专题09 解析几何（7大考点）（江苏专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题09 解析几何 7大考点概览 考点01直线与方程 考点02圆与方程 考点03直线与圆 考点04椭圆 考点05双曲线 考点06抛物线 考点07新定义 ( 直线与方程 考点1 ) 1．（2026·江苏·一模）已知直线与直线平行，则实数的值为______. 2．（2026·江苏南京·一模）设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． ( 圆与方程 考点 2 ) 3．（2026·江苏·一模）等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 4．（2026·江苏·一模）已知为坐标原点，，，两点在单位圆上，满足，以线段，为邻边作平行四边形，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏·一模）已知圆是上的两个动点，点．若四边形是矩形，则的取值范围为______． ( 直线与圆 考点 3 ) 6．（2026·江苏·一模）“a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的（   ） A．必要不充分条件B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·江苏·一模）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 8．（2026·江苏·一模）若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 9．（2026·江苏·一模）（多选）直线与圆交于两点，则（   ） A．点到直线的距离为 B．线段 C． D．的面积是20 10．（2026·江苏南京·一模）设，. (1)求证：在上恒成立； (2)若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆（其中）相切，求实数的取值范围； (3)设，点在函数的图像上，且的横坐标，.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. ( 椭圆 考点 4 )11．（2026·江苏·一模）若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线的焦点，则（   ） A． B． C．2 D． 12．（2026·江苏·一模）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（   ） A． B． C． D． 13．（2026·江苏·一模）已知为坐标原点，若椭圆上存在三点，，，使四边形为正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·江苏南通·一模）用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·江苏·一模）已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·江苏·一模）已知椭圆的焦距为2，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)设为的左焦点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点， ①证明：平分线段（其中为坐标原点）； ②当取最小值时，求点的坐标． ( 双曲线 考点 5 )17．（2026·江苏·一模）在对称轴为坐标轴的双曲线中，“离心率为”是“渐近线方程为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 18．（2026·江苏南通·一模）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2026·江苏·一模）（多选）已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点，则（ ） A．越大，则双曲线的离心率越大 B．过点与双曲线仅有一个交点的直线只有一条 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，则为的中点 20．（2026·江苏·一模）（多选）已知双曲线C：的左、右焦点分别是，，直线l：与两条渐近线交于A，B两点，若，则C的离心率可能是（   ） A．2 B． C． D． 21．（2026·江苏南通·一模）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于两点．若直线的斜率是的周长是16，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的实轴长是2 C．的面积是12 D．的外接圆半径是 22．（2026·江苏·一模）（多选）双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则的面积为 23．（2026·江苏·一模）（多选）设分别是双曲线的左､右焦点，过作轴的垂线与交于两点，若的周长为12，则下列选项中正确的是（    ） A． B．的焦距为 C．的离心率为 D．的面积为 24．（2026·江苏·一模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为分别为左、右焦点，为右顶点，为左支上的两个动点（不包括顶点）． (1)求的离心率； (2)是否存在常数，使得总成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (3)若为定值，直线经过，求的最小值． 25．（2026·江苏·一模）已知双曲线的离心率为，是上一点，直线的斜率为，且与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的方程； (3)证明：的外接圆的圆心在定直线上. 26．（2026·江苏·一模）已知双曲线（，）的焦距为，右顶点为A，直线l与双曲线E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点． (1)求双曲线E的方程； (2)是否存在直线l，使得与的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由； (3)若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明：为定值． 27．（2026·江苏·一模）过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足为、，且. (1)求双曲线方程； (2)过点的直线与双曲线右支交于、两点，连接、，直线与、分别交于、，. （i）若，求的值； （ii）求的最小值. ( 抛物线 考点 6 )28．（2026·江苏南京·一模）已知抛物线，过其焦点的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 29．（2026·江苏·一模）抛物线的焦点为F， 点在抛物线C上， 且， 则a+b=（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 30．（2026·江苏·一模）已知抛物线的焦点为，是上的动点，点，则的最小值为（    ） A．841 B．2026 C．2027 D．4111 31．（2026·江苏·一模）已知抛物线：（）的焦点为，直线与有唯一的公共点，则______. 32．（2026·江苏·一模）已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是______. 33．（2026·江苏·一模）已知，抛物线的准线与交于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知圆心在轴上，半径为的与外切，且与抛物线有且仅有两个公共点. （i）证明：数列为等差数列； （ii）过点作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，且，求的值. 34．（2026·江苏南通·一模）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． ( 新定义 考点 7 ) 35．（2026·江苏·一模）（多选）数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（    ） A．曲线由两条抛物线的一部分组成 B．线段的长度与点到直线的距离相等 C．若线段的长度为，则直线的斜率为 D．若，则直线的斜率为 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 解析几何 7大考点概览 考点01直线与方程 考点02圆与方程 考点03直线与圆 考点04椭圆 考点05双曲线 考点06抛物线 考点07新定义 ( 直线与方程 考点1 ) 1．（2026·江苏·一模）已知直线与直线平行，则实数的值为______. 【答案】/ 【分析】根据两直线平行建立关于的方程，解之即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 2．（2026·江苏南京·一模）设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 【答案】 【分析】求导，根据导数的几何意义结合题意列式计算即可求解. 【详解】， ， 由题意可得，解得. 故答案为：. ( 圆与方程 考点 2 ) 3．（2026·江苏·一模）等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出外接圆方程，再根据向量关系得到点M坐标，代入圆方程，最后利用不等式求解的最大值. 【详解】以直角顶点A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系， 则：，，， 外接圆圆心为斜边BC的中点O，坐标为，半径为， 故外接圆方程为：． 又因为，其中，， 则． 将代入圆的方程得， 即， ， ∴， 解得，当且仅当时取得的最大值2． 故选：B. 4．（2026·江苏·一模）已知为坐标原点，，，两点在单位圆上，满足，以线段，为邻边作平行四边形，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出得到点P在以O为圆心、半径为的圆上即可计算求解. 【详解】由题可知以线段，为邻边所作的平行四边形是边长为1的菱形，， 所以， 所以点P在以O为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为. 故选：D    5．（2026·江苏·一模）已知圆是上的两个动点，点．若四边形是矩形，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】由四边形为矩形，知对角线与互相平分且相等， 设的中点为，则也是的中点，且， 故问题转化为求的取值范围. 设，由可得， 又由垂径定理得：，即， 即， 整理得，即的轨迹是以为圆心、为半径的圆， ，而的取值范围可由的轨迹求得： ，其中， 所以的范围为： 所以， 故的取值范围为.      ( 直线与圆 考点 3 ) 6．（2026·江苏·一模）“a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的（   ） A．必要不充分条件B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，建立的方程，解出的值，利用充分条件和必要条件得到结论. 【详解】由直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切， 得，解得a＝0或a＝－4， 则“a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的充分不必要条件． 故选：B. 7．（2026·江苏·一模）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式结合弦长可得，求解即可. 【详解】由可知圆的方程为表示圆，所以， 解得或， 圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 由弦长为可得，所以， 解得或. 故选：D. 8．（2026·江苏·一模）若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点的坐标，列出二次函数，由存在性列出不等式解不等式求解 【详解】因为点A在直线上，所以设A点坐标为，点B坐标为， 因为向量 所以，即，， 所以B点坐标为. 又B在圆上，所以. 整理得关于的一元二次方程：， 因为存在点A在直线上，所以关于的一元二次方程有实数解. 故， 令，得，整理即， 所以. 所以的最大值为4. 9．（2026·江苏·一模）（多选）直线与圆交于两点，则（   ） A．点到直线的距离为 B．线段 C． D．的面积是20 【答案】ABC 【分析】点到直线的距离公式判断A；几何法勾股定理判断B；根据二倍角余弦公式计算判断C；三角形面积公式计算判断D； 【详解】 对于A，点到直线的距离为，选项A正确； 对于B，线段，选项B正确； 对于C，，选项C正确； 对于D，的面积是，选项D错误． 故选：ABC． 10．（2026·江苏南京·一模）设，. (1)求证：在上恒成立； (2)若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆（其中）相切，求实数的取值范围； (3)设，点在函数的图像上，且的横坐标，.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）构造函数，通过导数法得到单调性，得到，从而得证； （2）设，利用导数的几何性质求出曲线在点处的切线的方程，由曲线在点处的切线与圆相切，则有圆心到切线方程的距离得到，令，由得到，解出，得到，利用二次函数的图像和性质得到实数的取值范围. （3）求出，通过讨论和得到点在曲线上，点在上，且，因此线段均在曲线下方，因为，所以直线与的交点都在轴的上方.构造函数，通过导数法得到单调性，从而得到的最小值为.讨论的最小值与的大小得解. 【详解】（1）令，，，，在上为单调递增函数，， ，所以在上恒成立，即在上恒成立. （2）在曲线上，，，设， 不同于坐标原点，， ，，曲线在点处的切线的斜率为， 切线方程为，即， 圆的圆心为，半径为， 曲线在点处的切线与圆相切， 圆心到切线方程的距离， 即， 令，，，，解得， 则，，时取最大值，且最大值为， ，，实数的取值范围. （3），， 当时，；当时，； 则点在曲线上，点在上， 当，，， ， 线段的方程为， 即， 在上任取一点， 设， ， ，，， ，， ，，，， 在上是单调递增函数， ， ， ， 线段均在曲线下方， ，直线与的交点都在轴的上方. 令，则， 当时，，则在上是单调递增函数， 当时，，则在上是单调递减函数， 当时，取最小值，且最小值为. 当时，，故，即直线在曲线上方，与折线段无交点； 当时直线与曲线相切于点，与折线段无交点； 当时，，在范围内的根不影响交点个数， 故存在唯一使得. 当时，直线在曲线上方，与折线段无交点； 当时，在这段区间上只有有限条线段，交点个数有限. 综上，直线与的交点不可能有无穷多个. ( 椭圆 考点 4 )11．（2026·江苏·一模）若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线的焦点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由椭圆与抛物线的基本概念及性质求解即可. 【详解】椭圆的长轴长是短轴长的倍， 所以，即，所以， 抛物线的焦点为，该焦点为椭圆的右焦点， 所以，所以，即. 故选：A 12．（2026·江苏·一模）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，用定义得，代入余弦定理得的关系，转化为离心率约束，对目标式平方后用基本不等式求最大值，再由等号条件求. 【详解】设为第一象限内的交点，，，焦距为.    椭圆的定义：， 双曲线的定义：（因在第一象限，）， 解得：，. 在中，，由余弦定理，得， 得，即， 交叉相乘并整理： ， 两边除以，结合，，得. . 当且仅当，即， 因，故，则时等号成立，即取最大值. 因此，. 综上所述，当取最大值时，. 故选：C 13．（2026·江苏·一模）已知为坐标原点，若椭圆上存在三点，，，使四边形为正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形可得的对称性，从而可确定的位置，故可求的坐标，代入椭圆方程后可求离心率. 【详解】设，因为四边形为正方形，故， 故，而， 故，故，或， 因不重合且不共线，故或， 故关于轴对称或关于轴对称， 若关于轴对称，不妨设为上顶点，则， 因为四边形为正方形，故，则或， 故，故，而，故不成立，舍； 若关于轴对称，不妨设为右顶点，则， 因为四边形为正方形，故，则或， 故，故，故即， 故选：D. 14．（2026·江苏南通·一模）用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形分析椭圆的长半轴和短半轴与圆柱底面圆半径的关系，求出得到离心率. 【详解】设圆柱的底面半径为，则底面圆的直径为， 椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向，长度等于底面圆的半径，即， 长半轴垂直于截面与底面交线的方向，由二面角的几何关系可得， 所以， 所以该椭圆的离心率， 故选：D. 15．（2026·江苏·一模）已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质得到，利用相似三角形的性质得到，再结合余弦定理得到，进而得到，最后构建齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，连接，因为为椭圆的上顶点，所以， 因为，所以，故， 解得，设，，则， ，由余弦定理有， 即，解得， 因为，所以， 化简得，即， 整理得，解得，故B正确. 故选：B． 16．（2026·江苏·一模）已知椭圆的焦距为2，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)设为的左焦点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点， ①证明：平分线段（其中为坐标原点）； ②当取最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①证明详见解析；② 【分析】（1）根据已知条件求得以及，从而求得椭圆的方程. （2）设是的中点，通过证明三点共线来证明平分线段；先求得的表达式，然后利用函数的单调性求得最小时，点的坐标. 【详解】（1）依题意，，在椭圆上， 则，解得，所以椭圆方程为. （2）设，的中点为， ，则， ①，直线的方程为， 由消去并化简得， ， ， ， 所以，所以， 所以，所以平分线段. ②，， ， 所以， 设，函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值为， 此时.    ( 双曲线 考点 5 )17．（2026·江苏·一模）在对称轴为坐标轴的双曲线中，“离心率为”是“渐近线方程为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】利用共渐近线的双曲线的方程可求对应的离心率，再结合反例可判断两者之间的条件关系. 【详解】若双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线方程为， 若，则双曲线的标准方程为，故， 故，故； 若，则双曲线的标准方程为，故， 故，故； 设双曲线的方程为，此时，故离心率为， 此时渐近线的方程为， 故“离心率为”推不出“渐近线方程为”； “渐近线方程为”推不出“离心率为”， 故“离心率为”是“渐近线方程为”的既不充分又不必要条件， 故选：D. 18．（2026·江苏南通·一模）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段AB的中垂线的方程，进而可求点D和，结合运算求解即可. 【详解】设双曲线的右焦点为，则直线， 联立方程，消去y得：， 则可得， 则， 设线段的中点，则， 即， 且，线段的中垂线的斜率为， 则线段的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则， 注意到双曲线的离心率， ∴双曲线的离心率取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法定睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值（或范围）． 19．（2026·江苏·一模）（多选）已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点，则（ ） A．越大，则双曲线的离心率越大 B．过点与双曲线仅有一个交点的直线只有一条 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，则为的中点 【答案】ACD 【分析】本题A主要考查双曲线的离心率与渐近线的关系；B考查过双曲线上的一点的直线与渐近线的关系；C利用点到直线的距离求解即可；D根据直线与双曲线联立，求出交点坐标后，利用中点坐标验证即可。 【详解】A,因为双曲线的离心率公式：,所以越大，则双曲线的离心率越大，故A正确； B，过点与双曲线仅有一个交点的直线应该有三条，一条是过点的切线，另两条是与渐近线平行的直线，故B错误； C，设为双曲线上一点,代入方程得,去分母得，又因为渐近线为,所以点到两条渐近线的距离分别是,所以距离之积,显然是定值，故C正确； D，设,所以过点的切线方程是,联立切线与渐近线方程可得交点,所以MN的中点坐标=,故D正确; 故选：ACD 20．（2026·江苏·一模）（多选）已知双曲线C：的左、右焦点分别是，，直线l：与两条渐近线交于A，B两点，若，则C的离心率可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【分析】分析可知，，求交点横坐标，分和两种情况，结合弦长公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：直线l过点，且与直线垂直， 点到渐近线的距离， 因为，可知垂足为A，且，． 联立方程，解得； 联立方程，解得； 当时，点B在射线上，则， 可得，整理得， 所以双曲线C的离心率为； 当时，点B在射线上，则， 可得，整理得， 所以双曲线C的离心率为； 综上所述：C的离心率可能是或2. 故选：AD. 21．（2026·江苏南通·一模）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于两点．若直线的斜率是的周长是16，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的实轴长是2 C．的面积是12 D．的外接圆半径是 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合直角三角形边角关系求出，再逐项分析求解. 【详解】设，直线，由，得， 则，由直线的斜率是，得， 由双曲线定义得，由的周长是16， 得，即，则，而， 因此，解得，双曲线， 对于A，双曲线的渐近线方程为，A错误； 对于B，双曲线的实轴长是2，B正确； 对于C，，的面积是，C正确； 对于D，，，因此的外接圆半径，D正确. 故选：BCD 22．（2026·江苏·一模）（多选）双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则的面积为 【答案】BCD 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误； 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以，B正确； 对于C，记， 所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，C正确； 对于D，因为，， 由，得， 所以，D正确. 故选：BCD. 23．（2026·江苏·一模）（多选）设分别是双曲线的左､右焦点，过作轴的垂线与交于两点，若的周长为12，则下列选项中正确的是（    ） A． B．的焦距为 C．的离心率为 D．的面积为 【答案】ACD 【分析】根据已知求出点坐标，根据双曲线的定义得到，，再根据的周长求出，再根据双曲线的性质判断BCD选项. 【详解】由题意可知，因为，所以， 设代入双曲线方程，解得，所以，即， 又由双曲线定义可知，，所以，同理， 对于A，的周长为， 所以，A正确； 对于B，焦距为错误； 对于C，离心率为正确； 对于D，，D正确， 故选：ACD. 24．（2026·江苏·一模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为分别为左、右焦点，为右顶点，为左支上的两个动点（不包括顶点）． (1)求的离心率； (2)是否存在常数，使得总成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (3)若为定值，直线经过，求的最小值． 【答案】(1)2 (2)存在常数，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据渐近线的倾斜角，可得其斜率，即可得a，b的关系，求出a与c的关系，代入公式，即可得答案. （2）当时，根据条件，求出，即可得关系；当时，分别求出的表达式，化简整理，分析即可得关系. （3）设出直线的方程，与双曲线方程联立，根据韦达定理，可得表达式，进而可得表达式，利用导数求出的最小值，结合（2）及基本不等式，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）由题意，所以， 所以的离心率. （2）①当时，，， 此时，有. ②当时，可得的斜率都存在，设， 则， 因为， 即，其中为锐角， 即，， 所以，即. 所以存在常数，使得总成立. （3）由对称性，设直线的方程为，代入， 得，即， 所以， 令，则， 令，则， 所以单调递增，所以的最小值为， 所以，当且仅当“”时，取等号. 由（2）可知， 所以. 所以 ， 当且仅当“且”时，取等号． 所以的最小值为. 25．（2026·江苏·一模）已知双曲线的离心率为，是上一点，直线的斜率为，且与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的方程； (3)证明：的外接圆的圆心在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用双曲线的几何性质，列出方程组，求得，即可求解； （2）设，联立方程组，由，求得，且，结合，根据向量数量积的运算公式，列出方程，求得的值，即可求解； （3）由（2）求得线段的垂直平分线的方程为，设点的坐标为，根据及，列出方程，化简得到，代入，求得，得到圆心在定直线上，即可得证. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，且是上一点， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则，解得，所以或， 且， 因为，可得， 又因为， 可得， 所以 ， 将代入上式得， ， 因为，可得，即， 解得或， 又因为或，所以， 所以直线的方程为. （3）由（2）知，可得的中点的横坐标为， 则点的纵坐标为，即， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 设点的坐标为， 因为，可得 ， 又因为， 代入得， 整理得， 又由，可得， 则，可得， 其中， 则， 整理得， ①当时，两边同除以，可得， 代入，可得，即， 所以的外接圆的圆心在定直线上； ②当时，即时，可得直线的方程为， 此时点满足直线的方程，此时三点共线，不能构成三角形，舍去， 综上可得，的外接圆的圆心在定直线上. 26．（2026·江苏·一模）已知双曲线（，）的焦距为，右顶点为A，直线l与双曲线E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点． (1)求双曲线E的方程； (2)是否存在直线l，使得与的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由； (3)若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由焦距可得，由渐近线方程可得，据此可得双曲线方程； （2）由题可得B为PQ中点，设，，由点差法可得直线PQ斜率为渐近线斜率，据此可完成判断； （3）方法1，设直线，将其与双曲线联立，由韦达定理结合题意可得MN的中点为，据此可完成证明；方法2，设，，由题可得，，将双曲线的方程化为，将其与直线联立，然后由韦达定理可得，据此可完成证明. 【详解】（1）由题，设双曲线E的焦距为2c，则，即， 根据双曲线的性质可知，点在渐近线上， 所以，即①， 又，所以② 又①②解得，， 所以E的标准方程为． （2）不存在，理由如下： 假设存在直线l，使得与的面积相等， 则点B为PQ的中点，设，，代入E的方程得：， 两式作差得， 因为点为PQ的中点，所以，， 故，即直线l的斜率为， 故直线，即， 此时，直线l与E的渐近线重合，与E没有交点，与已知矛盾， 所以不存在直线l，使得与的面积相等 （3）证明：由题可知，直线l的斜率存在，设直线，与E的方程联立，得， 由题，，得，且， 设，，则，， 设，，又，所以， 令得，同理可得， 故， 又 ， ，所以， 所以MN的中点为， 因为，所以， 所以为定值．得证． 另解：设，，又，所以， 令得，同理可得， 双曲线的方程化为：，即， 设直线，即， 联立得， 所以， 等式两边同时除以得：， 设，，易得满足方程， 则为方程两根，由韦达定理可得 ，故， 所以MN的中点为， 因为，所以， 所以为定值．得证 【点睛】关键点睛：对于存在性问题，常假设相关条件成立，然后得到相关方程，不等式，通过判断方程，不等式是否有解来解决问题，或利用反证法；对于定值问题，常利用所设参数得到所研究数学量的表达式，随后设法消去参数来解决问题. 27．（2026·江苏·一模）过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足为、，且. (1)求双曲线方程； (2)过点的直线与双曲线右支交于、两点，连接、，直线与、分别交于、，. （i）若，求的值； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由已知可得出，利用点到直线的距离公式可得出，再利用、、的关系求得的值，即可得出双曲线的方程； （2）（i）设直线方程，则，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，分析可知，可得出，由可求得的值； （ii）由已知可得，令，可得出，利用导数求出函数的值域，即可得出的最小值. 【详解】（1）解：双曲线的渐近线方程为， 由已知得， 双曲线上一点到渐近线距离之积， 即，又，， 所以双曲线方程为. （2）解：（i）设直线方程，则，设点、， 联列方程组，可得， 由题意可得且恒成立， 又，， 直线的方程为，令，有， 即，同理， 直角三角形中，设直线交轴于点， 因为，则， 所以，，所以，， 则 ， 即， 当时，因为，可得； （ii）由（i）知：，从而， 令，则， 则 ，则， 当时，；当时，， 所以在上递增，在上递减，故，所以最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． ( 抛物线 考点 6 )28．（2026·江苏南京·一模）已知抛物线，过其焦点的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义求出的坐标，然后求出直线的斜率，最后利用点斜式求解即可. 【详解】由题意如图所示： 抛物线的焦点为，准线方程为：， 设到准线的距离为， 由抛物线的定义得：，又， 所以，解得：代入中得：， 所以，则直线的斜率为：, 所以直线的方程为：即， 故选：B. 29．（2026·江苏·一模）抛物线的焦点为F， 点在抛物线C上， 且， 则a+b=（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】由点P在抛物线上，可得，又，故，，可得，进而可求得a+b的值. 【详解】由抛物线的准线方程为， 将点P代入抛物线C的方程，有，又，所以. 又由，有，又由a=b，可得a=8，a+b=16. 故选：C. 30．（2026·江苏·一模）已知抛物线的焦点为，是上的动点，点，则的最小值为（    ） A．841 B．2026 C．2027 D．4111 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义计算即可. 【详解】注意到，故在内，过点作的准线的垂线，垂足为， 过点作的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义知，当且仅当点在线段上时等号成立. 故选：C. 31．（2026·江苏·一模）已知抛物线：（）的焦点为，直线与有唯一的公共点，则______. 【答案】5 【详解】联立与可得， 由于直线与有唯一的公共点，故，解得，（舍去）， 故,则. 32．（2026·江苏·一模）已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】设为抛物线上任意一点，则，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】设为抛物线上任意一点， 则， 因为， 所以对称轴， 又由于，且最小时，， 所以， 所以. 故答案为：. 33．（2026·江苏·一模）已知，抛物线的准线与交于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知圆心在轴上，半径为的与外切，且与抛物线有且仅有两个公共点. （i）证明：数列为等差数列； （ii）过点作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，且，求的值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据题意，，，再代入即可求解； （2）（i）设，联立得，结合相切得到即可证明； （ii）由相切得到，进而得到，结合得到，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题知抛物线的准线方程为， 又，所以，， ，则， 所以抛物线的方程为； （2）（i）证明：设，则的方程为 因为与抛物线有且仅有两个公共点，则由得： ，即 ，即， 同理当时有， 将两等式相减可得：， 而与外切，则有， 即有，又，则 则，故数列为等差数列. （ii）因为与抛物线有且仅有两个公共点，则由得： 即，由，即， 由数列为等差数列，公差为2，则， 则. 斜率为1的直线，交抛物线于，两点， 由得：，则，，， 所以，则， 由，则或（舍去） 综上，． 34．（2026·江苏南通·一模）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用斜率公式，列方程化简即可； （2）①利用直线与抛物线联立，求出对称点的中点坐标，利用中点在对称轴上找到参数的相等关系，再利用判别式恒大于0，来求出参数的范围，最后再排除特殊情况即可； ②利用弦长公式，结合等边三角形可得到相等关系，再通过坐标满足的方程来求解即可. 【详解】（1）设点． 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以， ， 化简得：． （2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2． 设直线的方程为， 联立消去可得． 所以 所以中点坐标． 因为点在直线上，所以． 因为，所以， 因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点， 即直线不能经过点， 若直线过点，则， 若直线过点，则． 综上所述：的取值范围是． ②因为为等边三角形，所以点在直线上． 设，则， ． 所以，即， 化简得，①． 因为点在直线上，所以②． 由①②消得，． 因为，所以， 所以． ( 新定义 考点 7 ) 35．（2026·江苏·一模）（多选）数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（    ） A．曲线由两条抛物线的一部分组成 B．线段的长度与点到直线的距离相等 C．若线段的长度为，则直线的斜率为 D．若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】对于选项A，根据题干列出等式即可判断；对于选项B，利用抛物线的定义即可判断，对于选项C，利用焦半径公式列出等式即可判断，对于选项D，由焦半径，又因为可得，即可得到结果. 【详解】 对于A选项，设曲线上任意一点， 由定义可知，满足， 移项，平方可得：， 即，为两条抛物线，故A正确； 对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确 对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，， ， 解得，则，故C错误. 对于D选项，易知为抛物线和的焦点， 前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此 ，由于， 则，因此，所以，故D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：抛物线的求解，一般利用定义和二级结论直接能够列出等式求解. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $