限时预测05（A+B+C三组解答题）（大题专练）（全国一卷通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

限时预测05（A组+B组+C组） （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在中，角对应边分别是.已知成等差数列，且. (1)求的值； (2)若的外接圆半径为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由成等差数列知，又得，...................................4 于是，设，则， 所以；.............................................................................6 （2）由（1）知，...................................8 由得，所以，...................................10 所以的面积. ...............................................13 16．（15分）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由平面平面，，得平面，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设， 则， ...................................3 故，，...................................5 共面....................................7 （2）设，故， 设平面的法向量为， 由， 得，取，可得； ，...................................10 设平面的法向量为， 由， 得，取，所以， ，...................................13 设平面与平面夹角为 , 即平面与平面夹角的余弦值................................................15 17．（15分）．某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以立项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第三位专家进行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项．设该项目能通过每位初审专家评审的概率均为，能通过复审专家评审的概率为，各专家评审能否通过相互独立． (1)求该项目予以立项的概率； (2)记评审通过该项目的专家人数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2) 0 1 2 【详解】（1）该项目予以立项的事件是两位初审专家都评审通过该项目的事件与 两位初审专家恰有一位评审通过该项目且复审专家评审通过该项目的事件和， 两位初审专家都评审通过该项目的概率，..................................3 两位初审专家恰有一位评审通过该项目且复审专家评审通过该项目的概率，...................................5 所以该项目予以立项的概率．...................................7 （2）依题意，的取值可能为， 且，，由（1）知，...................................10 所以的分布列为 0 1 2 ...................................13 数学期望................................................15 18．（17分）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 【详解】（1）已知，其定义域为.求导​. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增....................................2 当时，令，即，因为，所以，解得. 当​时，，则，所以在上单调递增； 当​时，，则，所以在上单调递减....................................5 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为....................................7 （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于,...................................9 所以根据零点存在定理， 则需满足，...................................11 ，解得....................................13 ，化简得，解得. 又因可得....................................15 综上，的取值范围是................................................17 19．（17分）已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为． (1)求C的方程； (2)若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； (3)若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得：，即， 由离心率，所以....................................2 故椭圆方程为：....................................4 （2）倾斜角为，可得斜率. 设直线方程为：，与椭圆联立： 代入得：，...................................6 满足，即. 则，. 设，， 则中点横坐标： ，纵坐标：. 消去参数得：，...................................8 所以中点轨迹方程为：....................................10 （3） 由题意可知直线：与椭圆交于,， 设，，，， 与椭圆联立方程：，消去可得. 则，， 根据，可得，即，...................................13 整理得：，即， 可得：，...................................15 因为，为常数，则不恒成立.，则，得：................................................17 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的前项和； (2)记，数列的前项积为，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意列方程： 由得： ，...................................2 由得： ， 联立解得：，，...................................4 则由等差数列前项和公式可得 ；...................................6 （2）由，，可得等差数列的通项公式为：，...................................8 则，即数列的前项积为： ，...................................10 因此： ， 令，， 因为函数是关于的单调递增函数，因此最小时，取得最小值， 因为的最小值在时取得，即， 代入可得： ,...................................12 即的最小值为................................................13 16． （15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，且为的中点． (1)求直线与平面的夹角； (2)若，平面与交于点，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法一：连接，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，...................................3 所以即为直线与平面的夹角， 因为，所以． 又因为底面为等腰梯形，且， 所以，所以四边形为平行四边形，所以．...................................5 则，所以， 所以直线与底面的夹角为...................................7 方法二：连接，因为，所以， 又因为平面平面，平面交平面于， 所以平面，...................................3 所以即为直线与底面的夹角， 因为，所以． 又因为底面为等腰梯形，且， 所以，所以四边形为平行四边形，所以． 取的中点，连接，因为底面为等腰梯形，所以，...................................5 由面，建立空间直角坐标系如图所示， 所以，所以， 面的法向量为，所以， 所以直线与底面的夹角为；...................................7 （2）取的中点，连接，因为底面为等腰梯形，所以， 由（1）得面，建立空间直角坐标系如图所示， 所以， 所以， 因为，所以，则， 同理，...................................10 设面的法向量为，所以，则， 不妨令，所以，则．...................................12 令，所以 因为点在面中，所以，所以， 所以，所以．...................................14 综上，线段的长度为．...................................15 17． （15分） 一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． (1)若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； (2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 数学期望为1 【详解】（1）单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立， 因此单个志愿者通过培训考核的概率为，...................................2 则单个志愿者没有通过培训考核的概率为....................................5 因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”， 因此所求概率....................................7 （2）由题意，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为，...................................9 分别计算概率得，， ，，...................................12 因此的分布列为： ...................................14 所以数学期望为. ..........................................................15 18（17分）已知函数的一个极值点是． (1)求a与b的关系式； (2)求出的单调区间； (3)设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． (3) 【详解】（1）因为， 所以， 因为函数的一个极值点是， 所以，即；...................................2 则有， 当时，，函数在R上单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意. 所以....................................5 （2），由（1）可知. ①当时，令得或，列表如下： x 2          - 0    + 0    - 满足是函数的极值点；...................................7 ②当时，令得或，列表如下： x      2     - 0    + 0    - 满足是函数的极值点....................................9 所以当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．...................................11 （3）由（1）（2）知，， 且时，在单调递增，在单调递减， 又因为，， 所以在上的最大值为，最小值为...................................14 又当时，函数在单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为．...................................15 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立，...................................16 即，又，所以解得， 所以实数a的取值范围为．..............................................................................................17 19．（17分） 已知动圆过定点，且被轴截得的弦长为4. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)已知过点的直线与圆心的轨迹交于两点，点关于轴的对称点为. （i）求（为坐标原点）面积的最小值； （ii）证明：直线必过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）解：设动圆圆心为， 则， 圆心到轴距离为，动圆被轴截得的半弦长为2， 则， 化简得， 所以动圆圆心的轨迹方程为....................................4 （2） （i）解：设直线的方程为， 联立，消去整理得，...................................6 则， 则的面积为，...................................8 当且仅当时取等号. 所以面积的最小值为....................................10 （ii）证明：由题得， 则直线的方程为，...................................12 根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上， 令，得 ，...................................15 所以直线必过定点. ......................................................17 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为1，求边的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）中，，所以 所以...................................2 又，所以，...................................4 又因为，所以....................................6 （2）因为，...................................8 由余弦定理， 将，代入解得，...................................11 所以.................................................................13 16．（15分） 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在三棱柱中，，， ，则....................................1 又四边形是正方形，则，，所以. 又，平面，因此平面....................................3 又平面，所以. 在等边中，为中点，则，...................................5 又，平面，所以平面....................................7 （2） 取中点为，中点为，则，. 由（1）知，平面，平面，则.又，故. 又，平面，则平面.即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系，...................................10 则，，，，，， 因为为线段中点，所以....................................11 ，，. 设平面的法向量为， 则，即，故可取....................................13 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为...........................................................................15 17． （15分） 已知抛物线，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时，. (1)求的方程； (2)若直线过点且的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设点 因为抛物线，所以， 当直线过点且垂直轴时，直线的方程为，...................................2 把代入可得，...................................4 故，所以，所以方程为....................................6 （2）由（1）可知，设直线方程为， 联立得， 则，，...................................8 所以， 又点到直线距离， 所以，...................................14 令，所以，所以，解得或，...................................16 所以直线方程为或....................................17 18．（17分） 已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证： (3)当时，设，且满足，求证：. 【详解】（1）， 由，...................................2 当时，，即在为增函数； 当时，，即在为减函数. 所以的递增区间为，递减区间为；...................................4 （2）由，解得， 又因为，则， 所以切线方程为，...................................5 设，则， 令，解得，...................................6 当时，，当时，， 可知在为增函数，在为减函数，...................................7 故，所以；...................................9 （3）由（1）可知，...................................10 ①若，则， 不符合题意； 所以 ②若，则， ③若，，又因为在为减函数， 所以，所以， 综上所述，...................................12 又因为，由， 所以， 即，即， 设， 所以， 方法一：设，所以， 因为在为单调递增， 当时，，，， 所以存在，使得，即， 又因为，，即在为减函数； 又因为，，即在为增函数； 所以，...................................14 又因为，则有， 又因为， ， 所以，即在为增函数，...................................16 又因为，所以，即....................................17 方法二： 设，因为在单调递增， 又因为所以...................................11 所以，即在为增函数，...................................15 又因为，所以，即. .....................................................................................................................17 19．（17分）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. (1)求，； (2)求的分布列； (3)求. 【答案】(1)， (2) 1 2 3 … … (3) 【详解】（1）表示第一次就生成并结束过程，即第一次预测为，且审核生成， . 表示第二次生成并结束过程，情况有：第一次预测为，且审核生成，第二次预测为；第一次预测为，审核必生成，第二次预测为，且审核生成. ....................................5 （2）（，）时，第个词元输出为， 若前面个词元都预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为，...................................7 故， 当时， 若前面个词元都没有预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故...................................9 所以的分布列为： 1 2 3 … … ...................................11 （3）由（1）得， 由（2）得， ， ， ， ， 所以...................................15 所以.....................................................................................................................17 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 限时预测05(A组+B组+C组) 口PART A组 解答题限时练 (建议用时：60分钟满分：77分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在4ABc A.B.C a,b,c a,b,c 中，角 对应边分别是.已知 成等差数列，且3sin1=2sinC (1)求cosA的值： 4√7 (2)若△ABC的外接圆半径为7，求△ABC的面积 16.(15分) 如图，平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形， ∠BAD=∠FAB=90°，AD=2BC,AF=2BE (1)求证：C,D,E,F四点共面： 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=2,BC=BE=1 DE与平面CD夹角的余弦值. CDE (2)设 ,求平面 17.（15分) 某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审.若能通过两位初审专家的评审，则予以立项；若两位初 审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第三位专家进行复审，若能通 过，则予以立项，否则不予立项.设该项目能通过每位初审专家评审的概率均为3，能通过复审专家评审 的概率为2，各专家评审能否通过相互独立. (1)求该项目予以立项的概率； (2)记评审通过该项目的专家人数为X,求X的分布列与期望. 18.(17分) 已知函数f八=lnr-ar+1 求/(x的单调区间： 2已知f儿)在0©)上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(17分) 已知4，B分别为椭圆C:荐+行-l(Q>b>0)的左、右顶点，且4=4，C的离心率为 x2.y2 2 (1)求C的方程； (2)若倾斜角为a的直线与C交于D,E两点，求DE的中点的轨迹方程： 3若直线：x=m+(-2<1<2与C交于M,N两点，设直线4M,BN的斜率分别为，，且 k=7k,求. 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ☑PART B组 解答题限时练 (建议用时：60分钟满分：77分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知等差数列a的前”项和为S,且4+a=0,5a,+a,+2=0, (1求数列a的前”项和5 2记=2，数列6的前”项积为，求，+5，的最小值 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,底面ABCD为等腰梯形，且 AD∥BC,AD=2BC=2AB=4,E为AD的中点. 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求直线PB与平面ABCD的夹角： a若F-号CG-C亚，平面EFG与pg交于点M,求线段gw的长度. 17.(15分) 一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培 训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务。已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为0，参 2 加专业培训后，考核合格的概率为3· (1)若志愿者A,B都参加了培训，求志愿者A,B中至少有1人通过培训考核的概率； (2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服 务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望， 18.《1分》已知函数=+ar-b的一个极值点是 ex x=2 (1)求a与b的关系式： 2)求出（刊 的单调区间： 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)设a>0:g=,若存在5,0，使得/-gx小<号成立，求实数a的取值范围. 19.(17分) 已知动圆过定点(20)，且被'轴载得的弦长为4 (1)求动圆圆心C的轨迹方程： A,B 2)已知过点的直线'与圆心C的轨迹交于4“两点，点B关于”轴的对称点为B E (1)求△AOB(O为坐标原点)面积的最小值： (i)证明：直线AB必过定点D. 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ☑PART C组 解答题限时练 (建议用时：60分钟满分：77分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 在△1BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=V2simB+sinA-B) (1)求角A; 2考0-c=22-,△48C的面积为1，求边“的值。 16.(15分) 如图，在三棱柱 BC-4B,C中，△1BC为等边三角形，四边形“ CCB 是边长为2的正方形，D为AB中 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点，且AD=5 C 6 (1)求证： CD上平面 BBA BC CD (2)已知P为线段心中点，求直线1P与平面 所成角的正弦值. 17.（15分) 已知抛物线 :少=2>0，点F为C的焦点，M,N是C上任意不重合的两点，当直线过点F且 |MN=4 垂直轴时， (1)求C的方程： (2)若直线MN过点F且aOMW的面积为4，求MW的方程. 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(17分) 已知函数f)=-nx+(na+)x 1)求函数 的单调区间： 2)设函数/( 的零点为，设曲线”=在x0)处的切线为=红+m,求证，)≤m 3当。5a≤1时，设，0+w,且满足f-5=1,求证：e-e> 19.(17分)在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元A,B, 且生成词元总数不超 2川n≥2若生成4，则过程立即结束：否则继续生成，直至总数达到2”，每个词元 生成需要先预测，再审核.假设每次预测为A，B的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元A,则审核后生成A，B的概率均为0.5： ②若预测中第二次出现词元A,则审核后必生成A; ③若预测中出现词元B，则审核后必生成B. 设X表示过程结束时生成词元的总个数： 1)求PX=1,P(X=2 (2)求X的分布列： 3求Px=2X≤m 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10/10 限时预测05（A组+B组+C组） 参考答案 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由成等差数列知，又得，...................................4 于是，设，则， 所以；.............................................................................6 （2）由（1）知，...................................8 由得，所以，...................................10 所以的面积. ...............................................13 16．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由平面平面，，得平面，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设， 则， ...................................3 故，，...................................5 共面....................................7 （2）设，故， 设平面的法向量为， 由， 得，取，可得； ，...................................10 设平面的法向量为， 由， 得，取，所以， ，...................................13 设平面与平面夹角为 , 即平面与平面夹角的余弦值................................................15 17．（15分）． 【答案】(1) (2) 0 1 2 【详解】（1）该项目予以立项的事件是两位初审专家都评审通过该项目的事件与 两位初审专家恰有一位评审通过该项目且复审专家评审通过该项目的事件和， 两位初审专家都评审通过该项目的概率，..................................3 两位初审专家恰有一位评审通过该项目且复审专家评审通过该项目的概率，...................................5 所以该项目予以立项的概率．...................................7 （2）依题意，的取值可能为， 且，，由（1）知，...................................10 所以的分布列为 0 1 2 ...................................13 数学期望................................................15 18．（17分） 【详解】（1）已知，其定义域为.求导​. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增....................................2 当时，令，即，因为，所以，解得. 当​时，，则，所以在上单调递增； 当​时，，则，所以在上单调递减....................................5 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为....................................7 （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于,...................................9 所以根据零点存在定理， 则需满足，...................................11 ，解得....................................13 ，化简得，解得. 又因可得....................................15 综上，的取值范围是................................................17 19．（17分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得：，即， 由离心率，所以....................................2 故椭圆方程为：....................................4 （2）倾斜角为，可得斜率. 设直线方程为：，与椭圆联立： 代入得：，...................................6 满足，即. 则，. 设，， 则中点横坐标： ，纵坐标：. 消去参数得：，...................................8 所以中点轨迹方程为：....................................10 （3） 由题意可知直线：与椭圆交于,， 设，，，， 与椭圆联立方程：，消去可得. 则，， 根据，可得，即，...................................13 整理得：，即， 可得：，...................................15 因为，为常数，则不恒成立.，则，得：................................................17 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意列方程： 由得： ，...................................2 由得： ， 联立解得：，，...................................4 则由等差数列前项和公式可得 ；...................................6 （2）由，，可得等差数列的通项公式为：，...................................8 则，即数列的前项积为： ，...................................10 因此： ， 令，， 因为函数是关于的单调递增函数，因此最小时，取得最小值， 因为的最小值在时取得，即， 代入可得： ,...................................12 即的最小值为................................................13 16． （15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法一：连接，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，...................................3 所以即为直线与平面的夹角， 因为，所以． 又因为底面为等腰梯形，且， 所以，所以四边形为平行四边形，所以．...................................5 则，所以， 所以直线与底面的夹角为...................................7 方法二：连接，因为，所以， 又因为平面平面，平面交平面于， 所以平面，...................................3 所以即为直线与底面的夹角， 因为，所以． 又因为底面为等腰梯形，且， 所以，所以四边形为平行四边形，所以． 取的中点，连接，因为底面为等腰梯形，所以，...................................5 由面，建立空间直角坐标系如图所示， 所以，所以， 面的法向量为，所以， 所以直线与底面的夹角为；...................................7 （2）取的中点，连接，因为底面为等腰梯形，所以， 由（1）得面，建立空间直角坐标系如图所示， 所以， 所以， 因为，所以，则， 同理，...................................10 设面的法向量为，所以，则， 不妨令，所以，则．...................................12 令，所以 因为点在面中，所以，所以， 所以，所以．...................................14 综上，线段的长度为．...................................15 17． （15分） 【答案】(1) (2)的分布列为： 数学期望为1 【详解】（1）单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立， 因此单个志愿者通过培训考核的概率为，...................................2 则单个志愿者没有通过培训考核的概率为....................................5 因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”， 因此所求概率....................................7 （2）由题意，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为，...................................9 分别计算概率得，， ，，...................................12 因此的分布列为： ...................................14 所以数学期望为. ..........................................................15 18（17分） 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． (3) 【详解】（1）因为， 所以， 因为函数的一个极值点是， 所以，即；...................................2 则有， 当时，，函数在R上单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意. 所以....................................5 （2），由（1）可知. ①当时，令得或，列表如下： x 2          - 0    + 0    - 满足是函数的极值点；...................................7 ②当时，令得或，列表如下： x      2     - 0    + 0    - 满足是函数的极值点....................................9 所以当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．...................................11 （3）由（1）（2）知，， 且时，在单调递增，在单调递减， 又因为，， 所以在上的最大值为，最小值为...................................14 又当时，函数在单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为．...................................15 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立，...................................16 即，又，所以解得， 所以实数a的取值范围为．..............................................................................................17 19．（17分） 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）解：设动圆圆心为， 则， 圆心到轴距离为，动圆被轴截得的半弦长为2， 则， 化简得， 所以动圆圆心的轨迹方程为....................................4 （2） （i）解：设直线的方程为， 联立，消去整理得，...................................6 则， 则的面积为，...................................8 当且仅当时取等号. 所以面积的最小值为....................................10 （ii）证明：由题得， 则直线的方程为，...................................12 根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上， 令，得 ，...................................15 所以直线必过定点. ......................................................17 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）中，，所以 所以...................................2 又，所以，...................................4 又因为，所以....................................6 （2）因为，...................................8 由余弦定理， 将，代入解得，...................................11 所以.................................................................13 16．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在三棱柱中，，， ，则....................................1 又四边形是正方形，则，，所以. 又，平面，因此平面....................................3 又平面，所以. 在等边中，为中点，则，...................................5 又，平面，所以平面....................................7 （2） 取中点为，中点为，则，. 由（1）知，平面，平面，则.又，故. 又，平面，则平面.即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系，...................................10 则，，，，，， 因为为线段中点，所以....................................11 ，，. 设平面的法向量为， 则，即，故可取....................................13 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为...........................................................................15 17． （15分） 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设点 因为抛物线，所以， 当直线过点且垂直轴时，直线的方程为，...................................2 把代入可得，...................................4 故，所以，所以方程为....................................6 （2）由（1）可知，设直线方程为， 联立得， 则，，...................................8 所以， 又点到直线距离， 所以，...................................14 令，所以，所以，解得或，...................................16 所以直线方程为或....................................17 18．（17分） 【详解】（1）， 由，...................................2 当时，，即在为增函数； 当时，，即在为减函数. 所以的递增区间为，递减区间为；...................................4 （2）由，解得， 又因为，则， 所以切线方程为，...................................5 设，则， 令，解得，...................................6 当时，，当时，， 可知在为增函数，在为减函数，...................................7 故，所以；...................................9 （3）由（1）可知，...................................10 ①若，则， 不符合题意； 所以 ②若，则， ③若，，又因为在为减函数， 所以，所以， 综上所述，...................................12 又因为，由， 所以， 即，即， 设， 所以， 方法一：设，所以， 因为在为单调递增， 当时，，，， 所以存在，使得，即， 又因为，，即在为减函数； 又因为，，即在为增函数； 所以，...................................14 又因为，则有， 又因为， ， 所以，即在为增函数，...................................16 又因为，所以，即....................................17 方法二： 设，因为在单调递增， 又因为所以...................................11 所以，即在为增函数，...................................15 又因为，所以，即. .....................................................................................................................17 19．（17分） 【答案】(1)， (2) 1 2 3 … … (3) 【详解】（1）表示第一次就生成并结束过程，即第一次预测为，且审核生成， . 表示第二次生成并结束过程，情况有：第一次预测为，且审核生成，第二次预测为；第一次预测为，审核必生成，第二次预测为，且审核生成. ....................................5 （2）（，）时，第个词元输出为， 若前面个词元都预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为，...................................7 故， 当时， 若前面个词元都没有预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故...................................9 所以的分布列为： 1 2 3 … … ...................................11 （3）由（1）得， 由（2）得， ， ， ， ， 所以...................................15 所以.....................................................................................................................17 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $