台灯购进盏，列方程即可求得； （2）根据题意列出代数式进行解答即可． （3）设购进型台灯盏，购进型台灯盏．则，化简得，再求解即可． 【详解】（1）解：设购进型台灯盏，则购进型台灯盏． 根据题意，得， ， （盏， 答：购进型台灯20盏，购进型台灯30盏． （2）解：这批台灯全部售出后，商场共获利（元， 答：这批台灯全部售出后，商场共获利730元． （3）解：设购进型台灯盏，购进型台灯盏． 则， 化简得． 因为均为正整数，所以必须是8的倍数． 当时，； 当时，； 当时，（不符合两种型号均购买，舍去）． 所以学校有2种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏B型台灯16盏． 3.二元一次方程组的概念 易错点：多个方程要同时满足是二元一次方程组。 例4 在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组； 方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有2个． 故选：B． 4.由二元一次方程组的解求字母参数 易错点：已知二元一次方程组的解，就将这组解代入原方程组，求解方程组中的字母参数即可。 例5 （2026七年级下·福建泉州·专题）若是关于x，y的方程组的解，则的值为（　 　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 5.代入消元法求二元一次方程组的一般步骤 易错点：代入消元法求解二元一次方程组时，需要注意在代入时是整体代入，不要漏掉原来这个未知数的系数和符号。 例6 用代入法解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组、一元一次方程的解法，熟练掌握代入消元法的步骤（变形、代入、求解、回代、写解）是解题的关键． （1）直接将方程组中已用含的式子表示的代入另一个方程，消去求出，再回代求出． （2）先将方程组中其中一个方程变形，用含的式子表示，再代入另一个方程消元，依次求出和的值． （3）先将方程组中系数较简单的方程变形，用含的式子表示，代入另一个方程消去求出，再回代求出． （4）先将方程组中的方程变形，用含的式子表示，代入另一个方程消元求解，再回代得到另一个未知数的值． 【详解】（1）解：把①代入②，得， 解得． 把代入①，得． 所以方程组的解为 （2）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 （3）解：由②，得③， 把③代入①，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 （4）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 6.加减消元法求二元一次方程组的一般步骤 易错点：加减消元法要明确消元对象及消元方式： （1）当同一未知数前系数相等或成正倍数时，（其中一个式子两边同乘以倍数使得该元系数相同后）两式左边右边分别相减，得到消元后的一元一次方程。 （2）当同一未知数前系数互为相反数或成负倍数时，（其中一个式子两边同乘以倍数使得该元系数互为相反数后）两式左边右边分别相加，得到消元后的一元一次方程。 例7 （25-26八年级上·河北保定·期末）解二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）直接运用加减消元法求解即可； （2）直接运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：． 将代入②，得， 解得：． 所以原方程组的解为． （2）解： 得：③， 得：， 解得：， 将代入①，得， 解得：． 所以原方程组的解为． 7.公共解问题 易错点：若题干已知标明二元一次方程组的解也是其他二元一次方程或方程组的解时，则： （1）已知或所求得的这组解代入任意一个二元一次方程单式，等式成立。以此求出每个式子中的字母参数即可； （2）在所有二元一次方程单式中，选择没有字母参数的其中两个式子组成方程组，求方程组的解。这组解也是其他二元一次方程单式的解。 例8 （25-26八年级上·四川达州·期末）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，有理数的乘方运算，已知式子的值，求代数式的值． 将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，代入代数式中求解即可． 【详解】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得， 得，， ∴， ∴， 故答案为：． 8.看错问题 易错点：看错问题，只要先根据错解的结果反推出（错误的）原式，确定没看错的字母参数，再用没看错的系数组成对的原式，即可再求结果。 例9 甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的m，解得，乙解题时看错了②中的n，解得，试求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的错解问题，甲乙都看错了一个方程，但是所得的解还是另一个正确方程的解，据此代入求出，，最后再利用加减法解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵甲解题时看错了①中的m，解得， ∴把代入得，， 解得； ∵乙解题时看错了②中的n，解得， ∴把代入得， 解得， ∴原方程组为， 得，， 解得， 把代入，解得， ∴原方程组的解． 9.整体法求二元一次方程组的解 易错点：若二元一次方程明显存在可以看做整体的代数式，可以考虑用整体法，比如以下两种常见的形式： （1）两个未知数组成两个代数式形式存在的，可以将其分别看作新的两个未知数。如中可以将（2x-y）看作整体，即（2x-y）和x为两个未知数，求出这两个式子的解后再求出x和y。类似还有中的（x+y）和（x-y）； （2）已知一个二元一次方程组的解，求同类型的方程组的解时，可运用整体法将后者方程组中出现的代数式看作整体，将前面的方程组的解直接代入后者代数式即可。如已知方程组的解为，那么在求方程组的解中，将2x和（y-1）看作整体，对应前者方程组的解，可知. 例10 （25-26八年级上·河南郑州·期末）如果方程组的解，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查换元法求方程组的解，根据题意，易得方程组的解为，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解 ∴方程组得解为，解得 故答案为：． 例11 （25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】（1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】（2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【详解】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 10.根据解满足的条件求方程中的字母参数 易错点：若已知方程组的解满足方程或不等式，有两种方法： （1）如果已知方程组的解满足方程的，比如已知x和y互为相反数，则可将x+y=0与没有字母参数的另一个方程组成的二元一次方程组，求解这个方程组，再代入有字母参数的方程中。 （2）如果已知方程组的解满足不等式，或字母参数存在每个单式中，可以先将字母参数看作实数正常计算方程组，用字母参数表示出两个未知数的解，然后再根据两个未知数要满足的条件来列式，求出这个字母参数即可。 例12 （25-26八年级上·河南郑州·月考）已知是关于、的二元一次方程组． (1)①当时，该方程组的解为_____； ②该方程组的解为_______（用含的式子表示）． (2)若方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)① ② (2)的值为． 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数． （1）①当时，该方程组为，再利用加减消元法解二元一次方程组即可；②利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）由题意可得，即可得的值． 【详解】（1）解：①当时，该方程组为， 由可得：， 解得， 将代入②可得， 解得， ∴当时，该方程组的解为； ②， 由可得：， 解得， 将代入②可得， ∴， ∴原方程组的解为； （2）解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得． 11.实际应用中的住房、坐车、坐船等相关的问题 易错点：分配问题要注意两个不变：总（人）数不变，分配用具（车、船、房间等）数量不变。一般我们也将这两个量直接设未知数x和y，然后根据题意列出两个式子，求解问题。 比如在“一个旅行团住宿舍，每间住4人，正好缺两个房间；每间住6人，有一个房间只住了2人”这个题干中，可以设旅行团有x人，房间准备了y间。根据“每间住4人，正好缺两个房间”可列式：x=4（y+2）；根据“每间住6人，有一个房间只住了2人”可列式：x=6（y-1）+2.然后联立方程组求解x和y即可。同时注意理解本案例中： ①“y+2”表示要多两个房间，才能都住上，所以是y+2个房间； ②“y-1”表示除了最后一间外，先全部住满； 例13 （2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】(1)3辆；116人 (2)36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆 【分析】该题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是理解题意． （1）设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人，根据“若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，根据调配的车辆既保证每人有座，又保证每车不空座，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人， 根据题意得：， 解得：． 答：计划调配36座新能源客车3辆，这支研学队伍的人数为116人； （2）解：设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴． 答：需调配36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆． 12.实际应用中的分配问题问题 易错点：分配问题是常见的方式为两种，具体如下： （1）将材料按一定比例分配制作两种配件，使得两种配件的数量正好可以按要求制作成成品。 （2）将人分为两部分生产不同的两种配件，使得两种配件的数量正好可以按要求制作成成品。 以上两种情况都要注意列等式时应按照如下方式。若m个A配件与n个B配件组合成成品，那么生产的配件应满足：m×B配件总数=n×A配件总数。 例14 （25-26八年级上·全国·随堂练习）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】(1)能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒 (2)分配60名工人生产长方形纸板，18名工人生产正方形纸板 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出题目蕴含的等量关系，列出方程或方程组解决问题． （1）设能做成的型盒有个，型盒子有个，根据长方形纸板340张，正方形纸板160张，可得出方程组； （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由一个竖式纸盒与一个横式纸盒需要正方形纸板3个，长方形纸板7个，也就是正方形纸板的数量是长方形纸板数量的，由此列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设能做成个竖式纸盒，个横式纸盒， 根据题意，得， 解得， 答：能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒． （2）解：设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由题意得， ， 解得， ， 答：分配60个工人生产长方形纸板，则18个工人生产正方形纸板． 13.实际应用中的销售问题 易错点：经营问题最常见的是购买不同的多件物品的总价不同，求每件物品单价的问题。需要注意在销售问题中，还需要注意考虑：①打折；②买赠；③满减；④不同方案。 例15 （25-26七年级上·安徽合肥·期末）从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 (1)打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ (2)某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 【答案】(1)打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； (2)打折后购买比不打折节省3700元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元，根据题意得：，求解即可得出答案； （2）分别算出每种商品节省的钱，再相加得到总节省金额． 【详解】（1）解：设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元， 根据题意得：， 解得 答：打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； （2）解：跳绳每根节省：元，100 根共省：元 手球每个节省：元，40 个共省： 元 总计节省： 元 答：共节省 3700 元． 14.实际应用中的几何图形问题 易错点：几何问题一般与边长、周长问题相关，列等式时最重要的是边长（或对边）对齐，用具体案例表示如下： 案例 图示 题设 结论 案例1 八个相同小长方形放入大长方形中，部分长度如图所示，设小长方形宽x，长y。 从大长方形的宽来看，可以用x+y表示，也可以用3x+4表示所以有x+y=3x+4；同理从长来看，可知y+4x=16. 案例2 两个相同的长方形不同方式放在桌子上和桌子下。长方形宽a cm，长b cm。 从第一个图可知：h+b－a=80，由第二个图可知：h+a－b=60.这两个式子虽然不能求出三个未知数，但可以将a－b看作整体，求出h的值。 例16 （25-26八年级上·内蒙古包头·期末）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形． (1)每个小长方形的长和宽分别是多少？ (2)图（）正方形的边长是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（）设每个长方形的长为，宽为，根据题意列出方程组解答即可求解； （）根据（）解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，代数式求值，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得， 答：每个小长方形的长为，宽为； （2）解：∵， ∴图（）正方形的边长为． 15.实际应用中的行程问题 易错点：我们常见的相遇追及问题，顺水逆水行舟问题，上下坡问题等，都可以用二元一次方程组解决，原因是行程问题会有多个不同速度的物体或人运动，或者运动时有不同的速度。要注意，核心还是用路程=时间×速度来列等式，同时学会画线图分析运动中路程关系。其他还有的衍生公式，如： （1） （2）相遇问题：路程（开始距离）=（甲速度+乙速度）×时间；追及问题：路程（开始距离）=（甲速度－乙速度）×时间。以上均建立在甲乙双方同时运动。 （3）流水行船：顺水速度=船速度+水速度，逆水速度=船速度－水速度 （4）火车过桥/隧道：，过桥/隧道表示从火车头进入开始，从火车尾离开结束。 例17 （2025七年级上·上海·专题练习）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要________ 【答案】或10 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据相遇问题中的路程关系列方程．当同时出发后相距时，需分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距．分别与第一个条件联立解方程组，求出甲的速度，再计算甲由A地到B地所需时间． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据第一个条件：甲比乙早出发，乙出发后相遇，得方程： （1） 根据第二个条件：同时出发后相距，分两种情况： 情况一：相遇前相距，得方程： ，即（2） 联立（1）和（2）： ， 解得：，， 甲由A地到B地需要时间：， 情况二：相遇后相距，得方程： ，即（3） 联立（1）和（3）： ， 解得：， 甲由A地到B地需要时间：． 故答案为：或10． 例18 （25-26八年级上·全国·课后作业）为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300米，若两车上坡、下坡的速度分别相同． (1)求坡道的长度； (2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？ 【答案】(1)坡道的长度为1800米 (2)经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用——上下坡问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系列方程，是解题的关键． （1）设上坡时的速度为米／分钟，坡道长度为米，则下坡时的速度为米／分钟．根据从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，列二元一次方程组解答； （2）利用第（1）问求出的速度，设经过分钟后两车相距300米，分①相遇之前，②相遇之后，列方程解答. 【详解】（1）解：设上坡时的速度为米／分钟，坡道长度为米，则下坡时的速度为米／分钟． 根据题意，得解得 答：坡道的长度为1800米． （2）解：由（1）可知甲、乙两车上坡的速度为600米／分钟，下坡的速度为（米／分钟）． 设经过t分钟后两车相距300米， ①相遇之前：，解得； ②相遇之后：，解得． 答：经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米． 16.解三元一次方程组 易错点：解三元一次方程组看起来很麻烦，实际上与解二元一次方程组的步骤基本一致。只要进行两次消元即可。具体步骤如下：（以为例） （1）通过①②③式两两组合，消去同一“元”。比如我们消去z，可以通过①+3×②和①+③得到两个关于x和y的二元一次方程。 （2）联立得到的二元一次方程组并求解。我们由①+3×②得到：④，通过①+③得到⑤；联立④和⑤得到关于x和y的二元一次方程组，解得：. （3）将二元一次方程组求得的解代入原式任意一个方程中，求出第三个未知数。比如这里将代入①即可求出z=-1. 例19 （24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【详解】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 1．（21-22七年级下·吉林长春·月考）下列方程中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需满足三个条件：含有两个未知数，所含未知数的项的最高次数为1，且是整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，项的次数是2，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意； B、，同时满足三个条件，是二元一次方程，符合题意； C、，只含有一个未知数，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意； D、，不是整式，不属于整式方程，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意． 2．（16-17七年级下·甘肃平凉·期中）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由方程组的解为，得，然后解方程组即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， 解得：， ∴被“”“”遮住的两个数分别是，． 3．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）某市居民每月缴纳的自来水费包括两个项目：每月使用的净水费和同体积水的污水处理费，其中污水处理费的单价（元/立方米）是净水费的．小明家上个月用了自来水25立方米，共缴纳60元，求净水费和污水处理费每立方米各多少元．小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知方程确定未知数x、y的含义，再根据总水费等于总净水费加总污水处理费，即可列出正确的方程． 【详解】解：∵污水处理费的单价（元/立方米）是净水费的， ∴净水费的单价是污水处理费的单价的5倍， ∵一个方程为， ∴x元表示净水费的单价，y元表示污水处理费的单价， ∴另一个方程为． 4．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）方程组的解，的值互为相反数，则的值为（        ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了已知方程组的解求参数．利用相反数的定义设，代入原方程组得到关于和的方程，解方程组即可求出的值 【详解】解：与互为相反数， 代入方程组： 由，得 ， ① 由，得 ， ② 由②得， 代入①： 解得： ， 故选：B． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程组的简便求解，核心是运用整体思想，无需单独求解、、的具体值，通过将三个方程左右两边分别相加，可快速得到的值． 【详解】解：已知三元一次方程组， 将三个方程左右两边分别相加，得：， 即， 两边同时除以2，得：； 故选：C． 6．（21-22七年级下·吉林长春·月考）利用两块长方体测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设桌子的高度为，长方体木块的长为，宽为，根据图①和图②分别列出方程，联立求解即可得出桌子的高度． 【详解】解：设桌子的高度为，长方体木块的长为，宽为， 由图①②可得：， 整理得， 解得， 即桌子的高度为， 故选：C． 7．（2026七年级下·广东广州·专题练习）将方程变形为用含y的式子表示x，那么_______． 【答案】 【分析】将含的项留在等式左侧，其余项移到等式右侧，再将的系数化为即可得到结果． 【详解】解：∵. ∴. ∴． 8．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知是方程组的解，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把代入，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（21-22七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知方程组和方程组的解相同，则的值是_____． 【答案】 【分析】联立两方程组中不含与的方程形成新的方程组，求解新方程组得到与的值，代入剩下的方程求出与的值，最后代入求解即可． 【详解】解：联立得：， ①②得：，即， 把代入①得：， 将代入得， 将代入得， 联立得， 解得：，， 则． 10．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（1托为5尺）．意思是，一支竿子和一根绳子，绳子比竿子长5尺，绳子对折后比竿子短5尺．问，竿子长______尺． 【答案】15 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设竿子长为尺，绳子长为尺，根据绳子比竿子长 5 尺和对折后比竿子短 5 尺的条件列出方程组，并求解． 【详解】解：设竿子长为尺，绳子长为尺． 由题意，得， 解得， 则竿子长为 15 尺． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·山东青岛·期末）小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息，你认为图④中纸杯有_____个． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意列出方程组即可求解，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯（除去增高部分）的高度为， 由题意得：， 解得：， ∴设个纸杯叠放在一起的高度为， 则， 解得：， 故答案为：． 12．（21-22七年级下·吉林长春·期中）对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，列出关于常数、的二元一次方程组，解方程组得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简已知条件得， 解得， 则． 13．（25-26八年级上·广东梅州·期末）解方程组 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）直接运用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，再运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：，         将代入得， 解得：， ∴． （2）解：， 整理得：，         得：， 解得：，         把代入得， 解得：， 原方程组的解为． 14．（25-26七年级上·安徽六安·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计60万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司购进这两种型号汽车共20辆，销售1辆A型汽车可获利7000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，公司将这两种型号的汽车全部卖完后，获得利润为11万元，求公司购进A、B两种型号汽车各多少辆？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元． (2)购进A型汽车5辆，B型汽车15辆． 【分析】（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计60万元”列出二元一次方程组求解； （2）设公司购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据获得利润为11万元列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元． 根据题意，得， 解得， 答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元； （2）解：设公司购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意，得， 解得， ∴； 答：购进A型汽车5辆，B型汽车15辆． 15．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 16．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)使加工出的A，B板块恰好用完，能做个礼盒 (3)9 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量进行计算即可； （2）设未知数，列方程组求解即可； （3）利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 板块 （2）解：由题意可得， ， 解得：， 即有8块采用甲方式进行加工，6块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完， 此时，礼盒的个数为（个）； （3）解：由题意得，， 解得， ∵x、a都是正整数， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，是整数，符合题意， ∵x、a都是正整数， ∴a的最小整数值为9，此时，A、B分别有32块和16块，这样使礼盒制作完毕后的板块恰好用完． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $