专题02向量的数量积（专项训练）数学沪教版必修第二册

专题02向量的数量积 目录 A题型建模・专项突破 题型01用定义求向量的数量积 题型02平面向量中投影向量（数量）的问题 题型03平面向量中模的问题（求参） 题型04平面向量中夹角问题（求参） 题型05平面向量中垂直关系问题（求参） 题型06利用极化恒等式解决最值或范围 B综合攻坚・能力跃升 题型01用定义求向量的数量积 1．在中，，是边上的中线，且，，则（   ） A． B．20 C． D．10 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，结合数量积的定义与运算，即可求解. 【详解】由向量的运算法则，可得， 则， 因为在中，，是边上的中线，所以， 可得，则 又因为和大小相等，且方向相反，且， 所以 因为，可得， 所以. 2．在平行四边形中，，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据线性运算及数量积的定义计算求解. 【详解】因为， 在平行四边形中，，， 所以. 3．已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】 4．在中，，，N为BC的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，分别取线段的中点为结合向量数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为的中点，则， 所以． 如图，分别取线段，的中点为，，因为为的外接圆圆心， 所以，， 则， ， 因此． 5．为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 【答案】2 【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得. 【详解】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图. 因为,所以. 根据向量数量积的几何意义：    6．在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将表示为，利用向量的数量积求解. 【详解】由已知条件可得，， 则. 题型02平面向量中投影向量（数量）的问题 7．如图，在菱形中，其对角线．求： (1)； (2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用菱形对角线垂直平分及边长关系，结合向量数量积公式与夹角余弦值求解； （2）根据投影定义，直接代入向量模长和夹角余弦计算； （3）根据投影定义，直接代入向量模长和夹角余弦计算； 【详解】（1）根据菱形的性质得， 为直角三角形，且． ． （2）在上的投影的数量为． （3）在上的投影的数量为 ． 8．如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是________. 【答案】/ 【分析】连接，过作直线于，交圆于，过作于，利用数量积的几何意义，得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】如图，连接，过作直线于，交圆于，过作于， 因为，所以，且，则在上的投影向量为， 由数量积的几何意义知，若取到最大值，则在同侧， 且，当且仅当与重合时取等号， 又圆的半径为，则，所以， 故答案为：. 9．已知，，且，则在方向上的投影数量为___________． 【答案】4 【分析】由条件结合投影数量的定义求解即可. 【详解】由投影数量的定义可知在方向上的投影数量为． 故答案为：. 10．已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 【答案】 【详解】设与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为， 所以，所以. 11．已知向量满足，若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在上的投影向量为，再构建方程求解． 【详解】由为在上的投影向量， 则， 所以， 所以． 12．已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则___________． 【答案】3 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】因为在方向上的投影向量是， 即，又， 所以， 所以 故答案为：3 题型03平面向量中模的问题（求参） 13．已知平面向量，，其中，，，，若为任意实数，则的最小值为________． 【答案】/1.5 【详解】对于任意实数，有， 由于， 代入，得， 故当时，， 因此，的最小值为. 14．若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 【答案】C 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，， 则 ； 综上所述：或. 15．已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先确定与的夹角，再求，进而可解出. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以确定与的夹角为，所以， 所以，所以. 故答案为：B. 16．在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式. 【详解】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 17．若向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出，，，再利用平方求模即可. 【详解】由，可得.由，可得， 即，所以. 由，可得. 所以，则. 18．若向量满足，则______. 【答案】9 【分析】将左右同时平方，展开整理，即可得答案. 【详解】由题意， 解得. 题型04平面向量中夹角问题（求参） 19．已知，向量与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用及数量积的运算律即可求出. 【详解】由题意可得，， 解得或（舍）. 故选：B 20．向量满足且，则与所成夹角的余弦值为___________． 【答案】 【详解】由． ． ． 设夹角为，则． 21．在中，已知，，，边上的两条中线相交于点，则______． 【答案】/ 【分析】由题意可得，，再利用向量夹角公式与数量积与模长的关系计算即可得. 【详解】由是边上的两条中线， 则，， 则 . 22．若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件，根据数量积定义求，再利用向量夹角公式和数量积的性质求结论. 【详解】因为是夹角为的两个单位向量， 所以，， 设为的夹角， ， 故选：A. 23．已知向量，满足，向量的夹角为． (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，， 则； （2）由已知，， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 24．已知向量满足，，，，则__________. 【答案】/ 【分析】将中的移项平方，则可求解. 【详解】由得， 则， 又，，， 则， 解得. 25．已知两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 【答案】/ 【分析】借助模长与数量积的关系可得，再利用向量夹角公式计算即可得. 【详解】由，则，故， 则 ，因， 故向量与的夹角为. 26．已知平面向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，两边同时平方得， 整理得：，， 所以与的夹角为. 27．若平面向量模长相等，且，则（ ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】因为，则，两侧同时平方，再由平面向量模长相等求解即可. 【详解】因为，所以，所以，所以， 因为平面向量模长相等，设， 所以，所以解得. 题型05平面向量中垂直关系问题（求参） 28．已知向量，满足，，，则__________. 【答案】 【详解】因为可得， 又，得． 因为，所以，即，解得． 29．已知向量满足，，且与的夹角为． (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【详解】（1）由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． （2）设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 30．已知向量，的夹角为，，，若，则_____________． 【答案】/ 【分析】根据向量的数量积运算及向量垂直的充要条件，列出相应的方程，求解可得. 【详解】因为向量，的夹角为，，， . ， ， 解得． 故答案为：. 31．已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，可得， ．而向量在向量上的投影向量为， 因， 故在上的投影向量为． 32．已知单位向量满足，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据向量垂直的条件结合向量数量积的运算律求出，然后再利用模长公式即可求解. 【详解】由题意可知， 所以. 33．已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的计算公式和向量数量积的定义求出，结合两向量夹角的范围即可求得答案. 【详解】由可得， 解得，因，则. 故选：C. 34．已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 【答案】A 【分析】由两边平方可得，，由此可求结论, 【详解】由， 所以， 所以，， 所以，又， 所以． 题型06利用极化恒等式解决最值或范围 35．已知，、为互相垂直的单位向量，向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】分析可知且与不共线，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为、为互相垂直的单位向量，则，， 因为向量与的夹角为锐角， 则，解得， 且与不共线， 当与共线时，设，则，所以，解得， 故当与不共线，， 因此实数的取值范围是. 36．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，则的最大值是（    ）． A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】设正方形的内切圆圆心为，由题可得为圆的一条直径时，弦的长度最大，，据此可得最大值. 【详解】如下图所示：设正方形的内切圆圆心为， 当弦的长度最大时，为圆的一条直径， 则 . 当与正方形的顶点重合时，， 因此，． 故选：C 37．图中正方形的边长为2，圆的半径为5，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的值为（   ） A．23 B．29 C．21 D．24 【答案】A 【分析】利用可求解. 【详解】因为正方形的中心与圆的圆心重合，所以是的中点， 又正方形的边长为2，所以，所以， 所以 . 故选：A. 38．已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图象，结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】设正方形的内切圆圆心为O，如图所示： 考虑是线段上的任意一点，，， 圆的半径长为1，由于是线段上的任意一点，则， 所以. 故选：A 39．在中，点在边上，，，，． (1)求的模； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)若点在边上，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知可得，两边平方可求； （2）求得，利用向量的夹角公式可求向量与夹角的余弦值； （3）设边的中点为，连接，，利用余弦定可得，进而可得结论. 【详解】（1）由，可得，所以， 可得， 所以； （2）， 又， 所以； （3）设边的中点为，连接， ， 由余弦定理可得， 到的距离为，所以， 所以. 40．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为______． 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解. 【详解】取中点为， 则 ， 其中易得，故． 故答案为：. 41．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解. 【详解】取中点为，连接，显然， 所以 . 故选：A 1．设单位向量，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的定义求解即可. 【详解】因为是单位向量，所以， 所以. 2．已知长方形中，，，点是的中点，则（    ） A．12 B．14 C．20 D．24 【答案】A 【分析】以作为一组基底表示，根据数量积的定义求解. 【详解】以作为一组基底，根据已知条件，， ， 所以， . 3．已知三个平面向量，，两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据三个平面向量，，两两的夹角进行分类讨论，结合投影向量的知识确定正确答案. 【详解】当三个平面向量，，两两夹角都为0时，显然在上的投影向量是. 当三个平面向量，，两两夹角都为时，因，所以， 则在上的投影向量为. 4．已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】中，由，得， ，又，且点在上，则， 所以. 5．已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在边长为2的正方形中，， 设，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 6．若向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量夹角大小为______． 【答案】 【分析】先求，再求，再利用平面向量的数量积求两向量的夹角. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以. 又， 所以. 所以，又， 所以，即向量与向量夹角为. 7．已知，，则的取值范围是________ 【答案】 【分析】由，根据向量数量积运算律计算即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 因为，所以，即， 故的取值范围是. 8．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________. 【答案】 /0.5 2 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，解得， ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：；. 9．如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 【答案】/ 【分析】以为基底表示，结合向量的数量积运算求得正确答案. 【详解】在正方形中，因为为AD中点，所以，且， 则， 则 . 10．已知． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与的夹角为． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】(1)根据向量平行得到夹角，根据向量数量积的公式即可得； (2)根据向量模的求法及数量积计算可得； (3)根据向量垂直性质，及数量积可得夹角余弦值，进一步得到夹角. 【详解】（1）若，则与的夹角为0或． 所以或． （2）因为 ， 所以． （3）若，则，即， 所以， 即，所以， 又，所以． 11．已知向量，，，满足，且，，． (1)求与的夹角； (2)是否存在实数使与垂直？ 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）由已知得，再平方后由数量积的定义求解； （2）利用求得即可. 【详解】（1）， ，， ，即， ． 又， ， ，又，所以； （2）若，则， 即， ，， ∴存在使得与垂直． 12．在等腰三角形中，，，为的中点． (1)求在上的投影向量的长度； (2)求在上的投影向量的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在等腰三角形中，根据已知条件求出与的夹角，然后利用投影的定义求解即可. （2）在等腰三角形中，利用等腰三角形的性质及已知条件求出，根据投影的定义求解即可. 【详解】（1）连接, 因为为等腰三角形，且为的中点， 所以． 又因为，， 所以． 由图可知与的夹角为的补角， 所以向量与的夹角为150°． 则在上的投影向量的长度为． （2）结合（1）可知，在上的投影向量的长度为． 13．已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据数量积的定义可得，再结合数量积的运算律运算求解即可； （2）根据题意可得，再结合数量积的运算律运算求解即可. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为，则， 所以. （2）由（1）可知：，，， 若，则， 可得，即，解得. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02向量的数量积 目录 A题型建模・专项突破 题型01用定义求向量的数量积 题型02平面向量中投影向量（数量）的问题 题型03平面向量中模的问题（求参） 题型04平面向量中夹角问题（求参） 题型05平面向量中垂直关系问题（求参） 题型06利用极化恒等式解决最值或范围 B综合攻坚・能力跃升 题型01用定义求向量的数量积 1．在中，，是边上的中线，且，，则（   ） A． B．20 C． D．10 2．在平行四边形中，，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．在中，，，N为BC的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．10 B．20 C． D． 5．为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 6．在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 题型02平面向量中投影向量（数量）的问题 7．如图，在菱形中，其对角线．求： (1)； (2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． 8．如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是________. 9．已知，，且，则在方向上的投影数量为___________． 10．已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 11．已知向量满足，若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 12．已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则___________． 题型03平面向量中模的问题（求参） 13．已知平面向量，，其中，，，，若为任意实数，则的最小值为________． 14．若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 15．已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．1 16．在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 17．若向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 18．若向量满足，则______. 题型04平面向量中夹角问题（求参） 19．已知，向量与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 20．向量满足且，则与所成夹角的余弦值为___________． 21．在中，已知，，，边上的两条中线相交于点，则______． 22．若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 23．已知向量，满足，向量的夹角为． (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值． 24．已知向量满足，，，，则__________. 25．已知两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 26．已知平面向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 27．若平面向量模长相等，且，则（ ） A． B．0 C． D． 题型05平面向量中垂直关系问题（求参） 28．已知向量，满足，，，则__________. 29．已知向量满足，，且与的夹角为． (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 30．已知向量，的夹角为，，，若，则_____________． 31．已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 32．已知单位向量满足，则（   ） A． B．2 C． D．1 33．已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 34．已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 题型06利用极化恒等式解决最值或范围 35．已知，、为互相垂直的单位向量，向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为___________． 36．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，则的最大值是（    ）． A． B．0 C． D． 37．图中正方形的边长为2，圆的半径为5，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的值为（   ） A．23 B．29 C．21 D．24 38．已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．在中，点在边上，，，，． (1)求的模； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)若点在边上，求的范围． 40．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为______． 41．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（   ） A． B． C． D． 1．设单位向量，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知长方形中，，，点是的中点，则（    ） A．12 B．14 C．20 D．24 3．已知三个平面向量，，两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C．或 D．或 4．已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 5．已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．若向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量夹角大小为______． 7．已知，，则的取值范围是________ 8．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________. 9．如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 10．已知． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与的夹角为． 11．已知向量，，，满足，且，，． (1)求与的夹角； (2)是否存在实数使与垂直？ 12．在等腰三角形中，，，为的中点． (1)求在上的投影向量的长度； (2)求在上的投影向量的长度． 13．已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $