河北省博野中学2025-2026学年高一（清北实验班）下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 聚焦高一数学核心知识，以集合、函数、不等式为主体，通过“龟兔赛跑”函数图象（文化情境）与仓储建造应用题（现实模型），实现基础巩固与创新应用的梯度考查，适配实验班月考能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合运算、函数定义域、命题否定|如新定义运算题，考查数学抽象与创新思维| |多项选择|3/18|不等式性质、二次函数、充要条件|如正实数最值问题，强化逻辑推理与运算能力| |填空|3/15|函数图象、定义域、值域|“龟兔赛跑”题，体现几何直观与数学眼光| |解答题|5/77|集合综合、二次函数、不等式应用|仓储建造题，融合模型意识与实践能力，贴合真题命题趋势|

博野中学2026级清北实验班第一次考试 数学试卷 满分150分 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1．设集合，则=（   ） A． B． C． D． 2. 函数定义域为（ ） A. [2，+∞) B. (2，+∞) C (2，3)∪(3，+∞) D. [2，3)∪(3，+∞) 3．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．“”是命题“，”为真命题的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 6.已知函数，则（    ） A．0 B． C． D．2 7．设函数若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 8．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，．则在此定义下，集合，，中的元素个数是（　　） A．10个 B．15个 C．16个 D．18个 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9．“”的一个充分不必要条件可以是（　　） A． B． C． D． 10．已知正实数、满足，则下列说法正确的有（    ） A．的最大值为18 B．的最小值为12 C．的最小值为13 D．的最小值为 11．已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（　　） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 三、填空题（每空5分，共15分） 12．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是        ． 13若函数的定义域为，则函数的定义域为 14.函数的值域为 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）设全集为，集合，， ． (1)求，；； (2)若，求实数a的取值范围． 16．（15分）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若时，恒成立，求实数的取值集合． 17．（15分）解以下各小题。 (1)已知，求的取值范围 (2)若，求的最小值 (3)已知，且，若恒成立，求 的取值范围 18．（17分）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 19．（17分）已知函数. (1)当时，求时的取值范围； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)当时，解关于的不等式； 学科网（北京）股份有限公司 $ 博野中学2026级清北实验班第一次考试 一、单项选择题 1．（24-25高二下·贵州遵义·期中）设集合，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，则. 故选：A. 2. 函数定义域为（ ） A. [2，+∞) B. (2，+∞) C (2，3)∪(3，+∞) D. [2，3)∪(3，+∞) 【答案】C 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 所以的定义域为. 故选：C. 3．（24-25高一下·四川德阳·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】命题“，”的否定是，.故选：D 4．“”是命题“，”为真命题的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，等价为，， 又因为，所以， 若，则成立，即，成立； 反之，若，成立，则，不能推出． 所以“”是命题“，”为真命题的充分不必要条件． 故选：A． 5．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 6.已知函数，则（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【详解】已知，此时函数. 把代入可得：. 由上一步得到，那么. 因为，此时函数. 把代入可得：. 故选：C. 7设函数若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 令，由，得. ①时，，方程无解. ②时，， 或（舍去）， . 时，，则或（舍去）； 时，无解. 综上，. 故选：B. 8．对于任意两个正整数，，定义某种运算“”如下：当，都为正偶数或正奇数时，；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，．则在此定义下，集合，，中的元素个数是（　　） A．10个 B．15个 C．16个 D．18个 【答案】B 【解析】，，， 若和一奇一偶，则，满足此条件的有，故点有4个； 若和同奇偶，则，满足此条件的有，共6组，故点有个， 所以满足条件的个数为个． 故选：B． 二、多项选择题 9．“”的一个充分不必要条件可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B C 【解析】∵，∴， ∵，， ∴“”或“”是“”的充分不必要条件， 故选：BC． 10．已知正实数、满足，则下列说法正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】对于A，，∴， 则，当且仅当，时取等，即的最小值为，故A错误； 对于B，由选项A知，所以，故的最小值为，则B正确； 对于C，， 由得，故， 令，则，，所以， 则， 当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故C正确； 对于D，由选项C,得 ，当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 11．已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（　　） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】B D 【解析】由题意可知，和3是方程的两根，且， ∴，， ∴，，，即选项A错误； 不等式等价于， ∴，即选项B正确； ∵不等式的解集为， ∴当时，有，即选项C错误； 不等式等价于，即， ∴或，即选项D正确． 故选：BD． 三、填空题 12．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是        ． 【答案】④ 【解析】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点． 故符合题意的是④． 故答案为：④． 13若函数的定义域为，则函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中，，则， 所以函数中，解得， 故选：A． 14.函数的值域为 A． B． C． D． 【答案】. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值2，即； 所以其值域为. 四、解答题 15．（15分）设全集为，集合，，． (1)求，；； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1）集合，， 所以，. 或，所以. （2）因为集合，， ，则，故， 所以实数a的取值范围. 16．已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若时，恒成立，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)实数的取值集合为 【详解】（1）设，又，所以，所以， 又，所以， 即，所以，解得， 所以； （2）若时，恒成立，则的解集为， 即的解集为，所以， 所以，即，解得， 所以实数的取值集合为． 17．回答下列问题 (1)已知，求的取值范围 (2)若，求的最小值 (3)已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 得到，则. （2）由题意得， ， 而，由基本不等式得， 当且仅当，此时解得， 则，故，得到的最小值是. （3）因为，所以， 得到，即， 则， ， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，而 此时解得，， 则， 而恒成立，得到. 18．利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【答案】(1)，其中，． (2) 【详解】（1）由题设，则且； （2）解法一：由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 解法二：由，得． 故． 因为（当且仅当时取等号）． 所以（当且仅当时取等号）． 故仓库容积的最大值为，此时． 19．（15分）已知函数. (1)当时，求时的取值范围； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)当时，解关于的不等式； 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）当时，时，则，解得， 所以的取值范围是. （2）①当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意； ②当，即时，的解集为，即的解集为， 则有，即，解得. 所以的取值范围是. （3）不等式， 即，即， 当时，即时，不等式化为，解得； 当时，有， 解方程，得或， ①当，又，得时，即时，有， 则解不等式，得或； ②当，即时有， 解不等式，得， 所以当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $博野中学2026级清北实验班第一次考试 数学答案纸 二、 填空题（共15分） 12. 13. 14. 三、解答题（共77分） 15. (13分) 数 p 尔 闹 16.(15分) 毁 蝶 翼 17.(15分) b q (LI)81 19.(17分)