专题02余弦(型)函数图像与性质（专项训练）数学沪教版必修第二册

专题02余弦(型)函数图像与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型01五点法作余弦(型)函数图像 题型02余弦(型)函数解不等式（定义域问题） 题型03余弦(型)函数周期问题 题型04余弦(型)函数单调性问题（求参） 题型05余弦(型)函数值域(最值)问题 题型06余弦(型)函数奇偶性问题（求参） 题型07余弦(型)函数对称性问题（求参） 题型08余弦(型)函数有关零点问题（求参） 题型09余弦(型)函数综合运用 B综合攻坚・能力跃升 题型01五点法作余弦(型)函数图像 1．作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】分析函数的性质，结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象. （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： 2．作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据五点作图法列表、描点、连线，作出函数简图. （2）根据翻折变换画出函数简图. 【详解】（1） 列表如下 作出图象，如图所示. （2）函数的图象如下图所示： 函数的图象可由函数在x轴下方的图象沿轴翻折得到： 3．画出函数，的图象． 【答案】作图见解析 【分析】用五点法作图，先列表，然后描点连线画图即可. 【详解】①列表： x 0 0 1 0 0 ②描点画图，如图． 4．某同学用“五点法”画函数在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x -1 0 1 1 0 2 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； (2)请在网格图中用光滑曲线作，的简图； (3)若函数有三个零点，求实数m 的值取范围. 【答案】(1)表格见解析 (2)简图见解析 (3) 【分析】（1）运用三角函数的对应关系求解填写； （2）根据列表，结合五点法画图即可； （3）根据函数图象，结合零点概念得解. 【详解】（1） x 0 -1 0 1 1 0 1 2 （2）根据上表和五点法，画出函数图象如下： （3）当时，令，得：. ∵在共有三个零点，∴时，方程有且仅有2个根.即此时与的图象有2个交点，∴. 题型02余弦(型)函数解不等式（定义域问题） 5．若x为锐角，且.则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得或，又因为x为锐角， 则， 即或， 解第一个不等式组得，则， 解第二个不等式组得，无解； 综上，x的取值范围是. 6．不等式的解集为______． 【答案】 【详解】由三角函数线知，， 解得， 不等式的解集为：． 7．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 8．函数的定义域为_________________. 【答案】 【分析】由根式知，利用余弦函数性质解不等式求定义域范围即可. 【详解】令，得， 解得， 即， 故答案为：. 9．求函数的定义域． 【答案】 【分析】由函数定义域的概念，解三角不等式组，即可求解. 【详解】由题意知，可得且， 解得且， 即 所以函数的定义域为． 10．函数的定义域为 __________ 【答案】 【分析】求出的解后可得函数的定义域. 【详解】由题设有即，故， 故函数的定义域为. 故答案为： 题型03余弦(型)函数周期问题 11．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可 【详解】由题意， 故选：B． 12．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数、余弦函数性质依次求出周期、单调性判断. 【详解】周期是，且在区间上为先减后增，A错误； 周期为，B错误； 周期是，且在区间上为减函数，C错误； 周期是，在区间上为增函数，D正确. 故选：D 13．已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质求出最小正周期. 【详解】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，函数周期为，故B错误； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：A. 14．“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据余弦型函数的周期公式求出的值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若函数的最小正周期为，则，解得， 所以“”时，可得“函数的最小正周期为”， “函数的最小正周期为”，不能推出“”. 所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件. 故选：A. 15．已知函数， (1)的最小正周期是，求，并求在区间的解集； 【答案】(1)， 【分析】（1）利用函数的周期求出的值，进而求出的关系式，然后根据余弦函数的性质求出的解； 【详解】（1）由题知，解得， 令， 故或， 整理得或，，又， 故解集为； 16．已知，，则______． 【答案】 【分析】根据余弦函数的周期性，得出是以4为周期的函数，求值即可. 【详解】因为，， 则 故答案为：. 题型04余弦(型)函数单调性问题（求参） 17．已知函数， (1)求函数的单调递增区间； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式及三角函数恒等变换可得，然后根据三角函数得性质即得； （2）根据余弦函数得图象和性质即得. 【详解】（1）因为 令得， 故函数的单调递增区间为. （2）由 得， 所以 ，   解得. 所以不等式的解集是. 18．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 令，解得， 所以函数的单调递减区间是． 19．下列函数中，在上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得，，，.根据余弦函数的单调性可得正确选项. 【详解】当时，，，，. 在上递减，在上单调递增. 所以在上递减． 故选：D. 20．若函数在上单调递减，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据x的范围，可得的范围，根据余弦函数的单调性，代入求解，即可得答案. 【详解】由，得， 因为在上单调递减， 所以，解得，故的最大值为. 21．若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出取值范围，根据余弦函数单调性的求法得出其单调递减区间，结合子区间法即可求解. 【详解】因为，所以，令， 由，得，则在上单调递减， 又在上单调递减，所以，即． 综上，的取值范围为． 22．已知函数的图象过点，对任意且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用图象所过点求出，再利用单调递减区间求出范围. 【详解】依题意，，而，则，， 由对任意，都有， 得函数在上单调递减， 当时，， 而余弦函数的单调递减区间为：， 则， 于是，解得，显然， 即，而，因此，故，由题知，故， 故选：A. 23．已知，函数在区间上单调递增，则的最大值为______. 【答案】1 【分析】利用辅助角公式将化成，由在区间上单调递增，利用正弦函数的图象与性质可得，从而得到的最大值. 【详解】， ，， ，，的最大值为. 故答案为：. 24．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式整理可得，结合余弦函数单调性分析判断即可. 【详解】因为， 又因为，则， 所以. 25．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以. 题型05余弦(型)函数值域(最值)问题（求参） 26．函数的最小值是__________. 【答案】/ 【分析】先令，则，再将问题转化为关于的二次函数求最值即可. 【详解】因为， 令，则, 所以， 因为函数在时单调递减，在时单调递增， 所以当时取到最小值，即. 27．已知函数． (1)判断的奇偶性及最小正周期； (2)令，，求的最值． 【答案】(1)偶函数， (2)， 【分析】（1）利用诱导公式化简，利用奇偶性的定义和最小正周期的公式求解. （2）利用求出，利用的范围求出的范围，结合余弦函数的图像和性质求出最值. 【详解】（1） ， 故 ， 又函数的定义域为，关于原点对称， 则为偶函数，． （2）． ， ， ， ， ， ，． 28．关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系式和二次函数的性质计算即可. 【详解】因为， 所以. 因为，所以. 故选：A． 29．函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用辅助角公式合成一个余弦型函数，然后利用余弦型函数在定区间上的最值的求法可得答案. 【详解】， 当时，， 故当时，函数取最小值， 最小值为． 故选：A 30．已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得函数的最小正周期，结合正弦函数的性质求得最大值点和最小值点满足的条件，再对四个选项一一判断检验，即得答案. 【详解】由题意可得函数的最小正周期为， 最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值1又有最小值， 且区间的长度为8， 对于A，若，当时，最大值点为， 最小值点为， 由于，满足要求； 对于B，若，当时，最大值点为， 最小值点为， 由于，满足要求； 对于C，若，当时，最大值点为， 最小值点为， 由于，满足要求； 对于D，若，当时，最大值点为， 最小值点为，当时，最大值点为2038， 显然，内只包含最小值点，不包含最大值点，不满足要求. 故选：D 31．函数恒有，且在上单调递减，则__________. 【答案】或 【分析】由已知可得，可得，已知在上单调递减，可得，解得，时时，检验后得到结论 【详解】由已知恒有， 可得，可得， 可得，可得， 已知在上单调递减， 可得，可得，解得， 时时， 时，，符合题意， 时，，符合题意. 故答案为：或. 题型06余弦(型)函数奇偶性问题（求参） 32．已知函数，，则________. 【答案】7 【分析】令，证明为奇函数求解. 【详解】令，定义域为， 且， 所以为奇函数， 所以， 即， 所以. 故答案为：7 33．已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为奇函数，所以， 又，故. 34．设函数，则是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】B 【详解】因为，所以该函数的最小正周期为， 因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为偶函数， 35．函数是（   ） A．奇函数，且有最大值 B．偶函数，且有最大值 C．奇函数，且有最大值2 D．偶函数，且有最大值2 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式对进行化简，再结合偶函数的定义及三角函数的图象性质判断可得结果. 【详解】由题意可得,则是偶函数,且有最大值. 故选：B. 36．已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性定义确定函数的奇偶性，进而得到函数的奇偶性，再借助余弦型函数的奇偶性求出参数值. 【详解】函数的定义域为，令函数， ，即函数是奇函数， 而函数是偶函数，则函数是奇函数， 因此，解得，又， 所以当时，取得最小值. 故选：C 37．已知函数的最小正周期为，若，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的最小正周期为，利用周期公式求得，进而求得的解析式，得的解析式，利用三角函数奇偶性求解. 【详解】由函数的最小正周期为，又，所以，得， ，故， 又，则，得， 又，当时，， 所以的最小值为. 故选：C. 题型07余弦(型)函数对称性问题（求参） 38．设函数，下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增，其图象关于直线对称 B．在上单调递增，其图象关于直线对称 C．在上单调递减，其图象关于直线对称 D．在上单调递减，其图象关于直线对称 【答案】D 【分析】由两角和的正弦公式、诱导公式化简函数式，然后利用余弦函数的性质判断. 【详解】 ， 故在上单调递减，其图象关于直线对称． 故选：D. 39．函数的对称轴方程为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】令求解. 【详解】令，解得，， 所以函数的对称轴方程为，. 故选：A. 40．若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦型函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以， 因为，所以由， 所以当时，有最小值. 故选：D 41．函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据余弦函数对称轴的性质，建立关于的方程，进而求解的最小值. 【详解】函数的图象关于直线对称， 所以，，得，， 因为，所以当时，取最小值，为， 故选：A. 42．已知函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合余弦函数的对称轴可得函数的对称轴为，进而结合题设得到，进而求解即可. 【详解】因为函数的对称轴为， 则函数的对称轴为， 当时，， 因为函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴， 所以，解得， 则的取值范围是. 故选：A 43．若函数的图像关于y轴对称，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将利用辅助角公式化为，利用函数的图像关于y轴对称，得到，计算求解. 【详解】，， 的图像关于y轴对称， ，， 当时，. 故选：B. 题型08余弦(型)函数有关零点问题（求参） 44．方程在内的根的个数是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据已知有或，结合已知区间确定根的个数. 【详解】由，得或，所以或 当时，，，，，， 所以方程在内的根的个数是5． 故选：B 45．已知函数的最小正周期． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，讨论方程根的个数． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，求出，进而求出单调递增区间. （2）探讨函数在上的性质，分离参数，利用数形结合法求出直线与函数在上的图象交点情况即可. 【详解】（1）依题意，， 由，，得，， 由，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）当时，，余弦函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上单调递减，函数值从1减小到；在上单调递增，函数值从增大到0， 方程， 因此方程的根即直线与函数在上的图象交点的横坐标， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象， 观察图象知，当或，即或时，直线与函数在上的图象无交点； 当或，即或时，直线与函数在上的图象有1个交点； 当，即时，直线与函数在上的图象有2个交点， 所以当或时，方程根的个数为0； 当或时，方程根的个数为1； 当时，方程根的个数为2. 46．已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由零点的意义，结合余弦函数的性质列式求出范围. 【详解】函数， 由，得，当时，， 由函数在上有且仅有2个零点，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 47．函数（其中）的图象关于直线对称，若在上有且只有两个零点，则的范围为___________． 【答案】 【分析】利用余弦函数的对称性求出参数，再利用余弦函数的零点分布可确定参数的范围. 【详解】由函数的图象关于直线对称， 可得， 又因为，所以，则， 当时，， 在上有且只有两个零点， 所以，解得. 故答案为： 48．当时，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】令，然后通过分析方程在给定区间内的解的个数来确定函数的零点个数. 【详解】令，即，移项可得， 对于，其周期；对于，其周期； 当时，画出两个函数图象为： 由图象可以看出，方程在给定区间内的解的个数为6， 所以函数的零点个数为6. 49．已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为______；若在区间上有零点，则的最小值为______． 【答案】 1(满足且为正数即可） 7 【分析】根据余弦函数的对称性求出的取值集合，即可完成第一空，由余弦函数的对称中心求出的最小值. 【详解】因为直线为函数图象的一条对称轴， 所以，解得， 又，所以取（答案不唯一）； 若在区间上有零点，令，解得， 由，故且, 又所以，又因为，所以的最小值为； 故答案为：（答案不唯一，满足且为正数即可）；. 50．已知函数，且在上有且只有一个零点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合余弦函数的图象性质求出，进而求出目标值. 【详解】函数，由，得，而，解得， 则，由，得， 由在上有且只有一个零点，得，解得， 而，因此，，所以. 故选：A 题型09余弦(型)函数综合运用 51．已知函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】由，， 因为函数是偶函数，则， 即，则， 即恒成立，可得. 52．若对任意的，有（）恒成立，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为，所以， 即或， 又因为，所以， 所以，即， 所以的取值范围为． 53．已知函数的最小正周期为，且. (1)求的解析式； (2)设函数，求在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据周期求解，代入即可求解， （2）代入化简，即可利用余弦函数的性质求解. 【详解】（1）的最小正周期为,故， ， 结合，故， 因此 （2）， 由于，故， 故，故，故， 54．已知函数（），. (1)求； (2)设函数， ①求函数在的最大值和最小值 ②求函数的单调递减区间. 【答案】(1) (2)①最大值，最小值；②， 【分析】（1）根据余弦函数值求出. （2）①先根据和差的余弦公式化简，然后求出余弦函数的最值 ②根据余弦函数的单调性的性质求的单调递减区间. 【详解】（1），， （2）①， ，， 当时，即时， 当时，即时， ②， 的单调递减区间为，. 55．已知函数 (1)将函数化简为的形式，并求函数的对称轴； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将化简，利用余弦函数的图像求出对称轴； （2）根据余弦函数的图象和性质解不等式； （3）将原方程化成，令，由的范围求出的范围，从而求出的范围.此时方程可化为，设， 由方程在上有四个不同的实数根，所以在上有两个不同的零点.，利用二次函数得到，且，，对称轴在范围内，求这些不等式的交集就是实数的取值范围. 【详解】（1）， 令解得. 因此，函数的对称轴为. （2）由（1）知， 则不等式可化为. 根据余弦函数的图象和性质，可得. 解不等式，可得； 解不等式，可得 因此，不等式的解集为 （3）由（1）知， 则. 将其代入方程， 可得：， 令，因为，所以，则. 当时，在范围内只有一个的值，使得； 当时，在范围内有两个的值，使得； 当时，在范围内只有一个的值，使得； 当时，在范围内有零个的值，使得； 此时方程可化为，即， 设， 因为原方程在上有四个不同的实数根，所以在上有两个不同的零点. 则有， ， ， ， 因此，实数的取值范围是. 56．已知函数. (1)若，当时，求使成立的的取值集合； (2)若函数的最小值为，求实数的值； (3)对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，先求出，再根据余弦函数的图像与性质得到的集合； （2）利用二倍角公式将转化为关于的二次函数，通过换元法令，结合二次函数的性质，分情况讨论a的取值范围，进而求出a的值； （3）先求出在 的值域，再根据条件得到在上的最小值大于等于的最小值，进而求出a的取值范围. 【详解】（1）当时，，由，得， ，得，解得. 所以的的取值集合为； （2）. 令，.设，. ①当时，，所以无解； ②当时，， 即，所以，或（舍去）. ③当时，，所以（舍去）； 综上所述，. （3）因为，， 得， 由已知，即任意，恒成立， ，即恒成立. 令，，代入得：， 令， 当且仅当，即时等号成立. 所以，，即， 所以的取值范围是. 1．函数在上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和特值进行排除. 【详解】，所以是偶函数， 的图象关于轴对称，排除A，B． ，排除D，所以只有C正确． 故选：C． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数，对数函数、余弦函数的性质比较大小即可. 【详解】根据题意有： 因为所以 故选：D 3．函数的单调递减区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先利用诱导公式对函数解析式进行变形，再利用余弦函数图像性质求出单调递减区间. 【详解】解：． 由题知， 解得， ∴函数的单调递减区间为． 故选：A. 4．已知，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦函数的图像和性质得到或，再求解即可. 【详解】由得或． 所以或 故选：A. 5．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用二倍角的余弦公式及辅助角公式化简函数的解析式为，求出的零点，从而得到使得没有零点的条件，列出相应不等式，求解可得的取值范围. 【详解】． 令，得. 因为在区间内没有零点， 所以当时，则， 则内不包含任何； 则可得，所以. 由，得. 当时，，符合题意； 当时，.因为，所以； 当时，，不合题意. 综上，的取值范围是. 故选：C. 6．已知，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】利用换元法令，通过配方求出的最小值，即可求出的最小值. 【详解】令，则， 则， 所以当时，函数取得最小值， 所以当时，函数取得最小值. 7．设函数，若存在常数，使得对任意，有，则当取最小值时，在上的值域为_________. 【答案】 【分析】利用余弦函数的最大值求出，利用周期函数的性质求出函数的周期，并求出的最小值，再利用余弦函数性质求出值域. 【详解】函数，则，其最大值为2， 的最大值为，由，得， 因此对任意，有，，即函数的周期为4， 又函数的最小正周期为，于是，解得， 又，因此为正奇数， 则，，当时，， 当时，；当时，， 所以，在上的值域为. 8．已知函数在区间上单调递增，则正实数的最大值为_____. 【答案】 【分析】利用余弦函数的单调性求解.由的范围求出，结合图像可以得到，列出不等式组，计算得解. 【详解】已知，，那么，所以， 因为余弦函数在上单调递增， 而函数在区间上单调递增，所以， 由此可得不等式组，可得，则的最大值为1. 故答案为：1. 9．已知函数是偶函数，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质，求得，进而得到答案. 【详解】由函数是偶函数，可得， 因为，所以的最小值为. 故答案为：. 10．已知函数，且的图象关于对称． (1)求； (2)若，求的减区间； (3)画出在一个周期上的简图． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用对称轴代入可得答案； （2）先求出减区间，再根据的范围，通过赋值求出答案； （3）先列表格，描点连线可得图象. 【详解】（1）令， 将代入得， 又，， ． （2）令， 解得， 又，或， 当时，的减区间为． （3）列表： 0 2 0 －2 0 2 作图，如图所示． 11．求函数，的值域． 【答案】 【分析】将函数变形为关于的二次函数，应用复合函数求值域的方法求解即可. 【详解】因为． 因为， 所以． 从而当，即时，； 当，即时，． 所以函数值域为． 12．设函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)填写下表，并在给定坐标系中作出函数在一个周期内的简图； 0 x    (3)求函数，的值域. 【答案】(1)， (2)表格见解析，作图见解析 (3) 【分析】（1）根据周期公式，可得值，代入解析式，根据条件，化简计算，可得值. （2）由（1）知，，根据余弦函数的图象与性质，完成表格，作出图象即可. （3）根据诱导公式、两角差的余弦公式、辅助角公式，化简整理，可得的解析式，根据x的范围，可得的范围，根据余弦函数的性质，即可得值域. 【详解】（1）由，得， 由，即， 又，所以. （2）由（1）知，， 表格为 0 x 1 0 0 1 再作出图象      （3） ， 由，得， 当时，， 当时，， 所以，即值域为. 13．设函数，. (1)求在区间的最值； (2)判断的图象是否存在对称轴?若存在，写出对称轴的方程；不存在，请说明理由； (3)依据函数的性质，求在区间的零点个数. （参考数据：，，） 【答案】(1)最大值3；最小值. (2)存在，对称轴方程为，. (3)645个. 【分析】（1）利用二倍角余弦公式得，，然后利用换元法，按照二次函数性质求解最值即可； （2）设函数的图象存在对称轴为，利用两角和差余弦公式及二倍角公式化简，利用方程恒成立得函数对称轴方程为，即可求解； （3）由（2）对称性推得是的一个周期，由（1）知的单调性，结合零点存在性定理，依据对称性和周期性可得当时，有且仅有一个零点，从而判断零点个数. 【详解】（1），. 设，则，且. 当时，单调递减；当时，单调递增. 且，，， 则当且仅当，即时，取得最大值3； 当且仅当，即时，取得最小值. （2）假设函数的图象存在对称轴， 设其为，则，有， 即， 即， 即， 整理，得， 当且仅当，即，时，上式对恒成立. 因此，的图象存在对称轴，对称轴方程为，. （3）由（2）得是的图象的对称轴，即， 用代换，则，即. 再由（2）得是的图象的对称轴，， 则对恒成立，则是的一个周期. 由（1）知当时，仅有， 再由是偶函数，当时，仅有， 因此，是的最小正周期. 由（1）知，当时，，单调递减，且. 当时，，单调递增，且，. 则当时，有且仅有一个零点，且. 依据对称性，当时，有且仅有一个零点. 依据周期性，当时，有且仅有一个零点. 注意到，，则. 易知，在区间，有644个零点. 下面分析在区间的情况：注意到， 且，， 则存在一个零点， 即在区间上存在一个零点. 故函数在区间的零点个数为645个. 14．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调区间； (3)当时，求的最小值以及取得最小值时的集合； (4)解不等式. 【答案】(1)； (2)的单调递增区间是， 的单调递减区间是； (3)，取最小值时的集合为； (4). 【分析】（1）将函数利用平方差公式，二倍角的正余弦公式，辅助角公式，两角和的余弦公式进行化简，得到，利用最小正周期公式求解； （2）利用余弦函数的图像和单调性的性质求解； （3）利用余弦函数的图像和值域的性质求解； （4）利用余弦函数的图像解不等式. 【详解】（1），， ， ， ， ， ， ； （2）， 当，即， 的单调递增区间是； 当，即， 的单调递减区间是； （3）， ，， 当时，即时， 取最小值为， 取最小值时的集合为； （4）， ，， ， ， ， 的解集为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02余弦(型)函数图像与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型01五点法作余弦(型)函数图像 题型02余弦(型)函数解不等式（定义域问题） 题型03余弦(型)函数周期问题 题型04余弦(型)函数单调性问题（求参） 题型05余弦(型)函数值域(最值)问题 题型06余弦(型)函数奇偶性问题（求参） 题型07余弦(型)函数对称性问题（求参） 题型08余弦(型)函数有关零点问题（求参） 题型09余弦(型)函数综合运用 B综合攻坚・能力跃升 题型01五点法作余弦(型)函数图像 1．作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 2．作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 3．画出函数，的图象． 4．某同学用“五点法”画函数在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x -1 0 1 1 0 2 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； (2)请在网格图中用光滑曲线作，的简图； (3)若函数有三个零点，求实数m 的值取范围. 题型02余弦(型)函数解不等式（定义域问题） 5．若x为锐角，且.则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．不等式的解集为______． 7．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 8．函数的定义域为_________________. 9．求函数的定义域． 10．函数的定义域为 __________ 题型03余弦(型)函数周期问题 11．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 12．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 13．已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 14．“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知函数， (1)的最小正周期是，求，并求在区间的解集； 16．已知，，则______． 题型04余弦(型)函数单调性问题（求参） 17．已知函数， (1)求函数的单调递增区间； (2)求关于的不等式的解集. 18．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 19．下列函数中，在上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 20．若函数在上单调递减，则的最大值为________． 21．若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．已知函数的图象过点，对任意且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．已知，函数在区间上单调递增，则的最大值为______. 24．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 25．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型05余弦(型)函数值域(最值)问题（求参） 26．函数的最小值是__________. 27．已知函数． (1)判断的奇偶性及最小正周期； (2)令，，求的最值． 28．关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 30．已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（    ） A． B． C． D． 31．函数恒有，且在上单调递减，则__________. 题型06余弦(型)函数奇偶性问题（求参） 32．已知函数，，则________. 33．已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 34．设函数，则是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 35．函数是（   ） A．奇函数，且有最大值 B．偶函数，且有最大值 C．奇函数，且有最大值2 D．偶函数，且有最大值2 36．已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 37．已知函数的最小正周期为，若，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型07余弦(型)函数对称性问题（求参） 38．设函数，下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增，其图象关于直线对称 B．在上单调递增，其图象关于直线对称 C．在上单调递减，其图象关于直线对称 D．在上单调递减，其图象关于直线对称 39．函数的对称轴方程为（ ） A．， B．， C．， D．， 40．若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 41．函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 42．已知函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．若函数的图像关于y轴对称，，则（    ）. A． B． C． D． 题型08余弦(型)函数有关零点问题（求参） 44．方程在内的根的个数是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 45．已知函数的最小正周期． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，讨论方程根的个数． 46．已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．函数（其中）的图象关于直线对称，若在上有且只有两个零点，则的范围为___________． 48．当时，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 49．已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为______；若在区间上有零点，则的最小值为______． 50．已知函数，且在上有且只有一个零点，则（    ） A．0 B． C． D． 题型09余弦(型)函数综合运用 51．已知函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 52．若对任意的，有（）恒成立，则的取值范围为______． 53．已知函数的最小正周期为，且. (1)求的解析式； (2)设函数，求在区间上的值域. 54．已知函数（），. (1)求； (2)设函数， ①求函数在的最大值和最小值 ②求函数的单调递减区间. 55．已知函数 (1)将函数化简为的形式，并求函数的对称轴； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 56．已知函数. (1)若，当时，求使成立的的取值集合； (2)若函数的最小值为，求实数的值； (3)对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 1．函数在上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 5．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则的最小值为________． 7．设函数，若存在常数，使得对任意，有，则当取最小值时，在上的值域为_________. 8．已知函数在区间上单调递增，则正实数的最大值为_____. 9．已知函数是偶函数，且，则的最小值为______. 10．已知函数，且的图象关于对称． (1)求； (2)若，求的减区间； (3)画出在一个周期上的简图． 11．求函数，的值域． 12．设函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)填写下表，并在给定坐标系中作出函数在一个周期内的简图； 0 x    (3)求函数，的值域. 13．设函数，. (1)求在区间的最值； (2)判断的图象是否存在对称轴?若存在，写出对称轴的方程；不存在，请说明理由； (3)依据函数的性质，求在区间的零点个数. （参考数据：，，） 14．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调区间； (3)当时，求的最小值以及取得最小值时的集合； (4)解不等式. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $