专题01复数（专项训练）数学沪教版必修第二册

专题01复数 目录 A题型建模・专项突破 题型01复数的四则运算 题型02复数的实部与虚部 题型03复数的分类 题型04共轭复数 题型05复数相等 题型06复数的坐标问题 题型07复数的模问题 题型08复数的向量表示 题型09实系数一元二次方程 题型10复数的三角形式 题型11与复数模相关的轨迹（图形）问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01复数的四则运算 1．设复数，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．计算： (1)； (2)． 4．（1）计算； （2）计算． 5．若，则_______. 6．设i是虚数单位，___________． 题型02复数的实部与虚部 7．已知复数z满足，则复数z的实部和虚部分别是（   ） A．，1 B．2，1 C．，i D．2，i 8．若，则的虚部是（   ） A． B．1 C． D． 9．已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 10．若复数满足，则复数虚部为（   ） A．1 B． C． D． 11．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 12．已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 题型03复数的分类 13．复数是实数，则实数的值为________． 14．已知复数，若是纯虚数，则实数（   ） A．-1 B．0 C．2 D．1 15．设复数，当为何值时： (1)是实数？ (2)是纯虚数？ 16．已知为虚数，且是实数，也是实数，求的值． 17．若复数是纯虚数，则实数___________． 18．已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 题型04共轭复数 19．复数满足：，为虚数单位，为的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 20．设，则＝（   ） A．－1－i B．－1＋i C．1＋i D．1－i 21．为虚数单位，复数的共轭复数为___________． 22．设复数的共轭复数为，则（   ） A． B．3 C．5 D． 23．已知复数，为虚数单位，则的共轭复数__________． 24．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C．1 D． 题型05复数相等 25．若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 26．若复数，则的值可以是（   ） A．1 B． C． D． 27．已知复数的共轭复数为，若，则可能为（    ） A． B． C． D． 28．已知是虚数单位，满足，则（   ） A． B． C． D． 29．已知复数，则（   ） A． B． C． D．2 30．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（    ） A． B． C． D． 题型06复数的坐标问题 31．已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 32．已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 33．在复平面内，复数 对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 34．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 35．在复平面内，复数对应的点恰好位于第四象限，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 36．在复平面内，若复数对应的点，满足下列条件时，分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上. 题型07复数的模问题 37．若，则（    ） A． B． C．37 D．65 38．若___________． 39．已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 40．若复数模为，则的值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 题型08复数的向量表示 41．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A． B． C． D． 42．在复平面内，设及分别与复数及复数对应，计算，并在复平面内作出对应的向量． 43．在复平面内的长方形的四个顶点中，点，，对应的复数分别是，，，则点对应的复数为________． 44．已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数的虚部为（    ） A． B．7 C． D． 45．若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______. 46．如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 题型09实系数一元二次方程 47．若是关于的方程的两个虚数根，且,则实数的值为_____． 48．设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 49．试分析方程是否有实数根？并解方程． 50．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 51．下列命题中，所有真命题的序号为________. ①虚轴上的点所对应的数是纯虚数； ②若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数； ③若复数 ()是某一元二次方程的根，则一定是该方程的另一个根. 52．若，则_________． 题型10复数的三角形式 53．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 54．已知复数，，求的辐角的主值． 55．计算下列各式： (1)； (2)； (3). 56．设，求和. 57．计算： (1)； (2)． 58．求证：． 题型11与复数模相关的轨迹（图形）问题 59．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 60．判别下列各式在复平面所表示的图形． (1) (2) (3) 61．已知复数，，求： (1)． (2)若，且，求的最大值． 62．若复数满足，则|z|的最大值为______． 63．已知复数的模长，则的取值范围为___________． 64．已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 1．若复数，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若，则复数在复平面上的对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知复数在复平面内对应的向量为（为坐标原点），在复平面内对应的向量为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 6．设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 8．使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为_____. 10．已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 11．将下列复数化为三角形式（要求辐角为辐角主值）． （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________． 12．计算： (1)； (2). 13．设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 14．已知，若对应的点在第二象限，求a的取值范围． 15．已知复数满足是纯虚数，求的最小值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01复数 目录 A题型建模・专项突破 题型01复数的四则运算 题型02复数的实部与虚部 题型03复数的分类 题型04共轭复数 题型05复数相等 题型06复数的坐标问题 题型07复数的模问题 题型08复数的向量表示 题型09实系数一元二次方程 题型10复数的三角形式 题型11与复数模相关的轨迹（图形）问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01复数的四则运算 1．设复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 2．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得. 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数的四则运算即可直接求解； （2）由复数的四则运算即可直接求解. 【详解】（1） ； （2）. 4．（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）5；（2） 【分析】利用复数的加减运算法则计算即可. 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 5．若，则_______. 【答案】0 【分析】根据复数的运算法则计算，再利用的整数次幂的周期性求解. 【详解】已知， 所以 . 6．设i是虚数单位，___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数除法及乘方运算求解. 【详解】原式. 故答案为： 题型02复数的实部与虚部 7．已知复数z满足，则复数z的实部和虚部分别是（   ） A．，1 B．2，1 C．，i D．2，i 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算得到，其中为实部，为虚部，据此求解. 【详解】由题意可得， 则复数z的实部和虚部分别是2，1. 故选：B. 8．若，则的虚部是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】借助复数运算法则求出后利用虚部定义即可得. 【详解】，故的虚部是. 9．已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法运算求出，有乘积的实部和虚部为相等的正数，列出的等式，解出的值． 【详解】因为 ， 所以，即． 经检验，能使， 所以满足题意． 故选：D. 10．若复数满足，则复数虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 所以复数虚部为. 11．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，. 所以的虚部是． 12．已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用求解. 【详解】，虚部为－1 故选：A. 题型03复数的分类 13．复数是实数，则实数的值为________． 【答案】 【分析】由复数的概念可得，若复数是实数，则其虚部为0，由此即可求解. 【详解】由题意得，解得或， 且，即，故的值为， 故答案为：． 14．已知复数，若是纯虚数，则实数（   ） A．-1 B．0 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用复数的运算先计算，进而得，再由纯虚数的概念即可求解. 【详解】因为，所以，因为 为纯虚数，所以． 15．设复数，当为何值时： (1)是实数？ (2)是纯虚数？ 【答案】(1)或． (2) 【分析】（1）由对数的性质及复数的分类，列式求解即可； （2）由纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】（1）要使复数为实数， 需满足， 解得或． 即当或时，是实数． （2）要使复数为纯虚数， 需满足， 即 解得， 即当时，是纯虚数． 16．已知为虚数，且是实数，也是实数，求的值． 【答案】． 【分析】设，根据，为实数，探索可得的方程，从而得到的值，再求的值. 【详解】设，，，因为为虚数，故， 又， 因为，故为实数，所以，故①， 而也为实数，同理可得为实数，故②， 由①②得：，所以，故. 若，则， ， 同理若，则． 17．若复数是纯虚数，则实数___________． 【答案】2 【分析】首先根据复数乘法公式化简复数，再根据纯虚数的特征列式求解. 【详解】因， 要使其为纯虚数，需使且，解得． 故答案为：2 18．已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义列出等式，然后计算即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 题型04共轭复数 19．复数满足：，为虚数单位，为的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故． 20．设，则＝（   ） A．－1－i B．－1＋i C．1＋i D．1－i 【答案】C 【详解】因为， 所以 21．为虚数单位，复数的共轭复数为___________． 【答案】 【分析】借助复数运算法则求出该复数后利用共轭复数定义即可得. 【详解】，故复数的共轭复数为. 22．设复数的共轭复数为，则（   ） A． B．3 C．5 D． 【答案】C 【详解】因为复数，所以, 所以. 23．已知复数，为虚数单位，则的共轭复数__________． 【答案】 【分析】法一：根据已知化简分子约分得出，即可求解共轭复数；法二：应用分母实数化结合复数的乘法得出，即可求解共轭复数. 【详解】法一，所以的共轭复数为． 法二，所以的共轭复数为． 故答案为：. 24．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1. 题型05复数相等 25．若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据复数相等进行求解即可. 【详解】. 故选：D 26．若复数，则的值可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的乘法运算计算即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 则或． 27．已知复数的共轭复数为，若，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 则， 由，得，解得， 结合选项可知可能为． 28．已知是虚数单位，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】复数，则，代入已知条件根据复数相等求解. 【详解】设，则， 所以， 即， 由复数相等得， 解得，所以， 故选：A． 29．已知复数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】， 故. 30．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算法则，结合求模公式及共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意， 则z的共轭复数 题型06复数的坐标问题 31．已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 【答案】或. 【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【详解】由复数表示的点的坐标为： ， 又该复数对应的点在虚轴上， 所以，解得或， 故答案为：或. 32．已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）复数表示实数，只须，求解即可； （2）复数对应的点在第一象限，只须，解不等式组即可. 【详解】（1）由，可得，解得或； （2）由对应的点在第一象限，可得， 解得且， 所以的取值范围为. 33．在复平面内，复数 对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解. 【详解】复数， 其在复平面内所对应的点位于第四象限， 故选：D． 34．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出复数，再利用复数乘法求解即得. 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标为，则， 所以. 故选：D 35．在复平面内，复数对应的点恰好位于第四象限，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知复数， 其对应点的坐标为，因此， 解得，即的取值范围是. 36．在复平面内，若复数对应的点，满足下列条件时，分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上. 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由实部为0，列式即可解出答案； （2）由实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案； （3）由实部、虚部异号，列出不等式求解即可； （4）由实部等于虚部，列式即可解出答案. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为． 由题意得， 解得或． （2）由题意，， ． （3）由题意，， 或． （4）由已知得，故． 题型07复数的模问题 37．若，则（    ） A． B． C．37 D．65 【答案】A 【详解】，则. 38．若___________． 【答案】 【详解】令，则， 代入运算， 所以，解得， 所以. 39．已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】设复数(其中)，则，将代入，整理得：， 即，所以，得， 将代入第一个方程得： ，即， 两边平方得：，所以， 因为，且分母不能为0，所以，即， 所以从判断选项来看，的可能取值只有. 40．若复数模为，则的值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】解法1：利用复数模的定义，； 解法2：利用复数模的性质，. 【详解】解法1：由，所以 ，解得. 解法2：由已知，解得. 题型08复数的向量表示 41．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合向量的线性运算，利用复数的线性运算求解即可. 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 所以向量对应的复数为． 42．在复平面内，设及分别与复数及复数对应，计算，并在复平面内作出对应的向量． 【答案】答案见解析 【分析】先利用复数加法运算法则得到，并利用复数的几何意义得到对应的向量. 【详解】． 在复平面内作出对应的向量，如图所示． 43．在复平面内的长方形的四个顶点中，点，，对应的复数分别是，，，则点对应的复数为________． 【答案】 【分析】设，根据列方程组即可求解. 【详解】记为复平面的原点，由题意得，，． 设，则，． 由题意知，，所以，解得， 故点对应的复数为． 故答案为：. 44．已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数的虚部为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解. 【详解】根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量， 根据向量减法坐标运算可得向量， 从而向量对应的复数为，虚部为7. 故选：B. 45．若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______. 【答案】1+i 【分析】，代入条件求解即可. 【详解】由已知. 故答案为： 46．如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转成复数减法运算即可得解. （2）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转化成复数加法运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 题型09实系数一元二次方程 47．若是关于的方程的两个虚数根，且,则实数的值为_____． 【答案】1 【分析】由题意可得二次方程的判别式，可解的取值范围，对其求虚根可求得，进而可得是共轭复数，，结合，即可求得实数的值. 【详解】若方程有两个虚数根， 则有，即，即， 则的虚根为， 即，显然是共轭复数，且， 因为，所以，解得，满足判别式条件， 故答案为：1. 48．设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 【答案】A 【详解】由复数是关于的方程的一个根， 得复数是该方程的另一个根，则， 所以. 49．试分析方程是否有实数根？并解方程． 【答案】有，，． 【分析】设是方程的实数根，根据复数相等即可求出，然后根据韦达定理即可求出另一个根. 【详解】设是方程的实数根， 则， 即， 所以，解得， 所以方程有实数根． 设另一个根为，则，解得， 可得方程的两根分别为，． 50．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不等实数根的条件，判别式 ，解不等式即可； （2）利用韦达定理 建立方程求解 ，并结合（1）的范围进行取舍. 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式，解得． （2）由题意得：， 解得或， 由（1）得：， 则的值为2． 51．下列命题中，所有真命题的序号为________. ①虚轴上的点所对应的数是纯虚数； ②若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数； ③若复数 ()是某一元二次方程的根，则一定是该方程的另一个根. 【答案】② 【分析】由坐标原点可判断①，通过求解，可判断②，通过可判断③. 【详解】对于①，坐标原点在虚轴上，其对应的数为为实数，错误； 对于②设的平方根为，则，即， 故，解得或， 所以..的平方根为或，显然z的平方根是虚数，故②正确； 对于③，令，则是方程的一个根，但方程的另一个根是，并非，错误； 故答案为：② 52．若，则_________． 【答案】或 【分析】利用求根公式计算. 【详解】， 或． 故答案为：或. 题型10复数的三角形式 53．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 又，， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 54．已知复数，，求的辐角的主值． 【答案】 【分析】利用复数的乘法运算化简，再结合辐角主值的定义求出. 【详解】 ， 因为辐角主值属于，所以的辐角的主值为． 55．计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复数三角形式的乘法运算直接求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式. （3） . 56．设，求和. 【答案】；的值有，，， 【分析】将转化为三角形式后，利用幂的几何意义计算即可得. 【详解】由， 故， 则，， 则，， ，. 57．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将复数转化为三角形式，再结合三角运算即可化简； （2）利用以及复数的三角运算化简即可. 【详解】（1）原式 ． （2）因为， 所以原式 ． 58．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用复数的三角形式进行复数的乘法与乘方运算即可证明. 【详解】左边 右边． 所以原等式成立． 题型11与复数模相关的轨迹（图形）问题 59．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据给定等式，结合复数的几何意义确定z在复平面内对应的点的轨迹即可. 【详解】由复数z满足，得z在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，5为半径的圆， 圆心到实轴、虚轴的距离都大于5，且圆心在第四象限， 所以z在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 60．判别下列各式在复平面所表示的图形． (1) (2) (3) 【答案】(1)表示以原点为圆心，半径为1的圆周． (2)表示以为圆心，半径为和的两个圆之间的圆环，包括半径为的圆周但不包括半径为的圆周. (3)动点到和的距离相等，表示线段的垂直平分线． 【分析】（1）设，，结合模的定义列方程，根据方程的几何意义求解即可. （2）设，，求，列不等式，结合不等式的几何意义求解即可. （3）设，，由条件结合模的定义列方程，结合两点距离公式确定轨迹即可. 【详解】（1）设，，所以，则，即， 所以在复平面表示以原点为圆心，半径为1的圆周． （2）设，，则，所以， 则，即， 所以在复平面表示以为圆心，半径为和的两个圆之间的圆环，包括半径为的圆周但不包括半径为的圆周. （3）设，，则，， 所以，， 则，即， 所以在复平面表示动点到和的距离相等，表示线段的垂直平分线． 61．已知复数，，求： (1)． (2)若，且，求的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）使用复数的除法运算法则即可求得，进而由复数的乘法运算即可求的值； （2）由复数减法的几何性质，可确定点的轨迹为，在复平面内对应的点为，由复数减法的几何性质，当最大值，点到的距离最大，结合圆的几何性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以． （2）设在复平面上的点为， 因为，由复数减法的几何意义可得：在以为圆心，以1为半径的圆上， 即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，即， 在复平面内对应的点为，在圆上，如图： 若要取的最大值，则动点与定点的距离最大， 所以当对应的点为时，的最大值为． 62．若复数满足，则|z|的最大值为______． 【答案】/ 【分析】设，由可得，然后由复数模长公式结合两点间距离公式可得答案. 【详解】设，， 即在以为圆心，半径为的圆上. 又表示到的距离， 则由图可知. 63．已知复数的模长，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用复数模的三角不等式可求得的取值范围. 【详解】因为复数的模长， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立； ， 当且仅当时，等号成立， 因此的取值范围是. 故答案为：. 64．已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】求出对应的坐标，消去，即可得到点的轨迹. 【详解】设对应点的坐标为，则， 消去得，则点的轨迹为圆． 故选：B． 1．若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数乘方和除法的运算，求得，再利用共轭复数的定义求得，最后复数的数乘和加法运算计算即可. 【详解】，， 故选：D 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算性质，化简得到，即可求解. 【详解】由复数的运算性质，可得，则， 所以，所以. 3．已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得， 则共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 4．若，则复数在复平面上的对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】根据题意知，得， 则复数的对应点为，位于第三象限． 5．已知复数在复平面内对应的向量为（为坐标原点），在复平面内对应的向量为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出的坐标，利用数量积的坐标式，结合二倍角的正弦公式及与的关系，换元后化成二次函数即可求出最大值. 【详解】依题意，，则， 令，则，， 因此，则当时，取得最大值为2， 故的最大值为 2. 故选：D 6．设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 7．若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的四则运算求出，的值，再由模的概念求解即可. 【详解】因为， 所以，则，， 故， 故选：C． 8．使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模的公式，列不等式求出实数的取值范围. 【详解】由，得，即， 或，解得或. 故选：C. 9．已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】分一元二次方程的判别式大于等于0与小于0，两种情况讨论，利用实系数一元二次方程的虚根成对的性质，计算可求得的最小值. 【详解】若一元二次方程的判别式大于等于0，则方程有两个实数根，即为实数， 由，则，此时， 若一元二次方程的判别式小于0，则为两虚数根， 设、 又因为，所以，所以， 所以 当时，. 综上所述：的最小值为. 故答案为：. 10．已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 【答案】1 【分析】根据复数模求出复数，再由根与系数的关系求解即可. 【详解】设， 则，解得， 所以或， 由题意可知，. 故答案为：1 11．将下列复数化为三角形式（要求辐角为辐角主值）． （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________． 【答案】 【分析】先利用三角恒等式转化符号，将表达式调整为标准三角形式，再把辐角修正到主值范围内即可. 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4）. 故答案为：；；； 12．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一将复数都化为三角形式再进行运算，方法二将复数都化为一般形式再运算即可. （2）将复数都化为三角形式再进行运算即可. 【详解】（1）方法一：原式 . 方法二：原式. （2）原式. 13．设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，利用几何图形求解该圆上点到原点距离的范围即为的取值范围； （2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，利用几何图形求解即可. 【详解】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，如图所示. （1）解法代表满足已知圆及圆内点到原点的距离，因此距离最大值为圆心到原点的距离5加半径1，最小值为圆心到原点的距离5减半径1，即. 解法2：由不等式，得，即，解得. （2）（2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，所以点到点的距离为，所以，即最大值为6. 14．已知，若对应的点在第二象限，求a的取值范围． 【答案】 【分析】首先求，再化简，再根据复数的几何意义，列不等式求实数的取值范围. 【详解】由条件可知，，即， ， ， 由题意，得，解得：， 所以a的取值范围为． 15．已知复数满足是纯虚数，求的最小值． 【答案】． 【分析】设，化简，由是纯虚数可得，代入化简可得即可求解. 【详解】设，则． 因为为纯虚数，所以，所以，所以． 所以 ． 故当时，取得最小值，最小值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $