专题03向量的坐标表示（专项训练）数学沪教版必修第二册

专题03向量的坐标表示 目录 A题型建模・专项突破 题型01基底的概念以及判断 题型02平面向量基本定理的应用 题型03平面向量线性运算的坐标表示 题型04利用坐标解决线性运算中最值和范围问题 题型05数量积的坐标表示 题型06利用坐标解决向量投影的问题 题型07利用坐标解决向量模的问题 题型08利用坐标解决向量夹角的问题 题型09利用坐标解决向量中平行、垂直的问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01基底的概念以及判断 1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（    ） A． B． C． D． 2．，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．如果是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ） A．已知实数，则向量不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量，使的实数可以不唯一 C．若有实数使，则 D．对平面α内任一向量，使的实数不一定存在 4．已知下列命题： ①若，则必存在唯一的实数，使得； ②若，则（）； ③若是表示平面内所有向量的一个基底，那么也能作为一个基底； ④若（），则，． 其中所有正确命题的序号有________． 题型02平面向量基本定理的应用 5．如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 6．已知中满足：，过点的直线与线段、分别交于,，，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．6 7．如图所示，平行四边形中，是的中点，在线段上，且．已知，，试用，表示和． 8．在中，点在边上，且，是边上任意一点，与交于点，若，则（   ） A． B． C．3 D．4 9．如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 10．如图，在中，，，与相交于点P，若，则_____________，_____________． 11．如图，点是点关于点的对称点，点是线段上一个靠近点的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线． (3)若与交于点，，求实数的值．（写过程） (4)若，（，为实数），探究与第（3）问中的数量关系（直接写出结论） 12．如图所示，在中，，，与相交于点I，的延长线与边交于点P． (1)用和分别表示和； (2)如果，求实数和的值； (3)在（2）的条件下，确定点P在边上的位置． 题型03平面向量线性运算的坐标表示 13．已知，，和，试用坐标来表示和． 14．已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 15．已知三点，，，试求向量；的坐标． 16．在平面直角坐标系中，已知点，，，为的中点，点满足，则（   ） A． B． C．5 D． 题型04利用坐标解决线性运算中最值和范围问题 17．如图，四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，求的值． 18．平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 19．如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 20．在正六边形中，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 21．在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 23．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为________．    25．在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为______. 26．如图，在梯形中，，且，点是以为圆心，为半径的圆上的一点，若，则的最小值为__________．    27．四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围______． 题型05数量积的坐标表示 28．已知向量，且，则________________. 29．已知向量，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 30．已知向量与，且，则_____ 31．已知向量，，如果，那么_____. 32．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型06利用坐标解决向量投影的问题 33．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 34．已知向量在方向上的投影向量等于，则（    ） A．2 B．－1 C．1 D．－2 35．已知向量在上的投影向量的坐标为，则为_________． 36．已知，则在上的投影向量为__________. 37．已知向量，若向量在上的投影向量相等，则（    ） A．2 B．1 C． D．-1 38．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 题型07利用坐标解决向量模的问题 39．已知向量，，则________. 40．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 41．已知平面向量，，若，则________． 42．已知向量，，若，则|（    ） A．2 B． C．3 D． 43．已知与，要使最小，则实数的值为____________，的最小值为____________． 44．已知向量与的夹角为，且，，则（   ） A． B．4 C． D． 题型08利用坐标解决向量夹角的问题 45．已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 46．已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 47．已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 48．若向量，，则__________. 49．若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 50．设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 51．记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型09利用坐标解决向量中平行、垂直的问题 52．已知，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．6 53．已知向量，若，则实数的值为（     ） A．2 B． C． D． 54．平面内三点共线，则（    ） A． B． C． D． 55．向量，，，当为何值时，A，B，C三点共线？ 56．已知向量，若，则_________． 57．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．6 58．已知向量，，，． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 59．已知向量，，，，均为实数，且，，则（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 60．已知，点P在直线上，且，则点P的坐标是_______． 1．已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 2．已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 3．已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 6．在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．已知向量，且，则的值为______． 8．如图，在正方形中，点在上，且，若，则__________；__________．    9．在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 10．如图，在正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、交于点G，连接，若，则______． 11．设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线． (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 12．如图所示，是中点. (1)求； (2)以B点为坐标原点建立平面直角坐标系，若点满足，求： ①点P的轨迹方程； ②的取值范围. 13．已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 14．已知平面向量，，，且， (1)求在方向上的投影向量； (2)求与的夹角. 15．已知． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03向量的坐标表示 目录 A题型建模・专项突破 题型01基底的概念以及判断 题型02平面向量基本定理的应用 题型03平面向量线性运算的坐标表示 题型04利用坐标解决线性运算中最值和范围问题 题型05数量积的坐标表示 题型06利用坐标解决向量投影的问题 题型07利用坐标解决向量模的问题 题型08利用坐标解决向量夹角的问题 题型09利用坐标解决向量中平行、垂直的问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01基底的概念以及判断 1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，故中两向量共线，故A不能作为基底； 选项B：，故中两向量共线，故B不能作为基底； 选项C：，故中两向量共线，故C不能作为基底； 选项D：假设两向量共线，则存在实数， 使得，即， 若是基底，故不共线， 系数必须同时为0，即，方程组无解，假设不成立， 故两向量不共线，可以作为基底． 2．，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用平面向量的基底的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，由向量加法法则知，，及对应的有向线段可围成一个三角形，则和不共线，可作基底，A不是； 对于B，在和中，，则和不共线，可作基底，B不是； 对于C，，和共线，不可作基底，C是； 对于D，和是以，为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量，不共线，可作基底，D不是. 故选：C 3．如果是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ） A．已知实数，则向量不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量，使的实数可以不唯一 C．若有实数使，则 D．对平面α内任一向量，使的实数不一定存在 【答案】C 【详解】选项A中，由平面向量基本定理知与共面，所以A项不正确； 选项B中，由平面向量基本定理知实数有且仅有一对，所以B项不正确； 选项C中，根据基底的定义知，不共线，若，则，所以C正确； 选项D中，由平面向量基本定理知实数一定存在，所以D项不正确． 4．已知下列命题： ①若，则必存在唯一的实数，使得； ②若，则（）； ③若是表示平面内所有向量的一个基底，那么也能作为一个基底； ④若（），则，． 其中所有正确命题的序号有________． 【答案】③ 【分析】根据平面向量的基本定理、向量基底的定义逐项判断即可. 【详解】①中，平行于任意向量（），但不存在实数，使，说法错误； ②中，当时，，但，说法错误； ③中，假设与共线，则存在实数，使， 即，所以，共线， 这与是表示平面内所有向量的一个基底矛盾， 所以与不共线，它们可以作为一个基底，说法正确； ④中，当与共线时，结论不一定成立，只有当是一个基底时，才有，，说法错误． 故答案为：③ 题型02平面向量基本定理的应用 5．如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点、，根据平面向量基本定理，讨论点在点处与处时的值，从而得到的取值范围. 【详解】如图，在的反向延长线上取点，使得， 过作，分别交和的延长线于点、， 则，， 由于， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上（不含端点处）， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 6．已知中满足：，过点的直线与线段、分别交于,，，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【分析】将中的分别用表示，由三点共线，得，故，结合基本不等式即可求解. 【详解】如图： 由，得, 所以，又三点共线，所以. 所以， 因为，故，当且仅当时， 即时等号成立,所以 7．如图所示，平行四边形中，是的中点，在线段上，且．已知，，试用，表示和． 【答案】，． 【分析】根据题意，得到，，再由方程组，求得方程组的解，即可得到答案. 【详解】因为四边形为平行四边形，为的中点，， 所以，， 又因为，，所以， 解得，． 8．在中，点在边上，且，是边上任意一点，与交于点，若，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据三点共线的结论得到，然后利用线性运算得到，，然后计算即可. 【详解】 A、P、E三点共线，设，且， 又，所以，，即． 9．如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量运算结合基本定理可得答案； （2）设出两线段的关系，利用基本定理可得答案； （3）利用基底得出的关系，结合对勾函数的性质可得范围. 【详解】（1）因为，，所以， , 因为E为线段BC的中点，所以，. （2）设，则，， ， 又共线，所以存在一个实数，使得， ，两式相除可得，即. （3）设,；,， ， 因为，所以，可得， 解得，所以， 由对勾函数的性质可得时，. 10．如图，在中，，，与相交于点P，若，则_____________，_____________． 【答案】 【分析】根据共线定理，结合向量的线性运算，即可列方程组求解. 【详解】，P，C三点共线，故设，同理可设， 由题可知 ， 又 ， 所以可得，解得， 故，所以，． 故答案为：； 11．如图，点是点关于点的对称点，点是线段上一个靠近点的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线． (3)若与交于点，，求实数的值．（写过程） (4)若，（，为实数），探究与第（3）问中的数量关系（直接写出结论） 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解； （2）根据向量的线性运算表示，即可根据倍数关系判断共线，即可求证； （3）根据向量的线性运算表示，即可根据向量共线列式计算求解； （4）根据向量的线性运算表示，即可根据向量相等计算求解. 【详解】（1）由题意得， ，，， ； （2）证明：， 与平行，又与有公共点C， C，D，E三点共线； （3）， ． 与共线， 存在实数，使得， 即， 即． ，不共线，．解得； （4），， ， ， 所以，； 12．如图所示，在中，，，与相交于点I，的延长线与边交于点P． (1)用和分别表示和； (2)如果，求实数和的值； (3)在（2）的条件下，确定点P在边上的位置． 【答案】(1)，． (2). (3)P为线段上靠近点C的三等分点． 【分析】（1）利用向量减法的三角形法则求解； （2）根据已知 将用进行表示，的方程组计算得到的值； （3）设，．将用进行表示，得到的方程组，计算出的值，从而得到点P为线段上靠近点C的三等分点． 【详解】（1），． （2）由（1）知，， ， ， ，不共线，， 解得. （3）设，． 由（2）知，， ． 又， ， ，不共线，， 解得. ，即． ∴点P为线段上靠近点C的三等分点． 题型03平面向量线性运算的坐标表示 13．已知，，和，试用坐标来表示和． 【答案】， 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意得，，， 14．已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线，计算两个向量的坐标，根据向量共线的坐标表示可得实数t不能取的值. 【详解】由题可知，，. 若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线， 所以，即，所以. 故选：C. 15．已知三点，，，试求向量；的坐标． 【答案】； 【分析】根据向量线性运算的坐标表示计算即得. 【详解】，，． ， ， ， ， ． 16．在平面直角坐标系中，已知点，，，为的中点，点满足，则（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【详解】设， 因为为的中点，，，所以， 又，所以，， 又因为，所以，所以， 所以，解得，所以，所以， 所以. 题型04利用坐标解决线性运算中最值和范围问题 17．如图，四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，求的值． 【答案】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算列式求解. 【详解】设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，如图， 则，，， 于是，由点为的中点，得， 因此，解得，所以. 18．平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 19．如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由平面向量的坐标运算表示出，然后结合三角函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    由可得， 又，由三角函数的定义可得， 即， 因为为圆弧的中点，所以,又， 则， 所以，，， 由可得， 即，解得. （2）设，则，所以， 由可得， 可得，解得， 所以， 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，此时的最大值为， 当或时，即或时，取得最小值， 此时的最小值为， 所以的取值范围为. 20．在正六边形中，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用正六边形的特点建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，解方程组即可求解. 【详解】 以为原点建立平面直角坐标系，设正六边形的边长为2， 所以，，，， 所以，，， 因为， 所以，所以， 解得，，所以. 故选：A. 21．在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. 22．如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 【答案】2 【分析】构建直角坐标系得，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求得最大值. 【详解】由题设，构建如图所示的直角坐标系， 则， 设，则，，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以当时， 故答案为：. 23．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件得出与的关系，再将进行化简，最后结合向量模的性质求出其取值范围. 【详解】因为，，， 两边平方可得， 化简可得，故， ， ， 因为， , ， ， 故选：. 24．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为________．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系后结合向量性质可表示出，再利用三角函数的有界性计算即可得. 【详解】以A为原点建立直角坐标系，方向为x轴正半轴，方向为y轴正半轴，    则，，，则，， 设（），则圆方程为， 设，则， ， 可得，， 所以，其中， 当，，取得最大值， 当，，取得最小值， 所以的取值范围为． 故答案为：. 25．在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为______. 【答案】 【分析】利用平面向量的坐标运算以及正弦函数的性质求解. 【详解】    如图，因为，所以以为坐标原点， 方向为轴建立平面直角坐标系，则, 设,则， 过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 则， ，所以， 所以当，即时，有最大值为， 故答案为：. 26．如图，在梯形中，，且，点是以为圆心，为半径的圆上的一点，若，则的最小值为__________．    【答案】/ 【分析】建立如图平面直角坐标系，设，利用平面向量线性运算的坐标表示和相等向量建立方程组，解出x、y，进而利用辅助角公式化简可得（其中），结合正弦函数的想即可求解. 【详解】以A为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示．    所以，设， 则， 所以． 所以．所以． 所以， 其中，所以， 此时，所以的最小值为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量线性运算的坐标表示，三角恒等变换的化简和三角函数的性质，解决本题的关键在于合理巧妙建立平面直角坐标系. 27．四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围______． 【答案】 【分析】由图建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可得的范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设，则，， 由题意设，则， 由得， 则，故， 即， 故答案为： 题型05数量积的坐标表示 28．已知向量，且，则________________. 【答案】7 【分析】根据向量数量积的坐标运算列式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得. 故答案为：7. 29．已知向量，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据题意结合平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为， 则，解得． 故选：D. 30．已知向量与，且，则_____ 【答案】或 【分析】借助向量数量积公式计算即可. 【详解】，即， 解得或. 故答案为：或. 31．已知向量，，如果，那么_____. 【答案】 【分析】将已知等式平方后可得，根据向量数量积坐标运算可构造方程求得结果. 【详解】，，即， ，即，解得. 故答案为：. 32．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用向量线性关系的坐标运算及数量积的坐标公式列方程求得，再应用模长的坐标求法求解. 【详解】由题设，又，解得， 则，故. 故选：B 题型06利用坐标解决向量投影的问题 33．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，， 则向量在向量上的投影向量为. 34．已知向量在方向上的投影向量等于，则（    ） A．2 B．－1 C．1 D．－2 【答案】D 【分析】根据投影向量的概念列式计算即可. 【详解】由题意：，即. 35．已知向量在上的投影向量的坐标为，则为_________． 【答案】58 【分析】根据投影向量的定义进行计算即可. 【详解】因为在上的投影向量为， 所以，所以， 故答案为：58 36．已知，则在上的投影向量为__________. 【答案】或者写为 【分析】利用向量的数量积坐标运算，结合投影向量的定义来进行求解即可. 【详解】由可得， 又因为，所以， 则在上的投影向量为， 或者表示为： 故答案为：或者写为 37．已知向量，若向量在上的投影向量相等，则（    ） A．2 B．1 C． D．-1 【答案】A 【分析】根据向量投影相等的条件，推导出，再利用向量垂直的数量积为列方程求解. 【详解】由题意得，即， 整理得，所以，解得. 38．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设两个向量的夹角为，则， 所以向量在向量方向上的投影数量为， 所以投影向量为. 题型07利用坐标解决向量模的问题 39．已知向量，，则________. 【答案】 【详解】由，，得， 则. 40．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由可得，最后应用模长公式即可求解. 【详解】因为，所以，展开整理得， 由得，即， 所以，即 所以. 41．已知平面向量，，若，则________． 【答案】 【分析】由题设中数量积的坐标运算求出x的值，再直接根据向量模的计算公式计算即可． 【详解】， 则，解得， 所以，则． 42．已知向量，，若，则|（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 43．已知与，要使最小，则实数的值为____________，的最小值为____________． 【答案】 【分析】先求出向量的坐标，然后利用向量的模长公式得出关于的表达式，利用二次函数的基本性质求出的最小值以及对应的值，可得出结果. 【详解】， ． 当时，有最小值． 故答案为：， 44．已知向量与的夹角为，且，，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先求，再根据模长公式求解即可． 【详解】， ，则， ． 故选：B 题型08利用坐标解决向量夹角的问题 45．已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，， 所以，， 又因为与的夹角的余弦值为， 所以，解得或（因，舍）. 46．已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知向量，显然， 所以. 47．已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，则，解得， 则，， 则与的夹角的余弦值为. 48．若向量，，则__________. 【答案】 【分析】由向量夹角的坐标表示，代入数据即可求解. 【详解】由，， 得， 则，，， 所以， 又， 所以， 故答案为： 49．若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得，再由二倍角余弦公式求值. 【详解】由题设， 所以， 所以. 故选：A 50．设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数量积坐标定义结合向量平行的坐标表示即可计算求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 51．记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用向量夹角为锐角等价于数量积大于0且两向量不共线，然后再判断充要关系即可. 【详解】由题意得， 充分性：若与的夹角为锐角，则，且， 即且，解得，且，故充分性成立． 必要性：当时，与共线，故必要性不成立，故甲是乙的充分不必要条件． 故选：A． 题型09利用坐标解决向量中平行、垂直的问题 52．已知，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．6 【答案】C 【分析】由题意得，使用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题意得，， 即，解得. 53．已知向量，若，则实数的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 解得． 54．平面内三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量共线的坐标表示求出t的值，再根据向量的模长公式计算出. 【详解】由题可知，，；因为A，B，C三点共线，所以和共线， 所以，解得.所以，故. 55．向量，，，当为何值时，A，B，C三点共线？ 【答案】或11 【分析】求出，，由A，B，C三点共线得到与共线，利用向量共线的公式求解即可. 【详解】， ． 若A，B，C三点共线，则与共线． 则，即． 解得或． 故当的值为或11时，A，B，C三点共线． 56．已知向量，若，则_________． 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以，解得． 57．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．6 【答案】C 【详解】因，则， 又因，则，解得. 58．已知向量，，，． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解； （2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得. 【详解】（1）由题意可得， 因为，所以. （2）， 因为，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 59．已知向量，，，，均为实数，且，，则（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行列方程，求得，，根据向量坐标运算求得正确答案. 【详解】因为，，所以，，得，， 所以， 故. 60．已知，点P在直线上，且，则点P的坐标是_______． 【答案】或 【分析】利用向量的坐标运算即可求得坐标，注意有两解. 【详解】由得， 因为点P在直线上，且， 所以或． 因为可设， 所以，可得， 或，可得， 则点P的坐标是或． 故答案为：或． 1．已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求向量模长，再分两种情况求单位向量即可. 【详解】, 则与共线的单位向量为或. 故选:D. 2．已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以 ， 展开整理得， 又因为， 故，， ， 代入等式得：，解得. 3．已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由投影向量的定义建立方程，结合向量相等即可求解. 【详解】由题意，因为， 所以，解得. 故选：B. 4．在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量共线定理，结合已知条件求出，的值，进而得到的值. 【详解】由题意可知，为中点，，， 所以， 设，则， ， 又因为，即， 所以， 设，则， ， 所以，解得，， 则，即， 则. 5．如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】根据已知得出边长关系方法一：应用三点共线得出系数和计算求解；方法二：应用数量积公式及运算律计算求解. 【详解】由，则.四边形内接于圆，则四边形为等腰梯形. 设等腰梯形高为，又面积为，则等腰梯形高为， 则. 法一：取中点，直线相交于，在中，， ，则，所以. ，又三点共线， 则，则. 法二：， 所以 所以， 所以. 故选：A. 6．在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用共线定理即可求出. 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 7．已知向量，且，则的值为______． 【答案】/ 【分析】利用平面向量坐标加法公式先求出，进一步利用平面向量模的坐标公式得出，然后根据，得出，最后利用余弦二倍角公式及角的范围得出结果. 【详解】因为， 所以， 所以 ， 由，所以，即， 所以, 解得，又， 所以, 故答案为：. 8．如图，在正方形中，点在上，且，若，则__________；__________．    【答案】 【分析】建立直角坐标系，利用正方形的性质结合已知条件求出相关点坐标，进而得出相关向量坐标，利用构造方程组求解． 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示坐标系，    设正方形边长为3，则，， ，， ， ， ，解得． 故答案为：；． 9．在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 【答案】 【详解】 如图，以为原点，分别以为轴建系， ，，，， ，， 所以. 10．如图，在正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、交于点G，连接，若，则______． 【答案】 【分析】首先利用坐标法判断，再根据三点共线求点的坐标，最后代入两点间距离公式. 【详解】如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 设，，，，， ，，，所以， ，所以，所以， 则，即， 设，，，，， 点三点共线，则，① ，，，， 点三点共线，则，② 联立①②，解得：，， 即，， 则 11．设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线． (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）求出，根据，，三点共线满足的关系求解即可； （2）①利用平面向量夹角的余弦公式求解即可.②由平行四边形得，利用相等向量满足的关系即可求解． 【详解】（1）由已知得， 因为三点共线，所以，即. （2）由已知得， ； ②由平行四边形得，又， 所以，解得，即 12．如图所示，是中点. (1)求； (2)以B点为坐标原点建立平面直角坐标系，若点满足，求： ①点P的轨迹方程； ②的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由，通过平方即可求解； （2）①建系，设，结合向量垂直的坐标表示即可求解；②设，结合向量数量积的坐标表示和辅助角公式即可求解. 【详解】（1）由题可知：， 则 ， 把代入解得：； （2）①以B点建立坐标系如下图： 由条件知：， 设，则， 则 ， 即， 即P点的轨迹方程是； ②设，，则， 由（1）易知， 则 ， ， 即. 13．已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 【答案】(1)-2 (2) (3)，且． 【分析】（1）由A，B，P三点共线得到，利用向量平行的坐标公式求解； （2）利用向量垂直的坐标公式求解； （3）由是锐角得到且，不共线，由利用向量的数量积求解，由，不共线利用向量共线的坐标公式求解. 【详解】（1），B，P三点共线，． ，，，． （2），，． （3）若是锐角，则，且，不共线． ，，， 且，解得，且． 14．已知平面向量，，，且， (1)求在方向上的投影向量； (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行及垂直的坐标表示及投影向量的定义可得； （2）根据向量的坐标运算分别求得与的坐标，利用向量数量积的定义及其坐标表示求得与夹角的余弦值，即可求得与的夹角. 【详解】（1），，解得. . ，，. . ， . 所以在方向上的投影向量为． （2）由（1）知，，， ，，. 设，的夹角为，则：. ， 即向量与向量的夹角为． 15．已知． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及向量夹角的坐标表示求解. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律列式求解. 【详解】（1）由，得， 设与的夹角为，则， 所以与夹角的余弦值为. （2）由，得， 即，而， 则，所以． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $