精品解析：河北唐山市迁安市第一中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年高一下学期数学第一次月考试卷 一、单项选择题： 1. （ ） A. B. 0 C. D. 2. 已知向量，若，则m等于（ ） A. B. 4 C. D. 3. 在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角所对的边分别是．已知，则B的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 5. 在中，为边上的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题： 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为2 B. 当时，求与夹角为 C. 若在方向上的投影向量的模为，则或 D. 若与夹角为钝角，则的取值范围是 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题： 12. 已知单位向量，满足，则______． 13. 如图，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，是的中点，设，，则__________． 14. 香霏楼是荣昌昌州故里景区的标志性建筑之一，也是荣昌历史文化的重要象征.某同学为测量香霏楼的高度，在香霏楼的正西方向找到一座建筑物，高约为15m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，香霏楼顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则香霏楼的顶部与地面的距离约为________ m.. 四、解答题： 15. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求向量与夹角的余弦值. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． （1）求的值； （2）若，求的周长. 17. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 19. 如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. （1）判断的形状； （2）当时，求的值； （3）当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学第一次月考试卷 一、单项选择题： 1. （ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量加减法法则求解即得. 【详解】. 故选：D 2. 已知向量，若，则m等于（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，可得，解得. 故选：C. 3. 在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算结合已知条件把用表示，再由平面向量基本定理可求得的值，从而可求得答案. 【详解】如图，由题，， ， 所以. 故选：A. 4. 在中，内角所对的边分别是．已知，则B的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用正弦定理计算得到答案. 【详解】根据正弦定理：得到， ，故或. 故选：D. 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 5. 在中，为边上的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 故选：D 6. 的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理将角转化为边，可得，然后利用余弦定理可知结果. 【详解】在中，由正弦定理，可得：，， ，可得：，整理可得：， 由余弦定理可得：， . 故选：A. 7. 如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示，结合二次函数知识，即可求得答案. 【详解】由于， 如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系， 连接,由于，则≌, 而，故，则， 则， 设，则，， 故， 当时，有最小值， 故选：B． 8. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由利用正弦定理得，又利用余弦定理得，利用余弦定理计算，进而得，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由和正弦定理，可得， 由和余弦定理，可得， 整理化简得：，代入化简得， 又由余弦定理得， 又，所以， 所以， 所以. 故选：D. 二、多项选择题： 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为2 B. 当时，求与夹角为 C. 若在方向上的投影向量的模为，则或 D. 若与夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算求解判断A，根据向量垂直的坐标运算求解判断B，根据投影向量的坐标公式列式求解判断C，根据向量夹角的坐标运算列不等式求解判断D. 【详解】对于A，向量，且，所以，则，故A错误； 对于B，时，，则，所以与的夹角为，故B正确； 对于C，由已知在方向上的投影向量的模为， 所以，解得或，故C正确； 对于D，若与夹角为钝角，则且与不共线， 所以且，故D错误. 故选：BC 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项. 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题： 12. 已知单位向量，满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可求得，进而利用可求模. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 13. 如图，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，是的中点，设，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的中点公式及线性运算，即可求解. 【详解】因为是的中点，则， 又是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，则， 所以. 14. 香霏楼是荣昌昌州故里景区的标志性建筑之一，也是荣昌历史文化的重要象征.某同学为测量香霏楼的高度，在香霏楼的正西方向找到一座建筑物，高约为15m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，香霏楼顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则香霏楼的顶部与地面的距离约为________ m.. 【答案】30 【解析】 【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，根据三角形内角和以及平行线性质可得角的度数，在结合正弦定理，可得答案. 【详解】在中，；在中，； 由图可知，易知， 在中，，根据正弦定理可得：， 所以 所以. 故答案为：30 四、解答题： 15. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量加减法和数量积的坐标运算求解即可； （2）由向量的坐标运算可得，再由夹角的坐标公式计算可得结果. 【小问1详解】 因为，，所以， 又，所以，解得； 【小问2详解】 因为， 所以，解得，，所以， 所以， 即向量与夹角的余弦值为. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． （1）求的值； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）对已知的边的等式应用正弦定理，将边转化为角，结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式展开化简，消去后求解； （2）先由求出，结合三角形面积公式与已知的，先求出边，再结合三角形的面积得到，最后用余弦定理求出，三边相加得到周长. 【小问1详解】 由，正弦定理可得， ，， ， 因为，所以，两边同时除以得， 解得. 【小问2详解】 由，，得. 因为且，所以. 再由，得，即. 由余弦定理：，得. 因此的周长为. 17. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 【答案】（1） （2）15km 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可求； （2）由正弦定理有求出，再由余弦定理有即可求解. 【小问1详解】 由题意知：，， 在中，由余弦定理 因为, 所以 【小问2详解】 ，,， 由题意知： 在中，由正弦定理得：，所以 由余弦定理得：， 即， 解得：或（舍） ，之间的距离为 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 19. 如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. （1）判断的形状； （2）当时，求的值； （3）当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【答案】（1）等边三角形 （2） （3）最小值， 【解析】 【分析】（1）根据数量积求出后可判断三角形形状； （2）结合向量的线性运算可得，故可求向量和的模； （3）设，利用向量的线性运算结合二次函数的性质可求的最小值. 【小问1详解】 ，， 则，即， 故为等边三角形. 【小问2详解】 当时，、为边的三等分点， 设为中点，且， 所以， 故. 【小问3详解】 设， 当时，、、为边的四等分点， ， 设，其中，则， ， 所以 ， 当且仅当即时，取最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $