专题01向量的概念与线性运算（专项训练）数学沪教版必修第二册

专题01向量的概念与线性运算 目录 A题型建模・专项突破 题型01向量的概念 题型02向量的加法和减法 题型03向量的乘法 题型04向量的线性运算的几何应用 题型05利用向量证明共线（三点共线） 题型06利用共线求最值或范围（等和线） B综合攻坚・能力跃升 题型01向量的概念 1．下列各选项中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．，则 C．若，且，则 D．若，则与不共线 3．下列说法正确的是（   ） A．若，方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．零向量与任意向量平行 D．共线向量是在同一条直线上的向量 4．如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．如图以方格中的格点（各线段的交点）为起点和终点的向量中． (1)与相等的向量有___________； (2)与共线的向量有___________． 6．如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形． (1)写出与相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)向量与是否相等？ 题型02向量的加法和减法 7．化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 8．如图所示，中，等于（   ） A． B． C． D． 9．化简：______. 10．化简__________． 11．在平行四边形中，________． 12．化简：等于（   ） A． B． C． D． 题型03向量的乘法 13．已知，，则在下列各命题中，正确的命题有（   ） ①，时，与的方向一定相反； ②，时，与的方向一定相同； ③，时，与的方向一定相同； ④，时，与的方向一定相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．下列各式计算正确的有（   ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（1）化简 （2）设向量，，求． 16．下列各式计算正确的有（　　） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．已知、为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)的方向与的方向相同，且的模是的模的2倍； (2)的方向与的方向相反，且的模是模的倍； (3)与是一对相反向量； (4)与是一对相反向量． 题型04向量的线性运算的几何应用 18．已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 19．在所在的平面内，，关于的对称点是，则（    ） A． B． C． D． 20．在中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 21．在平行四边形中，，，则（   ） A． B． C． D． 22．在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 23．，点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 24．在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型05利用向量证明共线（三点共线） 25．对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．-2 27．设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数的值． 28．已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 29．已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则______. 30．在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 31．如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 32．如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 33．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型06利用共线求最值或范围（等和线） 34．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 35．如图，在平行四边形中，相交于点，为线段的中点，若，则 A． B． C． D． 36．给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是________. 37．如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 38．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点（含边界），设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为______.    1．如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 2．中，为边的中点，，，，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（    ）． A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（   ） A．向量与模相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向 5．如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，．用，表示向量______________，______________． 6．_______. 7．设，是一个非零向量，则下列结论正确的有____________．（将正确答案的序号填在横线上） ①；②；③；④． 8．若点在以为圆心、6为半径的上，所对的圆心角为120°，且，则的取值范围为________． 9．如图所示，O是正六边形的中心，且． (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)与的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ 10．如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：C，D，E三点共线． 11．判断三点是否共线. (1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线. (2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01向量的概念与线性运算 目录 A题型建模・专项突破 题型01向量的概念 题型02向量的加法和减法 题型03实数与向量的乘法 题型04向量的线性运算的几何应用 题型05利用向量证明共线（三点共线） 题型06利用共线求最值或范围（等和线） B综合攻坚・能力跃升 题型01向量的概念 1．下列各选项中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的定义与性质分析各选项即可. 【详解】对于A：模相等，但方向有可能不相同， 不能保证向量相等，故A错误； 对于B：向量不能比较大小，故B错误； 对于C： 因为向量的模为零时，该向量必为零向量， 即，故C正确； 对于D：向量不能等于数字0，故D错误. 故选：C 2．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．，则 C．若，且，则 D．若，则与不共线 【答案】A 【分析】根据向量及共线向量的定义判断. 【详解】由向量相等的定义知选项A正确； 向量是有方向的量，不能比较大小，选项B错误； 当时，与不一定平行，选项C不正确； 可以是但与的模不相等，选项D不正确. 故选：A. 3．下列说法正确的是（   ） A．若，方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．零向量与任意向量平行 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据零向量的定义，可判断C的正误；根据共线向量的定义，可判断D的正误. 【详解】选项A：若，方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误； 选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误； 选项C：由零向量的定义可知零向量与任意向量平行，故C正确； 选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误. 4．如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等向量的概念一一判断. 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，所以互相平分. 对于A：与不平行，不可能相等，故A错误； 对于B：与大小相同，方向相反，故B错误； 对于C：与不平行，不可能相等，故C错误； 对于D：大小相等，方向相同．即与是相等的向量． 故选：D 5．如图以方格中的格点（各线段的交点）为起点和终点的向量中． (1)与相等的向量有___________； (2)与共线的向量有___________． 【答案】(1)、 (2)、、 【分析】（1）根据相等向量的定义求解； （2）根据共线向量的定义求解. 【详解】（1）由向量相等的定义可得，与相等的向量有、； （2）由共线向量的定义可得，与共线的向量有、、. 6．如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形． (1)写出与相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)向量与是否相等？ 【答案】(1)，， (2)，，，，，，，， (3)不相等 【分析】（1）根据向量相等的定义结合图象判断即可； （2）根据共线向量的定义结合图象判断即可； （3）根据向量相等的定义判断. 【详解】（1）与相等的向量：，，． （2）与共线的向量：，，，，，，，，． （3）向量与不相等．因为与的方向相反，所以它们不相等． 题型02向量的加法和减法 7．化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) (6) 【分析】根据平面向量加减运算法则，化简各线性表达式即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 8．如图所示，中，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，再根据向量线性运算求解即可． 【详解】从题图上可看出， ，而． 故选：C． 9．化简：______. 【答案】 【分析】根据向量的加减法则计算即可. 【详解】 . 10．化简__________． 【答案】 【详解】. 11．在平行四边形中，________． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算法则，即可得答案. 【详解】在平行四边形中，， 所以. 故答案为：. 12．化简：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 题型03实数与向量的乘法 13．已知，，则在下列各命题中，正确的命题有（   ） ①，时，与的方向一定相反； ②，时，与的方向一定相同； ③，时，与的方向一定相同； ④，时，与的方向一定相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据数乘向量的定义和性质进行判断. 【详解】由与向量的积的方向规定，易知①②正确， 对于命题③④，当时，，同正或同负，与或者都与同向，或者都与反向．与同向， 当时．则与异号，与中，一个与同向，一个与反向，与反向，故③④也正确． 故选：D 14．下列各式计算正确的有（   ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量加法、数乘向量的运算律化简即可. 【详解】，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确. 故选：C 15．（1）化简 （2）设向量，，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】利用向量的线性运算法则与运算律化简计算即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 ， 因为，， 所以原式 ． 16．下列各式计算正确的有（　　） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算法则逐一判断即可. 【详解】①③④正确，②错，因. 故选：C 17．已知、为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)的方向与的方向相同，且的模是的模的2倍； (2)的方向与的方向相反，且的模是模的倍； (3)与是一对相反向量； (4)与是一对相反向量． 【答案】(1)真命题，理由见解析 (2)真命题，理由见解析 (3)真命题，理由见解析 (4)假命题，理由见解析 【分析】（1）根据平面向量数乘的几何意义进行判断即可； （2）根据平面向量数乘的几何意义进行判断即可； （3）根据相反向量的定义进行判断即可； （4）根据相反向量的定义进行判断即可. 【详解】（1）真命题．理由如下： 与方向相同，且． （2）真命题．理由如下： 与同方向，与同方向， 由于与反方向，故与反方向， 又，，所以的模是模的倍； （3）真命题．理由如下： ．故与是一对相反向量； （4）假命题．理由如下： 与是一对相反向量，与是一对相反向量， 与是相等向量． 题型04向量的线性运算的几何应用 18．已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算求解. 【详解】 . 19．在所在的平面内，，关于的对称点是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算法则求解即可. 【详解】因为在所在的平面内， 所以，， 又因为关于的对称点是， 所以是中点，， 所以. 20．在中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算求解即可. 【详解】设交于， 因为，，    所以，， 则, 故选：A 21．在平行四边形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到即为的中点，，从而得到. 【详解】，故， 即为的中点，所以与相交于点， 又，，所以，， 故. 故选：B 22．在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算法则求解即可. 【详解】. 故选：B. 23．，点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用向量的四边形法则计算即可. 【详解】 依题意，. 答案：B. 24．在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 题型05利用向量证明共线（三点共线） 25．对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共线定理即可求解. 【详解】由题意知. 若与共线，则存在实数使得， 因为向量，不共线， 所以解得，故的值为. 故选：C 26．已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．-2 【答案】B 【分析】存在实数k使（），化简得到方程组，舍去不合要求的根，求出. 【详解】与反向共线，则存在实数k使（）， 于是， 由于，不共线，所以有，整理得，解得或. 又因为，所以，故. 答案：B 27．设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可； （2）由共线向量定理求出参数即可. 【详解】（1）证明：， 而， 与共线，且有公共点， ，B，C三点共线． （2）与共线， 存在实数，使得，即． 与不共线，，解得， ． 28．已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 29．已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则______. 【答案】 【分析】根据向量的减法运算可得，，根据三点共线可得存在实数，使，然后列方程求解即可. 【详解】由已知可得， ， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 则，即且，解得. 故答案为： 30．在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】由题意得，方法一：设，化简得到，列出方程组求解即可；方法二：利用三点共线的性质定理直接计算求解即可. 【详解】因为，，所以， 方法一：设（）， 则， 所以， 所以，解得； 方法二：因为三点共线， 由三点共线的性质定理可知，所以． 故选：A 31．如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 32．如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：D 33．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量共线定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为，所以，即， 又，所以， 因为点是线段上一点，即、、三点共线， 所以，解得. 故选：A 题型06利用共线求最值或范围（等和线） 34．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 35．如图，在平行四边形中，相交于点，为线段的中点，若，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的图像特点得到＝λ＋2μ，又因为＝(＋)，根据平面向量基本定理得到对应系数相等得到结果. 【详解】∵＝2，＝λ＋μ，∴＝λ＋2μ.∵E为线段AO的中点，∴＝(＋)，根据平面向量基本定理得到对应系数相等∴λ＝，2μ＝，解得μ＝，∴λ-μ＝. 故选B. 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，向量的主要应用体现在以下几方面：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 36．给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是________. 【答案】 【分析】根据题意建立直角坐标系，设，分别求出点,,三点的坐标，由可求得，从而求得的最大值. 【详解】建立如下图所示的直角坐标系，则,, 设,则， ∵， ∴， ∴， 由可得，即， 故答案为：. 37．如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，的，当点与点重合和点与点重合时，分别求得的最值，即可求解. 【详解】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点， 因为与的面积之比为2，则， 当点与点重合时，可得，此时，即的最小值为； 当点与点重合时，可得， 此时，即，此时为最大值为， 所以的取值范围为. 故选：C.    38．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点（含边界），设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为______.    【答案】[1，] 【详解】 如图，（λ＋μ）min＝1，（λ＋μ）max＝.    1．如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 2．中，为边的中点，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的运算法则可得答案. 【详解】如图，， 则， 故 . 故选：B 3．在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算即可求解． 【详解】由题意，画出图象如下： 可得． 故选：D． 4．下列说法错误的是（   ） A．向量与模相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向 【答案】D 【分析】根据相反向量和相等向量的定义得出选项A、B，然后根据零向量的定义得出选项C、D. 【详解】向量与互为相反向量，所以向量与的模相等，故A选项正确； 如果两个相等向量的起点相同，则它们终点必相同，故B选项正确； 根据向量模的定义，只有零向量的模等于0，故C选项正确； 零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D选项不正确； 故选：D. 5．如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，．用，表示向量______________，______________． 【答案】 【分析】根据向量的加法与减法计算即可. 【详解】因为是对角线的交点，所以，. 因为， 所以. 由向量加法的平行四边形法则可知，. 所以. 6．_______. 【答案】 【分析】利用向量的线性运算化简计算即得. 【详解】原式＝ . 故答案为：. 7．设，是一个非零向量，则下列结论正确的有____________．（将正确答案的序号填在横线上） ①；②；③；④． 【答案】①③ 【分析】根据向量线性运算可确定为零向量，由此可判断得到结果. 【详解】由条件得：， 则，，，则①③正确，②④错误. 故答案为：①③． 8．若点在以为圆心、6为半径的上，所对的圆心角为120°，且，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】易知.如图，在线段上取点，使，分别在上取点，使，，则.由知点在线段上．由余弦定理及等面积法可得的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】 由题意可知，，所以. 如图，在直线上取点，使， 因，则. 分别在上取点，使，， 则.且 由，知点在线段上（含端点，）． 由于在中，，， 由余弦定理，得. 所以. 过点作，垂足为. 由，得. 因点在线段上（含端点，），则，即． 再由，可知. 故答案为：. 9．如图所示，O是正六边形的中心，且． (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)与的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ 【答案】(1)23个 (2)，，， (3)，，，，，，，， 【分析】（1）根据正六边形的性质以及向量的模的概念写出所有向量； （2）根据相反向量的概念写出； （3）根据共线向量的概念写出. 【详解】（1）因为正六边形的边长与到各个顶点的距离相等， 所以与的模相等的向量有， ，共23个． （2）因为， 所以与的长度相等且方向相反的向量有，，，． （3）与共线的向量有，，，，，，，，． 10．如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：C，D，E三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据向量的线性运算表示，即可根据倍数关系判断共线，即可求证. 【详解】（1）由题意得． ，，， ． （2）证明： ， 与平行，又与有公共点C， ，D，E三点共线． 11．判断三点是否共线. (1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线. (2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)A，B，C三点共线，理由见解析 【分析】根据向量共线定理判断. 【详解】（1）， 所以， 又因为有公共起点，故A，B，D三点共线. （2） ， 所以， 又因为有公共起点，故A，B，C三点共线. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $