专题8.2 向量的数量积（六大题型）（高效培优专项训练）数学沪教版高一必修第二册

专题8.2 向量的数量积 题型一：求向量的投影或投影向量 题型二：求向量的数量积 题型三：已知向量的数量积，求模或参数 题型四：求向量的夹角 题型五：垂直关系的计算 题型六：综合应用 题型一：求向量的投影或投影向量 1．（2026·安徽宿州·一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川凉山·一模）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 5．已知是边长为4的等边三角形，则在上的投影数量为___________． 6．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 题型二：求向量的数量积 1．（24-25高一下·湖北黄石·期末）已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（   ） A． B． C．0 D． 2．（2026·河北保定·一模）在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，每个小菱形的边长均为1，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则___________． 5．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知两个单位向量，的夹角为，该平面内，，则_______. 6．（25-26高三下·青海西宁·月考）已知单位向量满足，则______． 7．（2026·河北邯郸·一模）已知均为单位向量，则______． 8．（25-26高三下·安徽·月考）若向量满足，则______. 题型三：求向量的数量积，求模或参数 1．（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，方向相同，且，，则（   ） A．10 B．100 C．11 D．121 4．（2026·四川成都·二模）已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（   ） A． B． C．7 D．21 5．（2026·山东德州·一模）若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 6．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知非零向量的夹角为，若在上的投影向量为，且，则（    ） A． B．2 C．3 D． 7．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）若平面向量两两的夹角相等，且，则（   ） A．3 B．4 C．3或0 D．4或1 8．（2026高三下·重庆·专题练习）已知单位向量，满足，则___________． 9．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知向量，满足，，则________． 10．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，且，，则___________ 题型四：求向量的夹角 1．（安徽安庆市2026届高三二模数学试题）已知向量，且，则向量夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知空间单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·新疆·一模）设向量为单位向量，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 6．已知非零向量满足，则向量与的夹角为_____. 7．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为__________. 8．（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知向量，则向量与向量的夹角为______. 9．（25-26高三上·天津·月考）已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为___________． 10．（25-26高二上·云南大理·月考）已知平面向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于________． 题型五：垂直关系的计算 1．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知两个非零向量．若，则锐角（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃·模拟预测）若是非零向量且满足，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知非零向量满足，，则（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏扬州·月考）非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 5．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）设平面向量，，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·山西·月考）已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 7．已知向量，的夹角为，，，若，则_____________． 8．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知向量，满足，，则__________. 9．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）已知，，与的夹角为，若，则___________． 10．（25-26高二上·浙江金华·月考）已知与垂直，与垂直，则______________. 11．（25-26高二上·江苏无锡·月考）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为______． 题型六：综合应用 1．（25-26高三下·北京·开学考试）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知向量，满足，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 4．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知点是半径为4的圆内一点，，，为圆上任意两点，当取得最大值时，______. 5．在中，已知，若动点满足，则的最大值为_____． 6．平面上五点满足，，，，则的值为_____． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 向量的数量积 题型一：求向量的投影或投影向量 题型二：求向量的数量积 题型三：已知向量的数量积，求模或参数 题型四：求向量的夹角 题型五：垂直关系的计算 题型六：综合应用 题型一：求向量的投影或投影向量 1．（2026·安徽宿州·一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求投影向量 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 2．（2025·四川凉山·一模）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求投影向量 【分析】由投影向量的公式计算可得. 【详解】因，， 则在上的投影向量为. 故选：A. 3．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的定义即可求解． 【详解】因为且， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、求投影向量 【分析】先求，根据投影向量的定义得，代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以在方向上的投影向量是， 故选：C. 5．已知是边长为4的等边三角形，则在上的投影数量为___________． 【答案】2 【难度】0.9 【知识点】求投影向量 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义直接求解. 【详解】依题意，在上的投影数量为． 故答案为：2 6．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 【答案】 【难度】0.7 【知识点】求投影向量 【分析】由在上的数量投影为，直接计算即可． 【详解】在上的数量投影为． 故答案为：． 题型二：求向量的数量积 1．（24-25高一下·湖北黄石·期末）已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求投影向量 【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得. 【详解】由题意可得向量在上的投影向量为， 所以， 又向量为单位向量， 所以. 故选：A. 2．（2026·河北保定·一模）在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积 【分析】将表示为，利用向量的数量积求解. 【详解】由已知条件可得，， 则. 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，每个小菱形的边长均为1，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.68 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【详解】由图可知，，，因为每个小菱形的边长均为1， 向量与的夹角为，所以， 则． 4．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则___________． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】求投影向量 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】因为在方向上的投影向量是， 即，又， 所以， 所以 故答案为：3 5．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知两个单位向量，的夹角为，该平面内，，则_______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】由向量的数量积运算，结合向量的运算律即可求解. 【详解】由题意得， . 6．（25-26高三下·青海西宁·月考）已知单位向量满足，则______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】已知模求数量积 【详解】将两边同时平方得， 又单位向量，故解得． 7．（2026·河北邯郸·一模）已知均为单位向量，则______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积 【详解】因为均为单位向量，所以， 所以，则． 8．（25-26高三下·安徽·月考）若向量满足，则______. 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】已知模求数量积 【分析】将左右同时平方，展开整理，即可得答案. 【详解】由题意， 解得. 题型三：求向量的数量积，求模或参数 1．（25-26高三上·湖北·期末）已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模 【分析】利用投影向量求出，利用求出，最后利用向量的模的计算公式即可. 【详解】因为，在上的投影向量是，所以，则， 则， 因为，所以， 则的最小值为. 故选：A 2．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【详解】在边长为2的正方形中，， 设，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，方向相同，且，，则（   ） A．10 B．100 C．11 D．121 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】根据题意，两向量方向相同，结合向量的模性质求解即可. 【详解】由题意可得：因为，同向，所以向量夹角为零.且， 所以. 故选：A. 4．（2026·四川成都·二模）已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（   ） A． B． C．7 D．21 【答案】A 【难度】0.67 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【详解】由向量，可得， 因为，且与夹角为，所以， 则，所以. 5．（2026·山东德州·一模）若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，， 则 ； 综上所述：或. 6．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知非零向量的夹角为，若在上的投影向量为，且，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、求投影向量 【分析】根据非零向量的夹角为，在上的投影向量为，得出，然后利用化简计算即可得出. 【详解】因为非零向量的夹角为， 所以， 又在上的投影向量为， 所以， 由，得 即， 所以， 故选：A. 7．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）若平面向量两两的夹角相等，且，则（   ） A．3 B．4 C．3或0 D．4或1 【答案】C 【难度】0.6 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】由的夹角均为和夹角均为，两类情况讨论，通过求模的平方即可求解. 【详解】当的夹角均为时， 则 ， ； 当的夹角均为时， 所以 综上或0； 故选：C 8．（2026高三下·重庆·专题练习）已知单位向量，满足，则___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、向量夹角的计算 【详解】因为， 所以， 即，整理得，而，则. 所以. 9．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知向量，满足，，则________． 【答案】 【难度】0.66 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知模求数量积 【分析】由，两边平方并整理得，由，平方得，展开求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 整理得， 又因为， 所以， 则， 所以． 10．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，且，，则___________ 【答案】4 【难度】0.75 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据向量模长公式及数量积公式，得，再解方程即可． 【详解】， 即，解得或（舍去）， 则． 故答案为：． 题型四：求向量的夹角 1．（安徽安庆市2026届高三二模数学试题）已知向量，且，则向量夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.67 【知识点】向量夹角的计算 【详解】已知，根据模长平方公式： ， ， 再由，移项得， 两边平方：， 代入展开式： ， 整理得：，因为模长非负，故， 再次对两边平方得： ， 展开化简得：，即，得， 结合 ，舍去负值，得. 故选:C 2．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【详解】因为， 所以，则， 所以. 3．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算 【分析】利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】，，，，所以， 故选：A． 4．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知空间单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知模求数量积、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】应用空间向量的数量积公式结合模长公式计算夹角余弦公式求解. 【详解】因为是空间单位向量，所以， 因为，所以，所以，所以， 设与的夹角为，， 所以. 故选：B. 5．（2026·新疆·一模）设向量为单位向量，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算 【分析】本题考查的是平面向量的模和夹角的问题，通过平方展开计算即可。 【详解】因为,， 又因为向量为单位向量，代入可得， 得，又， 所以, 因为,所以. 故选：D 6．已知非零向量满足，则向量与的夹角为_____. 【答案】/ 【难度】0.54 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】由可得，由可得，利用平面向量数量积的定义求解夹角即可. 【详解】因为，所以，展开整理得， 由得，所以， 所以，则， 设向量与的夹角为，则， 又，所以． 7．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】零向量与单位向量、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，均为单位向量，且， 所以， 所以， 所以， 所以,的夹角余弦值为，所以,的夹角为. 故答案为：. 8．（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知向量，则向量与向量的夹角为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知模求数量积、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】利用，求出和，利用向量的数量积求出，从而得到向量与向量的夹角. 【详解】，，， ，， ，， ， ， ，向量与向量的夹角. 故答案为：. 9．（25-26高三上·天津·月考）已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、向量夹角的计算 【分析】根据投影向量的知识可得，即可计算夹角. 【详解】在上的投影向量为，则， 因，则，则， 因，则， 则平面向量和的夹角为. 故答案为：. 10．（25-26高二上·云南大理·月考）已知平面向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】根据向量的数量积的运算律以及模长公式求出，再利用向量的夹角公式计算. 【详解】因为，则，则， 因为，则， ， 则， 即向量与的夹角的余弦值等于. 故答案为： 题型五：垂直关系的计算 1．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知两个非零向量．若，则锐角（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示 【分析】利用向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为两个非零向量．且， 所以，因为不为0， 所以,则锐角， 故选:A 2．（2025·甘肃·模拟预测）若是非零向量且满足，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】由向量垂直关系得到，再由向量夹角公式即可求解. 【详解】设与的夹角是，因为， 所以，即①， 又因为， 所以，即②， 由①②知， 所以. 故选：B. 3．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知非零向量满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】先通过向量垂直的条件得出与的关系，再计算，最后开方得到的值. 【详解】已知，根据向量模长公式可得：， 因此， 因为，根据向量垂直的性质有：，即， 所以， 将和代入得：， 由，所以. 故选：A. 4．（24-25高一下·江苏扬州·月考）非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】先利用投影向量求出，再利用向量垂直关系计算向量数量积构造关于实数的方程，最后结合及解方程求出实数． 【详解】向量在向量上的投影向量为， ， ， ， 又， ， 是非零向量，， ，解得， 故选：A． 5．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）设平面向量，，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律、利用函数单调性求最值或值域 【分析】，可得．两边平方，结合，，得到，求出最小值为，因此的最小值为 【详解】因为，所以，代入可得． 因为，所以， 两边平方得 ， 又，故 当时，取得最小值，因此的最小值为 故选：C 6．（24-25高一下·山西·月考）已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算 【分析】根据垂直关系可得，即可由夹角公式求解. 【详解】由可得， 故， 因此， ， 故选：A 7．已知向量，的夹角为，，，若，则_____________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量的数量积运算及向量垂直的充要条件，列出相应的方程，求解可得. 【详解】因为向量，的夹角为，，， . ， ， 解得． 故答案为：. 8．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知向量，满足，，则__________. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】根据向量垂直可得其数量积为零，利用数量积运算的分配律可得，再利用数量积求向量的模可得结果. 【详解】由题可知，，即 所以. 故答案为：2. 9．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）已知，，与的夹角为，若，则___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、已知数量积求模 【分析】利用向量垂直的充要条件数量积为0，转化为数量积运算求得的值，再根据，利用向量数量积的运算律求得结果. 【详解】因为，，与的夹角为，所以， 因为， 所以，即，. 所以. 故答案为：. 10．（25-26高二上·浙江金华·月考）已知与垂直，与垂直，则______________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】根据向量垂直的充要条件建立向量方程组，先推得，再回代入方程，利用向量数量积的定义式即可求得结果. 【详解】由与垂直，可得，①， 又由与垂直，可得，②， 由可得：，即， 将其代入①，可得，解得， 因，故. 故答案为：. 11．（25-26高二上·江苏无锡·月考）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为______． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】根据两垂直向量的数量积为0，求解即可. 【详解】因为，为单位向量，且，所以，，， 因为，所以，即， 化简得，代入数据可得，解得. 故答案为：6 题型六：综合应用 1．（25-26高三下·北京·开学考试）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量与几何最值 【分析】由得，，取中点，进而，再结合即可转化为求解. 【详解】因为， 所以，，即， 所以，. 如图，取中点， 所以，， 因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以，当且仅当点与点重合时等号成立， 所以的最小值为. 2．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知向量，满足，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】根据向量的数量积及投影向量公式求解即可. 【详解】设向量与的夹角为. 因为，所以. 因为在上的投影向量为，所以①. 在上的投影向量为，所以，即②. 将①代入②中，，即， 所以，因为，所以，所以. 3．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【难度】0.3 【知识点】求二次函数的值域或最值、用定义求向量的数量积、已知数量积求模、向量与几何最值 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 4．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知点是半径为4的圆内一点，，，为圆上任意两点，当取得最大值时，______. 【答案】2 【难度】0.4 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】取中点为，设为和的夹角，结合图形将化成，利用余弦函数的值域和二次函数的性质求出其最大值，推得此时共线且点在点与之间，即可求得答案. 【详解】如图， 取中点为，连接，则，且， 设为和的夹角，则 ， 且， 当且仅当时，即与反向时等号成立， 因， ，则当时，有最大值， 此时三点共线. 于是共线且点在点与之间，故. 5．在中，已知，若动点满足，则的最大值为_____． 【答案】5 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】根据向量的加减法结合数量积运算律计算求解最大值. 【详解】如图，动点满足，点在以为圆心，1为半径的圆上， 因为，所以， 所以，设线段的中点为， 则， ， 当且仅当三点共线时取最大值， 所以的最大值为5． 故答案为：5. 6．平面上五点满足，，，，则的值为_____． 【答案】3 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律 【分析】设，，得到，，则，再代入值计算即可． 【详解】设，， 则， ， ， ． 故答案为：3． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $