专题01 向量的运算（5大考点50题）（期中真题汇编，江苏专用）高一数学下学期苏教版

动学科网 目目 考点01 1.A 2.A 4 4.D 5.B 目目 考点02 6.C 7.B 8.A 9.B 10. AD 11.ACD 12.1 目目 考点03 13.C 14.A 15.C 16.A 17.A 18.BD .BCD 19 AC 20. 21.3 22.(1)0 of 23.(1)√10 Www.zxxk.com 专题01向量的运算(5大 空间向量及其运算 向量的数乘 用定义求向量的数量积 1/3 让教与学更高效 考点50题) 丽学科网 www.zxxk a号 24.(1)2√7； 阅洁 目目考点04 数量积的运算律 25.D 26.A 27.C 28.C 29.C 30.D 31.B 32.AC 33.AC 34.BCD 35. 7 -2 36. 26 37.2 2 38.26 39.()(i)证明见解析；(i) 41 (2)-5 40.(1)V13 (2)6 (③M丽的最小值为子∠MPN的余弦值为名 1 目目 考点05 向量夹角的计算 41.B 42.C 43.B com 让教与学更高效 命学科网 44.C 45.BCD 46.BCD 47.BC 49.0 (2)2√7 50.(1)V2 (2)90 www zxxk com 3/3 让教与学更高效命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01向量的运算(5大考点50题) ☆5大高频考点概览 考点01空间向量及其运算 考点02向量的数嵊 考点03用定义求向量的数量积 考点04数量积的运算律 考点05向量夹角的计算 目目 考点01 空间向量及其运算 1.(24-25高一下·江苏南京·期中)BC-AD+AB等于() A.DC B.DB C.AD D.AB 2.(24-25高一下·江苏苏州期中)在平行四边形ABCD中，BC=() A.AC-AB B.CA-AB C.BD+CD D.AC+AB 3.(24-25高一下·江苏南通期中)如图，己知0为平行四边形ABCD内一点，OA=a,0B=b,0C=c,则O元 等于() A.a-b+c B.a+b+c C.a-B-c D.a+b-c 4.(24-25高一下江苏南通海安期中已知平面向量a,6的夹角为0(O为常数)，=2V3,t∈R, ā-tb的最小值为3，则0=() A. B.或5π c D.或2n 6 6 3 3 5.(24-25高一下·江苏东台期中)若ABC的三个内角均小于120°，点M满足 ∠AMB=LAMC=LBMC=120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点根据 以下性质，已知a是平面内的任意一个向量，向量五，满足b⊥c,且b=c=√2，则a-b+|a+a+c 的最小值为() A.2√2 B.5+1 C.23 3 D.√2+1 目目 考点02 向量的数乘 1/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 一、单选题 6.(24-25高一下·江苏海安期中)如图，在△0CB中，A是边BC的中点，D是边OB上靠近点0的三等分点， 设0A=a,0B=b,则DC=() B A2加6 B.2a+56 3 c2a-6 D.-2a+46 3 7.(24-25高一下江苏南京临江高级中学期中)设a,无为非零向量，则“d=2”是“ā=2万”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(24-25高一下江苏徐州期中)已知向量e,e,为非零向量，则1e+ee+e21”是“存在非零实数m, n,使得me,+ne=0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)己知e,与e,是两个不共线的向量， AB=3C+2e,CB=ke+2e,CD=3祀-ke,若A,B,D三点共线，则实数k的值为() A.-4 B.-12 C.4 D.5 二、多选题 10.(24-25高一下江苏常州期中)已知0是ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且 20A+OB+OC=0,则下列结论中正确的是() A.A0=OD B.A0=20D C.A0=30D D.0D 11.(24-25高一下·江苏南通海门实验学校期中)已知向量云为非零向量，2是非零实数，则下列说法错误的 是() 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.a与-λa方向相反 B.a与22a方向相同 c.卜ad2同 D.aa=lla 三、填空题 12.(24-25高一下江苏锡山高级中学期中)如图，△ACD是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延 长DO至点B,若BD=1BA+(专-)BC,且BD=4V5(t为常数)，则OA的长度是 B 目目 考点03 用定义求向量的数量积 一、单选题 13.24-25高一下-江苏连云港赣榆区期中)已知非零向量a在向量乙上的投影向量为)b,=2,则 (a-6=() A.-4 B.-3 C.-2 14.2425高一下江苏锁江徐州七校期p已知半面向量，5是两个单位向量，且8,5的夹角为子，则 la+=() A.1 B.√2 C.5 D.3 15.(2425高一下·江苏南京师范大学附属中学.期中)已知正八边形A,A,AA4A,AA,A的边长为2，则 AA·A,A2=() A.2 B.2W2 C.4+2√2 D.4+√2 16.(24-25高一下·江苏苏州中学校期中)已知ABC的外接圆圆心为0，点G满足GA+GB+GC=0,若 AB=3,AC=2,则AO.AG=() A B 13 C.5 6 n 17.(24-25高一下·江苏盐城中学期中)如图所示，在边长为4的正八边形ABCDEFGH中，点0为正八边形 的中心，点P是其内部任意一点，则OA.PA+OF.PA的取值范围是() 3/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.(-8v2,16+8V2) B.-16,16+8V2 C.-8,16 D.-16,16 二、多选题 18.(24-25高一下·江苏扬州中学期中)下列说法中正确的是() A.平面内两个非零向量ā与方，则a.b≤a+5 B.若单位向量ā，万夹角为g,则向量a在向量6上的投影向量为5方 C.已知非零平面向量ā，乃，若存在非零向量c使得ac=b·c,则a=b D.若AB=CD,则AB=CD,且A、B、C、D四点不一定构成平行四边形 19.(2425高一下江苏南京师范大学附属中学期中)已知0M0N-2,OM与0N夹角为于，若O=2 且OP=x0M+yON(x≥0，y≥0)，则下列说法正确的是() A.当y=0时，OP在ON上的投影向量为5O示 B.当x=y时，OP.MN=0 C.OP.OM的最小值为2 D.PM.PN的最大值为O 20.(24-25高一下江苏沭阳如东中学期中)点M在ABC所在平面内，下列说法正确的是() A.若MA+MB+MC=0,则M为ABC的重心 B.若AB.AC>0,则ABC为锐角三角形 c素w-c,器号 D.若ABC为边长为2的正三角形，点M在线段BC上运动，则AM·(AB+AC)=3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、填空题 21.(24-25高一下-江苏高邮期中)已知向量ā，万的夹角为45，且=1，=V2,则a+2= 四、解答题 22.(24-25高一下江苏南京师范大学附属中学期中在ABC中，已知AB=2,AC=4,B和AC的夹 角为0，且c0s0= 4 (I)若D为AB的中点，求AB.CD. (2②已知死=BC,若1正仁5，求实数2的值。 2 23.(24-25高一下-江苏南京中华中学期中)已知向量ā，6满足aV2,=2,且向量ā与6的夹角为45. (1)求a+6: (2)若=a+xb(其中x∈R),则当同取最小值时，求c与b的夹角的大小. 24.(Q425高一下江苏徐州期中已知向量ā，6满足d=4,=2,ā与6的夹角为 3 (1)求a-； (2)当1为何值时，向量3a+26与1a+b垂直？ 目目 考点04 数量积的运算律 一、单选题 25.(24-25高一下江苏徐州·期中)下列关于向量ā，b,c,说法正确的是() A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.若a.b=ac,则b=c C.若a.b<0,则a与b夹角为钝角 D.(3a+263a-2b)=9a2-462 26.(24-25高一下·江苏泗阳县期中)图中正方形ABCD的边长为2，圆0的半径为5，正方形的中心与圆的 圆心重合，动点P在圆上，则PA.PC的值为() 5/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.23 B.29 C.21 D.24 27.(24-25高一下江苏南通海门实验学校期中)已知非零向量a,i,满足同=4，向量a在向量五上的投影 向量为b,则a6=() A.0 B.1 C.8 D.4 28.(24-25高一下江苏沭阳如东中学.期中)设ā，b是两个非零向量，且(a-3b)1(7a+5b), (a+4b)1(7a+2b),则a与b的夹角是() A君 B.月 C. 3 D. 6 29.(24-25高一下·江苏西安交通大学苏州附属中学期中)已知ABC中，O为BC的中点，且 =4,B+AC-B-4C,∠4CB-石，则向量40在向量上的投影向量为《） A号西 B.38 c D.AB 30.(24-25高一下·江苏镇江徐州七校期中)如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA ,AB=√3，AC=1,AD与CE交于点O,AB.AC=tAO.EC,则实数t的值为() B D A.3 B.4 C.5 D.6 31.(24-25高-下江苏天一中学期中)在ABC中，BC.CA=CA.AB,BA+BC=25,且5≤B≤2 3 则BA.BC的取值范围是() A.[-2,2] B.[62] c.[a .[2 二、多选题 32.(24-25高一下江苏南京协同体十校期中)已知向量和满足1ā=1,1b2,a+2=V3,下列说法中 正确的有() A.a.b=-1 B.(a+b)⊥(a-b) C.a-26=2I D.a与5的夹角为号 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 33.(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学期中)下列说法中正确的有(“) A.(a.Bas ab B.已知a在6上的投影向量为)b且同=5，则a6= C.若非零向量a,6满足个==a-则ā与ā+6的夹角是30 D。已知8-化2)，6=L,且：与ā+25夹角为概角，则1的取值范围是(+ 34.(2425高一下江苏盐城五校期中已知0W=0N=2,OM与0N夹角为5，若o丽-2且 OP=xOM+yON(x≥0，y≥0)，则下列说法正确的是() A.当y=0时，OP在ON上的投影向量为5ONB.当x=y时，OP.Mm=0 C.当x=时，y=B-1 1 2 D.PM.P的最大值为0 4 三、填空题 35.(24-25高一下江苏南通、镇江·期中)蜜峰将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合 选择，旨在最大化资源的利用，同时确保峰巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全 等的正六边形)，若AL=xAB+yAF,则x+y= 若引AB=2,则AL.D= G 36.(24-25高一下江苏苏州苏州大学附属中学.期中)已知向量ā，6，c满足|a=1,16=5,1c=2,且 a+B+c=0,cos(a-B,B-0)= 37.2425高-下江苏南道如泉调所已知向量a,6G满足a+5+=0,且同=万-2a-6=-手，则 = 38.(24-25高一下·江苏连云港灌南县·期中)己知ABC中，点G,O分别是知ABC的重心和外心，且 7/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4G.A0=5,AG=2,则边BC的长为 四、解答题 39.(24-25高一下·江苏南通海安·期中)在平面四边形ABCD中，AB=2,CD=3. (I)设M、N分别为AD、BC的中点. (i)证明：2MN=AB+DC; (ii)若MN=2,求AB与DC夹角的余弦值. (2)求(AC+DBAB-DC)的值. 40.(24-25高一下，江苏无锡太湖高级中学期中)在ABC中，已知AB=2,AC=4,∠BAC=60°， -号B,=AC,CM与N相交于点P (1)求CM的长度； (2)考1=2， 求AP.BC的值； (3)求NANB的最小值，并求此时∠MPN的余弦值. 目目 考点05 向量夹角的计算 一、单选题 41.(2425高一下江苏南京鼓楼区南京第二十九中学期中)已知a,6是单位向量，满足万1(2a-6),则a与 的夹角为() A君 D. 42.(24-25高一下江苏苏州中学校期中)已知=25=2，ab=-1,则ā与6的夹角是() A.30° B.60° C.120° D.150° 43.(24-25高一下江苏连云港东海县期中已知平面向量a,飞满足a==1,且a-2=5，则a,的 夹角为() A君 B c D 44.(24-25高一下江苏宿迁·期中)已知ā，b,c均为单位向量，若c=b-ā，则ā与c夹角的大小等于() B.月 c D.5 6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 45.(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)下列说法正确的有（) A.若ab|,则a=b或a=-b B.已每G6不共线，若向量后：-5+6与向量后=-2g+写共线，别实数k=号 C.设ā=(2,3)，b=(6,),若ā与6的夹角为锐角，则实数t的取值范围为(-4,9)U(9,+o) D.已知向量a与6的夹角为120°，a上1,163，则a-万在6方向上的投影向量为-乙5 6 46.(24-25高一下·江苏南通、镇江·期中)已知非零向量a,b,c,则下列说法正确的是() A.若ab>0,则向量a,b夹角为锐角 a b B.若a=4奶，则a C.若ā=b=a+b|,则a与a-b的夹角是30 D.若a/b,则(b·c)d=(a·c)b 47.(24-25高一下江苏无锡第一中学期中已知向量ā=(1,3)，b=(-2,x),则下列说法中正确的是() A.当a16时，a-36=74 1- B.当x=1时，向量在向量a上的投影向量为，。a 10 C.当a与5的夹角为锐角时，x> 2 D.与向量石垂直的单位向量为c 3v1010 1010 三、填空题 48.(24-25高一下·江苏无锡第一中学期中)若平面上的三个力F,F,E,作用于一点，且处于平衡状态.已知 =1W,=6；巨N,元与瓦的夹角为子，则万与斤夹角的大小为 2 四、解答题 9/10 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 49.(24-25高一下江苏新海高级中学开发区校区期中)已知=2，=3，(2ā-36)2石+6)=1. (1)求a与6的夹角0： (2)求a+26. 50.(24-25高一下江苏沭阳高级中学等四校期中)已知向量ā，6的夹角为135°，且=1，=V2 (1)求|2ā+b (2)c=ā+xb(其中x∈R),当取最小值时，求c与b的夹角的大小 专题01 向量的运算（5大考点50题） 5大高频考点概览 考点01空间向量及其运算 考点02向量的数乘 考点03用定义求向量的数量积 考点04 数量积的运算律 考点05 向量夹角的计算 1．(24-25高一下·江苏南京·期中)等于（   ）地 城 考点01 空间向量及其运算 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减法，可得答案. 【详解】. 故选：A. 2．(24-25高一下·江苏苏州·期中)在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量运算法则计算即可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：A. 3．(24-25高一下·江苏南通·期中)如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 4．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)已知平面向量，的夹角为（为常数），，，的最小值为3，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据向量减法的几何意义，作出图形即可求解． 【详解】的几何意义如图所示， 因为的最小值为3， 所以在中，，所以， 所以， 因为与的夹角有两种情况，即或， 所以或， 故选：D． 5．(24-25高一下·江苏东台·期中)若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，确定的形状，进而确定此三角形费马点位置，再结合图形求解即得. 【详解】作向量，由，，得是腰长为的等腰三角形， ，而的所有内角均小于120°， 因此取得最小值的点是的费马点， ，则，点在斜边的中线上，如图， ，，， 所以的最小值为. 故选：B 地 城 考点02 向量的数乘 一、单选题 6．(24-25高一下·江苏海安·期中)如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算和三角形法则可以得到. 【详解】是边的中点，， ， 是边上靠近点的三等分点,， ， 又，. 故选：C 7．(24-25高一下·江苏南京临江高级中学·期中)设，为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量定义和数乘定义判断可知. 【详解】表示向量的长度是向量长度的2倍，但，的方向不一定相同， 所以由推不出； 反之，由数乘定义可知，若，则. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8．(24-25高一下·江苏徐州·期中)已知向量为非零向量，则“”是“存在非零实数m，n，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据已知分别转化为同向共线及共线，再结合充分不必要条件定义判断即可. 【详解】向量为非零向量，则“”成立即得向量同向共线； “存在非零实数m，n，使得”成立即得向量共线； 向量同向共线可以得出共线，但是共线不一定是同向共线， 则“”是“存在非零实数m，n，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 9．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】先求出，再由三点共线，可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为三点共线，必存在一个实数，使得， 所以，而不共线， 所以，解得：. 故选：B. 二、多选题 10．(24-25高一下·江苏常州·期中)已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】连接，利用向量的线性运算即可求解. 【详解】    连接，因为为边的中点，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故A正确；BC错误； 由，可得，所以，故D正确. 故选：AD. 11．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 【答案】ACD 【分析】由向量数乘概念可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，与方向相同，故A错误； 对于B，当时，，则与方向相同，故B正确； 对于C，当且，即时， ，故C错误； 对于D，表示的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误. 故选：ACD 三、填空题 12．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至点B，若，且（为常数），则的长度是______. 【答案】1 【分析】由题设可得，利用系数和为1结合等边三角形的高得为的中点，故可求的长度. 【详解】因为，故， 设，则，故共线， 且也共线，故即为，故， 故，故，而等边中边上的高为， 故，故， 故答案为：1. 地 城 考点03 用定义求向量的数量积 一、单选题 13．(24-25高一下·江苏连云港赣榆区·期中)已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量的公式得到方程，求出，从而利用向量数量积运算法则得到答案. 【详解】在向量上的投影向量为，故， 所以， 又，所以， 所以. 故选：C 14．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)已知平面向量，是两个单位向量，且，的夹角为，则（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】先利用数量积的定义计算，再利用公式计算即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：A 15．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)已知正八边形的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正八边形的特征有，确定相关线段长度，再应用向量数量积的定义求值. 【详解】如下图示，由正八边形的特征易知， 所以，， 由. 故选：C 16．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)已知的外接圆圆心为，点满足，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设分别为的中点，由点为的重心，得到，又由是的外心，得到，根据平面向量的数量积的定义，化简得到，即可求解. 【详解】如图所示，设分别为的中点，连接， 因为点满足，可得点为的重心，所以， 又因为，所以， 又因为是的外心，所以， 因为，则 . 故选：A. 17．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正八边形的边长为4，求出外接圆的半径和内切圆的半径，再根据平面向量的数量积求出的最小值和最大值，即可得出结果 【详解】正八边形中，， 所以，， 连接，过点作，交、于点、，交于点， 设， 中，由余弦定理得，， △OAF中，， 所以，解得， ，解得， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最小值为， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最大值为， 因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是． 故选：A． 二、多选题 18．(24-25高一下·江苏扬州中学·期中)下列说法中正确的是（ ） A．平面内两个非零向量与，则 B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C．已知非零平面向量，，若存在非零向量使得，则 D．若，则，且、、、四点不一定构成平行四边形 【答案】BD 【分析】举反例即可判断AC；根据投影向量的公式即可判断B；分析、、、四点共线与否即可判断D． 【详解】对于A，设，，则，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，若，则，但与不一定相等，故C错误； 对于D，若，且点四点不共线， 则，、、、四点能构成平行四边形； 若，且点四点共线， 则，、、、四点不能构成平行四边形，故D正确； 故选：BD． 19．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)已知，与夹角为，若且（，），则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上的投影向量为 B．当时， C．的最小值为2 D．的最大值为0 【答案】BCD 【分析】对于A，由已知可得，则在上投影向量为，即可判断；对于B，由已知可知P在的中线上，又，则，即可判断；对于C， 由平方可得，又，令，则，即可求得的最小值，即可判断；对于D，由，可得，再由可得，即可判断. 【详解】由题意可知O，M，N三点构成边长为2的等边三角形． 因为，与夹角为， 所以， 对于A，当时，，又因为，所以， 故在上投影向量为，故A错误； 对于B，当时，根据向量的平行四边形法则可知P在的中线上， 又因为是等边三角形，所以，则，故B正确； 对于C， 由平方可得，即， 则，又，所以， 则， 又，令， 则， 因为，所以，即时，取得最小值， 所以的最小值为2，故C正确； 对于D， ， 因为，所以，要求此式子最大，即求最小． 由，得， 故，所以，故D正确. 故选：BCD. 20．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)点在所在平面内，下列说法正确的是（   ） A．若，则为的重心 B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D．若为边长为2的正三角形，点在线段BC上运动，则 【答案】AC 【分析】对于A，取的中点，连接，取的中点，连接，结合向量的加法法则分析判断，对于B，根据数量积的定义结合锐角三角形的定义分析判断，对于C，由已知条件结合向量的加减法法则可得为上靠近的三等分点，从而可求出两三角形的面积比，对于D，举例判断. 【详解】对于A，取的中点，连接，则， 因为，所以，所以与共线， 因为与有公共点，所以三点共线，即在中线上， 取的中点，连接，同理可得在中线上， 所以为的重心，所以A正确， 对于B，由，得，所以， 因为，所以角为锐角，而其它角不一定为锐角， 所以不一定为锐角三角形，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以，所以，所以与共线， 因为与有公共点，所以三点共线，且为上靠近的三等分点， 所以，设到边的距离为，则 ，所以C正确， 对于D，若为的中点，则， 所以 ，所以D错误. 故选：AC 三、填空题 21．(24-25高一下·江苏高邮·期中)已知向量，的夹角为45°，且，，则______. 【答案】 【分析】利用向量模的运算法则，结合向量的数量积求解即可. 【详解】因为向量，的夹角为45°，且，， 所以 . 故答案为：. 四、解答题 22．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，已知，，和的夹角为，且． (1)若为的中点，求． (2)已知，若，求实数的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）首先可得，再由数量积的运算律及定义计算可得； （2）用、表示，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为，，和的夹角为，且， 所以 因为为的中点，所以， 所以； （2）因为 ， 所以， 即有， 代入已知条件有，解得． 23．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)已知向量满足，且向量与的夹角为． (1)求； (2)若（其中），则当取最小值时，求与的夹角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量数量积的运算律，根据数量积的定义，可得答案； （2）由数量积的运算律与模长计算，根据二次函数的性质，结合数量积的结果，可得答案. 【详解】（1）因为，且向量与的夹角为， 所以，所以． （2）， 所以时，，此时，所以， 所以与的夹角的大小为． 24．(24-25高一下·江苏徐州·期中)已知向量满足与的夹角为. (1)求； (2)当为何值时，向量与垂直？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求出模. （2）利用垂直关系的向量表示列式，再利用数量积的运算律求解. 【详解】（1）由与的夹角为，得， 所以. （2）由向量与垂直，得 ，解得， 所以当时，向量与垂直. 地 城 考点04 数量积的运算律 一、单选题 25．(24-25高一下·江苏徐州·期中)下列关于向量，说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则与夹角为钝角 D． 【答案】D 【分析】对于，当时与不一定共线；对于，当时不一定等于；对于，当时，满足；对于，根据向量的运算性质即可判断. 【详解】对于，当时，满足，但与不一定共线，故错误； 对于，当时，，但不一定等于，故错误； 对于，当时，满足，此时与夹角不是钝角，故错误； 对于，根据向量的运算性质可知，故正确. 故选：D. 26．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)图中正方形的边长为2，圆的半径为5，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的值为（   ） A．23 B．29 C．21 D．24 【答案】A 【分析】利用可求解. 【详解】因为正方形的中心与圆的圆心重合，所以是的中点， 又正方形的边长为2，所以，所以， 所以 . 故选：A. 27．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 【答案】C 【分析】根据向量的投影向量的定义，列式求解，即可得答案. 【详解】由于向量在向量上的投影向量为， 故可得，即，所以， 故选：C 28．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)设， 是两个非零向量，且， ， 则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，得，，化简后结合向量的夹角公式可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以，① 因为，所以， 所以，② 由②①，得，则， 所以，得，所以， 因为， 是两个非零向量， 所以， 因为，所以. 故选：C 29．(24-25高一下·江苏西安交通大学苏州附属中学·期中)已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合已知利用数量积的运算律得，则有，进而结合几何性质利用投影向量的概念求解即可. 【详解】由两边平方得，即，所以. 因为为中点，所以在向量上的投影向量为. 故选：C 30．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，，，AD与CE交于点O，，则实数t的值为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】设，利用向量的线性表示以及三点共线可得，即可表示出向量和向量，再由向量的数量积的运算律化简可得选项. 【详解】由已知得：， 设，所以， 又点三点共线，所以，解得， 所以， 又， 因，， 所以 ， 则，故. 故选：D 31．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)在中，，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点为，根据已知可推得为等腰三角形，.进而化简得出，在中，求出的取值范围即可得出答案. 【详解】 如图，取中点为，连接， 则. 又， 即， 所以， 所以，为等腰三角形，. 又，所以. 又，， 所以，. 在中，有， 所以，. 又，， 所以，， 所以，，， 所以，的取值范围为. 故选：B. 二、多选题 32．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】AC 【分析】将已知等式两边平方可判断A；根据垂直向量的数量积为0可判断B；利用性质计算可判断C；由向量夹角公式直接计算可判断D. 【详解】， 将，的代入，可得，故A正确； ，故B错误； ，故，C正确. 设与的夹角为，则， 故，又，故，D错误. 故选：AC. 33．(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)下列说法中正确的有（      ） A． B．已知在上的投影向量为且，则 C．若非零向量，满足 则与+的夹角是30° D．已知 ，且与夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】AC 【分析】利用向量数量积的定义可判断A；利用向量投影向量的定义可判断B；运用向量数量积的运算法则，结合夹角公式可判断C；判断与平行时的取值可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，因为在上的投影向量为，所以， 又，所以，则，故B错误； 对于C，因为非零向量满足， 则，即有， 所以，又， 所以与的夹角的余弦值为， 又，可得与的夹角为，故C正确； 对于D，因为，，所以， 当与平行时，，解得， 此时与的夹角不为锐角，故D错误. 故选：AC. 34．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上的投影向量为 B．当时， C．当时， D．的最大值为0 【答案】BCD 【分析】根据已知得是边长为2的等边三角形，且，由投影向量的定义及向量的线性关系判断A；由题设在中边的中线上，进而有判断B；应用向量数量积的运算律及模长列方程求参数值判断C；化，进而得到，结合有，即可得判断D. 【详解】由题设，是边长为2的等边三角形，且， A：当时，，又，即，故在上的投影向量为，错； B：当时，，即在中边的中线上， 又为等边三角形，故，即，对； C：当时，，则， 所以， 所以，即，又，故（负值舍），对； D：, 由，即①， 所以，要使该值最大，只需最小， 由①得，则，所以，对. 故选：BCD 三、填空题 35．(24-25高一下·江苏南通、镇江·期中)蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若，则______________；若，则______________． 【答案】 【分析】结合正六边形的性质以及平面向量的线性运算即可得到结果；再将分别用表示出来，结合向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】观察图形可知，三点共线，且， 因为， 且， 则， 所以，即； 由正六边形的性质可得 ， 所以 . 故答案为：； 36．(24-25高一下·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)已知向量满足，，，且，则________. 【答案】/ 【分析】根据已知条件依次求出，接着求出、即可结合向量夹角余弦公式 【详解】， 所以， ， 所以， ， 所以， 所以， ， ， 所以， 故答案为： 37．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)已知向量满足，且，则______． 【答案】 【分析】由题设，应用向量数量积的运算律及已知可得，即可求模长. 【详解】由题设，，又， 所以，可得， 所以，可得. 故答案为： 38．(24-25高一下·江苏连云港灌南县·期中)已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为_____. 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，作于点.将用表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可. 【详解】 如图，延长交于点，过点作于点，作于点. 因点，分别是知的重心和外心，则，, 则，则 ， 即得， 又由和，可得， 整理得，解得， 因， 则， 即边的长为. 故答案为：. 四、解答题 39．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)在平面四边形中，，． (1)设、分别为、的中点． （i）证明：； （ii）若，求与夹角的余弦值． (2)求的值． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）. (2) 【分析】（1）（i）由平面向量的加法得出，两式相加可证得结论成立； （ii）由可得出结合平面向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求； （2）利用平面向量的线性运算得出，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】（1）（i）如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，， 因为，两个等式相加得； （ii）因为， 则， 即，解得， 即与夹角的余弦值为. （2）， 因此. 40．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)在中，已知，，，，，CM与BN相交于点P． (1)求CM的长度； (2)若，求的值； (3)求的最小值，并求此时的余弦值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，的余弦值为 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，再根据平面向量的数量积的运算律求解即可； （2）根据平面向量共线的推论，可得，进而根据平面向量的数量积的运算律求解即可； （3）根据平面向量的线性运算及数量积的运算律，可得，即可得到时，取得最小值，进而得到，，进而根据平面向量的数量积的运算律及夹角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，则， 则， 则，即CM的长度为. （2）当时，， 由于三点共线，则存在实数， 使得， 由于三点共线，则存在实数， 使得， 所以，解得， 则， 则 . （3）由，，， 则，， 所以 ， 则时，取得最小值. 此时，， 则，， 所以 ， ， 由（1）知，， 所以. 地 城 考点05 向量夹角的计算 一、单选题 41．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)已知是单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且， 可得，可得， 则，又因为，可得， 所以与的夹角为. 故选：B. 42．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)已知，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据夹角公式计算可得. 【详解】因为，， 所以，又，所以， 即与的夹角是. 故选：C 43．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)已知平面向量，满足，且，则，的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对表达式平方，结合数量积公式求解. 【详解】由题知，，平方可得， 则，， 根据数量积的定义，， 则，又，则， 则，的夹角为. 故选：B 44．(24-25高一下·江苏宿迁·期中)已知均为单位向量，若，则与夹角的大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的线性运算与模长计算即可得，再根据向量夹角余弦公式即可得夹角大小. 【详解】已知，由得， 两边平方可得，所以， 则，可得， 则，由于，所以, 故与夹角的大小等于. 故选：C． 二、多选题 45．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)下列说法正确的有（   ） A．若，则或 B．已知不共线，若向量与向量共线，则实数 C．设，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】对于A，由向量模长定义可判断选项正误；对于B，由向量共线定义可判断选项正误；对于C，由题可得，据此可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A，，则只能得到两向量模相等，不能得到向量共线，故A错误； 对于B，因向量与向量共线，则，故B正确； 对于C，因与的夹角为锐角，则且不平行于， 则，故C正确； 对于D，在方向上的投影向量为， 因，，则，故D正确. 故选：BCD 46．(24-25高一下·江苏南通、镇江·期中)已知非零向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则向量夹角为锐角 B．若，则 C．若，则与的夹角是 D．若，则 【答案】BCD 【分析】对于A，因为时，向量的夹角为锐角或零度角，即可判断；对于B，由与表示同向的单位向量，即可判断；对于C，利用向量的线性运算知识结合图形，即可判断；对于D，由，设，代入等式两边利用运算法则运算，即可判断. 【详解】向量是非零向量， 对于A，因为，即， 所以向量夹角为锐角或零度角，故A错误； 对于B，因为，所以与方向相同， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，故B正确； 对于C，设，，由向量线性运算知： ，，如下图所示：    因为， 所以与均为等边三角形，， 又四边形为菱形，所以， 即与的夹角为，故C正确； 对于D，因为，设， 则，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 47．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知向量，，则下列说法中正确的是（ ） A．当时， B．当时，向量在向量上的投影向量为 C．当与的夹角为锐角时， D．与向量垂直的单位向量为 【答案】BC 【分析】A选项，根据向量垂直先求出，然后由模长公式求解；B选项，根据投影向量公式求解；C选项，根据数量积公式求解，D选项，设出，结合题意列方程组求解. 【详解】A选项，当时，，解得， 此时，，A选项错误； B选项，根据投影向量公式，向量在向量上的投影向量为，B选项正确； C选项，当与的夹角为锐角时，且与不同向共线， 解得，与共线时，，此时，不满足与同向共线， 即当与的夹角为锐角时，，C选项正确； D选项，设与向量垂直的单位向量，由题意，， 解得或，D选项错误. 故选：BC 三、填空题 48．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则与夹角的大小为_____________ 【答案】/ 【分析】首先由条件判断，由等式变形，转化为数量积运算求，再变形为，平方后即可求解. 【详解】由条件可知，，即，两边平方得， ， 所以， 又，两边平方得， 得，即. 故答案为： 四、解答题 49．(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)已知，，． (1)求与的夹角； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得； （2）根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 即， 又，，所以，所以， 所以， 由于，所以， （2）因为，，， 所以. 50．(24-25高一下·江苏沭阳高级中学等四校·期中)已知向量， 的夹角为， 且 (1)求 (2) (其中x∈R).，当取最小值时，求与的夹角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的模长公式结合数量积的运算律求解即可. （2）根据向量的模和二次函数的性质求出的值，再根据向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）， 所以． （2）， 由二次函数的性质，易知当时，最小． 此时，； 因为与的夹角范围为，故与的夹角为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $