1.5.2余弦函数的图象与性质再认识 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 三角函数 第5节 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.2 余弦函数的图象与性质再认识 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、 理解余弦函数图象的画法. 2、理解余弦函数的性质. 3、体会用“五点法”作图的好处，并学会熟练地画出一些较简单的余弦函数的图象. 1、 认识图象并理解余弦函数的性质. 1、 理解余弦函数图象的画法. 2、理解余弦函数的性质. 3、体会用“五点法”作图的好处，并学会熟练地画出一些较简单的余弦函数的图象. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 角α的终边与单位圆的交点为P(u,v), 把点P的横坐标u定义为角α的余弦值， 记作u=cosα（称为任意角α的余弦函数） 1、余弦函数的定义是什么？ O x P(u,v) α M 1 习惯上，我们用x表示自变量，y表示函数值， 所以余弦函数可记作：y=cosx 3 新 知 引 入 韦 达 余弦函数u=cosα的性质 定义域 值域 最值性 奇偶性 周期性 单调性 R [-1,1] 当α=2kπ,k∈Z时，umax=1 ； 当α=2kπ+π ,k∈Z时，umin=-1 周期函数，T=2π 单调递增区间[2kπ-π,2kπ],k∈Z 单调递减区间[2kπ,2kπ+π],k∈Z 偶函数 4 新 知 引 入 布 丰 上一节课我们学习了正弦函数的图像，并借助图像进一步研究了正弦函数的性质。 本节课我们来学习余弦函数的图像，并借助图像进一步研究余弦函数的性质。 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  正弦曲线 5 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 α 0 π 2π cosα 余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象 第一步：列表 第二步：描点 第三步：连线 - - - - 0 1 -1 0 1 x O y 1 -1 π 2π 6 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 x O y 1 -1 π 2π 在精确度要求不太高时,如何快速做出余弦函数在[0，2π]上的图像 (0,1) ( ,0) (  ,-1) ( ,0) ( 2 ,1) 五点作图法 最高点：（，1） ，（2π，1） 最低点：（π，-1） 与x轴的交点：（,0），（，0） O x y 7 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 (0,1) ( ,0) (  ,-1) ( ,0) ( 2 ,1) O x y 注意：1、 2、 曲线的弯曲形态（与黄色折线作对比）。 用平滑的曲线连接五点。避免以下错误画法。 8 学 习 新 知 拉格朗日 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  余弦函数y=cosx的图象 正弦函数y=sinx的图象 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y=cosx=sin(x+ ), xR 余弦曲线 正弦曲线 形状完全一样只是位置不同 9 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、 画出函数y=－cosx ，x∈[0,2π]的简图 解: 按五个关键点列表： x 0 π 2π y=cosx 1 0 -1 0 1 y=-cosx -1 0 1 0 -1 10 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、画出函数y=cos(x-π)在一个周期上的图象. x-π 0 π 2π x π 2π 3π y=cos(x-π) 1 0 -1 0 1 解： 按五个关键点列表. 11 典 例 引 路 柯 西 例2、判断方程 - cosx=0的根的个数。 解：设f(x)=,g(x)=cosx,在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图像： 由图可知，f(x)与g(x)的图像有三个交点，故方程有三个根。 12 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、方程|x|=cosx在(-∞,+∞)内的所有根的和为(　　) A.2 B.1 C.0 D.-1 解：在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=|x|与g(x)=cosx的图象,易知两个函数的图象在(-∞,+∞)内只有两个交点,即原方程有两个根,且两根互为相反数,故和为 0. C 13 学 习 新 知 伯努利 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  正弦函数y=cosx的性质 定义域 值域 最值性 奇偶性 对称性 周期性 单调性 R [-1,1] 周期函数，T=2π 当x=2kπ,k∈Z时，ymax=1 ； 当x=2kπ+π ,k∈Z时，ymin=-1 单调递增区间[2kπ-π,2kπ],k∈Z 单调递减区间[2kπ,2kπ+π],k∈Z 偶函数 对称中心（nπ+,0), 对称轴x=nπ (n∈Z) 14 典 例 引 路 牛 顿 定义域 例3、(1)函数y=的定义域是_______________ 解：由≥0得≥， ∴ [2kπ，+2kπ]∪[+2kπ，2π+2kπ] ，k∈Z. (2)已知f(x)的定义域为[0,1),求f(cosx)的定义域; 解：依题意得0≤cosx＜1 ∴2kπ- ≤x≤2kπ+ 且x≠2kπ,k∈Z ∴该函数的定义域为[2kπ- ,2kπ)∪(2kπ,2kπ+ ],(k∈Z) 15 同 步 练 习 黎 曼 练3、求函数f(x)=lgcosx+的定义域。 解：依题意得 ∴ ∴x∈[-5,-)∪(- ,)∪(,5] (2)函数y=+lg(2sinx-1)的定义域是_______. 解：由 得 ∴ ∴定义域为x∈{x| +2kπ≤x＜ +2kπ,k∈Z} 16 典 例 引 路 狄利克雷 值 域 (2)函数y=cos2x-4cosx+5的值域为　　　　.  解：令t=cosx,则-1≤t≤1. 所以 y = t2-4t+5 = (t-2)2+1, 所以t=-1时,y取得最大值10,t=1时,y取得最小值2. 所以y=cos2x-4cosx+5的值域为[2,10]. 例4、（1）求函数y=2cos(2x+),x∈(- ,)的值域。 解：∵- ＜x＜ ∴ 0＜2x+＜ ∴ - ＜cos(2x+)＜1 ∴ - 1＜2cos(2x+)＜ 2 ∴该函数的值域为（-1,2） 17 同 步 练 习 庞加莱 (2)求函数y=cos2x-3cosx+2的值域。 解：令t=cosx,则t∈[-1,1] ∴原函数化为y = t2-3t+2 = (t-)2 - ∴二次函数图象开口向上，对称轴为 t = ∴t∈[-1,1]为函数的单调递减区间 ∴t=-1时，ymax= 6, t=1时，ymin= 0 ∴值域为[0,6]. 练4、（1）函数f(x)=-cos(x+),x∈[- ,]的值域为__________ 解：∵ - ≤x≤ ∴- ≤x+≤ ∴- ≤cos（x+)≤1 ∴-1≤-cos(x+)≤ ∴该函数的值域为[-1,] 18 典 例 引 路 皮 亚 诺 最值 例5、（1）函数y=2cosx-1的最大值、最小值分别是（ ） A. 2,-2 B. 1,-3 C. 1,-1 D. 2,-1 解：∵-1≤cosx≤1 ∴-2≤2cosx≤2 ∴-3≤2cosx-1≤1 ∴最大值为1，最小值为-3. B （2）求函数y=cos2x+cosx+1的最大值、最小值及取最值的x的集合。 解：令t=cosx,则t∈[-1,1] ∴y=t2+t+1,对称轴为t=- 当t= - ,即x∈{x|x=±+2kπ,k∈Z}时，ymin= 当t=1,即x{x|x=2kπ,k∈Z}时，ymax=3 19 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、(1)设M和m分别是函数y=cos x-1的最大值和最小值,则M+m=________.  解：∵-1≤cosx≤1 ∴M = ×1-1= - ,m = ×(-1)-1 = - ∴M + m = - - = -2 (2)已知函数y=2(cosx+2)2-1，当x=_______时，函数有最小值，最小值为_______. 解:由y=2(cosx+2)2-1， 令t=cosx,可知-1≤t≤1，可知， 则y=2(t+2)2-1，对称轴为t=-2， 故当t=-1时，即cosx=-1，x=π+2kπ(k∈Z)时， 函数有最小值，最小值为1. 20 典 例 引 路 华罗庚 奇偶性 例6、（1）判断函数f(x)=xcosx的奇偶性。 解：函数的定义域为R ∵f(-x) = (-x)cos(-x) = -xcosx = -f(x) ∴该函数为奇函数。 (2)设函数f(x)=cosx+1，若f(a)=11,则f(-a)=______ 解：令g(x)=f(x)-1=cosx,则g(x)为定义在R上的奇函数 又∵f(a)=11 ∴g(a)=f(a)-1=10 ∴ g(-a) = -g(a) = - 10 ∴ f(-a) = g(-a)+1 = - 9 21 同 步 练 习 陈景润 练6、（1）判断函数f(x)=sincos的奇偶性。 解：函数的定义域为R ∵f(-x) = sin()cos() = -sincos = -f(x) ∴该函数为奇函数。 (2)已知函数f(x)=2cos(2x- +θ)(0＜θ＜π)为奇函数，则θ=______. 解：∵f(x)=2cos(2x- +θ)为奇函数 ∴f(0)=2cos(- +θ)=0 ∴- +θ=+kπ,k∈Z 即θ= +kπ,k∈Z 又∵0＜θ＜π ∴π= 22 典 例 引 路 傅里叶 对称性 例7、(1)函数y=-3cosx的一条对称轴方程是(　　) A. x= B. x= - C. x= D. x= - π D (2)写出函数f(x)=cos(4x-)的一个对称中心_______ 解：令 4x - = - + kπ,k∈Z 解得x = - + ,k∈Z 取k=0,则该函数的一个对称中心为(- ,0) 23 同 步 练 习 洛必达 练7、（1）写出函数y=cos(3πx- ) 图象的一条对称轴的方程：x=______． 解：依题意得3πx- = kπ,k∈Z 解得 x = + ,k∈Z 令k=0，则函数y=cos(3πx- ）的一条对称轴的方程 为 x = （答案不唯一） （2）函数y=4cos(2x+)的对称中心为___________. 解：令2x + =kπ+ ,k∈Z 解得 x = + ,k∈Z ∴函数y=4cos(2x+ )的对称中心为(+,0),k∈Z 24 典 例 引 路 贝叶斯 周期性 例8、函数y=|cosx|的最小正周期是（    ） A. B. π C. 2π D. 4π 解：画出y=|cosx|的图像 由图像可知周期为π. B 25 同 步 练 习 佩雷尔曼 练8、、已知下列函数中，最小正周期为 的是（     ） A. y=|cos2x| B. y=|sin(x+)| C. y=sin|2x| D. y=cos|2x| 解：画出y=|cos2x|的图像 由图像可知周期为 A 26 典 例 引 路 丘成桐 单调性 例9、使y=sinx和y=cosx均为减函数的一个区间是(　　) A. (0,) B. (,π) C. (π,) D. (,2π) 解：由y=sinx,x∈[0,2π]与y=cosx,x∈[0,2π]的图象知 均为减函数的一个区间是（，π）。 B （2）比较大小：cos______cos2 解：∵0＜1＜2＜π， 且y=cosx在[0,π]上单调递减 ∴cos1＞cos2 27 同 步 练 习 毕达哥拉斯 练9、（1）求函数y=3-cosx的单调递增区间 （2）比较大小：cos______cos(-) 解：由于y=cosx的单调递减区间为 [2kπ,2kπ+π],k∈Z 所以函数y=3-cosx的单调递增区间为 [2kπ,2kπ+π],k∈Z 解：cos = cos(2π+) = cos cos(- ) = cos 又∵0＜＜＜π，而y=cosx在[0,π]上单调递减 ∴cos＞cos,即cos＜cos(- ) 28 全 课 总 结 一、五点作图法 二、余弦曲线 正弦函数y=cosx的性质 定义域 值域 最值性 奇偶性 对称性 周期性 单调性 R [-1,1] 周期函数，T=2π 当x=2kπ,k∈Z时，ymax=1 ； 当x=2kπ+π ,k∈Z时，ymin=-1 单调递增区间[2kπ-π,2kπ],k∈Z 单调递减区间[2kπ,2kπ+π],k∈Z 偶函数 对称中心（nπ+,0), 对称轴x=nπ (n∈Z) 29 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 30 $