高频考点07 四边形（专项训练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

高频考点07 四边形 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（3大命题点+11道中考预测题） 考点一 多边形及其内角和 命题点 1 正多边形的内角问题 命题点 2 正多边形的外角问题 命题点 3 多边形的内角和与外角和问题 命题点 4 平面镶嵌 中考预测题4道 考点二 平行四边形 命题点 1 三角形的中位线求解 命题点 2 平行四边形的证明 中考预测题2道 考点三 特殊平行四边形 命题点 1 特殊平行四边形与三角函数结合 命题点 2 特殊平行四边形的性质求长度 命题点 3 特殊平行四边形的最值问题 命题点 4 特殊平行四边形的证明 命题点 5 特殊平行四边形的综合应用 中考预测题5道 04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+8道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 多边形及其内角和 1.正多边形的内角问题 2.正多边形的外角问题 3.多边形的内角和与外角和问题 4.平面镶嵌 1.常以选择题、填空题出现； 2.利用正多边形内角和公式求内角度数，或已知内角度数求边数； 3.利用正多边形外角和为360°求外角度数、边数，或结合内角与外角关系计算； 4.运用多边形内角和公式（(n-2)×180°）及外角和性质，求解边数、角度或进行； 5.判断一种或多种正多边形能否铺满平面（围绕一点的内角和为360°），或计算镶嵌所需正多边形的边数 平行四边形 1.三角形的中位线求解 2.平行四边形的证明 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.利用三角形中位线定理求线段长度、判断位置关系，或结合平行四边形性质综合应用； 3.根据平行四边形的判定定理，结合全等三角形、等腰三角形等知识完成证明，常需添加辅助线构造条件。 特殊平行四边形 1.特殊平行四边形与三角函数结合 2.特殊平行四边形的性质求长度 3.特殊平行四边形的最值问题 4.特殊平行四边形的证明 5.特殊平行四边形的综合应用 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.在矩形、菱形、正方形中，利用锐角三角函数结合边长、角度关系求线段长度或角度； 3.运用矩形的对角线相等、菱形的四边相等及对角线垂直、正方形的性质等计算边长、对角线长或相关线段长度； 4.结合图形性质，利用几何模型求线段长度、面积等的最值； 5.根据矩形、菱形、正方形的判定定理，结合全等三角形、等腰三角形等知识完成证明，常需添加辅助线构造条件； 6.综合运用特殊平行四边形的性质与判定，结合函数、几何变换、动态问题等，解决复杂几何计算或证明问题。 一、多边形及其内角和 （一）核心概念 1.多边形定义：由不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形，分为凸多边形（所有内角<180°）和凹多边形（至少1个内角>180°）。 2.正多边形：各边相等且各内角相等的多边形，如正三角形、正方形等。 （二）重要公式 1.内角和定理：n边形内角和 = (n-2)×180°（n≥3，n为整数） 2.外角和定理：任意多边形外角和 = 360°（与边数无关） 3.正多边形计算： · 每个内角 = [(n-2)×180°]/n · 每个外角 = 360°/n · 对角线条数 = n(n-3)/2 （三）常考题型 1. 已知多边形内角和求边数：n = (内角和÷180°) + 2 2. 正多边形拼接问题：围绕一点拼满360°（如正三角形、正方形、正六边形可单独密铺） 二、平行四边形 （一）定义与性质 定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形（记作▱ABCD）。 性质定理： 类别 性质内容 边 对边平行且相等（AB//CD，AD//BC；AB=CD，AD=BC） 角 对角相等（∠A=∠C，∠B=∠D）；邻角互补（∠A+∠B=180°） 对角线 互相平分（OA=OC，OB=OD） 对称性 中心对称图形（对称中心为对角线交点） （二）判定定理 满足以下任一条件的四边形是平行四边形： 1. 两组对边分别平行（定义判定） 2. 两组对边分别相等 3. 一组对边平行且相等 4. 两组对角分别相等 5. 对角线互相平分 （三）常用结论与技巧 1.面积公式：S = 底×高（任一边为底，对应高为该边与对边的距离） 2.中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形。 3.辅助线技巧：连对角线构造全等三角形；过顶点作高转化为直角三角形问题。 三、特殊平行四边形 （一）矩形 1.定义：有一个角是直角的平行四边形。 2.特殊性质： · 四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°） · 对角线相等（AC=BD） · 既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴） 3.判定方法： · 有一个角是直角的平行四边形 · 对角线相等的平行四边形 · 三个角是直角的四边形 4.面积公式：S = 长×宽（邻边乘积） （二）菱形 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形。 2.特殊性质： · 四条边都相等（AB=BC=CD=DA） · 对角线互相垂直且平分每组对角 · 既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴，为对角线所在直线） 3.判定方法： · 一组邻边相等的平行四边形 · 对角线互相垂直的平行四边形 · 四条边都相等的四边形 4.面积公式： · S = 底×高 · S = 对角线乘积/2（d₁×d₂/2） （三）正方形 1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（既是矩形又是菱形）。 2.特殊性质： · 四条边相等，四个角都是直角 · 对角线相等、垂直且互相平分，平分每组对角 · 有4条对称轴（2条对角线+2条对边中点连线） 3.判定方法： · 有一组邻边相等的矩形 · 有一个角是直角的菱形 · 对角线相等且垂直的平行四边形 4.面积公式：S = 边长² = 对角线²/2 考点一 多边形及其内角和 《解题指南》 1.公式记忆：内角和（n-2）×180°，外角和360°，对角线n(n-3)/2，正多边形内外角公式需灵活转换。 2.解题步骤： ① 明确所求（边数、角度、对角线等）； ② 选择对应公式（内角和/外角和/对角线公式）； ③ 建立方程或直接计算，注意单位统一（角度制）。 关键口诀：多边形，内外角，和差关系要记牢；内角和用(n-2)乘180，外角和360不变调；正多边，边等角等，内外互补可互求。 命题点01 正多边形的内角问题 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线是解题的关键． 延长与直线交于点，先求出正六边形的内角的度数，再由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：延长与直线交于点， ∵正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【典例02】（2024·江苏淮安·中考真题）如图，点P是正六边形的边的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C，已知正六边形的边长为2，则________． 【答案】/ 【分析】延长、交于点，作于点，于点，如图所示，由正六边形的性质及等腰三角形的判定与性质得到，设，再由正六边形的性质得到相应边与角度，在中，由三角函数求出和长度，连接，如图所示，易证是矩形，得到，过点作，如图所示，由等腰三角形性质，解直角三角形得到，最后利用的性质列式求参数即可得到答案． 【详解】解：延长、交于点，作于点，于点，如图所示： 则， 在正六边形中，，则， 由反射光线的性质可知， ，即， ， ， ， 设，则， ， 六边形为正六边形， ， ， 是中点， ， 在中，，， ， 在正六边形中，，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 过点作，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质可知平分，且是边上的中线， 在中，， ， ， ，则，解得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何综合，涉及正六边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的判定与性质等内容，熟练掌握相关几何知识是解题的关键． 命题点02 正多边形的外角问题 【典例01】（2024·江苏徐州·中考真题）正十二边形的每一个外角等于______度． 【答案】30 【分析】主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到每一个外角的度数． 【详解】解：∵多边形的外角和为360度， ∴正十二边形的每个外角度数为：． 故答案为：30． 【典例02】正五边形的一个外角的大小为__________度． 【答案】72 【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解． 【详解】解：正五边形的一个外角的度数为：， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和为360°是解题的关键． 命题点03 多边形的内角和与外角和问题 【典例01】（2025·江苏扬州·中考真题）若多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为______． 【答案】9 【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的外角和等于是解题关键．先求出这个多边形的每个外角都是，再根据多边形的外角和等于求解即可得． 【详解】解：∵这个多边形的每个内角都是， ∴这个多边形的每个外角都是， ∴这个多边形的边数为， 故答案为：9． 【典例02】一个十二边形的内角和是________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是多边形内角和，根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：一个十二边形的内角和是， 故答案为：． 命题点04 平面镶嵌 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于_____． 【答案】 【分析】本题考查平面图形的镶嵌和密铺，根据两个图形能够密铺，得到每个公共顶点处各角的和为360度，如图，易得， ，进而得到，再根据公共顶点处各角的和为360度，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：如图， 由题意和图（2）可知：， 可得 ∴ 故答案为：． 【典例02】（2024·江苏淮安·中考真题）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠地拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，，部分尺寸如图所示（单位：）．结合图1，图2的信息，可求得的长度是________． 【答案】 【分析】本题考查了平面镶嵌，勾股定理的应用，矩形的判定和性质等知识构造出直角三角形是解题的关键．作，设，，由第一幅图可知，，由第二幅图可知，，四边形是矩形，，再根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：作，设，， 由第一幅图可知，， 由第二幅图可知，，四边形是矩形， 则，， 则， ， ， ， ． 故答案为：． 中考预测题 1．万善塔，建于明崇祯十年．距今有三百六十多年的历史，又有“通天塔”之称．全塔高有米，塔身外为正八八角形，内室为正方形，上下交错．如图所示的正八边形是其中一层的平面示意图，则其每个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和外角的知识，首先利用外角和求得外角的度数，然后根据互补求得每个内角的度数即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵多边形外角和为， ∴正八边形每个外角为， ∴正八边形每个内角的度数为， 故选：． 2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 3. 图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是_______． 【答案】8 【分析】延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数． 【详解】解：如图，延长，交于点， ， ， ∵是正边形纸片， ∴， 即正多边形的一个外角为， ． 【点睛】重点掌握正多边形和外角的关系． 4. 如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是__________． 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的内角与多边形内角和定理、平面镶嵌，先求出第三块正多边形木板的内角，再根据多边形内角和列方程解方程即可． 【详解】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为， ∴第三块正多边形木板的内角为， 设第三块正多边形木板的边数为, 解得， 即第三块木板的边数应是， 故答案为： 考点二 平行四边形 《解题指南》 1. 与三角形结合 平行四边形常与三角形相结合，尤其是与全等三角形和等腰三角形结合考查。 技巧点拨：在平行四边形中，连接对角线可将平行四边形分成两个全等的三角形。利用全等三角形的性质可解决线段相等、角相等的问题。此外，平行四边形的对边平行，可利用平行线的性质（如内错角相等、同位角相等）得到角之间的关系，进而与等腰三角形的性质结合，解决相关问题。 2. 与平移、旋转结合 平行四边形的性质在图形的平移和旋转中有着广泛的应用。 技巧点拨：平移不改变图形的形状和大小，平行四边形在平移过程中，对应边平行且相等，对应角相等。旋转同样不改变图形的形状和大小，平行四边形绕某一点旋转180°后与原图形重合，利用这一性质可解决与中心对称相关的问题。 命题点01 三角形的中位线求解 【典例01】（2025·江苏无锡·中考真题）在中，、分别是、的中点．若，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：根据题意，如图所示， ∵D、E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 由题意可得为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，则，四边形是平行四边形，即可判断A、B、D；再由，是边的中点，即可判断C． 【详解】解：点、、分别是边、、的中点 ∴为的中位线， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 故A、B、D正确，不符合题意； ∵，是边的中点， ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 命题点02 平行四边形的证明 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】②或③，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．添加条件②，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，添加③为条件，证明得出，即可得证． 【详解】解：添加②为条件，则四边形是平行四边形． 理由如下，如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形． 添加③为条件，则四边形是平行四边形． 理由如下，∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择①无法得出四边形是平行四边形． 【典例02】 （2024·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求四边形是菱形时的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由中心对称的性质证明，即可证明； （2）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求即可． 【详解】（1）证明：∵和关于点对称， ，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵和关于点对称，四边形是平行四边形； ∴三点共线， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 中考预测题 1．如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点M，N分别是的中点，连接，若，则MN的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，掌握知识的灵活运用相关性质定理是解题的关键． 如图：连接并延长交于P，连接，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理解答即可． 【详解】解：如图：连接并延长交于P，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E，F分别是边的中点，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴． 故选：C． 2．如图，四边形中，，平分，交的延长线于点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等边对等角，平行线的判定，平行四边形的判定． 由等边对等角可得，由平分可得，等量代换可得，从而可得，结合，即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 考点三 特殊平行四边形 《解题指南》 矩形四角皆直角，对角线等互相分 菱形四边都相等，对角线垂且平分 正方兼具矩形菱，判定需把两者并 折叠旋转作辅助，勾股方程常用到 证特殊先证平行，规范步骤要记清 命题点01 特殊平行四边形与三角函数结合 【典例01】（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【典例02】（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，交于点，根据矩形的性质以及以点，为圆心，线段，长为半径画弧得到，，设，故，在中求出的值，从而得到，从而得到，即可求得答案． 【详解】解：设，交于点， 由题意得， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 故， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， ．    故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及正切值的求法，本题中得到是解题的关键． 命题点02 特殊平行四边形的性质求长度 【典例01】 （2025·江苏南京·中考真题）如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________． 【答案】 【分析】延长，交于点，利用勾股定理求得，计算和，借助矩形内角为直角、全等三角形的角相等，证得，，利用和得出、长，进而得、，利用勾股定理即可求的长． 【详解】解：如图，延长，交于点， 在中，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质、勾股定理、三角函数的应用，利用全等三角形转移角的关系，结合矩形内角为直角推导直角三角形是解题的关键． 【典例02】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明为等边三角形，进而得到，三线合一求出的长，证明四边形为平行四边形，进而得到，推出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的边长为2，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴； 故答案为：． 命题点03 特殊平行四边形的最值问题 【典例01】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知、运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键． 【典例02】（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是___________．    【答案】 【分析】设的交点为，的中点分别是，连接，先证，由此得当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，再证四边形是矩形，且，根据勾股定理的，进而求得的最小值． 【详解】解：设的交点为，的中点分别是，连接， 互相垂直， 和为直角三角形，且分别为斜边， ， ， 当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得， 当点在线段上时，最小，最小值为线段的长， 分别为的中点， 是的中位线， ， 同理， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， 在中，， ， 的最小值为， 的最小值为．    故答案为：． 【点睛】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短是解答此题的关键． 命题点04 特殊平行四边形的证明 【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）已知：如图，在中，E为的中点，于点G，交于点F，，连接，．求证： (1)； (2)四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明，可得，可得，再证明，，即可得到结论； （2）先证明四边形为平行四边形，结合E为的中点，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵E为的中点，， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线分线段成比例，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明得到，根据得到，那么可得四边形是平行四边形，再由线段垂直平分线的性质得到，即可证明其为菱形； （2）根据菱形的性质结合已知条件证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵对角线的垂直平分线是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图， ∵平分， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 命题点05 特殊平行四边形的综合应用 【典例01】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、． (1)直接写出___________°，___________； (2)当时，求的值； (3)如图2，连接并延长交直线于点． ①求证：； ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)①见解析  ② 【分析】（1）过点E作于点K，即可得到四边形是矩形，然后证明，即可求出的值，然后根据正切的定义求出的度数即可； （2）根据勾股定理求出长，利用（1）的结论求出长，然后证明是等边三角形，根据正弦的定义求出长解答即可； （3）①根据（2）的证明得到，过点M作交于点L，则有，得到，即可得到，然后根据平行线分线段成比例得到结论即可； ②连接，，根据直角三角形斜边上的中线性质和平行线分线段成比例得到，进而判断，即可得到点Q在与线段夹角为的射线上，然后根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解：过点E作于点K， ∵是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴    ，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴    ， 根据（1）中结论可得， 又∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：根据（1）中结论可得， 又∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 过点M作交于点L， 则，， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ②连接，， ∵，， ∴， 又∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点Q在与线段夹角为的射线上， ∴过点D作于点， 当点Q在时，最小， 这时． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理和等边三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【典例02】（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)①2；②． 【分析】本题考查的是矩形的性质、平行四边形性质与判定及相似三角形判定与性质， （1）先证明，根据相似三角形性质即可证明结论； （2）①过点作，垂足为，设，借助三角形面积求出即可；②作，垂足为，作，垂足为，设，借助三角形面积求出，再通过求出，证明四边形是平行四边形，从而证明，即可求出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在中，∵， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， 设，则， ∴， 即， ∴点到的距离为2； ②如图，作，垂足为，作，垂足为， 设， ， ， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴． 中考预测题 1．如图，正方形中，点E是边的中点，连接，将沿翻折得，连接、．则以下结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是（    ） A．②③ B．①②③ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了图形的翻折变换及其性质、正方形的性质、锐角三角函数的定义、相似三角形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 根据点是边的中点，可设，结合正方形的性质和翻折的性质推出，，进而判断①；过点作直线，分别交、于点、，证明∽，在中，结合勾股定理及判断②；在和中，用勾股定理可以判断③；分别表示出和即可判断④． 【详解】解：①∵点是边的中点， ∴可设，则， ∵四边形是正方形， ∴，， 设， 由翻折性质得：，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故结论①正确； ②过点作直线，分别交、于点、，如图所示： ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ，， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∴， 故结论②正确； ③在中，， 在中，， ∴， 故结论③不正确； ④∵， 由翻折的性质得：， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 故结论④正确； 综上所述：正确的结论是①②④． 故选：D ． 2．如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质； 过点B作，且，连接、、，求出，证明和全等，可得，把求的最大值转换为求的最大值即可． 【详解】解：如图，过点B作，且，连接、、， ∵，，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴当点A、 P、E三点共线时，最大，此时， ∵， ∴， 即的最大值为． 3. 如图，正方形中，，已知点E是边上的一动点（不与A、B重合）将沿DE对折，点A的对应点为P，当是等腰三角形时，_____． 【答案】或 【分析】分、、讨论，排除（会使与重合，不符合题意）．利用折叠性质得，，当时，为等边三角形，得，在中求，时，在垂直平分线上，得，构造等腰三角形求． 得到两个有效解或． 【详解】解：若， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 若， 如图，过点P作于点F，作， ∵， ∴点P在的垂直平分线上，且， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 当时， ∴， 由折叠知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E和点B重合，不符合题意， 即：此种情况不存在， ∴的长为或． 4. 如图，四边形中，对角线经过的中点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)点为边上一点，作射线分别交及的延长线于点、，当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明可得，再结合可证明四边形是平行四边形，最后根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明结论； （2）由菱形的性质结合已知条件可得、、，得，再证明，最后根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：． 5. 如图，在矩形中，，，点M是射线的一个动点，连接，过作于点P． (1)如图①．当点M为边中点时，连接并延长交于点E． ①求证：； ②的长为 ．（直接写出答案） (2)如图②，点Q在边上，且，当时，求的长． 【答案】(1)①见解析；②； (2)7或7 【分析】（1）①延长、交于点，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，易得点为中点，再结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可得，可推导，进而推导，即可证明；②设，则，，，在中，由勾股定理可解得，即可获得答案； （2）分两种情况讨论：①当点在线段上时，如下图，过点作，交于点，交于点，易知四边形为矩形，设，，则，，证明，由相似三角形的性质可求得；再证明，由三角函数可得，进而可知，由，同理可得，故，即有，进而可知，即可求得，，，结合可求得；②当点在延长线上时，同理可得，即可获得答案． 【详解】（1）①证明：延长、交于点，如下图， ∵点为边中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∴点为中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：设， 由①可知，，， ∴，，， ∴在中，可有， ∴，解得， ∴ 故答案为：； （2）解：分两种情况讨论： ①当点在线段上时，如下图，过点作，交于点，交于点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 设，，则，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 由，同理可得， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴； ②当点在延长线上时，如下图， 同理可得． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、动点问题、三角函数、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，并运用分类讨论的思想分析问题． 好题速递 1．（2026·江苏南通·一模）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，若，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形中位线的性质得到，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：点，分别是，的中点， 四边形是菱形 菱形的周长． 【点睛】注意三角形中位线平行于底边且等于底边的一半． 2．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．连接，先根据矩形与折叠的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，最后在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，为的中点，点在边上， ∴，，， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：， ∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 4．（2026·江苏南通·一模）如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 连接，交于点，过点作于点，利用四边形是菱形，得出，，，得出，，即可证明，即可计算出，，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，交于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·江苏淮安·一模）如图，在正五边形中，点F在边上（不与端点重合），点G在边上，，连接交于点H，则__°． 【答案】72 【分析】本题考查了正多边形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 根据正多边形的性质得到，每个内角的度数为，如图所示，连接 ，由等边对等角得到，，，，，，，，再证明，，由此得到，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，每个内角的度数为， 如图所示，连接 ， 在中，，， ∴， ∴， 同理，在中，，， 在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： ． 6．（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，，，E、H分别为边上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C，若，，则的长度为__________________． 【答案】 【分析】延长与交于点M，由平行四边形的性质得长度，，由折叠性质得的值和的值，进而得的值，再根据是等腰直角三角形，便可求得结果． 【详解】解：延长与交于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， 则 即 ∴， 由折叠知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，关键是作辅助线构造直角三角形． 7．（2024·江苏扬州·二模）如图，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交BE的延长线于F，且，连接CF． (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解答 (2)四边形是菱形，证明见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定，全等三角形的性质与判定等知识﹒ （1）根据“”即可证明； （2）连接交于点，先分别证明四边形，四边形是平行四边形，得到，进而证明，即可证明是菱形﹒ 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形﹒ 证明：如图，连接交于点﹒ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形﹒ 8．（2026·江苏南通·一模）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、． 【初步猜想】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 创新小组经过探究，发现，证明过程如下： 由折叠可知，． 由矩形的性质，可知，∴， ∴① ， ∴． 智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为② ． 经过探究，发现验证和数量关系的方法不唯一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程． 【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接，当为直角三角形时，求出的长． 【答案】（1）①，②；（2）证明见详解；（3）的长为或4 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的相关知识． （1）根据矩形的性质和折叠的性质推出角相等从而确定直线平行关系，再通过测量和推理猜想线段关系： （2）利用矩形的折叠性质可证明三角形全等，进而得出线段相等关系； （3）根据前面的结论设未知数，分两种讨论直角三角形，利用三角函数和线段关系列方程求解． 【详解】解：（1）由折叠可知，． 由矩形的性质，可知，∴， ∴①， ∴． 智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为②． 故答案为：①，②； （2）证明：方法一：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质，得，，，，， ∴，， ∴， 由（1）知，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 方法二：如图，过点作交于点G， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得，， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 由（2）可知：，，， ∴， 设，则，， ∴， 当为直角三角形时，分以下两种情况讨论： ①如图，若， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得，， 经检验，满足题意； ∴； ②如图，若， ∵， ∴， ∴G，，F三点共线， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∴， 由折叠的性质，得， ∴， 在中，，， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， 综上所述，的长为或4． 中考闯关 1．如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点O处、分别是折痕，若点O沿从点B向点D移动过程中，下列有关阴影部分周长的说法正确的是（    ） A．先变大，后变小 B．先变小，后变大 C．当点O在中点处时，周长最大 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形与折叠问题，勾股定理，根据题意知，可证明四边形是矩形，可得，由勾股定理得，从而可求出阴影部分周长进而解决问题． 【详解】解：根据题意知，，且均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， ∴ 又 ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴阴影部分的周长， ∵是定值， ∴阴影部分的周长不变， 故选：D． 2．运动会将至，小亮为班级打气助威，制作了如图所示的“助威牌”，其中五边形为正五边形，三角形为正三角形，延长交CD于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，根据题意求出该正五边形的每个内角度数为：，即可求解； 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴该正五边形的每个内角度数为：； ∴； ∵三角形为正三角形， ∴； ∴； ∴； 故选：B 3．如图，已知，M、N分别是边上动点．将沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，A的对应点为，连结、．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质．连接，在上截取，作，交的延长线于点F，交于T，证明，推出，，设，则，在中，由勾股定理求得，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：如图， 连接，在上截取，作，交的延长线于点F，交于T， 设，， ∵沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，是等边三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为________． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键利用勾股逆定理证明三角形为直角三角形． 根据平行四边形对角线互相平分可知，，，又，根据勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，面积为，又平行四边形中对角线把它分成面积相等的部分，由此可求出平行四边形的面积． 【详解】解：与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ． ，，， ， 为直角三角形，， ， ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 5．如图，平行四边形中，E为边上一点，，，交线段于点F，G为上一点，，连接并延长交边于点H，若，则______． 【答案】 【分析】根据题目条件，设，由，进一步设，，的表达式，此时可得，由四边形为平行四边形得出后推导出，进一步得出，使得是的平分线，由，可推断，利用全等三角形和相似三角形的性质证得，，从而得到，由于，在中，由正弦定义得：，得到，利用两直线平行，同旁内角互补及直角三角形内角和定理可得出，在中，利用正切定义得出的表达式，经过线段的等量代换最终求出的值． 【详解】解：如图，过F点作，于点M， 设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵，, ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴， 在中，得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的应用． 6．如图，点在正方形的边上，，点为正方形所在平面内一点，连接，．，的最大值为，的最小值为，则的值为____________． 【答案】100 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的性质，圆外一点与圆上各点之间距离的最值，勾股定理的应用，证明在以为圆心，为半径的上，当共线时，最短，最长；过作于，再进一步求解即可. 【详解】解：如图， ∵， ∴在以为圆心，为半径的上， 当共线时，最短，最长； 过作于， ∵正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 7．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)或或或 【分析】（1）过点作交于，延长交于，结合矩形的判定及性质，由判定，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由点的运动路径得，设，由直角三角形的特征得，可求，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于，延长交于， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 四边形是矩形， ， ， 点是上的一个动点（点不与端点重合）， ， ， 设， 是的中点， ， ， 解得， ， 线段的长为整数， 为或或或， 为或或或， 当时， ， 同理可求时，， 时，， 时，， 综上，的长为或或或． 8．阅读理解：邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；依此类推，若第次操作余下的四边形是正方形，则称原长方形为阶准正方形． 如图，长方形中，若，，则矩形为阶准正方形． 如图，长方形中，，，则矩形是阶准正方形． 探究一： (1)长方形中，若，，则长方形是______阶准正方形； (2)长方形中，若，，则长方形是______阶准正方形； (3)长方形中，若，，则长方形是否为阶准正方形，若是，请画图说明并回答它是几阶准正方形；若不是，请说明理由．（提示：不能用铅笔画图） 探究二： (4)已知长方形邻边长分别为，，且是阶准正方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方用含的代数式表示出相应的的值．（提示：不能用铅笔画图） 【答案】(1)2 (2)3 (3)是3阶准正方形，图见解析 (4)见解析 【分析】本题考查规律型图形变化类题目，正方形的性质，阶准正方形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 探究一：根据阶准正方形的定义即可判断； 探究二：画出图形，最后一个长方形的邻边是两倍关系，由此构建方程分别计算即可； 【详解】（1）解：长方形中，若，，如图， 第次操作余下的四边形是正方形， ∴长方形是阶准正方形； 故答案为：2； （2）解：长方形中，若，，如图， 第次操作余下的四边形是正方形， ∴长方形是阶准正方形； 故答案为：3； （3）解：长方形是阶准正方形， 长方形中，若，，如图： 第次操作余下的四边形是正方形， ∴长方形是阶准正方形； （4）解：长方形及剪裁线的示意图，如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点07 四边形 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（3大命题点+11道中考预测题） 考点一 多边形及其内角和 命题点 1 正多边形的内角问题 命题点 2 正多边形的外角问题 命题点 3 多边形的内角和与外角和问题 命题点 4 平面镶嵌 中考预测题4道 考点二 平行四边形 命题点 1 三角形的中位线求解 命题点 2 平行四边形的证明 中考预测题2道 考点三 特殊平行四边形 命题点 1 特殊平行四边形与三角函数结合 命题点 2 特殊平行四边形的性质求长度 命题点 3 特殊平行四边形的最值问题 命题点 4 特殊平行四边形的证明 命题点 5 特殊平行四边形的综合应用 中考预测题5道 04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+8道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 多边形及其内角和 1.正多边形的内角问题 2.正多边形的外角问题 3.多边形的内角和与外角和问题 4.平面镶嵌 1.常以选择题、填空题出现； 2.利用正多边形内角和公式求内角度数，或已知内角度数求边数； 3.利用正多边形外角和为360°求外角度数、边数，或结合内角与外角关系计算； 4.运用多边形内角和公式（(n-2)×180°）及外角和性质，求解边数、角度或进行； 5.判断一种或多种正多边形能否铺满平面（围绕一点的内角和为360°），或计算镶嵌所需正多边形的边数 平行四边形 1.三角形的中位线求解 2.平行四边形的证明 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.利用三角形中位线定理求线段长度、判断位置关系，或结合平行四边形性质综合应用； 3.根据平行四边形的判定定理，结合全等三角形、等腰三角形等知识完成证明，常需添加辅助线构造条件。 特殊平行四边形 1.特殊平行四边形与三角函数结合 2.特殊平行四边形的性质求长度 3.特殊平行四边形的最值问题 4.特殊平行四边形的证明 5.特殊平行四边形的综合应用 1.常以选择题、填空题、解答题出现； 2.在矩形、菱形、正方形中，利用锐角三角函数结合边长、角度关系求线段长度或角度； 3.运用矩形的对角线相等、菱形的四边相等及对角线垂直、正方形的性质等计算边长、对角线长或相关线段长度； 4.结合图形性质，利用几何模型求线段长度、面积等的最值； 5.根据矩形、菱形、正方形的判定定理，结合全等三角形、等腰三角形等知识完成证明，常需添加辅助线构造条件； 6.综合运用特殊平行四边形的性质与判定，结合函数、几何变换、动态问题等，解决复杂几何计算或证明问题。 一、多边形及其内角和 （一）核心概念 1.多边形定义：由不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形，分为凸多边形（所有内角<180°）和凹多边形（至少1个内角>180°）。 2.正多边形：各边相等且各内角相等的多边形，如正三角形、正方形等。 （二）重要公式 1.内角和定理：n边形内角和 = (n-2)×180°（n≥3，n为整数） 2.外角和定理：任意多边形外角和 = 360°（与边数无关） 3.正多边形计算： · 每个内角 = [(n-2)×180°]/n · 每个外角 = 360°/n · 对角线条数 = n(n-3)/2 （三）常考题型 1. 已知多边形内角和求边数：n = (内角和÷180°) + 2 2. 正多边形拼接问题：围绕一点拼满360°（如正三角形、正方形、正六边形可单独密铺） 二、平行四边形 （一）定义与性质 定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形（记作▱ABCD）。 性质定理： 类别 性质内容 边 对边平行且相等（AB//CD，AD//BC；AB=CD，AD=BC） 角 对角相等（∠A=∠C，∠B=∠D）；邻角互补（∠A+∠B=180°） 对角线 互相平分（OA=OC，OB=OD） 对称性 中心对称图形（对称中心为对角线交点） （二）判定定理 满足以下任一条件的四边形是平行四边形： 1. 两组对边分别平行（定义判定） 2. 两组对边分别相等 3. 一组对边平行且相等 4. 两组对角分别相等 5. 对角线互相平分 （三）常用结论与技巧 1.面积公式：S = 底×高（任一边为底，对应高为该边与对边的距离） 2.中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形。 3.辅助线技巧：连对角线构造全等三角形；过顶点作高转化为直角三角形问题。 三、特殊平行四边形 （一）矩形 1.定义：有一个角是直角的平行四边形。 2.特殊性质： · 四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°） · 对角线相等（AC=BD） · 既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴） 3.判定方法： · 有一个角是直角的平行四边形 · 对角线相等的平行四边形 · 三个角是直角的四边形 4.面积公式：S = 长×宽（邻边乘积） （二）菱形 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形。 2.特殊性质： · 四条边都相等（AB=BC=CD=DA） · 对角线互相垂直且平分每组对角 · 既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴，为对角线所在直线） 3.判定方法： · 一组邻边相等的平行四边形 · 对角线互相垂直的平行四边形 · 四条边都相等的四边形 4.面积公式： · S = 底×高 · S = 对角线乘积/2（d₁×d₂/2） （三）正方形 1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（既是矩形又是菱形）。 2.特殊性质： · 四条边相等，四个角都是直角 · 对角线相等、垂直且互相平分，平分每组对角 · 有4条对称轴（2条对角线+2条对边中点连线） 3.判定方法： · 有一组邻边相等的矩形 · 有一个角是直角的菱形 · 对角线相等且垂直的平行四边形 4.面积公式：S = 边长² = 对角线²/2 考点一 多边形及其内角和 《解题指南》 1.公式记忆：内角和（n-2）×180°，外角和360°，对角线n(n-3)/2，正多边形内外角公式需灵活转换。 2.解题步骤： ① 明确所求（边数、角度、对角线等）； ② 选择对应公式（内角和/外角和/对角线公式）； ③ 建立方程或直接计算，注意单位统一（角度制）。 关键口诀：多边形，内外角，和差关系要记牢；内角和用(n-2)乘180，外角和360不变调；正多边，边等角等，内外互补可互求。 命题点01 正多边形的内角问题 【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2024·江苏淮安·中考真题）如图，点P是正六边形的边的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C，已知正六边形的边长为2，则________． 命题点02 正多边形的外角问题 【典例01】（2024·江苏徐州·中考真题）正十二边形的每一个外角等于______度． 【典例02】正五边形的一个外角的大小为__________度． 命题点03 多边形的内角和与外角和问题 【典例01】（2025·江苏扬州·中考真题）若多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为______． 【典例02】一个十二边形的内角和是________． 命题点04 平面镶嵌 【典例01】（2025·江苏镇江·中考真题）用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于_____． 【典例02】（2024·江苏淮安·中考真题）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠地拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，，部分尺寸如图所示（单位：）．结合图1，图2的信息，可求得的长度是________． 中考预测题 1．万善塔，建于明崇祯十年．距今有三百六十多年的历史，又有“通天塔”之称．全塔高有米，塔身外为正八八角形，内室为正方形，上下交错．如图所示的正八边形是其中一层的平面示意图，则其每个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 3. 图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是_______． 4. 如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是__________． 考点二 平行四边形 《解题指南》 1. 与三角形结合 平行四边形常与三角形相结合，尤其是与全等三角形和等腰三角形结合考查。 技巧点拨：在平行四边形中，连接对角线可将平行四边形分成两个全等的三角形。利用全等三角形的性质可解决线段相等、角相等的问题。此外，平行四边形的对边平行，可利用平行线的性质（如内错角相等、同位角相等）得到角之间的关系，进而与等腰三角形的性质结合，解决相关问题。 2. 与平移、旋转结合 平行四边形的性质在图形的平移和旋转中有着广泛的应用。 技巧点拨：平移不改变图形的形状和大小，平行四边形在平移过程中，对应边平行且相等，对应角相等。旋转同样不改变图形的形状和大小，平行四边形绕某一点旋转180°后与原图形重合，利用这一性质可解决与中心对称相关的问题。 命题点01 三角形的中位线求解 【典例01】（2025·江苏无锡·中考真题）在中，、分别是、的中点．若，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 命题点02 平行四边形的证明 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【典例02】 （2024·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求四边形是菱形时的长． 中考预测题 1．如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点M，N分别是的中点，连接，若，则MN的长度为（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形中，，平分，交的延长线于点，，求证：四边形是平行四边形． 考点三 特殊平行四边形 《解题指南》 矩形四角皆直角，对角线等互相分 菱形四边都相等，对角线垂且平分 正方兼具矩形菱，判定需把两者并 折叠旋转作辅助，勾股方程常用到 证特殊先证平行，规范步骤要记清 命题点01 特殊平行四边形与三角函数结合 【典例01】（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（    ）    A． B． C． D． 命题点02 特殊平行四边形的性质求长度 【典例01】 （2025·江苏南京·中考真题）如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________． 【典例02】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为___________． 命题点03 特殊平行四边形的最值问题 【典例01】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______． 【典例02】（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是___________．    命题点04 特殊平行四边形的证明 【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）已知：如图，在中，E为的中点，于点G，交于点F，，连接，．求证： (1)； (2)四边形是菱形． 【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，平分，求的长． 命题点05 特殊平行四边形的综合应用 【典例01】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、． (1)直接写出___________°，___________； (2)当时，求的值； (3)如图2，连接并延长交直线于点． ①求证：； ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． 【典例02】（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． 中考预测题 1．如图，正方形中，点E是边的中点，连接，将沿翻折得，连接、．则以下结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是（    ） A．②③ B．①②③ C．②④ D．①②④ 2．如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 3. 如图，正方形中，，已知点E是边上的一动点（不与A、B重合）将沿DE对折，点A的对应点为P，当是等腰三角形时，_____． 4. 如图，四边形中，对角线经过的中点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)点为边上一点，作射线分别交及的延长线于点、，当时，求线段的长． 5. 如图，在矩形中，，，点M是射线的一个动点，连接，过作于点P． (1)如图①．当点M为边中点时，连接并延长交于点E． ①求证：； ②的长为 ．（直接写出答案） (2)如图②，点Q在边上，且，当时，求的长． 好题速递 1．（2026·江苏南通·一模）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，若，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南通·一模）如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为_____． 5．（2025·江苏淮安·一模）如图，在正五边形中，点F在边上（不与端点重合），点G在边上，，连接交于点H，则__°． 6．（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，，，E、H分别为边上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C，若，，则的长度为__________________． 7．（2024·江苏扬州·二模）如图，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交BE的延长线于F，且，连接CF． (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 8．（2026·江苏南通·一模）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、． 【初步猜想】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 创新小组经过探究，发现，证明过程如下： 由折叠可知，． 由矩形的性质，可知，∴， ∴① ， ∴． 智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为② ． 经过探究，发现验证和数量关系的方法不唯一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程． 【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接，当为直角三角形时，求出的长． 中考闯关 1．如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点O处、分别是折痕，若点O沿从点B向点D移动过程中，下列有关阴影部分周长的说法正确的是（    ） A．先变大，后变小 B．先变小，后变大 C．当点O在中点处时，周长最大 D．保持不变 2．运动会将至，小亮为班级打气助威，制作了如图所示的“助威牌”，其中五边形为正五边形，三角形为正三角形，延长交CD于，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，M、N分别是边上动点．将沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，A的对应点为，连结、．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为________． 5．如图，平行四边形中，E为边上一点，，，交线段于点F，G为上一点，，连接并延长交边于点H，若，则______． 6．如图，点在正方形的边上，，点为正方形所在平面内一点，连接，．，的最大值为，的最小值为，则的值为____________． 7．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 8．阅读理解：邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；依此类推，若第次操作余下的四边形是正方形，则称原长方形为阶准正方形． 如图，长方形中，若，，则矩形为阶准正方形． 如图，长方形中，，，则矩形是阶准正方形． 探究一： (1)长方形中，若，，则长方形是______阶准正方形； (2)长方形中，若，，则长方形是______阶准正方形； (3)长方形中，若，，则长方形是否为阶准正方形，若是，请画图说明并回答它是几阶准正方形；若不是，请说明理由．（提示：不能用铅笔画图） 探究二： (4)已知长方形邻边长分别为，，且是阶准正方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方用含的代数式表示出相应的的值．（提示：不能用铅笔画图） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $