4.2 三角恒等变换（十年高考）（word练习）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习十年真题分类题组

**基本信息** 汇集2013-2025年全国卷及地方高考真题，聚焦三角恒等变换，覆盖基础公式应用与综合推理，适配一轮复习巩固核心考点。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|15题/75分|二倍角公式、两角和差正弦余弦、同角关系|注重公式逆用与变形，如2025全国二卷结合半角与倍角公式| |填空|8题/42分|sin2α与cos2α互化、tan(α±β)展开|强调角的配凑技巧，如2022浙江题通过α+β=π/3建立方程| |解答|2题/26分|三角公式综合应用、条件求值|体现多解法对比，如2015广东文题结合切化弦与整体代换|

4.2　三角恒等变换 考点　三角恒等变换 1.（2025全国二卷，8,5分）已知0<α<π,cos =,则sin=(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解法一∵0<α<π,∴0<<, 又∵cos =, ∴sin ===, ∴sin α=2sin cos =,cos α=cos2-sin2=-, ∴sin=(sin α-cos α)=×=,故选D. 解法二∵cos =, ∴cos α=2cos2-1=-, ∵0<α<π,∴sin α==, ∴sin=(sin α-cos α) =×=. 2.(2024新课标Ⅰ,4,5分,易)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　) A.-3m B.- C. D.3m 答案　A 因为tan αtan β=2,所以=2, 所以sin αsin β=2cos αcos β, 又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m, 所以cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m, 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.故选A. 3.(2023新课标Ⅱ,7,5分,中)已知α为锐角,cos α=,则sin = (　　) A.　　B.　　C.　　D. 答案　D　∵cos α=1-2sin2=,∴sin2===, ∵α为锐角,∴也为锐角,∴sin=.故选D. 4.(2023新课标Ⅰ,8,5分,中)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)= (　　) A.　　B.　　C.-　　D.- 答案　B　∵sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,cos αsin β=,∴sin αcos β=+=, ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=, ∴cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-=,故选B. 5.(2021全国乙文,6,5分)cos2= (　　) A. 答案　D　解析　解法一:cos2. 解法二:cos2 = = = =. 6.(2021全国甲理,9,5分)若α∈,tan 2α=,则tan α= (　　) A. 答案　A　解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解. 解析　∵tan 2α=,且α∈, ∴, ∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α, 即4sin αcos α=cos(2α-α)=cos α,又cos α≠0, ∴4sin α=1,∴sin α=,∴cos α=,∴tan α=.故选A. 疑难突破　将tan 2α转化为是本题的突破口. 7.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则= (　　) A.- 答案　C　=sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θ·cos θ=.故选C. 8.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=2sin β,则 (　　) A.tan(α-β)=1　　　　B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1　　　　D.tan(α+β)=-1 答案　C　因为sin(α+β)+cos(α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β,2sin β=(2cos α-2sin α)sin β=2cos αsin β-2sin αsin β,所以sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2cos αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin(α-β)+cos(α-β)=0,又知cos(α-β)≠0,所以tan(α-β)=-1,故选C. 9.(2018课标Ⅲ,理4,文4,5分)若sin α=,则cos 2α=(　　) A.　　　　　B. C.-　　　　　D.- 答案　B　本题考查三角恒等变换.由sin α=,得cos 2α=1-2sin2α=1-2×=1-=.故选B. 10.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sin α-cos α=,则sin 2α=(　　) A.-　　　B.-　　　C.　　　D. 答案　A　∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α==,∴sin 2α=-. 解后反思　涉及sin α±cos α,sin αcos α的问题,通常利用公式(sin α±cos α)2=1±2sin α·cos α进行转换. 11.(2017山东文,4,5分)已知cos x=,则cos 2x=(　　) A.-　　　B.　　　C.-　　　D. 答案　D　本题考查二倍角余弦公式. 因为cos x=,所以cos 2x=2cos2x-1=2×-1=. 12.(2016课标Ⅲ理,5,5分)若tan α=,则cos2α+2sin 2α=(　　) A.　　　B.　　　C.1　　　D. 答案　A　当tan α=时,原式=cos2α+4sin αcos α====,故选A. 解后反思　将所求式子的分母1用sin2α+cos2α代替,然后分子、分母同除以cos2α,得到关于tan α的式子,这是解决本题的关键. 评析　本题主要考查三角恒等变换,用sin2α+cos2α代替1是解题关键.. 13.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tan θ=-,则cos 2θ=(　　) A.-　　　B.-　　　C.　　　D. 答案　D　解法一:cos 2θ=cos2θ-sin2θ= ==.故选D. 解法二:由tan θ=-,可得sin θ=±, 因而cos 2θ=1-2sin2θ=. 评析　本题考查化归与转化的能力.属中档题. 14.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(　　) A.-　　　B.　　　C.-　　　D. 答案　D　原式=sin 20°cos 10°+cos 20°@sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故选D. 15.(2015重庆理,9,5分)若tan α=2tan ,则=(　　) A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 答案　C　====, ∵tan α=2tan ,∴==3.故选C. 16.(2015重庆文,6,5分)若tan α=,tan(α+β)=,则tan β=(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 答案　A　tan β=tan[(α+β)-α]===,故选A. 16.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin 2α=,则cos2=(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 答案　A　cos2==,把sin 2α=代入,原式=.选A. 评析　本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用. 17.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos=,则sin 2α=(　　) A.　　　B.　　　C.-　　　D.- 答案　D　∵cos=, ∴sin 2α=cos=cos =2cos2-1=2×-1=-.故选D. 思路分析　利用诱导公式化sin 2α=cos,再利用二倍角的余弦公式即可得答案. 一题多解　cos=(cos α+sin α)=⇒cos α+sin α=⇒1+sin 2α=, ∴sin 2α=-.故选D. 导师点睛　求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示出来: (1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差; (2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”. 18.(2022浙江,13,6分)若3sin α-sin β=,α+β=,则sin α=　　　　,cos 2β=　　　　.  答案　 解析　设a=sin α,b=sin β=cos α,则解得a=,b=-.∴sin α=a=, cos 2β=1-2sin2β=1-2b2=. 19.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　,b=　　　　.  答案　;1 解析　∵2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=sin+1,∴A=,b=1. 20.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan=,则tan α=　　　　.  答案　 解析　本题主要考查两角差的正切公式. tan===, 解得tan α=. 21.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=　　　　.  答案　- 解析　解法一:∵sin=×(sin θ+cos θ)=, ∴sin θ+cos θ=①, ∴2sin θcos θ=-. ∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0, ∴sin θ-cos θ=-=-②, 由①②得sin θ=-,cos θ=,∴tan θ=-, ∴tan==-. 解法二:∵+=, ∴sin=cos=, 又2kπ-<θ<2kπ,k∈Z, ∴2kπ-<θ+<2kπ+,k∈Z, ∴cos=,∴sin=, ∴tan==, ∴tan=-tan=-. 评析　本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键. 22.(2016四川理,11,5分)cos2-sin2=　　　　.  答案　 解析　由二倍角公式易得cos2-sin2=cos=. 23.(2015江苏,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为　　　　.  答案　3 解析　tan β=tan[(α+β)-α]===3. 24.(2015四川理,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是　　　　.  答案　 解析　sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=sin(15°+45°)=sin 60°=. 25.(2015四川文,13,5分)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是　　　　.  答案　-1 解析　由sin α+2cos α=0得tan α=-2. 2sin αcos α-cos2α=====-1. 26.(2015广东文,16,12分)已知tan α=2. (1)求tan的值; (2)求的值. 解析　(1)因为tan α=2, 所以tan===-3. (2)因为tan α=2,所以 = ====1. 27.(2014江苏,15,14分)已知α∈,sin α=. (1)求sin的值; (2)求cos的值. 解析　(1)因为α∈,sin α=, 所以cos α=-=-. 故sin=sincos α+cossin α =×+×=-. (2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2××=-, cos 2α=1-2sin2α=1-2×=, 所以cos=coscos 2α+sinsin 2α =×+×=-. 评析　本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力. ( 第 6 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $