精品解析：河北黄骅中学2025-2026学年第二学期高一第一次月考数学试卷

河北黄骅中学2025-2026学年度第二学期高一第一次月考数学试卷 命题人：李桂英审定人：王菲菲 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分.共4页，共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（客观题共58分） 一、单选题（每题5分共40分） 1. 已知i为虚数单位，，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 25 2. 判断下列各命题的真假，其中假命题的个数为（ ） （1）向量的长度与向量的长度相等；（2）、是两非零向量，且与平行，则与方向相同或相反；（3）如果表示两个向量的有向线段有共同的终点，则这两个向量一定是共线向量；（4）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；（5）为模为1的向量，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知，则等于（　　） A. 10 B. C. 3 D. 4. 已知，是两个不共线的单位向量，，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在中，角的对边分别为，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边，其中给出下列结论，其中正确的结论为（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 7. 已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（ ） A. 在 中，若 ，则 B. 若 ，，，则有唯一解 C. 若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 若 ，则角 8. 已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分共18分） 9. 下列关于向量的命题，正确的有（ ） A. 若，，则 B. 对任意向量，，都成立 C. 对任一向量，有 D. 对于任意两个向量和，有 10. 已知向量，，则（ ） A. 向量方向上的单位向量为 B. 当时，向量在向量上的投影向量为 C. 当与的夹角为锐角时， D. 当时， 11. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 在中，若，，则必是等边三角形 第Ⅱ卷（主观题共92分） 三、填空题（每题5分共15分） 12. 已知向量，，若，则_______. 13. 已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为__________． 14. 若函数的图像上存在不同的两点和，满足，则称函数具有性质．给出下列函数： ①，； ②， ③； ④，． 其中具有性质的函数为_____（填上所有正确序号） 四、解答题（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，共77分） 15. 已知复数，求满足下列条件的实数的值： （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）在复平面内对应的点位于第三象限． 16. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值 （2）求的值； （3）若向量与平行，求实数的值． 17. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，． （1）求的值； （2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 18. 已知中，角的对边分别是，，，且． （1）求角A的大小； （2）求的最大值； （3）若，为边上靠近B点的三等分点，求的面积． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，且满足，. （1）求； （2）求的值； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北黄骅中学2025-2026学年度第二学期高一第一次月考数学试卷 命题人：李桂英审定人：王菲菲 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分.共4页，共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（客观题共58分） 一、单选题（每题5分共40分） 1. 已知i为虚数单位，，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据复数相等的概念得到，再根据公式计算复数的模长. 【详解】因为， 所以， 所以, 故选：A. 2. 判断下列各命题的真假，其中假命题的个数为（ ） （1）向量的长度与向量的长度相等；（2）、是两非零向量，且与平行，则与方向相同或相反；（3）如果表示两个向量的有向线段有共同的终点，则这两个向量一定是共线向量；（4）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；（5）为模为1的向量，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的概念，结合图形，即可得出答案. 【详解】对于（1），根据向量的模的概念，可知（1）正确； 对于（2），根据平行向量的概念，可知（2）正确； 对于（3），如图1，的终点都是点，但是不共线，故（3）错误； 对于（4），如图2，正方形中，向量和向量是共线向量，但是点A、B、C、D不在同一条直线上，故（4）错误； 对于（5），根据向量的概念，可知（5）错误. 所以，（3）（4）（5）为假命题. 故选：C. 3. 已知，则等于（　　） A. 10 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以. 故选：B. 4. 已知，是两个不共线的单位向量，，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平面向量数量积运算公式得到，从而推出充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案. 【详解】， 因为，是两个不共线的单位向量，设，的夹角为， 所以，即， 当且时，，由于，故成立，充分性成立， 不妨设，，，此时，满足，必要性不成立， 故“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 在中，角的对边分别为，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知式可得，由余弦定理即可求出，由正弦定理可求出的值. 【详解】由及正弦定理，得，可得， 由余弦定理得，又， 所以．又，，由， 得． 故选：D． 6. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边，其中给出下列结论，其中正确的结论为（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据正八边形的性质可求出，对于B，利用向量的加法法则分析判断，对于C，根据向量的减法法则结合正八边形的性质分析判断，对于D，根据投影向量的定义分析判断 【详解】由八卦图可知与的夹角为，而，故A错 由，故B错； 易知，又，所以， 而，所以，即C错误； 因为，即与的夹角为， 易知在上的投影向量为，即D正确. 故选：D 7. 已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（ ） A. 在 中，若 ，则 B. 若 ，，，则有唯一解 C. 若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 若 ，则角 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理边化角即可得结果；对于B：利用正弦定理可得，结合即可得结果；对于C：由倍角公式可得，即可得结果；对于D：利用余弦定理边化角即可得结果. 【详解】对于A，在中，由正弦定理知，， 结合大边对大角可得，故命题正确，A不符合题意； 对于B，因为，，， 由正弦定理，得， 由知，只有一解，所以有一个解，故命题正确，B不符合题意； 对于C，因为，由正弦定理得：，则， 因为，可知或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，C不符合题意； 对于D，因为， 由余弦定理得：，即， 因为，所以或，故命题错误，D符合题意. 故选：D. 8. 已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解. 【详解】设与夹角为，与所成夹角为， ， 所以，，① ，② 又，③ ②与③联立可得，④ ①④联立可得， 当且仅当时，取等号，，，则， 故与所成夹角的最大值是， 故选：A. 【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法： （1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是； （2）坐标法：若非零向量、，则. 二、多选题（每题6分共18分） 9. 下列关于向量的命题，正确的有（ ） A. 若，，则 B. 对任意向量，，都成立 C. 对任一向量，有 D. 对于任意两个向量和，有 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量的运算律可判断AB；根据向量数量积公式可判断CD. 【详解】对于A，若，，则，所以或，故A错误； 对于B，设，所以，当与共线时 可能成立，故B错误； 对于C，对任一向量，有，故C正确； 对于D，对于任意两个向量和，有， 所以，故D正确. 故选：CD. 10. 已知向量，，则（ ） A. 向量方向上的单位向量为 B. 当时，向量在向量上的投影向量为 C. 当与的夹角为锐角时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】向量方向上的单位向量为即可判断A；向量在向量上的投影向量为判断B；根据且与不同向判断C，根据求出，再由向量模的坐标表示判断D. 【详解】对于A：因为，则， 所以向量方向上的单位向量为，故A错误； 对于B：当时，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C：当与的夹角为锐角，则且与不同向， 故，解得，故C正确； 对于D：当，则，解得，所以， 所以，所以，故D错误. 故选：BC 11. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断B，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，由余弦定理可证D. 【详解】选项A：中，若， 即，所以由正弦定理得， 又由余弦定理得，所以， 为钝角三角形，A正确； 选项B：如图所示， 若有两解，则，解得，B错误； 选项C：因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以，则， 又因为在单调递增，所以，C正确； 选项D：若，， 由余弦定理，， 所以，顶角为的等腰三角形为等边三角形，D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（主观题共92分） 三、填空题（每题5分共15分） 12. 已知向量，，若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行得到方程，求出，从而得到，利用模长公式求出答案. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以. 故答案为： 13. 已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设的坐标，由平面向量数量积的坐标和三角函数的有界性计算即可求得． 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为等边的边长为6， 所以的内切圆圆心在上，半径， 则，，，，， 所以，， 所以， 所以当时，取得最小值． 故答案为：． 14. 若函数的图像上存在不同的两点和，满足，则称函数具有性质．给出下列函数： ①，； ②， ③； ④，． 其中具有性质的函数为_____（填上所有正确序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据数量积的公式将转化为过点的直线与函数图象存在至少两个不同的交点，然后结合图象判断即可. 【详解】，，， 所以，即， 即三点共线，即过点的直线与函数图象存在至少两个不同的交点， 由图可知，①②④满足，图象如下所示： 联立得，则当时方程无解或只有一个解，故③不具有性质. 故答案为：①②④. 四、解答题（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，共77分） 15. 已知复数，求满足下列条件的实数的值： （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）在复平面内对应的点位于第三象限． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】根据复数的概念以及几何意义，建立方程与不等式，可得答案. 【小问1详解】 由题意，得，解得或． 【小问2详解】 由题意，得解得． 【小问3详解】 由，解得，所以． 16. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值 （2）求的值； （3）若向量与平行，求实数的值． 【答案】（1）60 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的运算法则及向量模的计算式求值即可； （2）根据平面向量数量积的定义，运算法则及向量模的计算式求值即可； （3）由平面向量共线定理及平面向量基本定理列出方程组求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为，，且与的夹角为60°， 所以， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为向量与平行，所以， 由平面向量基本定理可得， 解得或， 所以的值为. 17. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，． （1）求的值； （2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 【答案】（1） （2）预算资金够用 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解； （2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可. 【小问1详解】 解：由， 得， 则， 在中，由正弦定理得，即， 所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 整理得， 解得（舍去）． 在中，， 所以， 又， 解得． 在中，， 所以． 由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用． 18. 已知中，角的对边分别是，，，且． （1）求角A的大小； （2）求的最大值； （3）若，为边上靠近B点的三等分点，求的面积． 【答案】（1） （2）18 （3） 【解析】 【分析】（1）由，利用向量共线的坐标运算，结合正弦定理边化角，再由两角和的正弦公式化简可求解； （2）由余弦定理，代入已知数据结合重要不等式求解； （3）由题意有，两边平方化简得，在中和中，由余弦定理得化简得，解得，代入②得，可求的面积. 【小问1详解】 由得，而， 所以，即， 由正弦定理得． 故． 即， 即，而，， 故，即． 而，故. 【小问2详解】 由余弦定理得，即， 而，所以， 所以，当且仅当时等号成立． 故的最大值为18. 【小问3详解】 因为D为边上靠近B点的三等分点，，， 有，即，故， 两边平方得， 即，化简得①， 在中，由余弦定理得； 在中，由余弦定理得； 而， 故，即②， 由①和②得：，解得，代入②得， 所以的面积为. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，且满足，. （1）求； （2）求的值； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2）-2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，可求； （2）利用余弦定理可求得，结合三角形的面积关系可求得，利用向量的数量积的定义可求结论； （3）设，则，，，其中，利用正弦定理可得，，利用三角恒等变换和正弦曲线可求得的取值范围. 【小问1详解】 由，得， 所以， 所以.， 所以， 因为，所以， 可得，又，所以； 【小问2详解】 由，可得的三个内角均小于120°，又点为的费马点， 则， 由可得， 由余弦定理可得， 所以，所以， 又， 故， 可得. 所以； 【小问3详解】 设，则，，， 其中， 在中，由正弦定理可得，即， 则， 在中，由正弦定理可得，即， 则， ， 又 ， 又， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $