专题08 数列（6大考点）（江苏专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题08 数列 6大考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03递推关系求通项 考点04数列求和-并项求和 考点05数列综合应用 考点06新定义 ( 等差数列 考点1 ) 1．（2026·江苏·一模）如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（    ） A．是等比数列，且公比为 B．是等比数列，且公比为 C．是等差数列，且公差为2 D．是等差数列，且公差为4 【答案】C 【分析】根据题意，由与相外切，得到，化简得到，求得，结合等差数列的定义，即可求解. 【详解】因为与相外切，所以， 即， 所以， 因为每个点均在函数的图像上，可得， 所以，即，所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 所以，则， 此时数列不是等比数列. 故选：C. 2．（2026·江苏·一模）已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】令导函数为可得方程，由极值点为方程的根可得，再由等差数列性质可得. 【详解】由得，， 令，得，且不是该方程的根.易知判别式大于0， 因为为函数的两个极值点， 是方程的两正根，由韦达定理可得， ，因为为等差数列，所以. 故选：B. 3．（2026·江苏·一模）已知数列． (1)若是等差数列，求的通项公式； (2)设，证明：数列是等比数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的定义及通项公式求法计算即可； （2）根据递推关系及等比数列的定义证明即可. 【详解】（1）由题意. 因为是等差数列，所以公差. 所以. 满足，符合题设条件， 所以的通项公式为. （2）因为， 所以， 由及可知，则，所以， 所以是等比数列. 4．（2026·江苏·一模）已知，抛物线的准线与交于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知圆心在轴上，半径为的与外切，且与抛物线有且仅有两个公共点. （i）证明：数列为等差数列； （ii）过点作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，且，求的值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据题意，，，再代入即可求解； （2）（i）设，联立得，结合相切得到即可证明； （ii）由相切得到，进而得到，结合得到，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题知抛物线的准线方程为， 又，所以，， ，则， 所以抛物线的方程为； （2）（i）证明：设，则的方程为 因为与抛物线有且仅有两个公共点，则由得： ，即 ，即， 同理当时有， 将两等式相减可得：， 而与外切，则有， 即有，又，则 则，故数列为等差数列. （ii）因为与抛物线有且仅有两个公共点，则由得： 即，由，即， 由数列为等差数列，公差为2，则， 则. 斜率为1的直线，交抛物线于，两点， 由得：，则，，， 所以，则， 由，则或（舍去） 综上，． ( 等比数列 考点 2 ) 5．（2026·江苏南通·一模）“”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用推出关系来判断即可. 【详解】当时，如，此时不能成等比数列，故充分性不成立， 当成等比数列，可以推出，故必要性成立， 所以“”是“成等比数列”的必要不充分条件， 故选：B. 6．（2026·江苏·一模）设是等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】利用基本量法可求公比，从而可求. 【详解】设公比为， 因为，故，而，故，故， 故选：A. 7．（2026·江苏·一模）已知是等比数列，则“”是“是增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果 【详解】由数列是等比数列，可假设， 则， 可知，但数列不是递增数列， 若数列是递增等比数列，由定义可知，，故 “”是“是递增数列”的必要不充分条件 故选：B 8．（2026·江苏·一模）已知等比数列，则___________． 【答案】2 【分析】利用等比数列通项公式以及等比数列性质求解即可. 【详解】等比数列的首项，设公比为， 当时，，由，解得， 当时，由不成立， 所以，， 由， 又， 将代入上式得： 解得：或（舍去）， 所以. 9．（2026·江苏南通·一模）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式，并求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）利用递推式相减得出的递推关系，进而得出是等比数列； （2）求出的通项公式，再利用递推式相加得出的递推关系求出通项公式，进而求出的通项公式及前项和． 【详解】（1）证明：，， 两式相减得， ， 又， 数列是首项为2，公比为2的等比数列． （2）数列是首项为2，公比为2的等比数列， ， ，， 两式相加得， ，， 当时，满足上式， 数列是首项为4，公差为4的等差数列，即， ，解得，   ． ( 递推关系求通项 考点 3 ) 10．（2026·江苏·一模）已知数列满足，则的前n项和的最小值是______． 【答案】/ 【分析】由通项公式变形得出为等差数列，写出等差数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，然后分析求出数列的前n项和的最小值即可. 【详解】由，可得， 所以为等差数列，首项为，公差为2， 所以，则，则， 当时，，所以数列的前n项和的最小值为： ， 故答案为：． 11．（2026·江苏·一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】利用已知求的方法，分别讨论时，与时，的通项，再进行验证； 【详解】由， 当时，， 当时，， 两式相减，得，即， 所以， 所以， 所以， 由于时，不满足上式， 所以. 故答案为：. 12．（2026·江苏·一模）已知数列满足，且，则_____. 【答案】 【分析】通过构造新数列的方法，将给定的递推公式转化为一个等比数列的形式，进而可求出数列的通项公式. 【详解】设，则. 由，解得. . 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. ，. 故答案为： ( 数列 求和 - 并项求和 考点 4 )13．（2026·江苏·一模）以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则__________. 【答案】 【分析】先得出的规律，再根据等差数列的和求解. 【详解】由题意 【点睛】方法点睛：非常见数列的求和的突破在于找到规律，由特殊到一般是找规律的常用方法． ( 数列 综合应用 考点 5 )14．（2026·江苏·一模）已知数列的前n项和为，则对，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用累加法，结合题意可得，由能推出；举出反例，可得“”推不出“”.由充分、必要条件的定义得出答案. 【详解】由得：，，，……，， 不等式左右两边分别相加，得， 消去两边相同的项得，， 所以； 取数列满足，，，且对且有. 满足，，但.不满足. 即“”推不出“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 15．（2026·江苏·一模）（多选）已知数列的通项公式是.设为数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．若存在，使得，则 D．不存在，使得 【答案】BCD 【分析】对于A，根据题意直接计算判断即可；对于B，分、两种情况讨论求解即可判断；对于C，利用周期性，故的正负，只需考查即可，分奇偶项求和即可；对于D，由，设，再利用错位相减法求和判断符号即可求解． 【详解】对于A，， ， ，，故A错误； 对于B，当，即时，，不符题意； 当，即时，又为偶数， 所以， 即，，，解得； 综上，当时，，故B正确； 对于C，时，，则数列是周期数列，周期为， 所以的正负，只需考查即可， 时，奇数项是首项，公差为的等差数列， 偶数项是首项为，公比为的等比数列， 当时， ， 时，，时，， 所以若存在，使得，则，故C正确； 对于D，， 设，其前项和为， ， ， 相减得 ， ， 当时，， 时，，又为周期数列， 所以不存在，使得，故D正确． 故选：BCD． 16．（2026·江苏·一模）已知数列各项均不为零，，，. (1)当时，求的前50项和； (2)若，求正整数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用赋值法求出数列的周期，根据数列的周期进行求解即可； （2）利用特殊值法，结合等差数列的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为数列各项均不为零，，， 所以当时，由， 所以有 ， 所以此时该数列的周期为，因此， 所以的前50项和为； （2）由， 因为，， 所以， 因为， 所以，或， 因为是正整数，所以，即 当时，由， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 因此，所以， 显然恒成立，所以正整数的最小值为. 17．（2026·江苏·一模）设，，为数列的前项和，令，，． (1)若，求数列的前项和； (2)求证：对，方程在上有且仅有一个根； (3)求证：对，由（2）中构成的数列满足． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意结合错位相减法以及等比数列求和公式即可得解； （2）求导得函数在上是增函数，结合零点存在定理即可得证； （3）一方面由结合在上单调递增可得，即；另一方面通过放缩、以及裂项相消可得，由此即可得证. 【详解】（1）若，，则， 则， ， ， ； （2），， 故函数在上是增函数． 由于，当时，，即． 又， ， 根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足． （3）对于任意，由中构成数列，当时， ， ． 由在上单调递增，可得，即， 故数列为减数列，即对任意的、，． 由于，， ，， 用减去并移项，利用，可得 ． 综上可得，对于任意，由中构成数列满足． ( 新定义 考点 6 )18．（2026·江苏南通·一模）（多选）设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有（    ） A．若，则数列是“均增数列” B．若等差数列是“均增数列”，则公差 C．若是“均增数列”，则 D．若，则存在负数，使得数列是“均增数列” 【答案】ABD 【分析】利用等差数列求和，即可判断A和B，利用等比数列求和，结合二项式定理证明不等式，即可判断C和D． 【详解】由，可得， 则由，显然有，数列是“均增数列”，故A正确； 由等差数列是“均增数列”，且， 则由可得：，故B正确； 当，取时，， 要证明，只需要证明， 即证， 则只需要证明， 当为奇数，不等式显然成立， 当为偶数，要证明， 因为，对任意都成立， 所以，即对任意为偶数也成立， 即原不等式对任意都成立， 所以存在负数，使得数列是“均增数列”，故D正确； 由于是“均增数列”， 由于，，不满足，故C错误； 故选：ABD 19．（2026·江苏扬州·一模）定义：是不大于x的最大整数，是不小于x的最小整数，设函数.在定义域上值域为，记元素个数为，则________． 【答案】 【分析】分别求出，，时，的值域，可得，，，推得，，利用累加法求出，由数列的裂项相消求和，计算即可. 【详解】由函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，，可得，，，即， 当时，，可得或，或，或1或2，即， 当时，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即， 当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，函数在定义域上的值域为， 记中元素的个数为，设，则，， 所以， 则可得递推关系：， 所以, 当时，成立，则，则， 所以， 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 数列 6大考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03递推关系求通项 考点04数列求和-并项求和 考点05数列综合应用 考点06新定义 ( 等差数列 考点1 ) 1．（2026·江苏·一模）如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（    ） A．是等比数列，且公比为 B．是等比数列，且公比为 C．是等差数列，且公差为2 D．是等差数列，且公差为4 2．（2026·江苏·一模）已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（   ） A．1 B．3 C． D． 3．（2026·江苏·一模）已知数列． (1)若是等差数列，求的通项公式； (2)设，证明：数列是等比数列. 4．（2026·江苏·一模）已知，抛物线的准线与交于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知圆心在轴上，半径为的与外切，且与抛物线有且仅有两个公共点. （i）证明：数列为等差数列； （ii）过点作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，且，求的值. ( 等比数列 考点 2 ) 5．（2026·江苏南通·一模）“”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·江苏·一模）设是等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B．4 C．8 D．16 7．（2026·江苏·一模）已知是等比数列，则“”是“是增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·江苏·一模）已知等比数列，则___________． 9．（2026·江苏南通·一模）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式，并求的前项和． ( 递推关系求通项 考点 3 ) 10．（2026·江苏·一模）已知数列满足，则的前n项和的最小值是______． 11．（2026·江苏·一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 12．（2026·江苏·一模）已知数列满足，且，则_____. ( 数列求和-并项求和 考点 4 )13．（2026·江苏·一模）以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则__________. ( 数列综合应用 考点 5 )14．（2026·江苏·一模）已知数列的前n项和为，则对，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（2026·江苏·一模）（多选）已知数列的通项公式是.设为数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．若存在，使得，则 D．不存在，使得 16．（2026·江苏·一模）已知数列各项均不为零，，，. (1)当时，求的前50项和； (2)若，求正整数的最小值. 17．（2026·江苏·一模）设，，为数列的前项和，令，，． (1)若，求数列的前项和； (2)求证：对，方程在上有且仅有一个根； (3)求证：对，由（2）中构成的数列满足． ( 新定义 考点 6 )18．（2026·江苏南通·一模）（多选）设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有（    ） A．若，则数列是“均增数列” B．若等差数列是“均增数列”，则公差 C．若是“均增数列”，则 D．若，则存在负数，使得数列是“均增数列” 19．（2026·江苏扬州·一模）定义：是不大于x的最大整数，是不小于x的最小整数，设函数.在定义域上值域为，记元素个数为，则________． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $