专题06 平面向量的最值与范围问题（压轴题专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题06平面向量的最值与范围问题 （五类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、平面向量数量积的最值（范围）问题 类型二、平面向量模长的最值（范围）问题 类型三、平面向量夹角的最值（范围）问题 类型四、平面向量中的参数的最值与范围 类型五、平面向量与其他章节融合涉及的最值与范围 压轴专练 类型一、平面向量数量积的最值（范围）问题 基底法： ①利用其底转化向量 ②根据向量运算律化简目标 ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 坐标法： ①根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 ②将平面向量的运算坐标化 ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 极化恒等式： （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： （2）极化恒等式： ————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 【技巧方法】 数量积的最值范围处理方法： （1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算． （2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理． （3）利用极化恒等式来处理。 例1．如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，再由平面向呈的坐标运算结合三角函数的有界性计算即可求得. 【解析】如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 则以AB为直径的半圆为， 因为动点P在以AB为直径的半圆上，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 故选：B 变式1-1．中，，，，点C是线段上的动点，点D是的中点，则的最小值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用基底法计算，结合二次函数求最值； 【解析】因为点C是线段上的动点， 所以, 所以 因为点D是的中点,所以, 所以, 又，，，即 所以， ， 又，所以当时，的最小值. 故选：B. 变式1-2．如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值最小值是（　　） A. 1 B. C. D. 4 【答案】C 【分析】先建立平面直角坐标系，求出各点坐标，进而得到向量与的坐标，最后根据向量数量积的坐标运算公式求解. 【解析】在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故选：C 变式1-3．如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的运算及投影向量的模求出梯形的直角边长，再建立平面直角坐标系，利用坐标运算得出关于的函数，利用对勾函数单调性求最值即可得解. 【解析】，， 梯形为直角梯形， ， ，即， 由，同理可得， 又向量在向量上的投影向量的模为4，所以， 以B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则， ， 所以， 由且可得， 令，则由对勾函数单调性知， 当时单调递减，时单调递增， 故，由知，， 故， 故选：D 变式1-4．在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动，若，则的取值范围为_____________. 【答案】 【分析】表达出，设，， 表达出，并求出，从而求出，结合，求出取值范围. 【解析】为的中点，故， 点在线段上运动，设，， 故，即 ， 因为，，所以， 则 ， 因为，所以. 故答案为： 变式1-5．已知单位圆上不同的三点A，B，C，则的最小值为________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，表达出，结合，求出最小值. 【解析】以圆心为坐标原点，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 设，且，， 则， 则 ， 故当时，取得最小值， 由于，则当时，取得最小值， 此时，或，， 故的最小值为. 故答案为： 变式1-6．在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将化为和表示，利用和的长度和夹角计算可得结果； （2）用、表示，求出关于的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果. 【解析】（1）因为为的三等分点（靠近点），所以， 所以 ， 所以 . （2）因为，所以， 因为 ， 所以 ， 所以当时，取得最小值. 类型二、平面向量模长的最值（范围）问题 求向量模的一般思路及常用公式： (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.　　 【技巧方法】 处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有： （1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得． （2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得． （3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直． 例2．已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则, 则,，所以， 故， 故， 由于，故，故， 故选：C.   （2）已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（　　） A. 17 B. 20 C. 34 D. 48 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算、绝对值三角不等式、垂径定理等知识进行分析，从而确定正确答案. 【解析】设是圆的圆心，连接，作，垂足分别为， 则分别是的中点，由勾股定理得， ， ， 故, 当反向时等号成立， 所以的最大值是. 故选：C 变式2-1．已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据向量共线定理设(t∈R)，得，两边平方根据二次函数知识可得结果. 【解析】因为向量与共线，所以可设(t∈R)， 所以，所以， 因为向量，为单位向量，且， 所以， 所以，所以的最小值为. 故选：A 变式2-2．设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用数量积的运算律及性质建立不等式，再求解不等式即可得解. 【解析】单位向量满足，则， 由，得， 则，当且仅当同向时取等号， 因此，解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 变式2-3．，则的最大值是_________ 【答案】 【分析】设，先求，再利用向量的模长公式可得即可求解. 【解析】设，则， ， 当时取等，所以的最大值是. 故答案为： 变式2-4．已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，求最小值. 【答案】（1） （2）3 【分析】（1）根据向量垂直的性质，若两向量垂直，则它们的数量积为，通过计算向量与的数量积来求解的值； （2）先求出的坐标，再根据向量模的计算公式得到关于的表达式，最后通过求二次函数的最值来确定的最小值. 【解析】（1）已知，，则，. 因为，所以. 可得： ，解得 . （2）. 根据向量模的计算公式可得： . 被开方数看作关于的二次函数，对进行配方： 因为，所以，则. 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 变式2-5．在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． （1）当时，求值； （2）求向量的夹角； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）先根据向量的线性运算表示出和；再根据向量的数量积运算律即可求解. （2）先根据向量的线性运算表示出；再根据向量的数量积运算得出即可解答. （3）先根据表示出；再根据向量数量积运算得出；最后根据即可求解. 【解析】（1）当时， 依题意知，，，. 则， . 因为， ， . 所以. 因此. 因为， ，， 所以，， 所以. （2）由（1）知. 因为，， 所以； . 则. 因为，， ， 所以， 故向量的夹角为. （3）由（2）可知： ， . 则. 因为，， ， 所以 , 由题意知，， 所以的取值范围是， ∴的取值范围是 类型三、平面向量夹角的最值（范围）问题 向量的夹角： 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. 【技巧方法】 求两个非零向量夹角的步骤： 第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步：分别求出这两个向量的模； 第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角． 例3．若平面向量满足，则夹角的最小值是_______． 【答案】 【分析】由题意可设，，，借助数量积公式可得，，，再借助夹角公式与基本不等式计算即可得. 【解析】设，，， 则，，即， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 又，则. 故答案为：. 变式3-1．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可. 【解析】因为是单位向量，且的夹角为， 所以， 又， 所以， 又，所以，所以. 故选：C. 变式3-2．已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式得到，再利用投影的定义，结合数量积的运算法则得到夹角的余弦值关于的表达式，从而得解. 【解析】因为，所以， 当且仅当时，取等号， 设的夹角为，由题意得， 因为向量非零且不垂直，所以且， 所以， 所以夹角的余弦值的最小值为. 故选：A. 变式3-3．已知，，设，的夹角为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，利用向量的模，可得向量的数量积，利用向量的夹角公式可得，从而求得.利用向量夹角公式求得，令，求得的最值，从而求得的最小值. 【解析】设，由可得，化简可得， 根据向量夹角公式，可得， 由，可得，解得. 由，的夹角为可得， ， 分子分母同除以，可得， 令，则，所以， 当，时取得最大值；当或时，取得最小值， 所以的最小值为，的最大值为. 故答案为：. 变式3-4．设两个向量满足. (1)若，求与的夹角； (2)若的夹角为（1）中的，向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）先根据求出，再利用，即可求出夹角； （2）根据题意可得且与不共线，计算即可. 【解析】（1）， 又， ，又； （2）的夹角为且， ， 向量与的夹角为锐角， 且与不共线， ，即， 解得：或且且， . 类型四、平面向量中的参数的最值与范围 平面向量共线定理：已知，若三点共线，反之亦然； 等和线：平面内一组基底，及任一向量， ，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立。我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线直线时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数． 【技巧方法】 此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解． 例4．（1）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据向量线性运算可得，由题意可得，，计算可解. 【解析】如图，作出符合题意的图形， 因为，分别是，的中点， 所以，， 则， 因为点在线段上，设， 则， 若，则，， 所以，当时，有最大值为. 故选：C （2）在直角中，，，为边上的点，若，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件解不等式求出的最小值． 【解析】解：由题，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 则，，，， ∵，∴， 又，， ， 若，则， 得：，解得. 又，因此，.即 故选：C 变式4-1．在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把用得到，， ，再根据的范围即可求解. 【解析】以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． 故选：C 变式4-2．在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．8 【答案】C 【分析】画出图形，通过向量线性运算分析得到，从而利用乘“1”法以及基本不等式即可求解，注意验证取等条件是否满足. 【解析】如图所示： 不妨设，则， 同理设，则， 所以 又由题意， 所以， 从而， 当时，由基本不等式可得， 等号成立当且仅当. 综上所述：的最小值为2. 故选：C. 变式4-3．已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为___________ 【答案】 【分析】由两向量与的夹角为可画出图示表示其位置关系，再根据的取值范围即可求得实数t的取值范围是. 【解析】根据题意可知，利用平面向量的三角形法则画出其几何关系，如下图所示：    记，则； 由平面向量的三角形法则可知，点可以在射线（除点外）上移动， 易知当，即时，取最小值， 此时，即； 若恒成立时，即即可， 由可得，，即; 所以，实数t的取值范围为. 故答案为： 变式4-4．已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若. (1)求的值； (2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意画出图象，再利用平面向量基本定理列出方程组即可求解. （2）利用已知条件和的共线得出关系，再利用基本不等式求的最小值. 【解析】（1）由题意画出图像， 因为， 所以且， 注意到共线且共线，所以 解得. （2）由（1）和图象可知，结合. 于是，所以. 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 于是的最小值为. 类型五、平面向量与其他章节融合涉及的最值与范围 平面向量中的范围、最值问题常常利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程、三角函数等有关知识来解决。 例5．（1）在中，，是上一动点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设，将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律求出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【解析】设，因为，所以. 因为，所以. 则， 因为， . 所以. 令， 这是一个二次函数，二次项系数，函数图象开口向上，对称轴为. 因为，所以当时，取得最小值， . 即的最小值为. 故选：D. （2）已知两个非零平面向量，满足：对任意恒有，则：①若，则 ；②若，的夹角为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】①由题设得对恒成立，利用即可求. ②由题设有，则在恒成立，利用可得，进而应用向量数量积的运算律可得，即可求最小值. 【解析】由题意，，则恒成立， ①时，对恒成立， ∴，可得. ②由，的夹角为，则， 又在恒成立， ∴， ∴，则， 当时，的最小值为. 故答案为：， 变式5-1．已知正方形 的边长为 分别是边 上的点 (均不与端点重合)，记 的面积分别为 . 若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积公式，结合平面向量数量积的运算及基本不等式求解即可. 【解析】设， 则，， 由平面向量数量积的运算可得： ， ， 又， 所以，即， 即，当且仅当时取等， 又，即，即， 则 . 故选：D.    变式5-2．如图，在等边三角形中，，线段与交于点,若为所在平面内一动点，则的最小值为___________.    【答案】 【分析】设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得 ，然后利用平方非负求解即可. 【解析】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 故答案为： 变式5-3．在平面直角坐标系中，已知，，，，若，为与的交点，则的最小值为___________． 【答案】. 【分析】设，写出的坐标，得到关于的二次函数，由二次函数知识可知，在对称轴处取得最小值. 【解析】设，则， 故，此为关于的二次函数， 对称轴为，即当时，取得最小值． 故答案为： 变式5-4．已知为所在平面内一点，满足，且的面积为． （1）求的值; （2）求的值; （3）若点是线段上一点，过点分别向作垂线，垂足分别为E，F，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）利用平面向量数量积公式及运算律计算夹角即可； （2）根据同角三角函数的平方关系结合（1）的结论、三角形面积公式得，由平面向量数量积得，再在等式两边同乘以计算即可； （3）利用（1）（2）的结论及数量积运算律可得，由条件可判定O为的重心，根据面积关系得，利用投影的意义及基本不等式计算最值即可. 【解析】（1）由得， 两边平方可得:， 又，所以， 即，即， 所以； （2）因为，所以， 又， 所以， 则， 在等式两边同乘以， 有， 所以； （3）因为， 同理得，即有， 由得点是的重心， 所以， 又， 即有， 所以， (当且仅当时取等号)， 所以的最小值为. 变式5-5．如图，在中，.若是线段上一点，是线段上一点，其中. （1）若，线段与交于点，求的值， （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点坐标，再根据向量数量积坐标表示求得结果；（2）先用表示出坐标，再用坐标表示出向量的模，最后利用基本不等式求最小值. 【解析】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则， 因为，所以 即， 因为，所以 从而， 联立方程组解得 因此 （2）因为是线段上一点，，所以， 又因为，所以，因此， 又即, 由第一问知， 所以 令 因此 当且仅当时取等号， 因此的最小值为. 1.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件转化为，且两向量不平行，即可求得实数的取值范围. 【解析】与的夹角为锐角，且， 解得：且. 故选：D 2.已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由向量数量积的运算律以及模长公式可得，再由二次函数的图像性质，即可得到结果. 【解析】因为， 所以． 又，， 所以 ． 令． 由，可知为二次函数，其图像开口向上， 要使，存在最小值，只需其图像的对称轴即可，解得． 则正数的取值范围是. 故选：D 3.在中，点D是边中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】结合坐标表示运用向量加法法则将问题转化为求的最小值，建系求解即可. 【解析】因为D为的中点， 所以， 所以 不妨以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，则，， 设，则， 所以，.即：的最小值为. 故选：D. 4.已知向量满足，则向量与夹角的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意化简得到，得到，结合向量的夹角公式和基本不等式，即可求解. 【解析】由题意知，可得， 又由，可得， 则， 即，即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以向量与夹角的最大值是. 故选：B. 5.美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的几何意义，为在上的投影，数形结合，确定的最大值和最小值，即可求得答案. 【解析】如图，作，垂足分别为，且与左半圆相切， 切点为与右半圆相切，切点为. ，其中为在上的投影， 因为，所以. 当与重合时，最大，最大值为， 此时取得最大值，最大值为； 当与重合时，最小，最小值为， 此时取得最小值，最小值为； 故的取值范围是， 故选：B 6.等边的外接圆的半径为，点是该圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，再给出一个点的位置使得，即可得到的最大值是. 【解析】 如图，设的中点为，的中点为，的外接圆圆心为，则. 从而，故，所以，故，所以. 这表明，所以一方面有 . 而另一方面，当点是点的对径点时，有，. 所以此时有. 综合两方面，可知的最大值是. 故选：C. 7.（多选）已知，为非零向量，且满足，，则（ ） A．，夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】选项A中，设，的夹角为，由题意求出的取值范围，即可得出夹角的范围；选项B中，由的取值范围，列不等式求出的取值范围；选项C中，由取值范围，求出的取值范围；选项D中，由的取值范围，直接求出的范围． 【解析】设，的夹角为，由，，得， 所以，解得，当且仅当，即时取“”， 所以，所以夹角的取值范围是，A正确； 由，得，等价于， 解得，所以的取值范围是,，选项B正确； 因为，，，所以,， 即的取值范围是,，C错误； ， 由,，得,，所以,，D正确． 故选：ABD． 8.（多选）已知向量，满足，，则（ ） A．的最大值是3 B．的最小值是0 C．的最大值是 D．的最小值是4 【答案】ACD 【分析】根据数量积的运算可判断AB，再由数量积的性质及运算可得的最值，判断CD. 【解析】因为， 所以，当且仅当，反向时取得最大值，同向时取得最小值，故A正确； 因为， 所以，当且仅当，反向时取最小值，同向时取最大值，故B错误； 设，由A，B可知，， 所以，所以，故CD正确. 故选：ACD 9.（多选）如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是（ ） A. B. 1 C. 5 D. 9 【答案】BC 【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出求x+y的最大值时，只需考虑图中以为起点，6个顶点为终点向量，分别求出即得结论．根据其对称性，可知x+y的最小值． 【解析】如下图所示：设＝，＝，求x+y的最大值，只需考虑下图中以为起点，6个顶点为终点向量即可，讨论如下： （1）∵＝，∴； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）﹒ ∴x+y的最大值为2+3＝5﹒ 根据其对称性，可知x+y的最小值为﹣5﹒ 故x+y的取值范围是[﹣5，5]， 观察选项，选项B、C均符合题意． 故选：BC 10.北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由的几何意义表示向量在方向上的投影乘以，在借助图像可知当点在C点处时，有最大值，由此即可求出答案. 【解析】， 几何意义表示向量在方向上的数量投影乘以， 由图可知：当点P在点C处时，有最大值， 此时，， 所以的最大值是. ，所以取值范围为. 故答案为：. 11.已知平面四边形，，，，，则__________；动点，分别在线段，上，且，，则的取值范围为__________________. 【答案】 【分析】根据向量基本定理和向量垂直的数量积为0计算得到，求出，建立直角坐标系，写出点的坐标，表达出向量的坐标，从而求出向量数量积的关系式，求出取值范围. 【解析】，， 所以 ， 解得：， 因为， 所以， 以A作坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，， 所以设， 由得：， ，解得：， 所以、 ， 当时，取得最小值，最小值为， 当或1时，取得最大值，最大值为 所以的取值范围是 故答案为：， 12.设平面向量，其中为单位向量，且满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用向量的模公式及向量的数量积的性质，再利用向量的夹角公式和向量数量积的运算律可将表示为关于的函数的形式，令，换元后可得，结合的范围即可求解. 【解析】，为单位向量， ，即， 又 所以 设，，则 ， 设，，则 ， 因为，所以，所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 13.如图，在平面四边形中，已知，，，为线段上一点. （1）求的值； （2）若为线段的中点，求的值； （3）试确定点的位置，使得最小. 【答案】（1） （2） （3）时，最小 【分析】（1）根据平面向量夹角公式计算即可； （2）将向量转化为已知向量等，进行运算； （3）设()，利用基底法计算，结合二次函数求最值； 【解析】（1），，，， ，， ， ； （2） （3）设()，则， ， 当时，即时，最小. 14.如图，在中，. (1)证明:为等边三角形. (2)试问当为何值时，取得最小值?并求出最小值. (3)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)，；(3) 【分析】（1）利用向量的数量积公式，求出，得到，进而得证； （2）用基底和分别表示和，从而得到，利用函数求最值即可； （3）设，找到与的等量关系，表示出，再利用函数求取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以为等边三角形. （2）， ， 则 ， 当时，取得最小值，最小值为. （3）由题意可得， 在中，， 设， 则， 所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06平面向量的最值与范围问题 （五类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、平面向量数量积的最值（范围）问题 类型二、平面向量模长的最值（范围）问题 类型三、平面向量夹角的最值（范围）问题 类型四、平面向量中的参数的最值与范围 类型五、平面向量与其他章节融合涉及的最值与范围 压轴专练 类型一、平面向量数量积的最值（范围）问题 基底法： ①利用其底转化向量 ②根据向量运算律化简目标 ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 坐标法： ①根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 ②将平面向量的运算坐标化 ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 极化恒等式： （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： （2）极化恒等式： ————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 【技巧方法】 数量积的最值范围处理方法： （1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算． （2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理． （3）利用极化恒等式来处理。 例1．如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式1-1．中，，，，点C是线段上的动点，点D是的中点，则的最小值为（ ） A． B． C． D．2 变式1-2．如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值最小值是（　　） A. 1 B. C. D. 4 变式1-3．如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式1-4．在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动，若，则的取值范围为_____________. 变式1-5．已知单位圆上不同的三点A，B，C，则的最小值为________. 变式1-6．在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 类型二、平面向量模长的最值（范围）问题 求向量模的一般思路及常用公式： (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.　　 【技巧方法】 处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有： （1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得． （2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得． （3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直． 例2．已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D．  （2）已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（　　） A. 17 B. 20 C. 34 D. 48 变式2-1．已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 变式2-2．设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 . 变式2-3．，则的最大值是_________ 变式2-4．已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，求最小值. 变式2-5．在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． （1）当时，求值； （2）求向量的夹角； （3）求的取值范围． 类型三、平面向量夹角的最值（范围）问题 向量的夹角： 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. 【技巧方法】 求两个非零向量夹角的步骤： 第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步：分别求出这两个向量的模； 第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角． 例3．若平面向量满足，则夹角的最小值是_______． 变式3-1．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式3-2．已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（ ） A． B． C． D． 变式3-3．已知，，设，的夹角为，则的最小值为 . 变式3-4．设两个向量满足. (1)若，求与的夹角； (2)若的夹角为（1）中的，向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 类型四、平面向量中的参数的最值与范围 平面向量共线定理：已知，若三点共线，反之亦然； 等和线：平面内一组基底，及任一向量， ，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立。我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线直线时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数． 【技巧方法】 此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解． 例4．（1）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． （2）在直角中，，，为边上的点，若，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式4-1．在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式4-2．在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为（ ） A． B． C．2 D．8 变式4-3．已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为___________ 变式4-4．已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若. (1)求的值； (2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值. 类型五、平面向量与其他章节融合涉及的最值与范围 平面向量中的范围、最值问题常常利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程、三角函数等有关知识来解决。 例5．（1）在中，，是上一动点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． （2）已知两个非零平面向量，满足：对任意恒有，则：①若，则 ；②若，的夹角为，则的最小值为 ． 变式5-1．已知正方形 的边长为 分别是边 上的点 (均不与端点重合)，记 的面积分别为 . 若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D．   变式5-2．如图，在等边三角形中，，线段与交于点,若为所在平面内一动点，则的最小值为___________.    变式5-3．在平面直角坐标系中，已知，，，，若，为与的交点，则的最小值为___________． 变式5-4．已知为所在平面内一点，满足，且的面积为． （1）求的值; （2）求的值; （3）若点是线段上一点，过点分别向作垂线，垂足分别为E，F，求的最小值． 变式5-5．如图，在中，.若是线段上一点，是线段上一点，其中. （1）若，线段与交于点，求的值， （2）若，求的最小值 1.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.在中，点D是边中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 4.已知向量满足，则向量与夹角的最大值是（ ） A． B． C． D． 5.美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6.等边的外接圆的半径为，点是该圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7.（多选）已知，为非零向量，且满足，，则（ ） A．，夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 8.（多选）已知向量，满足，，则（ ） A．的最大值是3 B．的最小值是0 C．的最大值是 D．的最小值是4 9.（多选）如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是（ ） A. B. 1 C. 5 D. 9 10.北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 11.已知平面四边形，，，，，则__________；动点，分别在线段，上，且，，则的取值范围为__________________. 12.设平面向量，其中为单位向量，且满足，则的最大值为 ． 13.如图，在平面四边形中，已知，，，为线段上一点. （1）求的值； （2）若为线段的中点，求的值； （3）试确定点的位置，使得最小. 14.如图，在中，. (1)证明:为等边三角形. (2)试问当为何值时，取得最小值?并求出最小值. (3)求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $