专题04向量的应用（专项训练）数学沪教版必修第二册

专题04向量的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型01线段的定比分点 题型02三角形中四心的判断 题型03三角形中四心在向量的应用 题型04奔驰定理在向量的应用 题型05力的合成与分解在向量的应用 题型06向量的综合（范围或最值） B综合攻坚・能力跃升 题型01线段的定比分点 1．在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（1）已知P是直线上一点，（ 为实数，且），点的坐标分别为，求点P的坐标． （2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？ 3．已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为__________． 4．平面上有，，三点，点在直线上，且，连接并延长至点，使，则点的坐标为____________，点的坐标为____________． 5．在中，点D是线段AB上靠近B的四等分点，点E是线段CD上靠近D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 题型02三角形中四心的判断 6．已知是所在平面内的一定点，平面内动点满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 7．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 8．已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 9．点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 10．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心 C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心 题型03三角形中四心在向量的应用 11．设的内心为，且满足，则的值是_____． 12．已知三角形的外心满足，则_____． 13．已知点在内，且是的垂心，若，则____． 14．已知为的垂心，，，若，则______． 15．在钝角三角形中，为钝角，为重心、外心、垂心、内心分别为、、、，（其中），当取最大值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型04奔驰定理在向量的应用 16．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 17．已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 18．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 19．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是______（填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 20．如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题： ①若是的重心，则有； ②若成立，则是的内心； ③若，则； ④若是的外心，，，则. 则正确的命题有___________. 21．如图，已知点是所在平面内一点，满足，求与的面积之比． 题型05力的合成与分解在向量的应用 22．开中冯大师健身塑形取得阶段性成就，引体向上成绩尤为出色，经测试，当两臂夹角为身体处于平衡状态时，动作效果最佳.在此状态下，他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人.已知冯大师的体重为 62.5 kg，重力加速度取 10 m/s².此时平均每只胳膊的最大拉力大小约为多少.（   ） A．N B．2500N C．1250N D．N 23．已知图中电线与天花板的夹角为，电线所受拉力为，；绳与墙壁垂直，所受拉力为，，求和的合力． 24．2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（    ）时间（单位：min） A． B． C．6 D．12 25．已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 26．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 题型06向量的综合（范围或最值） 27．已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 28．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 29．已知向量，，若与的夹角不超过，则的范围是______． 30．如图，点P，Q分别是矩形的边，上的两点，，. (1)若，，，求的范围； (2)若，求的最小值； 31．已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 32．若向量，满足，，且对任意的单位向量满足，求的最大值和最小值． 33．已知中满足：，过点的直线与线段、分别交于,，，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．6 34．已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 35．由六个边长为的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的三点均为正六边形的顶点，且的位置如图所示，则最小值、最大值分别为（   ） A． B． C． D． 1．已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 4．已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．如图中，，分别为，上的两点，满足，，则直线一定通过的______（在重心，垂心，内心，外心中选择一项），若线段和相交于点，那么的值为______. 7．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题： ①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中； ②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中； ③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中； ④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为______. 8．在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的__心. 9．已知为所在平面内一点，有下列结论： ①若为的内心，则存在实数使； ②若，则为的外心； ③若，则为的内心； ④若，则与的面积比为． 其中正确的结论是 ________．（写出所有正确结论的序号） 10．设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为________． 11．已知点G在内部，且． (1)求证：G为的重心； (2)过G作直线与，两条边分别交于点M，N，设，，，求的最小值． 12．如图，在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为BC边上一点，已知，，． (1)若AD平分，求AD的长； (2)若D为BC边的中点，E，F分别为AB边及AC边上一点（含端点）．且，，，求的取值范围． 13．在中，过重心G的直线与边交于P，与边交于Q，点P，Q不与B，C重合.设面积为，面积为，，. (1)求； (2)求证：； (3)求的取值范围. 14．在梯形中，，分别为直线上的动点. (1)当为线段上的中点，试用和来表示； (2)若，求； (3)若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04向量的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型01线段的定比分点 题型02三角形中四心的判断 题型03三角形中四心在向量的应用 题型04奔驰定理在向量的应用 题型05力的合成与分解在向量的应用 题型06向量的综合（范围或最值） B综合攻坚・能力跃升 题型01线段的定比分点 1．在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求出向量的坐标，进而求出结果. 【详解】 由题意可得， 因为边的中线为，所以， 因为P为上靠近A的三等分点，所以， 所以点P的坐标为. 故选：B. 2．（1）已知P是直线上一点，（ 为实数，且），点的坐标分别为，求点P的坐标． （2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？ 【答案】（1）；（2）机器狗在点处时，离小明最近. 【分析】（1）利用向量的坐标表示得到方程组，求出点P的坐标； （2）当机器狗运动到点，⊥时，离小明最近，由平面向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）由题意得， 故，解得； 故点P的坐标为； （2）当机器狗运动到点，⊥时，离小明最近， 设，则， 所以,若⊥， 则，解得， 故当机器狗在时，离小明最近. 3．已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 4．平面上有，，三点，点在直线上，且，连接并延长至点，使，则点的坐标为____________，点的坐标为____________． 【答案】 【分析】设为坐标原点，由结合向量减法的三角形法则将用表示，将用表示，利用向量的坐标公式求解即可得到点的坐标．由且在的延长线上得到．设，利用向量的坐标公式得到的方程组，解得的值，从而得到点的坐标. 【详解】设为坐标原点，，．． 点的坐标为． 又，且在的延长线上，． 设，则， 得，得， ∴点的坐标为. 故答案为：，. 5．在中，点D是线段AB上靠近B的四等分点，点E是线段CD上靠近D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案； 方法二：设是等腰直角三角形，且，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，从而得到方程组，求出答案. 【详解】方法一：如图，由题意得，， 故 ； 方法二：不妨设是等腰直角三角形，且， 以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设， 故， 所以，解得， 故． 故选：C． 题型02三角形中四心的判断 6．已知是所在平面内的一定点，平面内动点满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】令的中点，利用向量的线性运算及数量积的运算律、数量积的定义计算判断. 【详解】令的中点，则，由， 得，即， 因此 ，则，点在的垂直平分线上， 所以动点的轨迹一定经过的外心. 故选：B 7．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质即可判断. 【详解】由，得， 设边的中点为，则， 所以，因此三点共线， 所以点的轨迹一定通过的重心. 故选：C. 8．已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】设，分析得到是的角平分线，从而，所以点的轨迹经过的内心. 【详解】因为， 所以． 设， 因为，所以点在线段上且， 由角平分线的性质得是的角平分线， 而，所以点的轨迹经过的内心. 故选：A． 9．点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【分析】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心. 【详解】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示：    易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图：    由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D 10．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心 C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心 【答案】A 【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的线性运算和共线定理，分别推导即可. 【详解】由，得， 即， 则， 所以，则，同理可得，， 即是三边上高的交点，则为的垂心； 由，得， 设的中点为，则，即，，三点共线， 所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上， 即是三边中线的交点，故为的重心； 由，得，即， 又是的中点，所以在的垂直平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上， 即是三边垂直平分线的交点，故是的外心； 延长交于点，因为，，三点共线，则设（）， 且，， 代入，得， 即①， 又因为与共线，与、不共线， 则只能当且时，①成立， 即，则, 由正弦定理得：， 又，则， 即，又，所以， 则是的角平分线，即点在的角平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上， 即是内角平分线的交点，故是的内心； 故选：A. 题型03三角形中四心在向量的应用 11．设的内心为，且满足，则的值是_____． 【答案】 【分析】由内心的向量表示可得，结合余弦定理的推论计算即可得. 【详解】如图，连接交于点，则， 于是． 又，因此 同理可得，， 所以． 由向量表示的唯一性可知，，所以． 故答案为：. 12．已知三角形的外心满足，则_____． 【答案】/ 【分析】依题意可得，平方后求出，再由二倍角公式得到，最后应用同角三角函数关系求出答案. 【详解】不妨设的外接圆半径 因为，所以， 两边平方得：， 因为三角形的外接圆半径为1，所以， 故，解得：， 因为，而， 所以， 因为， 故. 故答案为： 13．已知点在内，且是的垂心，若，则____． 【答案】 【分析】利用五心的向量表达式可求，利用两角和的正切公式得，进而得，即可求解. 【详解】依题意，取的中点，取的中点，连接， 则， 因为，所以，所以. 所以三点共线，且，连接，则，且， 所以， 如图，延长分别交于点， 在线段上取，使得.连接， 取的中点，取的中点，连接，    则， 因为，所以， 所以三点共线，且， 因为为的中点，所以，且，所以， 所以， 综上可得， 设， 因为， 整理得，可得，因为， 所以．又，所以，所以． 故答案为：. 14．已知为的垂心，，，若，则______． 【答案】 【分析】设，根据向量线性运算得到，并结合余弦定理求出，，，根据得到方程组，求出，，从而得到答案. 【详解】因为，设， 所以，故． 其中， 故， 又， 故，同理可得， 而， ， 联立方程解得，，所以． 故答案为： 15．在钝角三角形中，为钝角，为重心、外心、垂心、内心分别为、、、，（其中），当取最大值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由在高线的延长线上可判断，对于、、，将转化为后根据、、的位置可判断何时取最大值. 【详解】对于垂心，设为边上的高，因为为钝角，故在的延长线上， 而，故，此时， 对于重心和内心，无论为何角，、都在三角形内部， 而， 故且， 设，则三点共线，且， 故共线且即. 对于外心，因为为钝角，故在的外部且在的异侧， 而， 故且， 设，则三点共线，且， 故共线且即. 故选：B. 题型04奔驰定理在向量的应用 16．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解. 【详解】∵是的垂心，延长交与点， ∴ ， 同理可得，∴：， 又， ∴， 又， ∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时，则都是钝角，则，矛盾. 故，则，∴是锐角，， 于是，解得. 故选：A. 17．已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得即可求解作答. 【详解】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则，， 因此，，同理， 于是得， 又，即，由“奔驰定理”有， 则，而与不共线，有，，即， 所以. 故选：A 18．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 【答案】 【分析】作出辅助线，由奔驰定理得到，设，则，设，则，由，得到，求出，根据互补得到，由同角三角函数关系得到答案. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 故⊥,⊥,⊥, ，由“奔驰定理”得，， 则，即，设，则， 同理，即，设，则. 由，得，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以， 则. 故答案为： 19．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是______（填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 【答案】①③④ 【分析】将移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得，同理推出，，即可判断①；根据①可知，，，再由三角形内角和定理即可判断②；延长交于点，结合诱导公式与余弦函数的定义，可证，进而求解③；利用三角形面积公式和奔驰定理即可证明④. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 同理可得，，，所以为的垂心，故①正确； 因为，，所以，， 所以， 又， 所以，又， 所以，故②不正确； 由②知，， 延长交于点，    所以 ， 同理可得， 所以， 所以，故③正确； 由，， 则 ， 同理， 所以， 又， 则，故④正确. 故答案为：①③④. 20．如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题： ①若是的重心，则有； ②若成立，则是的内心； ③若，则； ④若是的外心，，，则. 则正确的命题有___________. 【答案】①②④ 【分析】对于①:利用重心的性质代入即可. 对于②:利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等. 对于③:利用将表示出来，代入.化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值. 对于④：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案. 【详解】对于①：如图所示：因为分别为的中点， 所以,， 同理可得、， 所以，又因为 所以.①正确. 对于②：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心.②正确. 对于③：因为，所以,,, 所以, 化简得：， 又因为不共线. 所以， .③错误. 对于④：因为是的外心，，所以,，, 因为，则， 化简得： ,由题意知不同时为正. 记, 则， 因为 所以.④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查三角形的向量性质.属于难题.利用平面向量基本定理，将等式中的向量全部用一组基向量表示是解本类题型常用的方向. 21．如图，已知点是所在平面内一点，满足，求与的面积之比． 【答案】3 【分析】法一： ，由向量的线性运算得到，从而得到；法二：由向量的线性运算得到，再由结论得到；法三：由共线得到线段长度之比，以为中间值，找到和与的比例关系，从而得到和之比. 【详解】法一：如图，过点作，延长交于点，则． 因为， 所以，则，所以，，从而，， 所以． 法二：由得，所以， 以下证明结论：在平面内，若有，其中是平面内一点，是的三个顶点，则. 由可得， 由向量叉乘的几何意义， 同理可得，所以. 利用以上结论，因为，所以，即. 法三：如图，延长交于点，设， 因为，所以． 又因为三点共线，所以，即， 因为等高，所以，即． 因为， ，，所以． 因为等高，所以，即，所以． 题型05力的合成与分解在向量的应用 22．开中冯大师健身塑形取得阶段性成就，引体向上成绩尤为出色，经测试，当两臂夹角为身体处于平衡状态时，动作效果最佳.在此状态下，他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人.已知冯大师的体重为 62.5 kg，重力加速度取 10 m/s².此时平均每只胳膊的最大拉力大小约为多少.（   ） A．N B．2500N C．1250N D．N 【答案】D 【分析】根据平衡状态可知两只胳膊的拉力合力等于重力，再据此列等式，计算即可. 【详解】设两只胳膊的拉力分别为，，重力为， 则， 因为他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人， 所以，解得， 所以平均每只胳膊的最大拉力大小约为. 23．已知图中电线与天花板的夹角为，电线所受拉力为，；绳与墙壁垂直，所受拉力为，，求和的合力． 【答案】合力的模为，与成角竖直向上 【分析】利用平面向量的平行四边形法则求合力. 【详解】如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力． 在中，，，， ．． 与的合力的模为，与成角竖直向上． 24．2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（    ）时间（单位：min） A． B． C．6 D．12 【答案】D 【分析】由汽车实际行驶方向应与两岸垂直，结合向量加法的平行四边形法则，即可求解. 【详解】设点B是长江对岸一点，与江岸垂直，当汽车实际沿方向行驶时，航程最短. 设汽车的速度，水流的速度，实际速度. 由图可知， . 则航行时间为（min）. 25．已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【分析】由力对物体所做的功即为两个向量的数量积求解即可. 【详解】因为，所以力对该物体做的功为. 故选：D. 26．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由平面向量数量积的定义结合辅助角公式化简，即可得出答案. 【详解】由题，可得，又， ，其中， 当且仅当，时，取得最大值5. 故选：D. 题型06向量的综合（范围或最值） 27．已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解． 【详解】以的中点为原点，如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ，可得. 故选：D． 28．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，AB、AF分别为x，y轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段GF（除）上、在线段GH上运动和在线段AH（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案． 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段AB（除）、线段BC、线段CD，线段DE，线段EF（除）上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，AB、AF分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知到AF的距离为， 则， 直线GF的方程为，直线GH的方程为，直线AH的方程为， 当在线段GF（除）上运动时，设， 所以， 当在线段GH上运动时，设， 所以， 当在线段AH（除）上运动时，设， 所以． 的最小值为； 由投影向量的定义可知，当在CD上时，取得最大值， 延长DC交AB的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故， 故， 所以最大值为 故选：D 29．已知向量，，若与的夹角不超过，则的范围是______． 【答案】 【分析】由题意确定，再通过求其范围，即可求解. 【详解】由题意设，得，且， 因为，在单位圆上取， 因为与的夹角不超过，所以， 所以 ， 又，所以， 所以， 所以， 故的范围是. 故答案为： 30．如图，点P，Q分别是矩形的边，上的两点，，. (1)若，，，求的范围； (2)若，求的最小值； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）借助向量的线性运算及数量积公式计算即可得； （2）建立平面直角坐标系后借助三角函数与基本不等式计算即可得 【详解】（1）由，，故，， 则， ， 由，故； （2）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，    设，， 则，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为. 31．已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 【答案】A 【分析】根据给定条件，用基底向量分别表示，再利用数量积的运算律列式求出最大值. 【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上， 令，由点在线段上， ，得， 则， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 32．若向量，满足，，且对任意的单位向量满足，求的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【分析】根据向量三角形不等式的关系及数量积的应用进行计算即可得到结果. 【详解】先求最大值． 由题意知， 则恒成立，从而，所以． 平方得，所以． 再求最小值． 易得， 则，从而，所以． 平方得，所以． 综上知的最大值为，最小值为． 33．已知中满足：，过点的直线与线段、分别交于,，，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【分析】将中的分别用表示，由三点共线，得，故，结合基本不等式即可求解. 【详解】如图： 由，得, 所以，又三点共线，所以. 所以， 因为，故，当且仅当时， 即时等号成立,所以 34．已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标和的坐标，利用数量积的坐标计算公式可求得，再设出点，根据，用来表示，再将表示成关于的函数表达式,然后求解最小值. 【详解】建系如图所示 因为是边长为2的等边三角形，，. . 设，. . ，，. . 当时，取得最小值，最小值为. 35．由六个边长为的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的三点均为正六边形的顶点，且的位置如图所示，则最小值、最大值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，由正六边形的性质可得： 正六边形边长为，则，，正三角形任意底边上的高为， 以中点为原点，建立平面直角坐标系，如下图所示， 则，，， 设与的夹角为，， 其中表示在方向上的投影， 由图可知，当点取时，在方向上的投影长度最短， 点取时，在方向上的投影长度最长， 故点取时，，此时，为最小值； 点取时，，此时，为最大值； 故的最小值、最大值分别为. 1．已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得是线段的中点，根据中点坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以是线段的中点， 所以点C的坐标为，即， 故点的坐标为. 故选:A. 2．已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，可得，即求． 【详解】点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 3．已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】B 【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形四心的性质即可判断. 【详解】因为，所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即为的中线上的点，且， 所以为的重心； 因为，所以，所以是的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得，，所以是的垂心. 故选：B 4．已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】先转化为共起点的向量，对其两边点乘对边向量，提取公因式，再由数量积的值进行判定． 【详解】原式变形为， ， 所以，同理，． 所以是的垂心， 故选：D． 5．已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】先转化为共起点的向量，再利用三角恒等变换化简有序数对，最后等式两边点乘对边向量，由数量积的值进行判定． 【详解】 原式变形为： ． 因为 ， 所以， 同理，， 所以（其中为的中点，内角的对边分别为）． （由三角形的高得到，即）， 即． 同理，，其中为的中点． 所以是的外心， 故选：A． 6．如图中，，分别为，上的两点，满足，，则直线一定通过的______（在重心，垂心，内心，外心中选择一项），若线段和相交于点，那么的值为______. 【答案】 重心 4 【分析】根据向量的线性运算可得，，进而根据共线可得，即可求解. 【详解】由于，故为的中点，所以直线一定通过的重心， 因三点共线，则． 又， 又， 由于共线，所以．解得， 故,故 故答案为：重心，． 7．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题： ①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中； ②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中； ③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中； ④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为______. 【答案】2 【分析】根据的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、中线的交点、高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误. 【详解】①当动点P满足时， 则点P是的重心，所以①不正确； ②显然在的角平分线上，而与的平分线所在向量共线， 所以的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确； ③变形为， 而，表示点A到边的距离，设为， 所以，而表示边的中线向量， 所以表示边的中线向量， 因此的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确； ④当时，的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确； 故答案为：2. 8．在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的__心. 【答案】内 【分析】利用平面向量的线性运算得到，再利用三角形内心的性质求解即可． 【详解】，， ， ， ，分别是，方向上的单位向量， 向量平分，即平分，同理平分， 为的内心， 故答案为：内 9．已知为所在平面内一点，有下列结论： ①若为的内心，则存在实数使； ②若，则为的外心； ③若，则为的内心； ④若，则与的面积比为． 其中正确的结论是 ________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】① 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量共线定理，三角形的重心性质分别检验各选项即可判断． 【详解】解：设中点， 对于①若为的内心，所以在的角平分线上， 因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，令，所以在的角平分线上，即与共线， 所以存在实数使，即，故①正确； 对于②，若， 则， 所以在中线上且，即为三角形重心，故②错误； 对于③，，所以为的外心，故③错误； 若，则， 即， 所以为上靠近的三等分点， 所以， 故与的面积比为，故④错误． 故答案为：① 10．设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为________． 【答案】 【分析】令，，则为△的重心，利用重心的性质：即可求比值. 【详解】若，， ∴，即为△的重心， 令，，则，， ∴，由， 故答案为： 11．已知点G在内部，且． (1)求证：G为的重心； (2)过G作直线与，两条边分别交于点M，N，设，，，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分别取的中点，连接，证明三点共线，可得为边上的中线，同理可证得是边上的中线，是边上的中线，即可得证. （2）根据已知得出，结合，，根据M、N、G三点共线，结合向量运算与向量相等的定义列式整理，可得的关系，再结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）分别取的中点，连接， 因为，所以，即， 所以， 又点为两向量的公共端点，所以三点共线， 所以为边上的中线， 同理可得是边上的中线，是边上的中线， 又交于点， 所以G为的重心； （2）点G为的重心，， ， ， 与共线，存在实数，使得， 则， 根据向量相等的定义可得，消去可得， 两边同除，整理得， 所以， 当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为. 12．如图，在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为BC边上一点，已知，，． (1)若AD平分，求AD的长； (2)若D为BC边的中点，E，F分别为AB边及AC边上一点（含端点）．且，，，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）求角平分线的长度用等面积法，即，用三角形面积公式分别表示三个三角形的面积，由等式关系得到AD与b，c的关系，从而得到AD的长； （2）根据为BC中点，由平面向量加法法则得到，用基底表示和，得到，结合转化为关于的二次函数，根据和二次函数单调性，得到二次函数的取值范围即为的取值范围. 【详解】（1）在中，， 因此， 即． （2）由为BC中点得， 故 又，在上单调递增； 因此时，；时，． 即． 13．在中，过重心G的直线与边交于P，与边交于Q，点P，Q不与B，C重合.设面积为，面积为，，. (1)求； (2)求证：； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）由是的重心，可得，再由向量运算求得结果； （2）结合向量线性运算以及三点共线即可证明； （3）结合（2）的结论，三角形的面积公式，，以及二次函数的性质即可求得答案. 【详解】（1）设分别是的中点， 由于是的重心，则为的交点， 则，，， 所以. （2），，， 则， ， 由于三点共线，所以， 整理得. （3） ， 因为，所以， 所以.    14．在梯形中，，分别为直线上的动点. (1)当为线段上的中点，试用和来表示； (2)若，求； (3)若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)1. 【分析】(1)结合条件证明，再用和来表示即可； (2)利用表示，根据模的性质和数量积的性质求； (3)由条件确定的关系，结合基本不等式求的最大值. 【详解】（1）因为为线段上的中点，所以，，又方向相同， 所以，所以； （2）因为，所以，因为，，所以，所以， 又，所以 又， 所以； （3）设线段的中点为，连接，交与点，由已知为的重心， 由重心性质可得， 又， ， ， 所以， 设，， 所以，， 由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $