专题8.1 向量的概念与线性运算（五大题型）（高效培优专项训练）数学沪教版高一必修第二册

专题8.1 向量的概念与线性运算 题型一：平面向量的概念 题型二：平面向量的加法、减法 题型三：平面向量的线性运算 （三点共线） 题型四：相等向量与相反向量 题型五：平行向量与共线向量 题型一：平面向量的概念 1．（2026高一下·吉林长春·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．若，方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．零向量与任意向量平行 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．下列说法错误的是（   ） A．向量与模相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向 3．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 4．设是非零向量，则是成立的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 6．（25-26高三上·湖南·期中）已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高二下·云南昆明·月考）下列结论中正确的是（   ）． A．零向量没有大小，方向任意 B．对任一向量，总是成立的 C． D． 8．（25-26高二上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二：平面向量的加法、减法 1．（24-25高一下·陕西西安·期末）（ ） A． B． C． D． 2．如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，中，等于（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，设，，，则等于（　　） A． B． C． D． 5．化简______． 6．（2026高一·全国·专题练习）化简__________． 7．在矩形中，若，，则___________． 8．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则______. 题型三：平面向量的线性运算 1．（25-26高三上·河北·期末）如图，在中，，则（   ）    A． B． C． D． 2．（2025高三上·江苏·学业考试）在平行四边形中，为与的交点，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 5．（25-26高一下·天津北辰·开学考试）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，．用，表示向量______________，______________． 6．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点（含边界），设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为______.    题型四：相等向量与相反向量 1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高三上·辽宁·月考）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（    ） A．9 B．11 C．18 D．24 5．下列关于向量的命题，序号正确的是_____. ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 6．下列说法正确的是__________（写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 7．（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题： ①若向量，，则； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形中，一定有. 其中是真命题的为________.（填序号） 8．在矩形中，，分别为、的中点，在以为起点和终点的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量： （1）与相等的向量：__________________________； （2）的负向量：__________________________； （3）与共线的向量：__________________________. 题型五：平行向量与共线向量 1．（24-25高一下·江西南昌·月考）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 3．（24-25高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量的模相等 4．（2025·云南临沧·模拟预测）关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 5．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·湖北·月考）已知非零向量与共线，下列说法正确的是（   ） A．与共线 B．与不共线 C．若，则 D．若，则是一个单位向量 7．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有______个.    8．如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有______对.    9．（25-26高二上·河北·期中）四边形中，“”是“是梯形”的___________条件． 10．（22-23高一下·广东湛江·月考）下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是____（填序号）． 11．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有_______个. 12．四边形，，都是全等的菱形，与相交于点，则下列关系中正确的序号是________． ①；②；③；④． 13．如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心.（1）与相等的向量有______________；（2）与相等的向量有__________；（3）与共线的向量有__________. 14．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是__________.（填序号） ①与相等的向量只有一个（不含）； ②与的模相等的向量有9个（不含）； ③的模恰为模的倍； ④与不平行. 15．如图，和是在各边的处相交的两个全等的三角形，设的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则： （1）与相等的向量有______； （2）与共线，且模相等的向量有______． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 向量的概念与线性运算 题型一：平面向量的概念 题型二：平面向量的加法、减法 题型三：平面向量的线性运算 （三点共线） 题型四：相等向量与相反向量 题型五：平行向量与共线向量 题型一：平面向量的概念 1．（2026高一下·吉林长春·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．若，方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．零向量与任意向量平行 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量 【分析】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据零向量的定义，可判断C的正误；根据共线向量的定义，可判断D的正误. 【详解】选项A：若，方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误； 选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误； 选项C：由零向量的定义可知零向量与任意向量平行，故C正确； 选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误. 2．下列说法错误的是（   ） A．向量与模相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向 【答案】D 【难度】0.71 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据相反向量和相等向量的定义得出选项A、B，然后根据零向量的定义得出选项C、D. 【详解】向量与互为相反向量，所以向量与的模相等，故A选项正确； 如果两个相等向量的起点相同，则它们终点必相同，故B选项正确； 根据向量模的定义，只有零向量的模等于0，故C选项正确； 零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D选项不正确； 故选：D. 3．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据共线向量的定义判断B；由向量的性质判断C；根据空间向量模的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合， 若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确； 对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确. 故选：D. 4．设是非零向量，则是成立的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、平行向量（共线向量） 【分析】根据充分、必要条件，以及向量共线等知识确定正确答案. 【详解】对于非零向量， 若，则同向，不一定有； 若，则同向，此时. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：C 5．下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】平面向量的概念与表示、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据向量和有向线段的定义，可判断C的正误；根据共线向量的定义，可判断D的正误. 【详解】选项A：若方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误； 选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误； 选项C：向量没有固定的起点，但有向线段有起点，有向线段是向量的表示工具， 所以有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段，故C正确； 选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误. 故选：C 6．（25-26高三上·湖南·期中）已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明、零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据单位向量及相等向量的定义和性质，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】若，则的方向必相同，充分性成立， 若的方向相同，又是单位向量，则，必要性成立， 所以“是相等向量”是“的方向相同”的充要条件. 故选：A 7．（24-25高二下·云南昆明·月考）下列结论中正确的是（   ）． A．零向量没有大小，方向任意 B．对任一向量，总是成立的 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】零向量与单位向量、向量的模、相等向量、相反向量 【分析】根据零向量、向量模长、相等向量与相反向量定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，零向量的模长为，方向任意，A错误； 对于B，当向量为零向量时，，B错误； 对于C，若与方向不同，则，C错误； 对于D，与为相反向量，，D正确. 故选：D. 8．（25-26高二上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用向量的模、相等向量、相反向量、共线向量等相关概念进行判断. 【详解】对于选项A：若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误； 对于选项B：当时，，，此时未必共线，故B错误； 对于选项C：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误； 对于选项D：若，则向量，互为相反向量，则，则D正确； 故选：D. 题型二：平面向量的加法、减法 1．（24-25高一下·陕西西安·期末）（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量的线性运算法则，进行化简，即可求解. 【详解】由向量的线性运算法则，可得. 故选：A. 2．如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】根据向量加法的运算法则逐项判断即可. 【详解】因为，，分别是的边，，的中点，所以∥，，即∥，且. 所以四边形是平行四边形 由向量加法的三角形法则可得，，； 由向量加法的平行四边形法则可得，，. 所以A，B，C正确；D错误. 故选：D． 3．如图所示，中，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】由题可知，再根据向量线性运算求解即可． 【详解】从题图上可看出， ，而． 故选：C． 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，设，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】由平面向量加法和减法的几何意义进行求解即可. 【详解】. 故选：A 5．化简______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】向量加法的运算律、向量加法的法则 【分析】利用向量的加法法则化简即得. 【详解】. 故答案为：. 6．（2026高一·全国·专题练习）化简__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】向量减法的法则 【详解】. 7．在矩形中，若，，则___________． 【答案】 【难度】0.96 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据平面向量加法公式以及勾股定理计算可得结果. 【详解】易知. 故答案为： 8．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量加法的法则 【分析】根据直角三角形中的三角函数值以及勾股定理求出，再由向量的加法原则求解即可. 【详解】如图所示，过点作的垂线，垂足为， 根据直角三角形的性质： ，， 根据勾股定理，在中，， 因此. 故答案为：. 题型三：平面向量的线性运算 1．（25-26高三上·河北·期末）如图，在中，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量减法的法则 【分析】根据向量的减法运算法则即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 2．（2025高三上·江苏·学业考试）在平行四边形中，为与的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量加法法则和减法法则进行判断即可. 【详解】对于A: 根据向量加法的平行四边形法则，得，A错误C正确； 根据向量减法的法则得，B错误D错误； 故选：C. 3．如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】连接、、交于点，分析可知，再利用平面向量加法的三角形法则可得答案. 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论、基本不等式求和的最小值 【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为是的中点，所以. 因为，所以. 由于三点共线，所以可以表示为的线性组合， 即. 所以，即. 因为，所以. 当且仅当时，即时等号成立. 由于，所以解得，此时最小值为9. 故选：B. 5．（25-26高一下·天津北辰·开学考试）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，．用，表示向量______________，______________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量的加法与减法计算即可. 【详解】因为是对角线的交点，所以，. 因为， 所以. 由向量加法的平行四边形法则可知，. 所以. 6．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点（含边界），设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为______.    【答案】[1，] 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量与几何最值 【详解】 如图，（λ＋μ）min＝1，（λ＋μ）max＝.    题型四：相等向量与相反向量 1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.69 【知识点】平行向量（共线向量）、判断命题的充分不必要条件、相等向量 【分析】由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解. 【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立； 反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立， 故“”是“且”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（23-24高三上·辽宁·月考）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可. 【详解】因为，故同向. 对于A:，方向相反,A选项错误； 对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误； 对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确； 对于D:,不能确定的方向，D选项错误. 故选：C． 3．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相等向量 【分析】由梯形的几何性质可判断AB选项；推导出为的中点，可判断CD选项. 【详解】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错； 因为，则，则，则， 即，即， ，则，，即为的中点， 所以，，C错，D对. 故选：D. 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（    ） A．9 B．11 C．18 D．24 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相等向量 【分析】由图形，根据共线和平行关系，先求所有方向上的相等向量，再改变方向，即可得到所有情形. 【详解】如图， 由已知可得， ，，，， 有12对相等的向量， 改变其方向，又有12对相等的向量，共24对， 故选：D. 5．下列关于向量的命题，序号正确的是_____. ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 【答案】①③ 【难度】0.65 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、相反向量 【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③. 【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量， 故不一定等于，故②错误； 对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合. 故选：①③ 6．下列说法正确的是__________（写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 【答案】③ 【难度】0.65 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用向量共线、相等的定义，分别进行判断，即可得出结论． 【详解】①若与共线，则点，，，共线，不正确，比如平行四边形的对边； ②若四边形为平行四边形，则，不正确； ③若，，则，正确； ④在四边形中，，且，则四边形为正方形或菱形，不正确； 故答案为：③. 7．（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题： ①若向量，，则； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形中，一定有. 其中是真命题的为________.（填序号） 【答案】②③ 【难度】0.85 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据平行向量的概念可判断①；根据单位向量的概念可判断②；根据相等向量的概念可判断③. 【详解】若，则向量不一定与向量平行，故①不正确； 单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点时， 终点都在以为圆心，1为半径的圆上，故②正确； 在菱形中，，与方向相同，故，故③正确. 故答案为：②③. 8．在矩形中，，分别为、的中点，在以为起点和终点的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量： （1）与相等的向量：__________________________； （2）的负向量：__________________________； （3）与共线的向量：__________________________. 【答案】 、 、 、、、、、、、、、、 【难度】0.85 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、相反向量 【分析】根据向量的定义，把所有向量罗列出来，找出符合条件的向量即可． 【详解】（1）与相等的向量：； （2）的负向量：; （3）与共线的向量：. 故答案为：①②③. 题型五：平行向量与共线向量 1．（24-25高一下·江西南昌·月考）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】利用向量是既有大小又有方向的量，但零向量的方向是任意的，且零向量与任意向量是共线的，所以在概念辨析时要充分考虑零向量是否也满足，从而可作出判断. 【详解】对于①，若，则，故①错误； 对于②，若，由于方向不确定是相同或相反，则或是不一定正确的，故②错误； 对于③，若，且，因为零向量的方向是任意的，则的方向不一定相同或相反；只有当时，若，则的方向相同或相反；故③错误； 对于④，若，，由于当，就不能保证，只有当时，才一定有，故④错误； 故选：D. 2．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【分析】由零向量与任意向量共线再结合已知条件得出. 【详解】由零向量与任意向量平行，故满足条件； 若，由且，得，这与条件矛盾，故排除； 综上所述，. 故选：A. 3．（24-25高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量的模相等 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】由相等向量，共线向量，相反向量，模长的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，故A错误； 对于B，当时，因为零向量与任意向量平行，所以对于任意向量和，都有且，但此时与不一定平行，故B错误； 对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小，即，不能得出，故C错误； 对于D，对于向量与向量，它们的大小是相等的，只是方向相反． 根据向量模的定义，向量的模与向量的模是相等的，所以D正确， 故选：D． 4．（2025·云南临沧·模拟预测）关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】由向量的模长，共线，相等的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，向量不能比较大小，故A错； 对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错； 对于C，若，由向量相等的条件可得，故C正确； 对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D错. 故选：C． 5．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】平行向量（共线向量） 【分析】根据共线向量的定义即可. 【详解】因为共线向量是指向量所在直线共线或平行的向量，O为正六边形的中心， 所以与所在直线平行，所以是共线向量，故A错误； 与所在直线平行，所以是共线向量，故B错误； 与所在直线既不共线也不平行，所以不是共线向量，故C正确； 与所在直线共线，所以是共线向量，故D错误. 故选：C. 6．（24-25高一下·湖北·月考）已知非零向量与共线，下列说法正确的是（   ） A．与共线 B．与不共线 C．若，则 D．若，则是一个单位向量 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量共线，向量相等及单位向量的定义分别判断各选项. 【详解】当，，，四点在一条直线上时，与共线，否则与可能不共线，所以AB选项错误； 若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，C选项错误； 根据单位向量定义可知若，则是一个单位向量，D选项正确； 故选：D. 7．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有______个.    【答案】3 【难度】0.85 【知识点】相等向量 【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解. 【详解】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个. 故答案为：3 8．如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有______对.    【答案】2 【难度】0.85 【知识点】相等向量 【分析】根据等腰梯形的性质结合已知条件，可推得，即可得出答案. 【详解】由题意∥AB可知，，所以，所以. 因为，所以，， 所以，，所以. 又M，O，N三点共线， 所以，，故相等向量有2对. 故答案为：2. 9．（25-26高二上·河北·期中）四边形中，“”是“是梯形”的___________条件． 【答案】充分不必要 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、平行向量（共线向量） 【分析】根据共线向量的定义以及充分必要条件的定义即可判断. 【详解】若，则且，则四边形为梯形，故充分性成立， 若为梯形，则或，若不平行于，则，故必要性不成立. 所以“”是“是梯形”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 10．（22-23高一下·广东湛江·月考）下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是____（填序号）． 【答案】②③④ 【难度】0.85 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确. 【详解】由零向量的定义可知，①正确； 时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误； 两个向量共线，与模是否相等无关，③错误； 当时，满足，，但不能得到，④错误. 故答案为：②③④ 11．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有_______个. 【答案】9 【难度】0.94 【知识点】平行向量（共线向量） 【分析】根据正六边形的特点，以及向量共线的定义可求答案. 【详解】由正六边形的性质可知，与向量共线的向量有，共9个. 故答案为：9. 12．四边形，，都是全等的菱形，与相交于点，则下列关系中正确的序号是________． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【难度】0.85 【知识点】向量的模、平行向量（共线向量） 【分析】根据模长相等的向量、平行向量的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，四边形，，都是全等的菱形，，即，①正确； 对于②，，，则与反向，，②正确； 对于③，若，则，， 若四边形，，都是全等的正方形，如下图所示， 此时，，即，③错误； 对于④，三点共线，方向相反，，④正确. 故答案为：①②④. 13．如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心.（1）与相等的向量有______________；（2）与相等的向量有__________；（3）与共线的向量有__________. 【答案】 ，， 【难度】0.94 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用相等向量和共线向量的定义解答即可. 【详解】（1）与相等的向量有，，； （2）与相等的向量有； （3）与共线的向量有. 故答案为：，，；；. 14．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是__________.（填序号） ①与相等的向量只有一个（不含）； ②与的模相等的向量有9个（不含）； ③的模恰为模的倍； ④与不平行. 【答案】①②③ 【难度】0.94 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据相等向量的概念判定①；根据菱形的性质和的条件，可得对角线AC与菱形的边长相等，可以判定②；根据菱形的对角线垂直且互相平分，结合已知角度，利用特殊角的三角函数，可以得到进而得到，从而判定③；注意到方向相同或相反的向量都叫做平行向量，表示向量的有向线段可以在同一直线上，可以对④作出否定. 【详解】与相等的向量需要方向相同,模相等,只有,故①正确； 根据菱形的性质结合,可知对角线AC与菱形的边长相等，故与的模相等的向量有,共9个向量，故②正确； 易得, ∴的模恰为模的倍，故③正确； 向量与的方向是相反的，是平行向量，故④不正确. 故答案为：①②③. 15．如图，和是在各边的处相交的两个全等的三角形，设的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则： （1）与相等的向量有______； （2）与共线，且模相等的向量有______． 【答案】 、 、、、、 【难度】0.85 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据相等向量、共线向量以及模的概念结合图形进行分析求解. 【详解】（1）由图可知，与相等的向量有、； （2）由图可知，与共线，且模相等的向量有、、、、， 故答案为：、；、、、、. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $