专题02 三角函数全章13大题型（期末复习专项训练）高一数学下学期沪教版

**基本信息** 聚焦三角函数图象与性质，以13类题型构建从基础概念到综合应用的逻辑体系，突出重点难点分层突破，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正弦函数|21题|图象辨析、定义域值域（重点）、单调性（考点）、奇偶性对称性（难点）|从图象认知到性质应用，形成概念-性质-应用链条| |余弦函数|14题|图象应用、单调性（重点）、周期性（重点）|与正弦函数对比迁移，强化性质关联性| |正切函数|13题|图象特征、定义域值域、单调性周期性、奇偶性对称性|突出定义域特殊性及周期差异| |y=Asin(ωx+φ)|9题|图象变换（难点）、解析式确定（难点）|综合参数影响，体现模型意识与逆向推理|

专题02 三角函数 题型一．正弦函数的图象 题型二．正弦函数的定义域和值域（重点） 题型三．正弦函数的单调性（考点） 题型四．正弦函数的奇偶性和对称性（难点） 题型五．余弦函数的图象 题型六．余弦函数的单调性（重点） 题型七．正弦和余弦（型）函数的周期性（重点） 题型八．正切函数的图象 题型九．正切函数的定义域和值域 题型十．正切函数的单调性和周期性 题型十一．正切函数的奇偶性与对称性 题型十二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（难点） 题型十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（难点） 题型一．正弦函数的图象（共5小题） 1．（25-26高一下•上海宝山•月考）函数在区间，的简图是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数解析式可得当时，，故排除，；当时，，故排除，从而得解． 【详解】解：当时，，故排除，； 当时，，故排除； 故选：． 2．（25-26高一下•上海嘉定•期中）下列函数中，与函数的图像形状相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】三角函数图象相同，则只要振幅和周期相同即可，即和相同即可． 【详解】解：与函数的图像形状相同，则振幅和周期相同即可． 即，， 中，振幅不相同， 中，振幅不相同， 中，周期不相同， 中，，相同，则图象相同， 故选：． 3．（25-26高一下•上海徐汇•期中）设函数的图像与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为 　 　． 【答案】． 【分析】作出正弦型三角函数的图象，利用其对称性和周期性求出点横坐标，再代入计算即可． 【详解】解：作出函数的大致图象，如图， 令， 解得， 函数的图象与直线连续的三个公共点，， （可以同时往左或往右移动正整数倍周期长度）， ，关于直线对称，， 由于，故， 而，关于直线对称，故点横坐标为， 将点横坐标代入，得． 故答案为：． 4．（25-26高一下•上海嘉定•期中）设实数，若满足对任意，，都存在，，使得成立，则的最小值是 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据题意，运用正弦函数的性质，证出当或时，都不存在、满足题设的条件，从而可得然后在时，利用正弦函数的性质，证出存在，，使得对任意，成立，进而可得正数的最小值． 【详解】解：①若，则由可知， 取，则对任意，，，，可得， 从而，与题设矛盾，不满足条件； ②若，则对任意，，由于，可得， 取，可得，与题设矛盾，不满足条件； 根据①②可知，当时，对任意，，由，可得． 由，，可得，，即，． 此时对任意，，，，存在，，使成立， 所以成立，故满足题设条件． 综上所述，的最小值是． 故答案为：． 5．（25-26高一下•上海浦东新•期中）已知，，若、满足，且的最小值为，则　 　． 【答案】4． 【分析】根据正弦函数图象的性质得到的最小值为半个周期，然后求即可． 【详解】解：，， 若、满足，则函数在、处取到最值， 的最小值为，所以，解得． 故答案为：4． 题型二．正弦函数的定义域和值域（共5小题） 6．（25-26高一下•上海•月考）函数，的值域为　 ． 【答案】． 【分析】结合正弦函数的性质即可求解． 【详解】解：因为函数在上单调递增， 所以函数，的值域为． 故答案为：． 7．（25-26高一下•上海宝山•月考）已知，，则函数的值域是 　 　． 【答案】，． 【分析】由诱导公式以及辅助角公式化简，即可利用三角函数的性质求解最值． 【详解】解：， ，，， ， ，． 故答案为：，． 8．（25-26高一下•上海浦东新•期中）已知，则 　 　 ． 【答案】1． 【分析】根据正弦函数的性质有，，结合已知有且，2，，2025，再应用诱导公式求目标函数值． 【详解】解：根据题意可知，，而，， 所以，故且，2，，2025， 所以， 所以． 故答案为：1． 9．（2026•模拟）已知函数． （1）求函数的最小正周期，并用五点法作出它在一个周期内的大致图像； （2）求函数的最大值、最小值及相应的的值； （3）若，求函数的取值范围． 【答案】（1）的最小正周期为， （2）时，函数取得最大值是2， 时，函数取得最小值； （3），． 【分析】（1）利用二倍角公式，两角和的正弦公式可得，利用周期公式可求函数的最小正周期，利用五点法即可作出它在一个周期内的大致图像； （2）利用正弦函数的性质即可求解； （3）利用正弦函数的性质即可求解． 【详解】解：（1） ， 可得函数的最小正周期， 用五点法取一个周期内的五个关键点，列表如下： 0 0 2 0 0 描点，连线，可得函数在一个周期内的大致图象如下： （2）， 当，即时，函数取得最大值是2， 当，即 时，函数取得最小值； （3）当时，可得， 此时，， 因此的取值范围是，． 10．（25-26高一下•上海浦东新•月考）已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的值域． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）将看作一个整体，结合正弦函数的图象性质，列出不等式，即可求解； （2）根据题意，结合正弦函数的图象性质，先判断出函数在上的单调性，即可求得值域． 【详解】解：（1）由正弦函数的性质可知，当时，函数单调递增， 解不等式得， 所以函数的单调递增区间为； （2）由题意，因为，所以， 结合正弦函数的性质可知，当，即时，函数单调递增， 当，即时，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，， 又， ， 所以当时，函数取得最小值， 所以函数在区间上的值域为，． 题型三．正弦函数的单调性（共5小题） 11．（25-26高一下•上海浦东新•期中）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】说明函数，的图象与函数，的图象的关系，判断其周期以及单调性，判断，； 根据，脱掉函数的绝对值符号，判断其单调性，根据即可判断； 由于时，，判断出在上是单调减函数，即可判断． 【详解】解：因为可以由函数的图象保持轴上方部分不动， 将轴下方部分翻折到轴上方而得到，故其周期为， 项．由于时，是单调减函数，故项不正确； 项．又时，是单调增函数，故项正确； 由于时，，令，解得， 项．则在上是单调减函数，故项错误； 项由于时，是单调减函数，故项错误． 故选：． 12．（25-26高一下•上海徐汇•期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（　　） A．， B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用正弦型函数的单调性建立不等式组，进一步求出结果． 【详解】解：函数在区间上单调递增， 即：，故， 由于，且，即整理得：， 解得，． 故选：． 13．（25-26高一下•上海黄浦•期中）已知，函数在区间上严格增，则的取值范围是_________ 【答案】，． 【分析】通过整体代换的方法及正弦函数的单调递增区间可得不等式组，解不等式组可得． 【详解】解：因为，， 所以， 所以且，得且， 时，，得； 时，由，无解； 当时，由，无解； 综上，，， 故的取值范围为，． 故答案为：，． 14．（25-26高一下•上海黄浦•月考）已知函数． （1）求函数的对称中心和单调递增区间； （2）若在区间，上的取值范围是，求的取值范围； （3）若锐角△外接圆半径为，且（B），求△周长的取值范围． 【答案】（1）对称中心为，单调递增区间为； （2）的取值范围为； （3）△ 周长的取值范围为． 【分析】（1）化简得，利用整体法可求函数的对称中心和单调递增区间； （2）由已知可得，结合值域为，可求得的取值范围； （3）利用边化角可得，，结合三角恒等变换和辅助角公式可求得△周长的取值范围． 【详解】解： ， 由得， 所以函数的对称中心为， 由，得， 所以函数的单调递增区间为； （2）当，时，， 又因为在区间，上的取值范围是， 所以， 由，得， 所以的取值范围为； （3）因为（B），可得， 所以， 又因为△为锐角三角形，所以， 所以， 所以，解得， 又因为锐角△外接圆半径为， 所以， 所以，， 则 ， 由题意可得，，解得， 所以，， 所以，即， 又， 故， 故△ 周长的取值范围为． 15．（25-26高一下•上海杨浦•期中）已知，函数的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调减区间； （3）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据最大值和最小值确定；根据图象可得最小正周期，求得；由，结合的范围可求得的取值，从而得到解析式； （2）根据正弦函数的图象的单调性即可求解； （3）将问题转化为在上有解，通过数形结合的方式可确定的取值范围． 【详解】解：（1）由图可知最大值为，最小值为，所以， 又从最大点到最小点的横坐标差为，即，所以， 所以，将点代入函数得， 即，所以， 又因为，解得，故． （2）处于单调递减区间时，． 解得． （3） ， 故原方程等价于，即， 当时，，在该区间上， 所以，故． 题型四．正弦函数的奇偶性和对称性（共6小题） 16．（25-26高一下•上海闵行•期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】根据“正余弦函数”定义结合题意可得，然后运用正弦函数性质，对“正余弦函数”的性质进行逐一判断，即可得到本题的答案． 【详解】解：由题意可知点坐标为， 则． 根据正弦函数的性质，可知的值域为，故①正确； 根据，， 可得，不是奇函数，故②错误； 当时，，，非最值，可知③错误； 根据为周期函数，最小正周期为，可知④正确． 综上所述，性质①④正确，正确的命题有2个． 故选：． 17．（25-26高一下•上海徐汇•期中）函数的对称轴方程是 ． 【答案】． 【分析】由正弦函数图像性质，使用整体代入法即可求解． 【详解】解：对于函数， 令，解得， 故答案为：． 18．（25-26高一下•上海静安•期中）已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的最小正值是_________ ． 【答案】． 【分析】结合正弦函数的对称性即可求解． 【详解】解：函数， 由题意得，为偶函数， 则，得， 故的最小正值是． 故答案为：． 19．（25-26高一下•上海浦东新•月考）函数，，是偶函数，则实数_________ ． 【答案】． 【分析】函数是偶函数，可得，根据诱导公式即可求出． 【详解】解：因为是偶函数， 令，由于，，可得， 故答案为：． 20．（25-26高一下•上海杨浦区期中）若函数为奇函数，则_________ ． 【答案】． 【分析】根据函数的奇偶性即可求解结论． 【详解】解：由题可得：． 展开得， 于是对，有成立，故． 因此． 故答案为：． 21．（25-26高一下•上海黄浦•期中）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是_________ ． 【答案】． 【分析】结合三角函数图象平移变换及正弦函数的对称性即可求解． 【详解】解：将函数的图象向右平移个单位，得， 因为其图象关于轴对称，所以，得， 则当时有最小正值，最小正值是． 故答案为：． 题型五．余弦函数的图象（共5小题） 22．（25-26高一下•上海黄浦•期中）“”是“”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质，结合充要条件的定义进行解答，即可得到本题的答案． 【详解】解：充分性：当时，必定有，可知充分性成立； 必要性：当时，可能，所以必要性不成立． 综上所述，“”是“”的充分非必要条件． 故选：． 23．（25-26高一下•上海黄浦•期中）已知，，，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】 【分析】根据，，可分类讨论，时，结合正弦函数的图象与性质，即可得出答案． 【详解】解：，，，任意实数均有， 当时，任意实数均有，且，， ，，时，符合题意； 任意实数均有，即， ，，，， 当且仅当任意实数均有，则， 当时，，则，解得，， ，，，符合题意； 当时，， ，解得，， 又，，，符合题意， 综上所述，满足条件的有序实数对为，，，共有3个， 故选：． 24．（25-26高一下•上海徐汇•期中）方程的解集为_________ ． 【答案】或，． 【分析】由三角函数的定义可得求出方程的解． 【详解】解：， 或； 故方程的解集为或，． 故答案为：或，． 25．（25-26高一下•上海徐汇•期中）已知，当，时，函数的零点个数为_________ ． 【答案】6． 【分析】根据函数的零点与函数图象交点之间的联系，将问题转化为和在区间，上的图象的交点个数，再作图即可． 【详解】解：令，则， 在同一坐标系中作出和在区间，上的图象，如图所示， 由图可知，两个函数图象的交点个数为6， 故所求的零点个数为6． 故答案为：6． 26．（25-26高一下•上海嘉定•月考）若函数的图像与的图像重合，且，，则_________ ． 【答案】． 【分析】利用余弦函数的图象和性质即可求解． 【详解】解：由题意可得， 可得，，或，， 解得，，或，， 因为，， 所以可得． 故答案为：． 题型六．余弦函数的单调性（共4小题） 27．（25-26高一下•上海徐汇•期中）函数的单调递增区间为__________________ ． 【答案】，，． 【分析】由余弦函数的单调递增区间，解不等式可得所求区间． 【详解】解：由，解得，， 可得所求函数的单调递增区间为，，． 故答案为：，，． 28．（25-26高一下•上海黄浦•期中）函数在上的单调递减区间为_________ ． 【答案】． 【分析】由，计算结合条件可求单调递减区间． 【详解】解：由题意，函数， 令， 可得， 又， 可得，， 所以的单调递减区间为． 故答案为：． 29．（25-26高一下•上海•期中）当函数取到最大值时，的值为_________ ． 【答案】，． 【分析】结合余弦函数最值取得条件即可求解． 【详解】解：当，时，即，，． 故答案为：，． 30．（25-26高一下•上海青浦•期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为_________ ． 【答案】3． 【分析】由题意可得关于的不等式，求解得答案． 【详解】解：由题意可得，，得． 即的最大值为3． 故答案为：3． 题型七．正弦和余弦（型）函数的周期性（共5小题） 31．（2026•模拟）函数的最小正周期是_________ ． 【答案】． 【分析】利用二倍角公式以及余弦函数的周期公式即可求解． 【详解】解：由题意可得， 可得的最小正周期为． 故答案为：． 32．（25-26高一下•上海徐汇•期中）函数的最小正周期是_________ ． 【答案】 【分析】由条件根据函数的周期为，可得结论． 【详解】解：函数的最小正周期是， 故答案为：． 33．（25-26高一下•上海青浦•期中）函数的最小正周期是_________ ． 【答案】． 【分析】利用可求最小正周期． 【详解】解：函数的最小正周期是． 故答案为：． 34．已知函数（其中的最小正周期为2，则的值为_________ ． 【答案】． 【分析】结合正弦函数的周期公式即可求解． 【详解】解：因为函数（其中的最小正周期为2， 由题意可得，解得． 故答案为：． 35．（25-26高一下•上海浦东新•期中）函数的最小正周期是_________ ． 【答案】 【分析】利用的周期等于，得出结论． 【详解】解：函数的最小正周期是， 故答案为：． 题型八．正切函数的图象（共4小题） 36．（25-26高一下•上海嘉定•月考）记的定义域为，集合，若，则的取值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】结合正切函数的定义域即可求解． 【详解】解：正切函数的定义域为，， 则，， 所以，， 当时，，选项正确； 经检验选项都不正确． 故选：． 37．（25-26高一下•上海徐汇•期中）设定义在区间上的函数的图像与的图像交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图像交于点，则线段的长为 　_________ ． 【答案】． 【分析】先将求的长转化为求的值，再由满足可求出的值，从而得到答案． 【详解】解：作出对应的图象如图， 则线段的长即为的值， 且其中的满足，即， 即， 即， 即， ， ，即线段的长为． 故答案为：． 38．（25-26高一下•上海浦东新•期中）函数的图像的相邻两支曲线截直线所得线段长为，则实数_________ ． 【答案】4． 【分析】正切函数相邻两支截平行于轴的直线所得线段长等于函数周期，代入正切函数周期公式即可求解． 【详解】解：函数相邻两支曲线截平行于轴的直线所得线段的长度为， 因此， 所以，解得． 故答案为：4． 39．（25-26高一下•上海浦东新•期中）设，，函数，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间，内的所有值，则的取值范围为_________ ． 【答案】． 【分析】由，可得，然后由题设结合正切函数性质列出不等式可得答案． 【详解】解：因为，则，又， 则，从而， 当时，， 由已知可得． 故答案为：．． 题型九．正切函数的定义域和值域（共3小题） 40．（25-26高一下•上海浦东新•月考）函数的定义域为_________ ． 【分析】利用正切函数的定义域，直接求出函数的定义域即可． 【详解】解：函数的有意义，必有，所以函数的定义域． 故答案为：． 41．（25-26高一下•上海松江•月考）函数的定义域是________________． 【答案】． 【分析】结合正切函数的定义域即可求解． 【详解】解：由题意得， 所以函数的定义域是． 故答案为：． 42．（2025春•闵行•期中）函数的定义域为________________． 【分析】根据正弦函数的定义域，我们构造关于的不等式，解不等式，求出自变量的取值范围，即可得到函数的定义域． 【详解】解：要使函数的解析式有意义 自变量须满足：， 解得： 故函数的定义域为 故答案为 题型十．正切函数的单调性和周期性（共3小题） 43．（25-26高一下•上海徐汇•期中）函数的单调增区间是________________． 【分析】根据正切函数的单调性进行求解即可． 【详解】解：由， 得，， 即函数的单调递增区间为，，， 故答案为：，， 44．（25-26高一下•上海闵行•期中）函数的最小正周期为________________． 【分析】直接利用正切函数的周期公式，求出函数的最小正周期． 【详解】解：因为函数，所以． 所以函数的最小正周期为． 故答案为：． 45．已知函数． （1）若，求函数的最小正周期； （2）若函数在区间，上为严格增函数，求的取值范围； （3）若函数在，，且上满足“关于的方程在，上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的，中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期； （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围； （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】解：（1）由于， 故当时，的最小正周期为； （2）由，，且，得， 若函数在区间，上严格递增， 则，解得， 则的范围为； （3）由关于的方程在区间，上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在2024个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的，中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 题型十一．正切函数的奇偶性与对称性（共3小题） 46．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用函数经过的点，函数的奇偶性以及函数的定义域，判断选项即可． 【详解】解：时，， 而，所以不正确； ，所以不正确； ，，函数是偶函数，定义域为，，所以不正确； ，而且，函数是偶函数，定义域为，所以正确． 47．已知、，，若（1），则 　________________． 【答案】1． 【分析】根据（1），代入函数表达式算出，然后根据诱导公式算出，进而求出答案． 【详解】解：由题意得（1），可得， 所以． 故答案为：1． 48．直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是________________． 【答案】． 【分析】根据正切型函数的图象与性质，求得函数的最小正周期为，结合周期，即可得到答案． 【详解】解：因为的最小正周期为， 所以函数的最小正周期为， 所以直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是． 故答案为：． 题型十二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共5小题） 49．（25-26高一下•上海黄浦•期中）将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】平移后的图象对应的函数解析式为，据五点法作图可得，解得，由此确定平移后的图象所对应函数的解析式． 【详解】解：将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象对应的函数解析式为． 根据五点法作图可得，解得， 故平移后的图象所对应函数的解析式是， 故选：． 50．（25-26高一下•上海徐汇•期中）为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（　　） A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度 D．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度 【答案】 【分析】利用函数图象平移、伸缩变换的法则依次判定各个选择支的变化之后的函数解析式是否符合题目要求即可作出判定． 【详解】解：把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象， 接下来若向左平移个单位长度，得到函数的图象； 若向左平移个单位长度，得到函数的图象； 故错误，正确； 、中伸长到原来的2倍，得到函数的图象，在无论怎样平移都得不到所要求的函数的图象， 故错误． 故选：． 51．（25-26高一下•上海浦东新•期中）若要得到函数的图象，可以把函数的图象（　　） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】 【分析】函数，再由函数的图象变换规律得出结论． 【详解】解：由于函数，故要得到函数的图象，将函数的图象沿轴向右平移个单位即可， 故选：． 52．（25-26高一下•上海浦东新•月考）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 ． 【答案】 【分析】根据函数的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为，再根据所得图象关于轴对称可得，，由此求得的最小正值． 【详解】解：将函数的图象向右平移个单位， 所得图象对应的函数解析式为关于轴对称， 则，，即，故的最小正值为， 故答案为：． 53．（25-26高一下•上海宝山•期中）已知函数（其中常数的最小正周期为． （1）求函数的表达式； （2）作出函数，，的大致图像，并指出其单调递减区间； （3）将的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，若实数，满足，且的最小值是，求的值． 【答案】（1）． （2）见图像，减区间为，． （3）或． 【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据正弦函数的周期性求出，可得函数的解析式． （2）由题意，用五点法作函数的图像，数形结合可得函数的减区间． （3）由题意，利用函数的图像变换规律，正弦函数的性质，求出值． 【详解】解：（1）函数 （其中常数的最小正周期为，． 函数． （2）作出函数，，的大致图像： 作图： 0 0 0 1 0 作图： 结合图像，可得其单调递减区间为，． （3）将的图像向左平移个单位长度， 得到函数的图像， 若实数，满足，则与一个等于1，另一个等于， 且的最小值为，即，求得或． 题型十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共4小题） 54．（2026•模拟）已知函数，，的一部分图象如图所示，则________________． 【答案】． 【分析】由最值点确定周期，由周期得出，再由最低点或最高点确定． 【详解】解：由的部分图象知，最小正周期为， 所以，，解得，； 又因为，所以． 故答案为：． 55．（25-26高一下•上海浦东新•期中）已知函数，，图像如图，则函数的解析式为________________． 【答案】． 【分析】根据函数的图像与性质，求出、和、的值． 【详解】解：由函数的图像知，，， 所以， 又，，解得，， 又因为，所以， 所以函数． 故答案为：． 56．（25-26高一下•上海宝山•月考）已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若，求的值． 【分析】（1）由图可知，最小正周期，从而得的值，再由，求出，可得解析式； （2）由题意得，，由用两角和的正弦公式即可求解． 【详解】解：（1）由题图可知，最小正周期， 所以， 所以， 因为，所以，即， 所以，，即，， 因为，所以， 所以． （2）因为， 所以，，， 所以，， 所以 ． 57．（25-26高一下•上海浦东新•月考）函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若，，求实数的取值范围； （3）求实数和正整数，使得函数在，上恰有2021个零点． 【答案】（1）； （2），； （3）当或时，；当时，． 【分析】（1）利用周期求出，再代入特殊点求出，即可求得函数解析式； （2）求出函数在上的值域，令，，原不等式转化为恒成立，由二次函数的图象与性质进行求解； （3）分或，或，或，四类情况讨论的图象与直线在，上的交点情况，再分析当的图象与直线在，上恰有2021个交点时应满足的条件． 【详解】解：（1）由函数图象知，， ，所以， 时，， ，，解得，， 又， ， 的解析式为； （2），，，，， 要使恒成立，令，则，， 即，因为图象开口向上， 要使，时，， 则有，解得， 即实数的取值范围是，． （3）由题意可得的图象与直线在，上恰有2021个交点， 在，上，，， ①当或时，的图象与直线在，上无交点； ②当或时，的图象与直线在，上仅有一个交点， 若此时的图象与直线在，上恰有2021个交点，则； ③当或时，的图象与直线在，上恰有2个交点， 的图象与直线在，上有偶数个交点，不可能有2021个交点； ④当时，的图象与直线在，上恰有3个交点， 若此时的图象与直线在，上恰有2021个交点，则． 综上可得，当或时，；当时，． 试卷第1页，共3页 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角函数 题型一．正弦函数的图象 题型二．正弦函数的定义域和值域（重点） 题型三．正弦函数的单调性（考点） 题型四．正弦函数的奇偶性和对称性（难点） 题型五．余弦函数的图象 题型六．余弦函数的单调性（重点） 题型七．正弦和余弦（型）函数的周期性（重点） 题型八．正切函数的图象 题型九．正切函数的定义域和值域 题型十．正切函数的单调性和周期性 题型十一．正切函数的奇偶性与对称性 题型十二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（难点） 题型十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（难点） 题型一．正弦函数的图象（共5小题） 1．（25-26高一下•上海宝山•月考）函数在区间，的简图是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一下•上海嘉定•期中）下列函数中，与函数的图像形状相同的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一下•上海徐汇•期中）设函数的图像与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为 　 　． 4．（25-26高一下•上海嘉定•期中）设实数，若满足对任意，，都存在，，使得成立，则的最小值是 　 　 ． 5．（25-26高一下•上海浦东新•期中）已知，，若、满足，且的最小值为，则　 　． 题型二．正弦函数的定义域和值域（共5小题） 6．（25-26高一下•上海•月考）函数，的值域为　 ． 7．（25-26高一下•上海宝山•月考）已知，，则函数的值域是 　 　． 8．（25-26高一下•上海浦东新•期中）已知，则 　 　 ． 9．（2026•模拟）已知函数． （1）求函数的最小正周期，并用五点法作出它在一个周期内的大致图像； （2）求函数的最大值、最小值及相应的的值； （3）若，求函数的取值范围． 10．（25-26高一下•上海浦东新•月考）已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的值域． 题型三．正弦函数的单调性（共5小题） 11．（25-26高一下•上海浦东新•期中）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 12．（25-26高一下•上海徐汇•期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（　　） A．， B． C． D． 13．（25-26高一下•上海黄浦•期中）已知，函数在区间上严格增，则的取值范围是_________ 14．（25-26高一下•上海黄浦•月考）已知函数． （1）求函数的对称中心和单调递增区间； （2）若在区间，上的取值范围是，求的取值范围； （3）若锐角△外接圆半径为，且（B），求△周长的取值范围． 15．（25-26高一下•上海杨浦•期中）已知，函数的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调减区间； （3）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围． 题型四．正弦函数的奇偶性和对称性（共6小题） 16．（25-26高一下•上海闵行•期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（25-26高一下•上海徐汇•期中）函数的对称轴方程是 ． 18．（25-26高一下•上海静安•期中）已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的最小正值是_________ ． 19．（25-26高一下•上海浦东新•月考）函数，，是偶函数，则实数_________ ． 20．（25-26高一下•上海杨浦区期中）若函数为奇函数，则_________ ． 21．（25-26高一下•上海黄浦•期中）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是_________ ． 题型五．余弦函数的图象（共5小题） 22．（25-26高一下•上海黄浦•期中）“”是“”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 23．（25-26高一下•上海黄浦•期中）已知，，，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 24．（25-26高一下•上海徐汇•期中）方程的解集为_________ ． 25．（25-26高一下•上海徐汇•期中）已知，当，时，函数的零点个数为_________ ． 26．（25-26高一下•上海嘉定•月考）若函数的图像与的图像重合，且，，则_________ ． 题型六．余弦函数的单调性（共4小题） 27．（25-26高一下•上海徐汇•期中）函数的单调递增区间为__________________ ． 28．（25-26高一下•上海黄浦•期中）函数在上的单调递减区间为_________ ． 29．（25-26高一下•上海•期中）当函数取到最大值时，的值为_________ ． 30．（25-26高一下•上海青浦•期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为_________ ． 题型七．正弦和余弦（型）函数的周期性（共5小题） 31．（2026•模拟）函数的最小正周期是_________ ． 32．（25-26高一下•上海徐汇•期中）函数的最小正周期是_________ ． 33．（25-26高一下•上海青浦•期中）函数的最小正周期是_________ ． 34．已知函数（其中的最小正周期为2，则的值为_________ ． 35．（25-26高一下•上海浦东新•期中）函数的最小正周期是_________ ． 题型八．正切函数的图象（共4小题） 36．（25-26高一下•上海嘉定•月考）记的定义域为，集合，若，则的取值可能是（　　） A． B． C． D． 37．（25-26高一下•上海徐汇•期中）设定义在区间上的函数的图像与的图像交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图像交于点，则线段的长为 　_________ ． 38．（25-26高一下•上海浦东新•期中）函数的图像的相邻两支曲线截直线所得线段长为，则实数_________ ． 39．（25-26高一下•上海浦东新•期中）设，，函数，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间，内的所有值，则的取值范围为_________ ． 题型九．正切函数的定义域和值域（共3小题） 40．（25-26高一下•上海浦东新•月考）函数的定义域为_________ ． 41．（25-26高一下•上海松江•月考）函数的定义域是________________． 42．（2025春•闵行•期中）函数的定义域为________________． 题型十．正切函数的单调性和周期性（共3小题） 43．（25-26高一下•上海徐汇•期中）函数的单调增区间是________________． 44．（25-26高一下•上海闵行•期中）函数的最小正周期为________________． 45．已知函数． （1）若，求函数的最小正周期； （2）若函数在区间，上为严格增函数，求的取值范围； （3）若函数在，，且上满足“关于的方程在，上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的，中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 题型十一．正切函数的奇偶性与对称性（共3小题） 46．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 47．已知、，，若（1），则 　________________． 48．直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是________________． 题型十二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共5小题） 49．（25-26高一下•上海黄浦•期中）将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是　　 A． B． C． D． 50．（25-26高一下•上海徐汇•期中）为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（　　） A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度 D．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度 51．（25-26高一下•上海浦东新•期中）若要得到函数的图象，可以把函数的图象（　　） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 52．（25-26高一下•上海浦东新•月考）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是_________ ． 53．（25-26高一下•上海宝山•期中）已知函数（其中常数的最小正周期为． （1）求函数的表达式； （2）作出函数，，的大致图像，并指出其单调递减区间； （3）将的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，若实数，满足，且的最小值是，求的值． 题型十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共4小题） 54．（2026•模拟）已知函数，，的一部分图象如图所示，则________________． 55．（25-26高一下•上海浦东新•期中）已知函数，，图像如图，则函数的解析式为________________． 56．（25-26高一下•上海宝山•月考）已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若，求的值． 57．（25-26高一下•上海浦东新•月考）函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若，，求实数的取值范围； （3）求实数和正整数，使得函数在，上恰有2021个零点． 试卷第1页，共3页 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $