课时跟踪检测（6）平面向量数量积的应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时跟踪检测（六） 平面向量数量积的应用 A级——综合提能 1．已知向量a，b为单位向量，且a⊥b，则b·(4a－3b)＝(　 ) A．－3 B．3 C．－5 D．5 解析：选A　由题意可得，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝0，则b·(4a－3b)＝4a·b－3b2＝－3b2＝－3，故选A. 2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝|a＋b|，则|2a＋b|＝(　 ) A．4 B. C. D．2 解析：选D　由|a－b|＝|a＋b|两边平方化简可得a·b＝0，所以(2a＋b)2＝4a2＋b2＋4a·b＝8.所以|2a＋b|＝2.故选D. 3．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为(　 ) A．0 B. C. D. 解析：选D　由题可得a·c＝a·＝a2－·a·b＝a2－a2＝0，∴a与c的夹角为. 4．在△ABC中，(＋)·＝0，则△ABC一定是(　 ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 解析：选B　由已知得，(＋)·(－)＝0，∴2－2＝0，∴||＝||. 5．早在公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”．《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为3(勾)和4(股)时，斜边(弦)则为5”，勾股定理也称为商高定理．现有△ABC的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾AC的长为3，点A在弦BC上的射影为点D，则(－)·＝(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选B　由题意可得，AD＝＝，AD⊥BC，所以cos∠CAD＝＝＝，(－)·＝·＝cos∠CAD＝3××＝. 6．已知单位向量i，j相互垂直，向量a＝3i－4j，则|a|＝________. 解析：因为|a|2＝a2＝(3i－4j)2＝9i2－24i·j＋16j2＝9＋16＝25，所以|a|＝5. 答案：5 7．在△ABC中，记＝m，＝n，则·(＋)＝________. 解析：因为＝－＝ n－m，所以·(＋)＝(n－m)·(n＋m)＝ n2－m2. 答案：n2－m2 8．已知△ABC是边长为1的等边三角形，设向量a，b满足＝a，＝a＋b，则|3a＋b|＝________. 解析：法一：＝－＝a＋b－a＝b，则||＝|b|＝1，|a|＝1.又||＝|a＋b|＝1，两边平方，得2a·b＝－1.因为|3a＋b|2＝9＋6a·b ＋1＝7，所以|3a＋b|＝. 法二：因为|3a＋b|2＝|2a＋a＋b|2＝|2＋|2＝42＋4·＋2＝4＋2＋1＝7，所以|3a＋b|＝. 答案： 9．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|. 解：∵|a＋b|＝4， ∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*) ∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9， 代入(*)式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3. 又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，∴|a－b|＝. 10．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝. (1)求|b|； (2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值． 解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝， 即|a|2－|b|2＝， 所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝. (2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，所以|a＋2b|＝1. 又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝， 所以cos θ＝＝. 又θ∈[0，π]，故θ＝. B级——应用创新 11．已知菱形ABCD的边长为2，·＝2，则||＝(　 ) A. B．2 C．1 D．2 解析：选B　根据题意可得＝＋，＝－，∵·＝2，即·(＋)＝2＋·＝2，∴·＝－2，||2＝(－)2＝2－2·＋2＝12，即||＝2，故选B. 12．(多选)已知a，b为平面向量，其中b为单位向量，若非零向量a与b满足a·(a－4b)＝－3，则下列结论成立的是(　 ) A．(a－b)⊥(a－3b) B．a与b的夹角的取值范围是 C．|a|的最小值为2 D．|a－b|的最大值为2 解析：选ABD　(a－b)·(a－3b)＝a2－4a·b＋3b2＝－3＋3＝0，故(a－b)⊥(a－3b)，A正确；设a与b的夹角为θ，则a·(a－4b)＝|a|2－4|a|·|b|cos θ＝|a|2－4|a|cos θ＝－3，所以4cos θ＝＝|a|＋≥2＝2，即cos θ≥，当且仅当|a|＝时，等号成立．又因为0≤θ≤π，故0≤θ≤，B正确；a·(a－4b)＝|a|2－4|a||b|cos θ＝|a|2－4|a|cos θ＝－