专题03 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质7种题型归类（压轴题专项训练）数学沪教版必修第二册

专题03 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质 目录 类型一、由函数图象确定三角函数的解析式中的A、ω、φ 类型二、函数图像平移伸缩变换与多个变换的复合问题 类型三、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性求ω的取值范围问题 类型四、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性求ω的取值范围问题 类型五、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的零点求ω的取值范围问题 类型六、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值或值域求ω的取值范围问题 类型七、与实数解个数相关的问题（方程根与图像交点） 压轴专练 类型一、由函数图象确定三角函数的解析式中的A、ω、φ 解题技巧： (1)求：确定函数的最大值和最小值，则，； (2)求：确定函数的周期T＝，则可得ω= (3)求：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口 例1-1．（24-25高三上·上海·月考）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（   ）    A． B． C． D． 例1-2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 变式1-1．（23-24高一下·上海宝山·月考）下图是函数的部分图像，则（   ） A． B． C． D． 变式1-2．（23-24高一下·上海·期中）下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（24-25高一下·上海虹口·月考）已知函数的部分函数图像如下图，则（    ） A． B． C．1 D．0 变式1-4．已知函数的部分图象如图，则在上的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 类型二、函数图像平移伸缩变换与多个变换的复合问题 解题技巧： 函数图像变换的两种方法 注意：由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度 例2-1．（24-25高一下·上海长宁·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.若与的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例2-2．（24-25高一下·上海浦东新·月考）已知曲线，，则下面结论正确的是（    ） A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 变式2-1．（24-25高一下·上海宝山·月考）将函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（24-25高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为 ． 变式2-3．（24-25高一下·上海·期中）函数，，，，对任意实数，，当时，都有成立，将函数的图像向左平移个单位得到函数，若函数的最大值为10，则的最小值为 . 变式2-4．（25-26高三上·上海虹桥·模拟预测）已知函数，曲线的一个对称中心为点，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线.若函数在区间上单调递减，则实数的最大值为 . 类型三、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性求ω的取值范围问题 解题技巧： 已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围 第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半， 即，求得. 第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围； 第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围. 例3-1．已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（    ） A．2 B．5 C．8 D．11 例3-2．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数在内不是单调函数，则的取值范围是 . 变式3-1．（24-25高一下·上海杨浦·月考）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式3-2．（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（24-25高一下·上海嘉定·期中）已知函数，函数满足，，且在区间上单调，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式3-4．已知函数（），，有，，且在上单调，则的最大值为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 类型四、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性求ω的取值范围问题 解题技巧： （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值 例4-1．（24-25高一下·上海普陀·期中）将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 例4-2．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 变式4-1．已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 变式4-2．若函数在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-4．已知函数（其中）满足,直线为的一条对称轴，且函数在上单调，则实数的最大值为（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 类型五、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的零点求ω的取值范围问题 解题技巧： 的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值. 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值 例5-1．已知函数在内有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5-2．（24-25高一下·上海·期中）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式5-1.（24-25高一下·上海宝山·月考）已知函数在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（24-25高一下·上海徐汇·月考）已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为 . 变式5-3．已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-4．（24-25高一下·上海松江·月考）设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 类型六、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值或值域求ω的取值范围问题 解题技巧： 1、根据三角函数的最值或值域求解参数问题是，要灵活运用整体的思想，将问题转化在基本函数、、上，借助函数图象性质来处理会更加明了。注意对正负的讨论 2、若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进而求解 例6-1．（24-25高三上·上海崇明·模拟预测）已知函数在上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例6-2．（24-25高三上·上海黄浦·模拟预测）已知．在内的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知函数，若，且在上有最大值，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式6-2．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．（23-24高三上·上海浦东新·期中）奇函数在区间上恰有一个最大值1和一个最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-4．已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 ． 类型七、与实数解个数相关的问题（方程根与图像交点） 解题技巧： 一、核心解题方法：数形结合法 ①方程转化：把含三角函数的方程整理为f(x)=g(x)形式。左边通常是三角函数（如sinx、cosx、tanx），右边是常数、一次函数、二次函数等易画图像的函数。 ②分析函数性质：明确两边函数的关键特征——三角函数关注周期（如sinx周期2π、tanx周期π）、值域（sinx/cosx∈[-1,1]、tanx∈R）、单调区间；右边函数关注定义域、值域、单调性（如y=kx+b的斜率影响倾斜方向）。 ③画图找交点：在同一坐标系中绘制两函数图像，结合三角函数的周期性重复绘制，按定义域范围统计交点个数，重点关注临界位置（如三角函数的顶点、零点，右边函数与三角函数值域的边界交点） 二、关键技巧突破 ①分类讨论参数：若方程含参数（如asinx+b =0、sinx=kx），按参数范围分类（如a=0、a≠0；k的正负、|k|大小），分析不同情况下图像的位置关系。 ②利用对称性简化：借助三角函数的奇偶性（如sin(-x)=-sinx）、轴对称性（如cosx关于x=kπ对称），减少重复画图，快速判断对称区间的交点个数。 ③避开易错点：注意定义域限制（如x∈[0,4π] 需明确范围）、三角函数的间断点（如tanx在x=π/2+kπ处无定义）、临界交点是否重合（如y=1与y=sinx在x=π/2+2kπ处仅一个交点） 例7-1．（24-25高三上·上海虹桥·月考）已知函数，其中a＞0．且的图象与直线的两个相邻交点的距离等于． (1)求函数的解析式及最小正周期： (2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同解，求实数m的取值范围． 例7-2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设 (1)求的最小正周期； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 变式7-1．（24-25高一下·上海闵行·月考）已知函数的图像如图. (1)根据图像，求的表达式及严格增区间； (2)将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图像，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围. 变式7-2．已知函数的最小正周期为π． (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 变式7-3．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 变式7-4．（24-25高一下·上海·月考）已知，最小正周期为，且对任意的，都有． (1)求的解析式及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值与最小值 (3)设函数，若存在，使得方程有解，求实数的取值范围． 压轴专练 1.（24-25高一下·上海青浦·期中）已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（    ） A．1 B． C． D． 2.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若为偶函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 3.已知，函数在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 5.（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数（），有下列结论：①若，则在上单调递增；②若，则正整数ω的最小值为2；③若，函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数；④若在上有且仅有个零点，则.其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 6.（23-24高一下·上海金山·期末）已知，下列结论错误的个数是（    ） ①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是. A．1 B．2 C．3 D．4 7.（24-25高二上·上海·期末）已知，把函数的图像向左平移个单位长度，得到的函数图像恰好关于y轴对称.定义：为符合的所有x的和，则的值为（   ） A． B． C．62 D．66 8.（24-25高一下·上海浦东新·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为 . 9.将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最小值是 . 10.将函数向右平移个周期后所得的图象在内有个最高点和个最低点，则的取值范围是 ． 11.（23-24高三上·上海徐汇·月考）已知函数，将的图像向左平移个单位后得到函数的图像．若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，则的值为 ． 12.（24-25高一下·上海闵行·月考）已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为 . 13.已知函数的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式； (2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点． 14.某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表： 0 0 1 0 0 0 0 0 (1)请利用上表中的数据，写出、的值，并求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点个数的值． 15.（24-25高一下·上海静安·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； (3)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 16.已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴方程； (3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由． 17.如图，是函数（，，）图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质 目录 类型一、由函数图象确定三角函数的解析式中的A、ω、φ 类型二、函数图像平移伸缩变换与多个变换的复合问题 类型三、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性求ω的取值范围问题 类型四、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性求ω的取值范围问题 类型五、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的零点求ω的取值范围问题 类型六、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值或值域求ω的取值范围问题 类型七、与实数解个数相关的问题（方程根与图像交点） 压轴专练 类型一、由函数图象确定三角函数的解析式中的A、ω、φ 解题技巧： (1)求：确定函数的最大值和最小值，则，； (2)求：确定函数的周期T＝，则可得ω= (3)求：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口 例1-1．（24-25高三上·上海·月考）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦型函数的对称性可知，阴影部分的面积等于一个长为，宽为的矩形的面积，求出的值，可得函数的最小正周期，进而可得出的值，再由结合的取值范围可得出的值. 【详解】根据正弦型函数图象的对称性可知， 阴影部分的面积等于一个长为，宽为的矩形的面积，所以，即， 由图象可知，函数的最小正周期满足，则，又， 所以，，则， 因为，所以，即， 因为，所以. 故选：A. 例1-2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【分析】对B，利用图象求出函数的解析式判断；对A，代入验证判断；对C，利用 可得，即可求得的值域判断；对D，利用图象的变换即可判断. 【详解】对于B，由函数图象的最高点的纵坐标可得，且，可得，可得， 又，即，可得， 所以，故B正确； 对于A，因为，，所以不是函数的对称中心，故A错误； 对于 C，因为，所以，所以，即，故C错误； 对于D，把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数，故D错误.故选：B. 变式1-1．（23-24高一下·上海宝山·月考）下图是函数的部分图像，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象先求出函数的周期和ω，利用五点法求出函数的φ的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可. 【详解】解：由图象知函数的周期 ， 即 即   当 时，，解得， 所以， ， 当 时， ，解得， 所以， 故选： C. 变式1-2．（23-24高一下·上海·期中）下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用周期可求，由图象可求，进而利用图象过点，可求，进而可得解析式. 【详解】由图象可得周期，所以，所以， 所廖以，由图象和各选项可得， 所以，由图象过点， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：D. 变式1-3．（24-25高一下·上海虹口·月考）已知函数的部分函数图像如下图，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】利用图象可确定最小正周期，由此可得，结合可得，由此可得；由可知其周期为，结合可求得结果. 【详解】由图象可得：，解得：； 又，，解得：， ，，； ，的周期为， 又，. 故选：C 变式1-4．已知函数的部分图象如图，则在上的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数图像求得三角函数里的，写出函数解析式，从而找到在时的零点个数. 【详解】设周期为，则， 由图知， 或， 由图知在递减区间上成立，所以， ，且， 则， 所以， 即， 因为， 所以时，， 则， 由， 或， 所以在上有2个零点. 故选：B 类型二、函数图像平移伸缩变换与多个变换的复合问题 解题技巧： 函数图像变换的两种方法 注意：由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度 例2-1．（24-25高一下·上海长宁·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.若与的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据辅助角公式化简，进而得到，由与的图象关于点对称可得，进而得到，进而求解即可. 【详解】由， 则， 因为与的图象关于点对称，所以， 而， 则， 即对于任意恒成立， 所以，或（舍去）， 则，又，则的最小值为. 故选：D 例2-2．（24-25高一下·上海浦东新·月考）已知曲线，，则下面结论正确的是（    ） A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 【答案】C 【分析】根据函数图像的伸缩变换与平移变换的法则，即可得解． 【详解】已知曲线，把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线， 再把曲线向左平移个单位长度，得到曲线，即曲线. 故选：C. 变式2-1．（24-25高一下·上海宝山·月考）将函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图像伸缩变化和平移变化的规律，求函数解析式. 【详解】函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得函数的图像， 再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则. 故选：D 变式2-2．（24-25高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据函数图象变换法则求出函数的解析式，解方程求，再结合条件求的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象， 所以， 令，可得， 则或， 解得或， 所以的取值大于等于的零点从小到大依次为， 若在上至少有个零点， 则不小于第个零点的横坐标即可， 所以的最小值为， 故答案为：． 变式2-3．（24-25高一下·上海·期中）函数，，，，对任意实数，，当时，都有成立，将函数的图像向左平移个单位得到函数，若函数的最大值为10，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角公式得，根据题意知的周期相同，得，由图像变换得到，再由函数的最大值为10，知同时取最大值，得到，从而求得的最小值. 【详解】， 对任意实数，，当时，都有成立，则有相同的周期，故， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为函数的最大值为10， 所以同时取最大值. 所以，,所以的最小值为. 故答案为：. 变式2-4．（25-26高三上·上海虹桥·模拟预测）已知函数，曲线的一个对称中心为点，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线.若函数在区间上单调递减，则实数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】代入对称中心得到，根据得到，从而得到，再根据平移原则得到，从而得到，最后利用余弦函数的性质即可得到的最大值. 【详解】因为点为曲线的一个对称中心，所以， 所以，又，所以，所以， 其图象向左平移个单位长度，得. 所以， 因为在上单调递减，所以，所以，即的最大值为. 故答案为：. 类型三、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性求ω的取值范围问题 解题技巧： 已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围 第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半， 即，求得. 第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围； 第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围. 例3-1．已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（    ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【分析】利用的对称轴和在区间上的单调性，求得的值. 【详解】因为函数在上单调， 所以，得. 又直线为的图象的对称轴， 所以， 得，当时，. 故选：B. 例3-2．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数在内不是单调函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出平移后图象对应的解析式，根据单调性可求参数的取值范围. 【详解】由题设可得平移后图象对应的函数解析式为， 因为，故， 因为在不单调，故或， 即或， 所以或，故. 故答案为：. 变式3-1．（24-25高一下·上海杨浦·月考）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意求得，根据求得，结合余弦函数的单调性列不等式，即可求出答案. 【详解】由题意得， 因为，所以， 因为函数在区间上单调递减，所以，所以， 所以的最大值. 故选：D. 变式3-2．（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过整体代入法表示出函数的单调区间，结合已知列不等式组求解可得. 【详解】由，， 得， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得，结合得. 故选：A 变式3-3．（24-25高一下·上海嘉定·期中）已知函数，函数满足，，且在区间上单调，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数在区间上单调，求出的取值范围，再由，得到，即可求出的取值集合，从而求出的最大值； 【详解】因为在区间上单调，所以，得到， 所以，解得， 又，，则由的图象与性质知， 所以，得到，所以， 当，解得，又，所以. 故选：C. 变式3-4．已知函数（），，有，，且在上单调，则的最大值为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据正弦函数的对称中心及极值点，单调性综合判断得是小于等于的正奇数，再进行验证可得. 【详解】由有，所以函数关于成中心对称， 所以，即， 再由，得是函数的一个极值，所以， 所以，即. 又在上单调，所以，得. 所以且，是小于等于的正奇数. 当时，，再由是极值点， ，得， 易知，但函数不单调，舍去； 当时，由是极值点，，得， ，函数单调递减，符合题意. 所以的最大值为9. 故选：B. 类型四、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性求ω的取值范围问题 解题技巧： （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值 例4-1．（24-25高一下·上海普陀·期中）将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据图象变换可得，结合函数奇偶性可得，运算求解即可. 【详解】将函数的图像向右平移个单位长度， 得到， 若为奇函数，则，解得， 且，解得，， 可得的最小值是1，所以的最小值是. 故选：B. 例4-2．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】通过平移得到，再利用对称性列方程，即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数， 因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是. 故选：B. 变式4-1．已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的平移变换和对称性可得，再利用余弦函数的周期性列式求解即可. 【详解】由题意可得， 因为，的图像关于轴对称， 则， 所以，，解得，， 又，所以的最小值为4， 故选：A 变式4-2．若函数在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得函数的对称轴为，进而可得，即得. 【详解】又可得的对称轴为， 当时，，当时，，当时，， 因，由题意，可得， 故选：B 变式4-3．已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又函数在区间恰有3条对称轴， 所以，解得，故选：D. 变式4-4．已知函数（其中）满足,直线为的一条对称轴，且函数在上单调，则实数的最大值为（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 【答案】C 【详解】∵函数f(x)在区间上单调， ∴ 即，解得：ω⩽16， ∵x=−是y=f(x)的零点,直线x=为y=f(x)图象的一条对称轴， ∴,(n∈N) 即(n∈N) 当ω=14时,k∈Z， 取， 此时在上单调递减，满足题意； 故选C. 类型五、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的零点求ω的取值范围问题 解题技巧： 的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值. 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值 例5-1．已知函数在内有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件确定的范围，求解不等式作答. 【详解】由得，而当，时，， 又，函数在内有且仅有两个零点， 于是得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 例5-2．（24-25高一下·上海·期中）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知有两解，以为整体，结合余弦函数图象分析求解. 【详解】令，可得， 函数在上有且仅有2个零点，即有两解， 因为，且，则，可知的区间长度为， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 变式5-1.（24-25高一下·上海宝山·月考）已知函数在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意求得的取值范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得解. 【详解】，， 因为函数在上恰好有两个零点，所以， 解得. 故选：D. 变式5-2．（24-25高一下·上海徐汇·月考）已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】结合正弦型函数的图象与性质计算即可得. 【详解】令，则， 当时，， 由题意可得， 解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 变式5-3．已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的性质列式计算即可求解. 【详解】当时，，且时，， 由函数在区间上单调递增， 故，解得，即. 当时，， 由函数在区间内至少有一个零点， 则，解得. 综上所述，，则的取值范围是. 故选：B. 变式5-4．（24-25高一下·上海松江·月考）设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元，将原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，继而数形结合，列出符合题意的不等式，求得答案. 【详解】令，则，令，则， 则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t， 使得，求的取值范围； 作出和的图象，如图： 结合图象可知满足条件的最短区间的长度为， 最长区间的长度为， 故得，解得，即， 故选：B 类型六、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值或值域求ω的取值范围问题 解题技巧： 1、根据三角函数的最值或值域求解参数问题是，要灵活运用整体的思想，将问题转化在基本函数、、上，借助函数图象性质来处理会更加明了。注意对正负的讨论 2、若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进而求解 例6-1．（24-25高三上·上海崇明·模拟预测）已知函数在上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，再利用值域可限定，解得的取值范围为. 【详解】由及可得， 根据其值域为，且， 由正弦函数图象性质可得， 即可得，解得. 故选：B 例6-2．（24-25高三上·上海黄浦·模拟预测）已知．在内的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出余弦函数图象，分析值域为时对应的定义域，由此得到关于的不等式并求解出结果. 【详解】因为，所以， 又因为的值域为，结合余弦函数图象（如下图）： 可知，所以解得， 故选：D. 变式6-1．已知函数，若，且在上有最大值，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简，根据对称轴可求得；根据在上有最大值可确定，得到，进而可确定最小值. 【详解】； ，关于直线对称， ，结合，解得：； 当时，， 在上有最大值，，解得：； 当时，取得最小值. 故选：C. 变式6-2．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用正弦函数的单调性推得；再利用正弦函数的最大值推得，从而得解. 【详解】因为函数在上单调递增， 由，， 所以且，解得且，所以； 又因为在区间上只取得一次最大值， 即时，； 所以，解得； 综上，，即的取值范围是． 故选：D. 变式6-3．（23-24高三上·上海浦东新·期中）奇函数在区间上恰有一个最大值1和一个最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性求出，从而，根据得到的范围，结合正弦函数的性质列出不等式组，求出的取值范围. 【详解】因为为奇函数， 所以，即，所以， 当时，则， 所以，解得， 故选：C. 变式6-4．已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将化简为，再根据在区间上只有一个零点和两个最大值点，结合正弦型三角函数的处理办法求出的取值范围. 【详解】 ， 由，，得， 时，，最大时，也最大， 若在区间上只有一个零点和两个最大值点， 则只需，解得． 故答案为：. 类型七、与实数解个数相关的问题（方程根与图像交点） 解题技巧： 一、核心解题方法：数形结合法 ①方程转化：把含三角函数的方程整理为f(x)=g(x)形式。左边通常是三角函数（如sinx、cosx、tanx），右边是常数、一次函数、二次函数等易画图像的函数。 ②分析函数性质：明确两边函数的关键特征——三角函数关注周期（如sinx周期2π、tanx周期π）、值域（sinx/cosx∈[-1,1]、tanx∈R）、单调区间；右边函数关注定义域、值域、单调性（如y=kx+b的斜率影响倾斜方向）。 ③画图找交点：在同一坐标系中绘制两函数图像，结合三角函数的周期性重复绘制，按定义域范围统计交点个数，重点关注临界位置（如三角函数的顶点、零点，右边函数与三角函数值域的边界交点） 二、关键技巧突破 ①分类讨论参数：若方程含参数（如asinx+b =0、sinx=kx），按参数范围分类（如a=0、a≠0；k的正负、|k|大小），分析不同情况下图像的位置关系。 ②利用对称性简化：借助三角函数的奇偶性（如sin(-x)=-sinx）、轴对称性（如cosx关于x=kπ对称），减少重复画图，快速判断对称区间的交点个数。 ③避开易错点：注意定义域限制（如x∈[0,4π] 需明确范围）、三角函数的间断点（如tanx在x=π/2+kπ处无定义）、临界交点是否重合（如y=1与y=sinx在x=π/2+2kπ处仅一个交点） 例7-1．（24-25高三上·上海虹桥·月考）已知函数，其中a＞0．且的图象与直线的两个相邻交点的距离等于． (1)求函数的解析式及最小正周期： (2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同解，求实数m的取值范围． 【答案】(1);. (2) 【分析】（1）根据二倍角公式和诱导公式化简可得的解析式，由已知条件求得函数的最小值为，计算即可得解； （2）原问题转化为在区间上有两个不同解，再根据正弦函数的图象与性质，得解. 【详解】（1）函数 函数的最小正周期为， 因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于， 所以函数的最小值为， 所以，解得， 所以. （2）由，知， 因为，所以， 由于在区间上恰有两个不同解，所以，即 例7-2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设 (1)求的最小正周期； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 利用两角和的余弦公式和两角和的正弦公式的逆用，将的解析式化简，即可求解； （2）将题目转化为在上恒成立，只需求出在上的最大值即可求解； （3）将函数在上有两个零点转化为直线与曲线有两个交点，再数形结合即可求解. 【详解】（1） ， ； （2）在上恒成立，在上恒成立， 即在上恒成立， ，，， ，实数的取值范围是； （3）函数在上有两个零点， 令，，则， 即，即直线与曲线有两个交点， ，，， 结合正弦函数的图象可得， 实数的取值范围是. 变式7-1．（24-25高一下·上海闵行·月考）已知函数的图像如图. (1)根据图像，求的表达式及严格增区间； (2)将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图像，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围. 【答案】(1)，增区间为； (2)[-1,2]. 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，即可求解的单调递增区间． （2）利用函数的图象变换规律，得到的解析式，根据正弦函数的定义域和值域，即可求得的范围． 【详解】（1）根据函数的图象，可得， ，所以，， 由五点法作图，可得， ，故， 令，求得，Z， 的单调递增区间，Z． （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线的图象， 把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象， 由在上有解，即在上有解， 因为，， 所以， 所以的取值范围为． 变式7-2．已知函数的最小正周期为π． (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）首先根据周期公式求出的值，进而得到函数的表达式，再根据正弦函数的单调性求出的单调递减区间； （2）然后根据三角函数图象的伸缩和平移变换规则求出的表达式，最后通过求解不等式恒成立问题，确定实数m的取值范围． 【详解】（1）因为的最小正周期为，所以， 所以． 令，，得，， 故的单调递减区间为，． （2）由题可知将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍， 得函数，再将所得图象向左平移个单位长度， 得到函数， 令， 令，，则， 因为， 所以当时，取得最大值， 所以，解得或， 故实数m的取值范围为． 变式7-3．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【分析】（1）观察图象确定函数的最值，周期，由此可求，，再结合关系及的范围，求，由此可得的解析式； （2）由条件结合正弦函数的单调性结论列不等式求的最大值即可， （3）根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据条件根据正弦函数性质列不等式可求的取值范围. 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 观察图象可得函数的最大值为，最小值为，， 所以， 所以，， 所以， 又，所以， 所以，，又， 所以 所以. （2）由条件可得，， 设，则当时，， 因为在上是严格增函数，又 由条件，， 所以，解得， 所以. 所以的最大值是. （3）因为函数的图象向右移动个单位，可得函数的图象， 将图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数的图象， 所以， 令，可得，所以，， 所以，， 因为在区间上至少有个最大值， 又， 所以，所以， 所以，又， 所以. 变式7-4．（24-25高一下·上海·月考）已知，最小正周期为，且对任意的，都有． (1)求的解析式及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值与最小值 (3)设函数，若存在，使得方程有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)；， (2)函数在上的最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）由函数的周期性与对称性，建立方程，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式，可得答案； （2）利用整体思想，结合正弦函数的单调性，可得答案； （3）利用整体思想，结合正弦函数的单调性，再利用二次函数在某个区间上存在零点，可得答案. 【详解】（1）由函数的最小正周期，则， 由函数满足，则直线是函数图象的对称轴， 可得，，解得，，所以， 函数的解析式是， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，. （2）由，则， 当时，； 当时，. 所以函数在上的最大值为，最小值为. （3）由题意可得， 由，则， 当时，；当时，， 令，令， 由题意等价于函数在上存在零点， 由二次函数开口向上，且，则， 整理可得，解得， 所以的取值范围为. 压轴专练 1.（24-25高一下·上海青浦·期中）已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性可知为圆心，根据即可求解. 【详解】连接交轴于, 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称， 故为圆心，故， ,, 故，解得， 故选：D 2.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若为偶函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出后，利用三角函数对称性计算即可得. 【详解】， 由为偶函数，则，解得， 当时，，故的值可以是. 故选：D. 3.已知，函数在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用的性质，利用整体代入法分别求出的单调递增和单调递减区间，然后分函数在上单调递增和递减两种情况讨论，可得和且，即可求出结果. 【详解】若函数在上单调递增， 由， 得， 所以，又， 取，得， 若函数在上单调递减， 由， 得， 所以， 又， 取，得， 所以的取值范围是， 故选：C 4.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】C 【分析】利用函数的图象过点，代入解析式中即可求得的值，判断A选项；根据的值可写出函数的解析式，再写出对称中心即可判断B选项；通过图象平移得到的解析式，进而可求得对称轴，判断C选项；利用的解析式写出的解析式，可判断单调性. 【详解】对于A选项，由图可知，函数的图象过点， ，， ，解得， ，，故A正确； 对于B选项，，令，则， 的图象关于对称， 当时，函数关于对称，故B正确； 对于C选项，将向左平移个单位长度，得到， 则的对称轴为，故C错误； 对于D选项，函数， 当时，， 函数在上单调递减，故D正确. 故选：C. 5.（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数（），有下列结论：①若，则在上单调递增；②若，则正整数ω的最小值为2；③若，函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数；④若在上有且仅有个零点，则.其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①计算的范围，即可判断；②根据函数的对称轴，即可判断；③根据三角函数平移规律，即可判断；④计算的范围，结合正弦函数的零点，即可求解． 【详解】①当时，，因为，则， 此时不是单调递增函数，故①不正确； ②若，则函数关于对称， 则，得，且， 则正整数的最小值为1，故②不正确； ③若，的图象向右平移个单位长度后，得到， 所以是奇函数，故③正确； ④时，， 在上有且仅有个零点，则，得，故④不正确． 综上，正确的是③，个数为1个. 故选：A. 6.（23-24高一下·上海金山·期末）已知，下列结论错误的个数是（    ） ①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由二倍角公式将三角函数化简，然后由三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】， 周期， ①由条件知，周期为，故①错误； ②函数图象右移个单位长度后得到的函数为， 其图象关于轴对称，则， 故对任意整数，故②错误； ③由条件，得，故③错误； ④由条件，得，又，故④正确. 故选：C. 7.（24-25高二上·上海·期末）已知，把函数的图像向左平移个单位长度，得到的函数图像恰好关于y轴对称.定义：为符合的所有x的和，则的值为（   ） A． B． C．62 D．66 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换结合图象变换可得，根据偶函数可得，，进而分析求解即可. 【详解】因为， 把函数的图像向左平移个单位长度， 得到， 因为关于y轴对称，即为偶函数， 则，，解得，. 令，得. 所以. 故选：D. 8.（24-25高一下·上海浦东新·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用三角函数的图象变换求出平移后所得函数的解析式，结合诱导公式可得出关于的表达式，即可解出正实数的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象， 因为， 由题意可知，函数的图象与函数的图象重合， 所以，可得， 因为，故当时，取最小值. 故答案为：. 9.将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据函数为偶函数可得出关于的等式，即可得出的最小值. 【详解】将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 可得到函数的图象， 再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象， 因为函数为偶函数，则，可得， 故当时，取最小值. 故答案为：. 10.将函数向右平移个周期后所得的图象在内有个最高点和个最低点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出平移后所得函数的解析式，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】函数的最小正周期为， 将函数向右平移后的解析式为， 由，可得， 要使得平移后的图象有个最高点和个最低点，则需：，解得． 故答案为：. 11.（23-24高三上·上海徐汇·月考）已知函数，将的图像向左平移个单位后得到函数的图像．若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得，设的对称轴，由条件求得，可得，从而求得答案. 【详解】把函数 的图象向左平移 个单位后， 得到函数的图象, 再根据 的图象上各最高点到点 的距离的最小值为 1 , 设 的对称轴 , 则最高点的坐标为 , 它与点 的距离的最小值为 1 ,即 , 求得 , 可得 , 即 , , 故答案为：. 12.（24-25高一下·上海闵行·月考）已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】根据函数的对称性求出的值，利用图象变换关系求出，构造函数，将条件转化为当,，为增函数，利用函数的单调性进行求解即可． 【详解】一个对称中心是， ，，即，， ，当时，，即， 将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像， 即， 由，得， 设，则不等式等价为当时，， 即若对任意,，为增函数． ， 当,时，,，所以,， 因为对任意,，为增函数， 所以，所以，所以， 即的最大值为． 故答案为：． 13.已知函数的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式； (2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点． 【答案】(1)， (2)． 【分析】(1)根据函数图象的变关系直接求解； (2)转化为方程有个根，根据奇数个根可得其中一个根必为或1，分类讨论求解. 【详解】（1）， 当时，， 因为，取， ， 将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 可得函数，再将所得图像向右平移个单位长度后， ， （2）由（1）得， ， 不妨设或，显然 若，则在上必有偶数个零点， 所以中至少有一个为或， 不妨设， 当，则（舍）； 当，则， 此时在上有3个零点， 又， 即， 综上所述，． 14.某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表： 0 0 1 0 0 0 0 0 (1)请利用上表中的数据，写出、的值，并求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点个数的值． 【答案】(1)，，函数的解析式为； (2)； (3), 在共有个不同的零点. 【分析】（1）利用“五点法”列方程求出、的值，进而求出解析式；（2）先利用图像变换求出，列不等式组即可求出实数的取值范围；（3）令,考虑方程的根的情况，或，分类讨论：①，②和，③，④,分别求解. 【详解】（1）由“五点法”及表格数据分析可得：.所以. 由，解得：， 所以. 由，解得：. 综上所述：，，函数的解析式为. （2）由（1）知,将函数的图象向右平移个单位，得到，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，所以. 当时，. 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以. 即实数的取值范围为. （3）由（2）可知：，周期为. 当时,令,考虑方程的根的情况： 因为，所以方程在R上必有两个不同的实数根. 因为在有奇数个零点,所以或. ①若，则方程在共有4个不同的实数根,在有0个或2个实数根. 所以在有个根或个根，与有奇数个零点相矛盾，舍去； ②若，则在共有2个不同的实数根, 在有0个或2个实数根. 所以在有个根或个根，与有奇数个零点相矛盾，舍去. 同理：也不符合题意，舍去. 所以或 ③若,则,方程的根. 方程在共有3个不同的实数根,而在上无解，有一个不同的根, , 所以在在个根，与有奇数个零点相矛盾，舍去. ④若,则,此时的根为. 方程在共有3个不同的实数根,而在上有两个不同的根, 无解, 所以在在个根，符合题意. 综上所述： , 在共有个不同的零点. 15.（24-25高一下·上海静安·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； (3)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)最小值为， (3) 【分析】（1）根据二倍角公式化简后求周期即可； （2）利用正弦型函数的最值的求法得解； （3）根据图象变换得到，再由正弦型函数的值域求解即可. 【详解】（1）因为， 所以函数的周期为. （2）函数， 当，即时，取得最小值， 取得最小值时的所有取值为 . （3）函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）可得，将得到的图象向右平移个单位长度可， 因为，所以， 所以在上严格增， 所以， 所以， 故当时等式成立． 16.已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴方程； (3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）由题知，，求出从而得的值，将特殊点代入函数中求出，即可解决问题； （2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求对称轴即可； （3）假设存在实数的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由，得，再根据所给的角把范围求出来，根据范围的包含关系列出不等式解出即可. 【详解】（1）由图可知， ，则，， 所以，. 所以，即 又，所以当时，， 所以. （2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得：， 再向右平移个单位长度得到： ， 令，，解得，， 所以函数的对称轴为，. （3）由，得， 由，得， 所以， 所以. 又，得， 所以. 由题可知， 得，解得， 所以存在，使得成立. 17.如图，是函数（，，）图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图中的最值和周期求出和，再利用特殊点求得，即可得解； （2）令，则问题可以转换为在有且仅有两个实根求解即可； （3）由题意，令，则问题转化为方程在上有解，分离参数，构造函数，利用单调性求值域即可求解. 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，则， 所以，因为， 则，因为，所以，解得， 所以. （2）令，则 因为函数在区间上有且仅有两个零点 所以方程在有且仅有两个实根. 令，得或 所以方程的正根从小到大排列分别是 所以，解得 （3）由， 可得， 即， 即， 即，其中， 因为，则，令， 则有，则关于t的方程在上有解， 由可得， 令，则， 因为，在上均为减函数， 所以函数在上为减函数，且当趋向于时，趋向于正无穷大， 则，所以，解得， 故实数a的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $