专题03函数y= Asinωx+φ的图像（专项训练）数学沪教版必修第二册

专题03函数y= Asin的图像 目录 A题型建模・专项突破 题型01振幅、频率、初始相位和相位的判断 题型02三角函数图象变换过程的问题 题型03三角函数图象变换后求解析式 题型04三角函数的图象变换后求性质问题 题型05利用图象确定正(余)弦型函数的解析式 题型06利用正(余)弦函数的性质求解析式 题型07正、余弦型三角函数图象的应用 B综合攻坚・能力跃升 题型01振幅、频率、初始相位和相位的判断 1．函数的初相为_____________. 2．求函数的振幅、频率和初始相位. 3．某振动物体的运动方程是，下表是用“五点法”画该运动方程在某一个周期内的图象时所列表格． 0 ① ② ③ 0 2 0 0 (1)①为________，②为________，③为________（直接写出结果即可）； (2)求该振动物体的振幅、频率、初相． 4．试确定函数的初相和周期． 题型02三角函数图象变换过程的问题 5．已知函数且的图象关于对称． (1)求． (2)试说明的图象是由的图象经过怎样的变换而得到的． 6．为了得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 7．已知．函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？ 8．为得到函数的图象，只需将函数图象上（    ） A．各点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位 B．各点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位 C．各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位 D．各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位 9．的图象可以由的图象作的变换得到（    ） A．先向左平移个单位，然后将横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位，然后将横坐标变为原来的，纵坐标不变 C．先将横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，然后向右平移个单位 D．先将横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位 10．想要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位 B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位 C．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 D．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 11．请用“五点法”画函数在内的图象. (1)并指出函数在定义域上的单调区间，零点. (2)当定义域都为时，如何平移伸缩，能得到的图象？ (3)求函数在区间上的最值及取得最值时的值. 题型03三角函数图象变换后求解析式 12．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 13．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的一个可能取值为（    ） A．0 B． C． D． 14．已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．把函数的图象向右平移个单位，然后把横坐标扩大为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式为_____________． 16．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 17．把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 题型04三角函数的图象变换后求性质问题 18．将函数的图象先向右平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 19．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和的图象相邻的两个交点距离为，则的最小值为_________． 20．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像关于轴对称，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 21．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集； (3)将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若满足，求的最小值. 22．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 23．将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，记函数，若，则的最小值为________；若的最大值为，则的一个取值为____________． 24．将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，或者向左平移个单位长度后，两者的图像完全重叠，则的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 题型05利用图象确定正(余)弦型函数的解析式 25．如图为函数的部分图象，，为图象与轴的两个交点坐标，则（   ） A． B．0 C． D． 26．如图，函数的图象与轴交于点，与直线的两个交点为，若，则（   ） A． B． C． D．-1 27．已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_______. 28．若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 29．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)函数，的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值． 30．已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 题型06利用正(余)弦函数的性质求解析式 31．记函数的最小正周期为，若，且的图象关于点中心对称，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 32．若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ） A． B．1 C． D．2 33．已知函数满足，且在上恰好有一个最小值和一个最大值．则________；若，则的值可以为________．（写出一个即可） 34．已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上单调，则的值为______． 35．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为偶函数. (1)求函数的解析式; (2)若是函数的一个零点，求的值； (3)若方程在上有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围. 36．已知函数的图像经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)求函数在的单调递增区间； (3)方程在区间上有三个解，求t的取值范围. 题型07正、余弦型三角函数图象的应用 37．如图，某大风车的半径为，按逆时针方向匀速转动，每旋转一周，它的最低点离地面.风车圆周上一点从最低点开始，运动后与地面的距离为. (1)求函数的关系式； (2)画出函数的大致图象. 38．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报. 时刻 水深m 时刻 水深/m 时刻 水深m 0:00 5.0 9：18 2.6 18：:36 5.0 3:06 7.4 12：24 5.0 21：:42 2.6 6:12 5.0 15：:30 7.4 24：00 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，请写出这段曲线的函数解析式. (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离），请结合图像说明货船进港的必要条件，并求该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？ 39．为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处. (1)求A，，，b； (2)在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？ 40．如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为. (1)在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ (3)若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 41．已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求的解析式与单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和． 42．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 0 (1)请求出函数的解析式； (2)先将图象上所有点，向左平移个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象，若的图象关于直线对称，求当取得最小值时，函数的单调递增区间． 1．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的部分图象如图所示，其中点，，则 （    ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象关于直线对称，则的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 4．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，如图以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．函数（）的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，记，则________. 6．已知，函数在区间上严格增，则的取值范围是________. 7．已知函数.若方程在上恰有85个解，则的取值范围为__________. 8．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数在上恰有两个零点，，求的取值范围； (3)求在上的解集． 9．已知函数． (1)求函数的周期、单调增区间、对称中心； (2)当时，求函数的值域； (3)当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围． 10．已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若，求； (3)设.若对于任意，都有，求实数的取值范围. 11．如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数． (1)依据图中的信息确定函数的解析式； (2)甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求一天4时到20时期间允许该船进出港口的时长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03函数y= Asin的图像 目录 A题型建模・专项突破 题型01振幅、频率、初始相位和相位的判断 题型02三角函数图象变换过程的问题 题型03三角函数图象变换后求解析式 题型04三角函数的图象变换后求性质问题 题型05利用图象确定正(余)弦型函数的解析式 题型06利用正(余)弦函数的性质求解析式 题型07正、余弦型三角函数图象的应用 B综合攻坚・能力跃升 题型01振幅、频率、初始相位和相位的判断 1．函数的初相为_____________. 【答案】 【分析】根据初相的定义求解. 【详解】在中，是初相， 因为，所以初相为， 故答案为：. 2．求函数的振幅、频率和初始相位. 【答案】振幅为，频率为，初始相位为 【分析】利用三角函数振幅、频率和初始相位的定义即可得解. 【详解】对于， 其振幅为，周期， 则频率为，初始相位为. 3．某振动物体的运动方程是，下表是用“五点法”画该运动方程在某一个周期内的图象时所列表格． 0 ① ② ③ 0 2 0 0 (1)①为________，②为________，③为________（直接写出结果即可）； (2)求该振动物体的振幅、频率、初相． 【答案】(1)①，②，③ (2)振幅为2，频率为，初相为． 【分析】（1）根据规律求出，再依次填入即可； （2）根据表格得到其周期，求出，再根据零点得到，则得到解析式，最后根据振幅、频率、初相即可得到答案. 【详解】（1）因为，则空②填； 空③填；空①填. （2）根据表中已知数据可得， ，因此最小正周期为，，则， 当时，，（），解得，（）. 因为，则， ∴函数表达式为． 因此振幅为2，频率为，初相为． 4．试确定函数的初相和周期． 【答案】初相，周期 【分析】根据初相的概念求初相，根据周期公式求周期. 【详解】函数的初相，周期． 题型02三角函数图象变换过程的问题 5．已知函数且的图象关于对称． (1)求． (2)试说明的图象是由的图象经过怎样的变换而得到的． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据函数对称性得出等式，解出参数，结合题意分析得出结论； （2）利用三角函数的平移变换和伸缩变换分析即可. 【详解】（1）令， 将代入得， 解得： 又，所以. （2）由（1）得函数， 要得到的图象则： 先将函数的图象向左平移个单位， 得到函数， 然后将函数横坐标缩短倍（纵坐标不变）， 得到函数， 最后将函数纵坐标伸长2倍（横坐标不变）， 即得的图象． 6．为了得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位长度得的图象.即C对. 7．已知．函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？ 【答案】答案见解析 【分析】根据正弦型函数图象的变换性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以变换情况如下： 的图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象， 再向上平移个单位，得到函数的图象. 8．为得到函数的图象，只需将函数图象上（    ） A．各点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位 B．各点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位 C．各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位 D．各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位 【答案】B 【分析】根据三角函数的变换规则一一判断即可. 【详解】对于A：将各点的横坐标缩短为原来的倍得到， 再向左平移个单位得到，故A错误； 对于B：将各点的横坐标缩短为原来的倍得到， 再向左平移个单位得到，故B正确； 对于C：将各点的横坐标伸长为原来的2倍得到， 再向左平移个单位得到，故C错误； 对于D：将各点的横坐标伸长为原来的2倍得到， 再向左平移个单位得到，故D错误. 故选：B 9．的图象可以由的图象作的变换得到（    ） A．先向左平移个单位，然后将横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位，然后将横坐标变为原来的，纵坐标不变 C．先将横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，然后向右平移个单位 D．先将横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位 【答案】B 【分析】根据三角函数的变换规则变换即可判断. 【详解】的图象可以由的图象先向右平移个单位，然后将横坐标变为原来的的变换得到. 故选：B 10．想要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位 B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位 C．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 D．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 【答案】C 【分析】根据三角函数解析式之间的关系结合三角函数图像变换关系进行判断即可． 【详解】， 将函数的图像各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位，即可得出函数的图像， 故选：C． 11．请用“五点法”画函数在内的图象. (1)并指出函数在定义域上的单调区间，零点. (2)当定义域都为时，如何平移伸缩，能得到的图象？ (3)求函数在区间上的最值及取得最值时的值. 【答案】(1)单调增区间为：，，单调递减区间为：，零点为，，； (2)答案见解析； (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据“五点法”画出函数图象，由图象可得单调区间，零点； （2）根据平移伸缩变换的概念直接求解即可； （3）由得，令，得，，结合三角函数性质求解即可. 【详解】（1）由得，即函数在内为一个完整周期的图象， 列表如下： 其函数图象如下： 由图象，函数在定义域上的单调增区间为，，单调递减区间为， 函数在定义域上的零点为，，； （2）将函数的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得， 再将函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得， 再将函数的图象向右平移个单位长度可得的图象； （3）因为，所以， 令，即，， 所以，当时，由最大值为，此时， 当时，由最小值为，此时， 综上：当时，；当时，. 题型03三角函数图象变换后求解析式 12．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出平移变换后函数的解析式，然后计算即可. 【详解】函数的图象向左平移个单位得到： ， 所以， 故选：A. 13．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的一个可能取值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出平移后的函数解析式，进而根据函数性质求得，再依次讨论值即可. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后， 对应的函数解析式为， 因为的图象关于轴对称， 则，即. 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的一个可能取值为. 14．已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的解析式，再求出的零点，再根据范围求得的取值范围. 【详解】由题可知， 令，即，即， 所以，或， 解得，或， 则非负根从小到大依次为，，，，⋯， 又因为在区间上有三个零点，所以， 解得. 15．把函数的图象向右平移个单位，然后把横坐标扩大为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式为_____________． 【答案】 【分析】根据三角函数平移变换和伸缩变换即可得出函数的解析式. 【详解】把函数的图象向右平移个单位， 则得到的图象， 即解析式为，然后把横坐标扩大为原来的3倍（纵坐标不变）， 得到函数的图象，即函数的解析式为：， 故答案为：. 16．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移、伸缩变换的方法，即可得答案. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得， 再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得. 故选：B 17．把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数图象的变换规律即得答案. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变）， 即得函数的图象，再将函数的图象向右平移个单位长度， 即得函数的图象. 故选：C. 题型04三角函数的图象变换后求性质问题 18．将函数的图象先向右平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助平移及伸缩变换性质可得，再利用正弦函数性质结合整体思想计算即可得解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得， 将其横坐标缩短到原来的，可得，即， 令，解得， 即图象的对称中心的坐标为. 19．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和的图象相邻的两个交点距离为，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】令函数和的相邻两个交点分别为，不妨令在的上方， ，它们的最小正周期都为，且， 由，得，而，则，， 因此，所以的最小值为． 20．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像关于轴对称，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出平移后函数解析式，由函数图象关于轴对称知函数为偶函数，结合诱导公式可得的表达式，然后可得最小正值． 【详解】将函数的图像向右平移个单位， 所得图象对应的解析式为， 因为所得图象关于y轴对称，所以所得函数为偶函数， 因此， 解得，故的最小正值是． 21．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集； (3)将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合表格中的点代入求解即可. （2）结合正弦型函数的图形求解即可. （3）根据函数图象的平移得到的图象，结合求出的对称中心，得到的代数式，进而求出最小值. 【详解】（1）由题意知，解得，， 又，解得， 所以. （2）由，得，所以， 解得， 即不等式的解集为. （3）将的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 因为，所以的图象关于中心对称， 所以，解得， 因为，所以当时，此时取得最小值为. 22．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由函数和的关系可以求得的一条对称轴，即可求解. 【详解】由题意，函数的一条对称轴为：. 由，. 因为，所以当时，取得最小值为. 故选：A 23．将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，记函数，若，则的最小值为________；若的最大值为，则的一个取值为____________． 【答案】 （答案不唯一）. 【分析】由三角函数的图像变换，求得，得到，根据，得到，求得，进而得到的最小值；再由的最大值为，得到，求得，得到答案. 【详解】将函数的图像向左平移个单位长度， 得到， 则， 因为，可得，所以， 解得，因为，所以的最小值为， 若的最大值为，即，即，所以， 所以的一个取值可以为. 故答案为：；（答案不唯一）. 24．将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，或者向左平移个单位长度后，两者的图像完全重叠，则的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据三角函数的图像变换，结合题意，得到，求得，解得，即可得到答案. 【详解】将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得， 将函数向左平移个单位长度后，可得， 要使得和的图像重合，即， 可得， 解得，即， 因为，当时，可得，即的最小值是. 故选：C. 题型05利用图象确定正(余)弦型函数的解析式 25．如图为函数的部分图象，，为图象与轴的两个交点坐标，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据图象得到函数解析式，根据周期计算即可. 【详解】由图可知，，，则 所以，，， 解得，．因为，所以， 所以，， 所以． 26．如图，函数的图象与轴交于点，与直线的两个交点为，若，则（   ） A． B． C． D．-1 【答案】C 【详解】由，可知，在处函数单调递减，则， 因为时相邻两解差的绝对值的最小值为， 所以，解得，则， 所以． 27．已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_______. 【答案】 【分析】先根据两个交点和得出，根据点的坐标求出解析式代入即可. 【详解】由可得或， 两个相邻交点的横坐标的差为：， 因为，所以，即. 函数为，由图象过点，且该点在递增区间， 所以，解得，故. . 28．若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的图象解不等式即可. 【详解】由图象得，，即，而，则， ，又，则， 解得，函数的最小正周期，由图象知， 则，所以，， 由，得，则， 解得， 即关于的不等式的解集为. 29．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)函数，的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图象结合周期和特殊点可求解析式； （2）利用换元法，结合图象对称性可求的值，进而可得结果. 【详解】（1）由图象的最低点纵坐标为，可得， 由图可知，所以，解得. 函数为，代入可得， 所以，即，由，可得， 所以. （2），令，可得， 设，则，设，则； 作出简图如下，由图可知，； 所以 ， . 30．已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据周期，振幅以及最值点，即可代入分别求解的值. （2）利用整体法，结合正弦函数的单调性即可求解. （3）将问题转化为在有两个不同的解，根据二次函数根的分布即可求解. 【详解】（1）由题可知， ，所以，因为，，所以， 所以． 由，得，，解得，， 因为，所以，所以． （2）令，，解得，， 故函数的单调递减区间为，． （3）由（2）可知，在上单调递减，在上单调递增，且，令，由可得， 因为关于x的方程在上有四个不同的实数根，所以有两个不同的解，且这两个解属于．所以 解得，所以a的取值范围为． 题型06利用正(余)弦函数的性质求解析式 31．记函数的最小正周期为，若，且的图象关于点中心对称，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】由的最小正周期的范围，确定，由的图象关于点中心对称，可确定，，，结合，可求出的值，计算即可. 【详解】函数的最小正周期为，满足 ，解得：， 又函数图像关于点对称， ，，且， ，， ，解得：，， ， ， ， ． 故选：B 32．若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由题意求得和，两式相减，得到，进而求得的值. 【详解】因为，所以， 又因为在区间上是减函数， 所以存在整数，使得，， 两式相减，可得，因为，所以. 故选：C. 33．已知函数满足，且在上恰好有一个最小值和一个最大值．则________；若，则的值可以为________．（写出一个即可） 【答案】 2； （答案不唯一） 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质及已知条件求解. 【详解】由题意，， 由 ，且在上恰好有一个最小值和一个最大值，得，则； 而的最大值为 ，最小值为 ， 由 ，得和中一个是最大值，另一个是最小值， 所以，， 当时，（答案不唯一）. 34．已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上单调，则的值为______． 【答案】2或 【分析】先根据是上的偶函数求出，再根据的对称中心和单调区间列出的方程，求解. 【详解】是上的偶函数，， 又，，. 又图象关于点对称， ，. 又在区间上单调，， ，. ，又， 或. 当时，；当时，. 故答案为：2或 35．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为偶函数. (1)求函数的解析式; (2)若是函数的一个零点，求的值； (3)若方程在上有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，求得，得到，再由三角函数的图象变换，结合三角函数的性质，求得，得到，即可求得的解析式； （2）根据题意，转化为，得到，再由三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，化简得到，代入即可求解； （3）令，根据题意，利用正弦函数的性质，转化为方程在上有2个不相等的实数根，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是， 可得函数的最小正周期为，所以， 将函数的图象向右平移个单位长度， 可得， 因为为偶函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数的解析式为. （2）解：因为是函数 的一个零点， 即，可得， 由（1）知，所以，即， 又由， 因为，所以. （3）解：由（1）知，因为，可得， 令，当时，有两个解；当或时，有一个解， 若方程在上有4个不相等的实数根， 即为关于的方程在上有2个不相等的实数根， 设，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. 36．已知函数的图像经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)求函数在的单调递增区间； (3)方程在区间上有三个解，求t的取值范围. 【答案】(1)； (2)和； (3). 【分析】（1）根据函数的最大值与最小值的差为4，求得A，再由相邻两个零点之间的距离为，求得，然后由函数的图像经过点，求得函数的解析式. （2）令，结合，利用正弦函数的性质可求函数在的单调递增区间. （3）由题意可得与在上有三个不同的交点，作出函数的图像，数形结合可得t的取值范围. 【详解】（1）函数最大值与最小值的差为4，且， 又∵相邻两个零点之间的距离为，即，又，则. 又函数图像经过点， ； （2）当，即，又 在上的单调递增区间为和. （3）由方程在区间上有三个解， 则与在上有三个不同的交点， 作出函数的图像如图所示， 又，， 由图像可知与在上有三个不同的交点时，可得， 所以t的取值范围为. 题型07正、余弦型三角函数图象的应用 37．如图，某大风车的半径为，按逆时针方向匀速转动，每旋转一周，它的最低点离地面.风车圆周上一点从最低点开始，运动后与地面的距离为. (1)求函数的关系式； (2)画出函数的大致图象. 【答案】(1) (2)作图见解析 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设点的坐标为，可得，设，可得，由周期可得，进而求解即可； （2）根据函数表达式画出图象即可. 【详解】（1）如图，以为原点，过点的圆的切线为轴，建立平面直角坐标系. 过点作轴的垂线段，垂足为，连接. 设点的坐标为，则. 设，则，所以. 又，即，所以， 则. （2）函数的大致图象如图所示. 38．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报. 时刻 水深m 时刻 水深/m 时刻 水深m 0:00 5.0 9：18 2.6 18：:36 5.0 3:06 7.4 12：24 5.0 21：:42 2.6 6:12 5.0 15：:30 7.4 24：00 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，请写出这段曲线的函数解析式. (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离），请结合图像说明货船进港的必要条件，并求该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？ 【答案】(1)， (2)图象见解析，答案见解析 【分析】（1）根据条件中的数据，由最值求和，以及根据周期和初相求和，即可求函数的解析式； （2）由条件转化为进港条件为，根据（1）的结果求的的值，再结合函数的图象，即可求解. 【详解】（1）从数据和图形可以得出： 由题意可知，，得，， ，；由，得， 所以这段曲线的函数解析式为，． （2）货船需要的安全水深为米，所以，进港条件为. 如上图所示，在点后或点后可以进港. ，与在区间有四个交点. 令，即， 因此，由，及得（时）时2分，（时）时10分. 由函数的周期性得：时2分+12时24分=13时26分，时10分+12时24分=17时34分. 因此，货船可以在1时10分左右进港，早晨5时20分左右出港；或在下午13时30分左右进港，下午17时40分左右出港．每次可以在港口停留约5小时． 39．为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处. (1)求A，，，b； (2)在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？ 【答案】(1)； (2)4s 【分析】（1）根据最低点和最高点位置解方程组可得，再由周期性计算可得，的值； （2）令解不等式，由正弦函数单调性可得，可求出点P距离地面的高度不低于100米的时间. 【详解】（1）根据意义可知，即，解得； 因为每片叶片转一圈需要12秒，即周期为s，，所以； 由点P的起始位置在最低点处，即可知时，， 即，可得，又，所以. （2）由（1）可知； 令，可得，即， 因此可得 由题意可得，所以， 因此或， 解得，所以； 即在叶片转动的一圈内，有4s时间点P距离地面的高度不低于100米. 40．如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为. (1)在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ (3)若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 【答案】(1)，. (2)100秒 (3)20 【分析】（1）由的最大值和最小值求出，再由周期求出，结合初始条件和相位范围确定，从而得到完整解析式。 （2）先求解的区间，计算一个个周期内盛水筒在水面下的时间，再结合总时长包含的周期数求出累计时间。 （3）由，化简可得或，即可求出的最小值. 【详解】（1）由图可知，的最大值为，的最小值为， 则，, 因为筒车按逆时针每分钟转2圈，故，所以， 所以， 当时，，所以，则， 因为，所以，所以，. （2）由（1）得， 令，则，得， 则， 解得， 5分钟秒，则令，，得， 故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒. （3）不妨设，由题意得， 故， ①，，解得，， 故，当且仅当，时，等号成立， ②，，解得， 显然当时，取得最小值，最小值为, 综上，的最小值为20. 41．已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求的解析式与单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由图象的相邻两条对称轴间的距离为，求得，根据为奇函数求得，再根据正弦函数的性质求解单调区间即可； （2）由图象变换得，由解得或，数形结合即可求解． 【详解】（1）因为图象的相邻两条对称轴间的距离为， 所以的最小正周期为，得， 又为奇函数，则， 又，所以，故． 令，得， 所以函数的递减区间为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 又，解得或， 即或． 令，当时，， 画出的图象，如图所示： 的两个根对应的点关于直线对称，即，有， 设在上两个不同的根，则， 所以； 设在的根为，则，解得， 所以方程在内所有根的和为． 42．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 0 (1)请求出函数的解析式； (2)先将图象上所有点，向左平移个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象，若的图象关于直线对称，求当取得最小值时，函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据表格中提供的数据，依次求得的值，从而求得，并补全表格数据. （2）根据三角函数图象变换、三角函数的对称性等知识求得的表达式，利用整体代入法求得函数的单调递增区间． 【详解】（1）根据表中已知数据，得， 可得，当时，，解得， 所以．数据补全如下表： 0 0 2 0 0 （2）将图象上所有的点向左平移个单位长度， 得到的图象，再把所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的， 得到的图象，所以 因为的图象关于直线对称， 所以，解得， 因为，所以，此时， 由，可得， 所以函数的单调递增区间为． 1．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，且当时，且，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数的图像，可得函数的定义域为， 且其图像关于原点对称，即函数为奇函数， 且当时，且， 对于A，函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，且当时，且，所以A符合题意； 对于B，函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，所以B不符合题意； 对于C，函数为最小周期为的周期函数，所以C不符合题意； 对于D，函数的定义域为， 且满足，所以函数为奇函数， 当时，且，所以D不符合题意. 2．已知函数的部分图象如图所示，其中点，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将 代入， 得：； 于是：. 再将 代入， 得：， 由函数图象经过点， 得：， 由 (2) 得，代入 (1)： ， 两边乘以，得： ， 故：， 又由图象可知：，所以， 故，所以，， 故，解得：， 将 代入 (2)，得： ， 已知，所以： 3．已知函数的图象关于直线对称，则的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数对称轴可得，再利用整体思想可得的对称中心，再逐项验证选项即可得. 【详解】由题意可得，解得， 由，则，故， 令，解得， 若，则，由，不符， 若，则，由，不符， 若，则，由，不符， 若，则，符合题意， 故是的对称中心，、、不是的对称中心. 4．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，如图以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由题意可得当时，，分别将代入选项，结合三角函数的运算，验证结果是否为120即可得到答案. 【详解】因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要， 所以游客进舱后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为， 所以时，， 对于A，时，，不符合题意； 对于B，时，，不符合题意； 对于C，时，，不符合题意； 对于D，时，，符合题意. 故选：D. 5．函数（）的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，记，则________. 【答案】8 【分析】利用正弦（型）函数图象与性质，结合两角和的正切公式求解即可. 【详解】过作轴，如图所示： 由是图象的最高点，所以， 又，所以函数的最小正周期为2. 因为之间的距离为一个最小正周期的长度，所以. 设， 所以在直角与直角中有： ， 在中，，所以， 所以. 6．已知，函数在区间上严格增，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】通过整体代换的方法及正弦函数的单调递增区间可得不等式组，解不等式组可得. 【详解】因为，，因此： ， 又因为函数在区间上严格增， 所以且,得且, 所以当时，,得；当时，由,所以不等式组无解； 当时，由,不等式组无解； 综上所述，，故的取值范围为. 7．已知函数.若方程在上恰有85个解，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先求得的周期为，则区间内包含42（余）个完整周期，在完整周期内有84个解，则在余下区间内有1个解，设，结合题意与任意角，可得在区间内有1个解，解得或，，分情况讨论仅有的1个解是或是即可求得的取值范围. 【详解】函数的周期，每个周期内有2个解， 在区间内包含（余）个完整周期， 在完整周期内有个解，故余下区间内有1个解， 设，则， 即在区间内有1个解， 由任意角可得在区间内有1个解， 解得或，， 因为，易得，则有： ①区间包含但不包含， 即，且，解得， ②区间包含但不包含， 即，且，解得， 综上，的取值范围为. 8．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数在上恰有两个零点，，求的取值范围； (3)求在上的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简； （2）求出的范围，将问题转化为与函数图象有两个不同的交点，根据函数性质即可求出； （3）解三角不等式，再与取交集. 【详解】（1）， 则函数的最小正周期为； （2）因为函数在上恰有两个零点， 所以与函数图象有两个不同的交点， 因为，所以， 所以与函数图象有两个不同的交点， 画出如图： 由图可知，且（不妨设）， 则且， 则， 则的取值范围为； （3）由，即， 得，得， 当时；当时； 故在上的解集. 9．已知函数． (1)求函数的周期、单调增区间、对称中心； (2)当时，求函数的值域； (3)当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)周期；单调增区间为，；对称中心， (2) (3) 【分析】（1）先综合使用三角恒等变换公式对三角函数化简，再求正弦函数的周期、单调增区间、对称中心. （2）先确定条件下正弦函数的定义域，再确定值域. （3）化简方程，求出3个实数根和4个实数根的临界点，结合开区间确定取值范围. 【详解】（1）先化简函数： . 所以函数的周期. 由，， 所以单调增区间为，. 由横坐标为，，纵坐标为， 所以对称中心为，. （2）由，得，，所以. （3），解得， 所以当有3个实数根时，依次为，，； 当有4个实数根，此时为临界点， 由条件可知临界点为开区间，为满足条件，可知. 10．已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若，求； (3)设.若对于任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为函数图象的最值已知，可利用公式计算得到的值，由函数图象可得周期，再由求出，再把点代入函数式，结合求出，进而得到解析式； （2）先将代入（1）的解析式，结合已知求出的值，因为，所以利用同角三角函数的平方关系求出和因为，所以利用两角差的正弦公式计算； （3）利用二倍角公式，将转化为关于的二次函数，设，由得，将问题转化为二次函数在闭区间上的最大值问题，对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，求出不同情况下的最大值，再结合最大值小于的最小值求解的范围. 【详解】（1）由图象可知，函数最大值为，最小值为，因此：振幅， 由图象可知，半个周期为，故周期，； 因此，代入最高点得： ， 结合得. 故函数的解析式为：. （2）， 解得：， 由得， 又，， 得， 由正弦差角式，得： ， . （3）当，得，所以，故， 因此只需即可. ， 令，当，得， ，开口向下，对称轴为， 当时，在上单调递减， 所以当时，， 解得， 故； 当时，恒成立，故满足； 当时，在上单调递增， 当时，， 故得：； 综上： 11．如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数． (1)依据图中的信息确定函数的解析式； (2)甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求一天4时到20时期间允许该船进出港口的时长． 【答案】(1)； (2)6h． 【分析】（1）利用图象得到函数的值域、最小正周期以及特殊值点，根据正弦型函数的性质计算求出，即可得到函数解析式； （2）根据题意，利用已知函数解析式构造不等式，求解即可. 【详解】（1）由图象可知，函数值域为，则，解得， 由图象可知，函数的最小正周期，所以， 所以， 又因为函数图象过点，所以，即， 则，即， 因为，所以. 综上，函数的解析式为. （2）由题意，时，由可得， 则，解得. 因为，所以. 所以，允许该船进出港口的时长为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $