高频考点08 解直角三角形（专项训练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

高频考点08 解直角三角形 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（2大命题点+9道中考预测题） 考点一 锐角三角函数 命题点 1 求三角函数值 命题点 2 三角函数中的比值问题 命题点 3 三角函数的混合运算 命题点 4 三角函数与圆结合 中考预测题4道 考点二 解直角三角形及其应用 命题点 1 解直角三角形的计算 命题点 2 仰角、俯角问题 命题点 3 坡度、坡比问题 命题点 4 解非直角三角形 命题点 5 方位角问题 中考预测题5道 04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+8道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 锐角三角函数 1.求三角函数值 2.三角函数中的比值问题 3.三角函数的混合运算 4.三角函数与圆结合 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.在直角三角形中，利用勾股定理求出边长后，根据锐角三角函数的定义计算对应角的三角函数值，或已知三角函数值求边长； 3.通过设参数或利用相似三角形，结合三角函数定义求解线段比值，或根据比值关系确定三角函数值； 4.结合特殊角的三角函数值进行实数运算，包括加减乘除、乘方及开方等； 5.利用圆的性质构造直角三角形，再运用三角函数求解线段长度或角度。 解直角三角形及其应用 1.解直角三角形的计算 2.仰角、俯角问题 3.坡度、坡比问题 4.解非直角三角形 5.方位角问题 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.已知直角三角形的边或角，利用勾股定理、锐角三角函数求未知边或角，或结合几何图形性质构造直角三角形计算‘ 3.通过构造直角三角形，将实际问题中的仰角、俯角转化为三角函数关系，求解物体高度、距离等； 4.通过作高将非直角三角形转化为两个直角三角形，利用公共边或角的关系，结合三角函数、勾股定理求解边长或角度； 5.根据方向角描述物体位置，构造直角三角形，利用三角函数计算两点间距离或角度。 一、锐角三角函数 1.1 三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c： · 正弦：sinA = ∠A的对边/斜边 = a/c · 余弦：cosA = ∠A的邻边/斜边 = b/c · 正切：tanA = ∠A的对边/邻边 = a/b 注：三角函数值仅与角度大小有关，与三角形边长无关 1.2 特殊角的三角函数值 角度 sinα cosα tanα 30° 1/2 /2 /3 45° /2 /2 1 60° /2 1/2 1.3 三角函数的性质 · 互余角关系：sin=cosα，cos=sinα · 平方关系：sin²α + cos²α = 1 · 商数关系：tanα = sinα/cosα · 增减性：0°<α<90°时，sinα、tanα随α增大而增大，cosα随α增大而减小 二、解直角三角形 2.1 基本元素与解法 在Rt△ABC中（∠C=90°），已知两个元素（至少一个是边）可解三角形： 已知条件 解法步骤 一直角边和一锐角（如a、∠A） ∠B=90°-∠A c=a/sinA b=a/tanA 斜边和一锐角（如c、∠A） ∠B=90°-∠A a=c·sinA b=c·cosA 两直角边（a、b） c= tanA=a/b求∠A ∠B=90°-∠A 斜边和一直角边（c、a） b= sinA=a/c求∠A ∠B=90°-∠A 2.2 常见辅助线技巧 · 作高法：非直角三角形转化为直角三角形（如等腰三角形作底边上的高） · 分割法：复杂图形分割为多个直角三角形 · 补形法：通过延长线段构造直角三角形 三、实际应用 3.1 核心概念 · 仰角/俯角：视线与水平线的夹角（向上为仰角，向下为俯角） · 坡角与坡度：坡角α的正切值=坡度i=h/l（h为高度，l为水平距离） · 方位角：从正北方向顺时针旋转到目标方向线的夹角 3.2 解题步骤 1. 审题：明确已知量与待求量 2. 建模：构造直角三角形（添加辅助线） 3. 转化：将实际问题转化为解直角三角形问题 4. 计算：选择合适的三角函数求解 5. 检验：结果是否符合实际意义 四、常用结论与技巧 4.1 重要公式 · 等角代换：若∠A=∠B，则sinA=sinB，cosA=cosB · 特殊三角形边长比： 30°Rt△：1 : : 2 45°Rt△：1 : 1 : · 面积公式：S=1/2ab=1/2ch（c为斜边，h为斜边上的高） 4.2 解题技巧 · 设k法：遇比例关系设参数k（如sinA=3/5，可设对边3k，斜边5k） · 方程思想：设未知边为x，列方程求解 · 多解问题：注意钝角三角形的高在外部的情况 · 近似计算：记住≈1.414，≈1.732，≈2.236 4.3 易错点提醒 · 误用直角边与斜边（正弦/余弦需用斜边，正切用直角边） · 特殊角三角函数值记忆混淆（如tan30°与tan60°） · 忽略三角形解的多种情况 · 单位不统一（如米与厘米混用） 考点一 锐角三角函数 《解题指南》 1. 口诀记忆法："正弦对边比斜边，余弦邻边比斜边，正切对边比邻边"，特殊角三角函数值可记为"一二三，三二一，三九二十七" 2. 数形结合法：遇到复杂问题，画出图形标注已知条件，直观分析边角关系 3. 转化思想：将非直角三角形转化为直角三角形，将实际问题转化为数学模型 4. 验证法：解题后可通过勾股定理或三角函数关系验证结果是否合理 命题点01 求三角函数值 【典例01】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 命题点02 三角函数中的比值问题 【典例01】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏淮安·中考真题）探究与应用 【问题初探】（1）在等腰三角形的底边上任取一点P（不与端点重合），连接，线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点A作于点D， 在中，∵，∴．    ① 在中，∵，∴ ．    ② 由①－②得：． ∵，， ∴ ． ∴． …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 ． 【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形中，，点D在边上，，以为边构造正方形，利用（1）中的结论求正方形的面积． 【灵活应用】（3）如图（3），是的外接圆，的平分线交于点D，连接，若，，，求的长． 【深度思考】（4）如图（4），在中，，点D、E分别在边上，且满足，交于点P，若，则的值为 ． 命题点03 三角函数的混合运算 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）计算：． 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 命题点04 三角函数与圆结合 【典例01】 （2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【典例02】 （2025·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 中考预测题 1．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，半径为2，四边形为的内接四边形，，，．点G为线段上一动点，且，则的值为________． 3. 计算： (1) (2) 4. 如图，是的弦，，连接、，点B在外，，连接交于E，交于F，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 考点二 解直角三角形及其应用 《解题指南》 · “有斜用弦，无斜用切”：已知斜边时优先用正弦或余弦，未知斜边时用正切 · “宁乘勿除”：列方程时尽量采用乘法形式（如a = c·sinA），减少除法运算误差 · 辅助线标注法：在图形中用符号标注已知角（如∠α=30°）和已知边（如BC=5m），清晰呈现数量关系 · 多解问题验证：当已知两边及其中一边的对角时，需检验是否存在两解情况（中考中通常限定为锐角三角形） 命题点01 解直角三角形的计算 【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 【典例02】（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______． 命题点02 仰角、俯角问题 【典例01】（2023·江苏南通·中考真题）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ）    A． B． C． D． 【典例02】（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为______m． 命题点03 坡度、坡比问题 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【典例02】（2023·江苏泰州·中考真题）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）    命题点04 解非直角三角形 【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作．同学们测得，，．求的长度（精确到）． 答案（参考数据：，，，，，） 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 命题点05 方位角问题 【典例01】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离； (2)求． （参考数据：，，） 【典例02】（2024·江苏南京·中考真题）如图，港口位于港口的北偏西方向，港口位于港口的北偏东方向，港口位于港口的北偏东方向．一艘海轮从港口出发，沿正北方向航行．已知港口到航线的距离为，求港口到航线的距离．（参考数据：．） 中考预测题 1．如图，中，，将绕点C按逆时针方向旋转，得到．若点A的对应点恰好落在边上，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是_______． 3. 如图所示，，，，则为______． 4. 如图，随着社会经济的发展，人们的环境保护意识也在逐步增强．某社区设立了“保护环境爱我地球”的宣传牌，已知立杆的高度是，从地面上某处D点测得宣传牌顶端C和底端B的仰角分别是和，求宣传牌的高度的长．（精确到，参考数据：，，） 5. 为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩，如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） (1)求遮阳篷边缘点到墙体的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长． 好题速递 1．（2025·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，且点落在函数的图象上，则四边形的周长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）在中，，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏连云港·三模）如图，在四边形中，，，若，，则的最大值为（   ）    A． B． C． D． 4．（2025·江苏南通·一模）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为___________． 5．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在中，，平分，为线段上一点，且，连接．若，则的长为______． 6．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，是上一点，以为边作等边，点与点在的两侧，交于点，则线段的最大值为___________． 7．（2026·江苏苏州·模拟预测）计算：． 8．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，点在以为直径的上，过点作的垂线交于点，交于点，交过点的切线于点． (1)求证：； (2)若半径为5，，求的长和的值． 中考闯关 1．市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》（以下简称《技术要求》）国家标准于2026年2月1日起正式实施．《技术要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，椅座平行于地面，支点到地面的距离为米，靠背的长为米．若，则点到地面的距离的长是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．已知点为抛物线上一点，如果点的横坐标为，记与轴的夹角为，那么为（   ） A．2 B． C． D． 3．如图，在中，，以、为边在外部作等边三角形和，连接，延长交线段于点，在直线上方作等边三角形，当在外部时，的取值范围是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 4．如图，斜坡的坡度为，如果将斜坡的铅垂高度从A处沿射线的方向延伸2米，并保持坡度不变，那么需从B处沿射线的方向延伸___________米． 5．如图，在中，，，，是的中点．是线段延长线上一点，连接，如果四边形的一组对角相等且另一组对角不相等，那么的长是___________． 6．在梯形中，，， ， ．在边上取一点E，满足．将沿方向平移得到（三个顶点依次对应），若点H在边上，则点H到直线的距离是___________． 7．根据所学知识，解答以下问题 【问题提出】 (1)如图1，在正方形中，点分别是边上的点，连接，若，则的度数为___________； 【问题探究】 (2)如图2，在四边形中，，过点作，连接交于点，交于点，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，矩形是某公园的一块空地，现公园规划人员计划在该空地中的区域种植鲜花，边上的点处是入口，边上的点处有一口水井，是从到边修的一条地下水管，在点处修建一个观景台．已知，求观景台到水井的距离．（入口、水井和观景台的大小及地下水管的宽度均忽略不计） 8．如图，在中，，点D和点E分别在和边上（不与端点重合），且，延长和射线交于点F，作，与边交于点G，作的外接圆在上方的部分，连接． (1)若，，求的长． (2)求证：是的切线． (3)若，，直接写出的值． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点08 解直角三角形 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（2大命题点+9道中考预测题） 考点一 锐角三角函数 命题点 1 求三角函数值 命题点 2 三角函数中的比值问题 命题点 3 三角函数的混合运算 命题点 4 三角函数与圆结合 中考预测题4道 考点二 解直角三角形及其应用 命题点 1 解直角三角形的计算 命题点 2 仰角、俯角问题 命题点 3 坡度、坡比问题 命题点 4 解非直角三角形 命题点 5 方位角问题 中考预测题5道 04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+8道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 锐角三角函数 1.求三角函数值 2.三角函数中的比值问题 3.三角函数的混合运算 4.三角函数与圆结合 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.在直角三角形中，利用勾股定理求出边长后，根据锐角三角函数的定义计算对应角的三角函数值，或已知三角函数值求边长； 3.通过设参数或利用相似三角形，结合三角函数定义求解线段比值，或根据比值关系确定三角函数值； 4.结合特殊角的三角函数值进行实数运算，包括加减乘除、乘方及开方等； 5.利用圆的性质构造直角三角形，再运用三角函数求解线段长度或角度。 解直角三角形及其应用 1.解直角三角形的计算 2.仰角、俯角问题 3.坡度、坡比问题 4.解非直角三角形 5.方位角问题 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.已知直角三角形的边或角，利用勾股定理、锐角三角函数求未知边或角，或结合几何图形性质构造直角三角形计算‘ 3.通过构造直角三角形，将实际问题中的仰角、俯角转化为三角函数关系，求解物体高度、距离等； 4.通过作高将非直角三角形转化为两个直角三角形，利用公共边或角的关系，结合三角函数、勾股定理求解边长或角度； 5.根据方向角描述物体位置，构造直角三角形，利用三角函数计算两点间距离或角度。 一、锐角三角函数 1.1 三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c： · 正弦：sinA = ∠A的对边/斜边 = a/c · 余弦：cosA = ∠A的邻边/斜边 = b/c · 正切：tanA = ∠A的对边/邻边 = a/b 注：三角函数值仅与角度大小有关，与三角形边长无关 1.2 特殊角的三角函数值 角度 sinα cosα tanα 30° 1/2 /2 /3 45° /2 /2 1 60° /2 1/2 1.3 三角函数的性质 · 互余角关系：sin=cosα，cos=sinα · 平方关系：sin²α + cos²α = 1 · 商数关系：tanα = sinα/cosα · 增减性：0°<α<90°时，sinα、tanα随α增大而增大，cosα随α增大而减小 二、解直角三角形 2.1 基本元素与解法 在Rt△ABC中（∠C=90°），已知两个元素（至少一个是边）可解三角形： 已知条件 解法步骤 一直角边和一锐角（如a、∠A） ∠B=90°-∠A c=a/sinA b=a/tanA 斜边和一锐角（如c、∠A） ∠B=90°-∠A a=c·sinA b=c·cosA 两直角边（a、b） c= tanA=a/b求∠A ∠B=90°-∠A 斜边和一直角边（c、a） b= sinA=a/c求∠A ∠B=90°-∠A 2.2 常见辅助线技巧 · 作高法：非直角三角形转化为直角三角形（如等腰三角形作底边上的高） · 分割法：复杂图形分割为多个直角三角形 · 补形法：通过延长线段构造直角三角形 三、实际应用 3.1 核心概念 · 仰角/俯角：视线与水平线的夹角（向上为仰角，向下为俯角） · 坡角与坡度：坡角α的正切值=坡度i=h/l（h为高度，l为水平距离） · 方位角：从正北方向顺时针旋转到目标方向线的夹角 3.2 解题步骤 1. 审题：明确已知量与待求量 2. 建模：构造直角三角形（添加辅助线） 3. 转化：将实际问题转化为解直角三角形问题 4. 计算：选择合适的三角函数求解 5. 检验：结果是否符合实际意义 四、常用结论与技巧 4.1 重要公式 · 等角代换：若∠A=∠B，则sinA=sinB，cosA=cosB · 特殊三角形边长比： 30°Rt△：1 : : 2 45°Rt△：1 : 1 : · 面积公式：S=1/2ab=1/2ch（c为斜边，h为斜边上的高） 4.2 解题技巧 · 设k法：遇比例关系设参数k（如sinA=3/5，可设对边3k，斜边5k） · 方程思想：设未知边为x，列方程求解 · 多解问题：注意钝角三角形的高在外部的情况 · 近似计算：记住≈1.414，≈1.732，≈2.236 4.3 易错点提醒 · 误用直角边与斜边（正弦/余弦需用斜边，正切用直角边） · 特殊角三角函数值记忆混淆（如tan30°与tan60°） · 忽略三角形解的多种情况 · 单位不统一（如米与厘米混用） 考点一 锐角三角函数 《解题指南》 1. 口诀记忆法："正弦对边比斜边，余弦邻边比斜边，正切对边比邻边"，特殊角三角函数值可记为"一二三，三二一，三九二十七" 2. 数形结合法：遇到复杂问题，画出图形标注已知条件，直观分析边角关系 3. 转化思想：将非直角三角形转化为直角三角形，将实际问题转化为数学模型 4. 验证法：解题后可通过勾股定理或三角函数关系验证结果是否合理 命题点01 求三角函数值 【典例01】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 【典例02】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 命题点02 三角函数中的比值问题 【典例01】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则：， ∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：A． 【典例02】（2025·江苏淮安·中考真题）探究与应用 【问题初探】（1）在等腰三角形的底边上任取一点P（不与端点重合），连接，线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点A作于点D， 在中，∵，∴．    ① 在中，∵，∴ ．    ② 由①－②得：． ∵，， ∴ ． ∴． …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 ． 【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形中，，点D在边上，，以为边构造正方形，利用（1）中的结论求正方形的面积． 【灵活应用】（3）如图（3），是的外接圆，的平分线交于点D，连接，若，，，求的长． 【深度思考】（4）如图（4），在中，，点D、E分别在边上，且满足，交于点P，若，则的值为 ． 【答案】（1），，，见解析（2）（3）（4） 【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）利用（1）中结论得到，进而求出，即可得出结果； （3）延长交于点，连接，利用（1）中结论得到，证明，得到，推出，代入中，进行求解即可； （4）设，根据三角形的外角结合三角形的内角和定理推出，作，垂足分别为，则：，根据，设，则，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，分别求出的长，进行求解即可． 【详解】解：（1）如图（1），过点A作于点D， 在中， ∵， ∴．① 在中， ∵， ∴．② 由①－②得：． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∵， ∴； 由（1）中结论可知：，即：， ∴， ∴正方形的面积； （3）延长交于点，连接，则：， 由（1）中结论可知：，即：， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （4）∵， ∴， 设， 则：， ∵， ∴， ∴， 作，垂足分别为，则：， ∵， ∴设，则， 在中，， ∴，， ∴，， 同理：，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三线合一，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形，熟练掌握（1）中得到的结论，是解题的关键． 命题点03 三角函数的混合运算 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键． 分别计算零指数幂和有理数的乘方，代入特殊角的三角函数值并计算乘法，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质，特殊三角函数值，化简绝对值进行运算，然后合并即可，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ． 命题点04 三角函数与圆结合 【典例01】 （2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论； （2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：与相切； 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与相切； （2）解：如（1）图，， ∵的半径为3， ∴ ∵，， ∴， ∴， 设，， 在中，， ∴ 解得： ∴． 【典例02】 （2025·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，垂直平分线的性质，勾股定理，余弦函数： （1）由直径所对的圆周角为90度，可证，进而可得垂直平分，即可证明； （2）连接，则，结合可得，进而可得，再由勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 又， 垂直平分， ； （2）解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 由（1）得， ， ． 中考预测题 1．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正切定义求解．取格点，连接，，由网格的特点易得三点共线，利用勾股定理求出，，，，进而得到，证明为直角三角形，，由即可求解． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格的特点得，三点共线， ，，， ， 为直角三角形，， tan． 故选：D． 2．如图，半径为2，四边形为的内接四边形，，，．点G为线段上一动点，且，则的值为________． 【答案】或 【分析】由平行四边形的判定及性质得，，由圆的基本性质得，连接、、，过作交于，过作交于，由弧的度数定义得，，可判断、、三点共线，解直角三角形得， ，，由相似三角形的判定及性质得，；分类讨论：当点在点的左边时，由勾股定理得，求出、即可求解；当点在点的右边时，同理可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 连接、、，过作交于，过作交于， ， ， ， ， 、、三点共线， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 如图，当点在点的左边时， ， ， 如图，当点在点的右边时， ， ， 综上所述：的值为或； 故答案为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，圆的基本性质，直径所对的角为直角，解直角三角形的有关计算，相似三角形的判定及性质等；能添加恰当的辅助线构建有关三角形，并能熟练利用解直角三角形的有关知识进行求解是解题的关键． 3. 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算． （2）先计算负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再进行实数的加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4. 如图，是的弦，，连接、，点B在外，，连接交于E，交于F，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，，，进而推出，根据切线的判定即可得出结论； （2）在中，设，，则，根据列出关于的方程，求出，进而求出由． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， 中，， 在中， ，， 设，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 解得，经检验，符合题意， ， 的半径为5． 考点二 解直角三角形及其应用 《解题指南》 · “有斜用弦，无斜用切”：已知斜边时优先用正弦或余弦，未知斜边时用正切 · “宁乘勿除”：列方程时尽量采用乘法形式（如a = c·sinA），减少除法运算误差 · 辅助线标注法：在图形中用符号标注已知角（如∠α=30°）和已知边（如BC=5m），清晰呈现数量关系 · 多解问题验证：当已知两边及其中一边的对角时，需检验是否存在两解情况（中考中通常限定为锐角三角形） 命题点01 解直角三角形的计算 【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键． 【详解】解：在中，， ，， ∴ ． ∴ ． 故选：． 【典例02】（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，锐角的正弦的含义，先画图，求解，过作于，结合可得答案． 【详解】解：如图，菱形的周长为， ∴， 过作于，而， ∴， 故答案为： 命题点02 仰角、俯角问题 【典例01】（2023·江苏南通·中考真题）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 根据题意可得， 在中，， ， 在中，， ， ． 故则这栋楼的高度为． 故选：B．    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 【典例02】（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为______m． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出的值即可． 【详解】解：由题意：， ∴； 故答案为：． 命题点03 坡度、坡比问题 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 【典例02】（2023·江苏泰州·中考真题）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）    【答案】堤坝高为8米，山高为20米． 【分析】过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过B作于H，    ∵坡度i为， ∴设，， ∴， ∴， ∴， 过B作于F， 则， 设， ∵． ∴， ∴， ∵坡度i为， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：堤坝高为8米，山高为20米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键． 命题点04 解非直角三角形 【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作．同学们测得，，．求的长度（精确到）． 答案（参考数据：，，，，，） 【答案】的长度约为． 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，则，设，可得，再进一步利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过作于，则， 设，而， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的长度约为． 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 【答案】此河流的宽度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，解表示出，再解求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点， 设，则由题意得， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：此河流的宽度为米． 命题点05 方位角问题 【典例01】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离； (2)求． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数即可求解； （2）在中，利用三角函数求出，利用，得出，则可求出，再在中利用三角函数即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 得：， 在中，由， 得． 答：岛与港口之间的距离为； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，． 【典例02】（2024·江苏南京·中考真题）如图，港口位于港口的北偏西方向，港口位于港口的北偏东方向，港口位于港口的北偏东方向．一艘海轮从港口出发，沿正北方向航行．已知港口到航线的距离为，求港口到航线的距离．（参考数据：．） 【答案】港口到航线的距离约为 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题．设交航线于点，过点作于点，过点作于点，由锐角三角函数定义求出、的长，设，再由锐角三角函数定义求出，则，然后由锐角三角函数定义列出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，设交航线于点，过点作于点，过点作于点， 则， 由题意知：， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 答：港口到航线的距离约为． 中考预测题 1．如图，中，，将绕点C按逆时针方向旋转，得到．若点A的对应点恰好落在边上，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，交于点，，根据旋转的性质证明是等边三角形，设，，利用含30度角的直角三角形的性质列出关于，的等式，再利用正切函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图：设，交于点，， 在中，， ∵， ∴， 由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 由旋转可知：， ， ， 设，， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点． 2．如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是_______． 【答案】16 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡比问题，根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度是， ∴， 又， ∴ 在中，， 故答案为：16． 3. 如图所示，，，，则为______． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过点作交的延长线于．解直角三角形求出，，即可解答，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于． ， ． ， ，， ， ， ， 故答案为：． 4. 如图，随着社会经济的发展，人们的环境保护意识也在逐步增强．某社区设立了“保护环境爱我地球”的宣传牌，已知立杆的高度是，从地面上某处D点测得宣传牌顶端C和底端B的仰角分别是和，求宣传牌的高度的长．（精确到，参考数据：，，） 【答案】宣传牌的高度是 【分析】分别在和中，利用锐角三角函数解答即可． 【详解】解：在中， ∵， ∴， 在中，． ∴． 答：宣传牌的高度是． 5. 为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩，如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） (1)求遮阳篷边缘点到墙体的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长． 【答案】(1)遮阳篷边缘点到墙体的距离为米； (2)阴影的长为米． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． （1）在中，根据已知数据及的余弦值即可解答； （2）首先，在中，根据，可得，然后，根据，证得四边形是矩形，可得，，接着，在中，根据已知数据及的正弦值可求得的长，最后，可求得的长． 【详解】（1）解：在中，米，，， ∴（米）． 即遮阳篷边缘点B到墙体的距离为米； （2）解：如图2，过点B作于点G， ∴，， ∴， 在中，米，，， ∴（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵米，米， ∴（米），米， ∴（米）， 即阴影的长为米． 好题速递 1．（2025·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，且点落在函数的图象上，则四边形的周长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质、勾股定理．作轴，垂足为，设点坐标为，根据条件列出关于的方程，解出值，再利用勾股定理求出，根据菱形性质求出菱形的周长即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 设点坐标为， ， ∴，整理得， 解得或（舍去）， ， ， ∴四边形的周长为， 故选：C． 2．（2025·江苏无锡·模拟预测）在中，，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数的计算，根据正切的定义计算选择即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 3．（2025·江苏连云港·三模）如图，在四边形中，，，若，，则的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，在上截取，连接并延长至点，使，连接，取的中点，连接，作于点，易得，进而得到，根据，得到，进而得到，得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，在上截取，连接并延长至点，使，连接，取的中点，连接，作于点，如图，    则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴，， ∴当三点共线时，的值最大， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴的最大值为； 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，求一点到圆上一点的最值问题，熟练掌握掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定动点的轨迹，是解题的关键． 4．（2025·江苏南通·一模）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及余弦的定义，掌握相关性质定理和概念是解题的关键．首先根据斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，然后利用余弦的定义（邻边比斜边）求解即可． 【详解】解：在中，为斜边上的中线， ， ， 故答案为：． 5．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在中，，平分，为线段上一点，且，连接．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定；过点作交的延长线于点，延长交于点，连接，结合题意得出，根据平行线的性质可得，进而得出是的中点，进而证明，根据对顶角相等得出，结合，解得出，进而可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，延长交于点，连接， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∴即 解得： 故答案为：． 6．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，是上一点，以为边作等边，点与点在的两侧，交于点，则线段的最大值为___________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、含角的直角三角形、等腰直角三角形等，求最大值，可转化成求线段最小，即A到线段的距离最小． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ∵点、在的两侧， ∴当时，最小，最大， ∵是等边三角形， 综上所述的最大值为． 故答案为：． 7．（2026·江苏苏州·模拟预测）计算：． 【答案】 【详解】解： 8．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，点在以为直径的上，过点作的垂线交于点，交于点，交过点的切线于点． (1)求证：； (2)若半径为5，，求的长和的值． 【答案】(1)见解析 (2),tan 【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角定理、等腰三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及锐角三角函数(正切)的定义． （1）通过连接辅助线，利用切线性质得，结合⊥得，再由推出，通过等角的余角相等及对顶角相等，转化得到，进而用等腰三角形“等角对等边”证得； （2）先由圆半径得，在中用勾股定理求；再证，用相似比求；设，在中用勾股定理列方程求解得；最后根据正切定义计算出的值． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：是的直径， ， 半径为， ， 在中，， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ∴， 在中． 中考闯关 1．市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》（以下简称《技术要求》）国家标准于2026年2月1日起正式实施．《技术要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，椅座平行于地面，支点到地面的距离为米，靠背的长为米．若，则点到地面的距离的长是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】由已知可求，在中，可表示，可证四边形为矩形，则米，则可求． 【详解】解：∵， ∴， 在中， （米）， ∵由题意可知， ∴四边形为矩形， ∴（米）， ∴米． 2．已知点为抛物线上一点，如果点的横坐标为，记与轴的夹角为，那么为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正切的定义，根据点在抛物线上的坐标和正切函数的定义直接计算． 【详解】解：∵点在抛物线上，且横坐标为， ， 如图，过作轴，交轴于点， ， 故选：C． 3．如图，在中，，以、为边在外部作等边三角形和，连接，延长交线段于点，在直线上方作等边三角形，当在外部时，的取值范围是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】先假设点在内部或者边界上，根据三角函数的定义可知，点在边上，最小，运用三角函数直接计算即可；点在边上，最大，延长，交于点，交于点，延长与，交于点，连接，交于点，容易证明，使用三角函数和等腰三角形的性质，依次计算出、、、．结合等边三角形的性质，容易证明，则．利用平行线的性质，可判定，，，根据相似三角形的性质计算出的值．由于假设与题干对立，因此取结果未覆盖的部分，即为答案． 【详解】解：假设点在内部或者边界上， 在中，， 由正切函数的增减性可知，越大，则越大． ①当最小时，点落在边上，如图， 此时与共线， ∵是等边三角形， 又∵， ∴， ∴； ②当最大时，点落在边上，如图，延长，交于点，交于点，延长与，交于点，连接，交于点，设，， ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在直角中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 化简，得， 因式分解，得， 解得或（负值舍去）， ∴； 综上所述，当点在内部或者边界上时，， ∵假设不成立， ∴当点在外部，的取值范围为或． 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，根据等边三角形的性质添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 4．如图，斜坡的坡度为，如果将斜坡的铅垂高度从A处沿射线的方向延伸2米，并保持坡度不变，那么需从B处沿射线的方向延伸___________米． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，坡度比的相关问题，根据坡度比设，，由题意可知：，，则， 列方程求解即可． 【详解】解：如图所示：斜坡的坡度为，设，， 由题意可知：，， ∴即， 解得， 故答案为． 5．如图，在中，，，，是的中点．是线段延长线上一点，连接，如果四边形的一组对角相等且另一组对角不相等，那么的长是___________． 【答案】或 【分析】如图所示，过点C作于点F，解直角三角形求出，利用勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求出，，，，的长度，然后根据题意分两种情况讨论：当时，连接，，在上取点G，使，证明出，得到，然后代入求解即可；当时，过点D作于点H，过点E作于点M，利用勾股定理求出，，证明出是等腰直角三角形，然后解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于点F， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的一组对角相等且另一组对角不相等， 如图所示，当时，连接，，在上取点G，使， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作于点H，过点E作交的延长线于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 6．在梯形中，，， ， ．在边上取一点E，满足．将沿方向平移得到（三个顶点依次对应），若点H在边上，则点H到直线的距离是___________． 【答案】 【分析】延长交于P，连，作于，证，得，推出；根据，求出，，得到为的中点；证即可求解； 【详解】解：延长交于P，连，作于， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∴； ∵， ， ； 则为的中点； 由平移可知：， ∴，； ∵， ∴； ∴，即：； ， 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、利用平移的性质求解，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 7．根据所学知识，解答以下问题 【问题提出】 (1)如图1，在正方形中，点分别是边上的点，连接，若，则的度数为___________； 【问题探究】 (2)如图2，在四边形中，，过点作，连接交于点，交于点，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，矩形是某公园的一块空地，现公园规划人员计划在该空地中的区域种植鲜花，边上的点处是入口，边上的点处有一口水井，是从到边修的一条地下水管，在点处修建一个观景台．已知，求观景台到水井的距离．（入口、水井和观景台的大小及地下水管的宽度均忽略不计） 【答案】(1)45 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，将逆时针旋转90度得到，可知，，，证明，得到，进而可知； （2）根据平行线的性质得到，根据得到，证明，得到，进而可知； （3）延长至点，使得，连接，可知，根据矩形的性质得到，证明，得到，进而可知，，过点作交的延长线于点，则，根据得到，证明，可知，延长交于点，则，证明，得到，即，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， 如图，将逆时针旋转90度得到，可知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； （2）证明：， ． 在中，， ∴． 则． ， ， ， ， ； （3）解：延长至点，使得，连接． ． 四边形是矩形，， ． ， ， ， ，即． 过点作交的延长线于点，则， 在中，， ． ， ． 在和中，， ， ，则． 延长交于点，可知四边形是矩形， 则， ． 由得． ， ， ，即， ， 解得或（不合题意，舍去） 综上可得观景台到水井的距离为 8．如图，在中，，点D和点E分别在和边上（不与端点重合），且，延长和射线交于点F，作，与边交于点G，作的外接圆在上方的部分，连接． (1)若，，求的长． (2)求证：是的切线． (3)若，，直接写出的值． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)根据直角三角形所对的直角边是斜边的一半可解此问； (2)首先，根据，得，再由，，得，根据，得，进而，得出结论； (3)先根据勾股定理求得，设的半径为，，再根据，得，，，接着，证出，得，即，解得(舍去)，可得，最后，得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：∵，，， ∴． 设的半径为，， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，是的切线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得(舍去)． ∴． ∴． 【点睛】根据已知条件利用三角函数值及相似三角形的判定与性质证出，得是解决本题的关键． 2 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $