专题01 正弦(型)函数图像与性质（专项训练）数学沪教版必修第二册

专题01正(型)函数图像与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型01五点法作正弦(型)函数图像 题型02正弦(型)函数解不等式（定义域问题） 题型03正弦(型)函数周期问题（求参） 题型04正弦(型)函数单调性问题（求参） 题型05正弦(型)函数值域(最值)问题（求参） 题型06正弦(型)函数奇偶性问题（求参） 题型07正弦(型)函数对称性问题（求参） 题型08正弦(型)函数有关零点问题（求参） 题型09正弦(型)函数综合运用 B综合攻坚・能力跃升 题型01五点法作正弦(型)函数图像 1．已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 【答案】(1)图象见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据五点法及正弦函数的五点，列表、描点、连线，画出图象； （2）先根据图象再分情况数形结合得出个数即可. 【详解】（1）由题意，列表： 0 1 0 -1 0 1 2 1 1 根据五点，作图：    （2）其图象如图：    观察图象得：当或时，有0个交点； 当或时，有1个交点； 当或时，有2个交点； 当时，有3个交点. 2．用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】1）利用五点作图法作图； （2）利用五点作图法作图； （3）利用五点作图法作图. 【详解】（1）找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 0 －1 0 1 0 描点作图，如图所示． （2）找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 0 1 0 1 0 描点并用光滑的曲线将它们连接起来，通过平移得到的图像，如图所示． （3）找关键的五个点，列表如下： 0 0 1 0 －1 0 －1 1 －1 －3 －1 描点作图，如图所示． 3．已知函数. (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据“列表描点连线”可作出函数在一个周期上的图象； （2）由已知条件可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可得出，再利用两角和的正弦公式可求得的值. 【详解】（1）列表如下： 作出函数在一个周期内的图象如下图所示： （2）因为，且，所以，， 所以，， 因此， . 4．已知函数．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图象.    【答案】作图见解析 【分析】通过列表得函数在内的关键点以及端点值，在所给的坐标系中，描点连线画出图. 【详解】列表： 0 1 2 0 0 1 描点，连线，画出在上的大致图象如图：    题型02正弦(型)函数解不等式（定义域问题） 5．函数的定义域为______． 【答案】 【分析】分母不能为零和被开方数大于等于零求解即可. 【详解】要使有意义，，解得. 的定义域为. 6．函数的定义域为________. 【答案】且 【分析】根据对数符号和根式有意义，列出不等式组，求解不等式即可. 【详解】由题意，， 作出一个周期内的简图，由图可得的解为； 与取交集可得且. 故答案为：且    7．不等式的解集为_____________． 【答案】 【详解】由，则，故解集为. 8．已知． (1)且，求的值； (2)解不等式． 【答案】(1)或． (2) 【详解】（1）即， 设，则，角的正弦线向下，且长度为，如图． 角的终边为或，又， 所以或， 所以或，即或， 又，所以或． （2）原不等式可化为， 由（1）及图可知． 解得， 所以原不等式的解集为 9．已知函数.求在上的解集. 【答案】 【分析】令，则.由解得或，再求出，即可得解； 【详解】令，则. 由，即， 解得或， 即或， 解得或. 所以在上的解集为. 10．已知函数.求不等式的解集. 【答案】， 【分析】列出不等式，然后根据三角函数得到范围，从而得到不等式的解集. 【详解】由 得 所以， 整理得， 所以函数的解集是， 题型03正弦(型)函数周期问题（求参） 11．函数的最小正周期为________. 【答案】 【详解】由于，所以该函数的最小正周期为. 12．已知函数（其中）的最小正周期为2，则的值为________. 【答案】 【详解】由题意可得，解得. 13．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ，所以最小正周期为. 14．函数的最小正周期为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接运用正弦型函数最小正周期进行求解即可. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：C 15．已知函数.求的最小正周期； 【答案】 【分析】化简得，根据周期公式求解即可； 【详解】因为 ， ∴最小正周期为. 16．函数，则______． 【答案】 【详解】的周期． 故答案为： 17．若的最小正周期为，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的正弦函数值进行求解即可. 【详解】因为的最小正周期为， 所以，即， 所以. 故选：A 题型04正弦(型)函数单调性问题（求参） 18．的减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的单调性判断. 【详解】的减区间与的减区间相同， 而的减区间为， 故的减区间为. 19．已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 【答案】B 【详解】若，则， 结合正弦函数单调性可知函数在上有增有减，不单调； 若，则， 结合正弦函数单调性可知函数在上单调递增. 20．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式先将的系数化为正，再由正弦函数性质列不等式计算即可求得单调区间. 【详解】因为， 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为． 故选：C 21．函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由辅助角公式结合正弦函数单调性可判断选项正误； 【详解】，因在上单调递减，则， 则. 故选：D 22．已知函数在上单调递增，则的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的单调性及已知列不等式求参数范围. 【详解】，且，则， ，所以，则， 由且， 所以或，故或. 23．已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．5 【答案】B 【分析】通过辅助角公式变形解析式，函数的单调性，建立方程组求解. 【详解】， 令，，当时，， 由于在区间上单调递减，所以， 即解得，所以或． 当时，，不符合题意； 当时，满足．故． 故选： 24．已知函数的图象经过点，若在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数经过的点确定的值，然后由的范围结合正弦函数的单调性求解. 【详解】由条件，因为，则， 又在上单调递增，于是， 则，解得. 故选：A. 25．设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，所以，又，所以， 又，所以， 所以. 26．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦的性质可得，再结合对数、指数函数的性质比较大小即可． 【详解】因为，，， 所以． 故选：B． 题型05正弦(型)函数值域(最值)问题（求参） 27．已知函数，当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后再利用正弦函数的基本性质可求出函数的最小值. 【详解】由， 根据二倍角公式得， 当时，所以，结合正弦函数图像可知， 时，的最小值为, 最大值为，故， 因此，所以的最小值为. 故选：B. 28．函数的最大值为_______． 【答案】 【分析】由辅助角公式结合三角函数的图像性质即可求解. 【详解】 ， 其中，故的最大值为． 29．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的值域； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二倍角公式，辅助角公式化简，再用公式求周期；利用复合函数的单调性求单调增区间. （2）求出的范围，再结合正弦函数的图象即可求出该函数的值域. 【详解】（1），所以 ，解得， 所以的单调递增区间是 （2）若则当时取得最小值，当时取得最大值，所以，，故函数的值域为. 30．函数（）的最大值为________． 【答案】 【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系，结合正弦函数的单调性、二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，，令， ， 设，该二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，当时，函数有最大值， 即时，取得最大值． 故答案为： 31．若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】令换元转化为二次函数恒成立，讨论对称轴求解. 【详解】化简不等式，得. 令， 则二次函数在上恒成立． 对称轴为． 若，即，最小值为， 解得与矛盾． 若，即最小值为， 解得， 所以． 若，即，最小值为， 解得，所以． 综上所述． 32．已知函数 (1)求函数 在上的单调递增区间; (2)若函数在的值域为 求α的取值范围. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）化简函数为，由，得到，结合正弦函数的性质，列出不等式，即可求解； （2）由，得到，根据题意，得到，结合正弦函数的性质，得到，即可求解. 【详解】（1）由函数 ， 因为，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数在上的单调递增区间为，. （2）由，可得， 因为函数的值域为，即， 当时，即时，； 当时，即时，， 要使得，根据正弦函数的性质，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. 33．已知． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦函数的单调性求解即可. （2）根据正弦函数的值域和图象进行求解即可. 【详解】（1）令，解得. 又，所以函数的单调递增区间为，. （2）因为，所以， 因为函数在区间上的值域为， 所以在区间上的值域为， 在区间上的值域为， 所以结合正弦函数的图象可得，解得. 所以实数的取值范围为. 34．已知函数在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的性质并结合题意得到，再求出取得的最大值的横坐标，建立不等式组得到，最后确定即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以，，而令，解得， 结合，可得， 由正弦函数的性质得的最大值为2， 令，得到， 则在上取得的第一个最大值的横坐标为， 而取得的第二个最大值的横坐标为， 可得，解得， 综上所述，得到，即，故D正确. 故选：D 35．关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．是偶函数 B．最大值为2 C．最小值为-2 D．不是周期函数 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义，代入整理，可判断A的正误；分段讨论，可得的解析式，作出图象，可判断B、C、D的正误. 【详解】因为， 所以是偶函数，故A正确； 当时，， 当时，， 因为是偶函数，图象关于轴对称，可得的图象如图所示： 由图象得的最大值为2，最小值为0，不是周期函数，故B，D正确，C错误. 36．已知函数在的最大值和最小值分别为，则___________． 【答案】2 【分析】设，，证明是奇函数，由奇函数的对称性求结论． 【详解】设，， 则， ， 所以是奇函数， 又，， 所以，． 故答案为：． 37．已知函数，，则（    ） A．12 B．－12 C．－17 D．17 【答案】C 【分析】构造奇函数，利用奇函数的性质求函数值. 【详解】设，函数定义域为R， 由， 知函数为奇函数， ，故， 所以. 故选：C 38．函数是（    ） A．偶函数，且最小值为 B．偶函数，且最大值为 C．周期函数，且在上单调递减 D．非周期函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】利用特殊值法可判断AB选项；利用函数周期性的定义、复合函数的单调性可判断CD选项. 【详解】因为的定义域为， 因为，， 所以，即函数不是偶函数，AB选项都错； 因为， 故函数是周期函数， 因为， 当时，令，， 因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为减函数， 由复合函数的单调性可知，函数在上为减函数，C对D错. 故选：C. 题型06正弦(型)函数奇偶性问题（求参） 39．已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，结合可得出的值. 【详解】因为函数是偶函数，则， 所以，又因为，故， 故选：D. 40．若函数为偶函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简，然后根据奇偶性列方程即可得解. 【详解】， 因为为偶函数，所以，即， 当时，A正确，经检验BCD都不满足. 故选：A. 41．设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由偶函数的性质可得，结合，即可得出答案. 【详解】依题意，又其为偶函数， 则图像关于轴对称，则， 得，又，则或. 故选：B 42．函数是（   ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 【答案】D 【分析】应用两角和差余弦公式计算化简，再应用周期公式及奇偶性判断即可. 【详解】 ， 所以周期是，且函数是奇函数. 故选：D. 题型07正弦(型)函数对称性问题（求参） 43．已知函数（）的最小正周期为，点是其图象的一个对称中心，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的周期性与对称性结合题目条件即可求出的最小值. 【详解】由，得，令，则，容易验证当时，最小，此时. 故选：A 44．函数的图象的对称中心和对称轴方程分别为_____________． 【答案】；，． 【分析】利用正弦型函数的图象和性质，结合对称轴和对称中心的概念求解． 【详解】令，， 则，， 的对称中心为； 令，，解得，， 的对称轴方程为，． 故答案为：；，． 45．已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据函数的对称性和函数的单调性列式即可. 【详解】由题意得，，解得， 又在上单调，，解得， 当时，，舍去；当时，，符合题意. 46．已知满足，，且在上单调，则ω的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和可知两点分别为函数的最大值点和零点，利用两点间的距离与周期  的关系，建立关于整数的表达式；再利用函数在上单调的性质确定的范围，从而筛选出符合条件的值，并求出的最大值. 【详解】∵满足， ∴，即，而， ∵在上单调，∴，即， 而，且，解得，即， 当时，，当时，， 故当时，ω最大，最大值为. 47．记函数的最小正周期为，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据题意，求得，再由的图像关于点中心对称，得到，且，结合三角函数的性质，求得，进而求得的值． 【详解】因为函数的最小正周期为，且， 可得， 又因为函数的图像关于点中心对称，可得，且， 所以，即，可得， 解得，由，可得，，即， 所以． 故选：A. 题型08正弦(型)函数有关零点问题（求参） 48．已知函数的最小值为-5． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)求方程在上的所有根的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意求得的值，根据求最小正周期的公式，求得的最小正周期； （2）由复合函数的单调性判断方法，及正弦函数的单调性，求得的单调递增区间； （3）解方程，求得其所有根，相加可得方程在上的所有根的和． 【详解】（1）由题意得，解得，     则，它的最小正周期．   （2）令，，则. 因为和均是增函数， 所以当，即时，单调递增，也单调递增. 所以的单调递增区间为．     （3）由，得， 所以，解得．         因为，所以，即， 所以或或. 所以方程在上有3个根，分别为. 因为，所以方程在上的所有根的和为． 49．已知函数，其中 (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若图象的相邻两条对称轴之间的距离是， （i）当时，求函数的值域； （ii）若关于的方程在上有两个不同的根，，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据三角恒等变换得，再结合三角函数的性质求解即可； （2）（i）先根据周期性求得，再整体代换求函数值域即可； （ii）根据题意，将问题转化为与在有两个交点，横坐标分别为且，进而作出函数图象，数形结合求解即可. 【详解】（1）解： ， 令，， 所以，当，， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得 又，所以的取值范围为 （2）解：因为图象的相邻两条对称轴之间的距离是， 所以得最小正周期，即，解得， 所以 （i）当时，， 所以， 所以函数的值域为 （ii）因为，当时，, 所以，即，有最大值， 因为，， 所以在上的图象如图所示， 关于的方程在上有两个不同的根，且 所以与在有两个交点，横坐标分别为且 所以，根据图象，有，，且 所以 所以的取值范围为. 50．已知函数在区间上单调，且满足，若函数在上有且仅有4个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得到，再由函数在区间上单调得到，最后根据函数在上有且仅有4个零点，即可求出. 【详解】且， 故函数关于对称，且函数在取得最值， 又函数在区间上单调，， 令，则 ，当时， 函数在上有且仅有4个零点，且 ，即 把代入得， 综上，的取值范围为. 故选：D. 51．若函数的最大值为2，一个零点为，则________； 【答案】 【分析】通过条件，解出的值，再代入可得答案. 【详解】由题意得： ， ，解得：， 所以 ， 则. 故答案为： 52．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据三角恒等变换得，再由周期性条件得，，再结合函数的零点得即可得答案. 【详解】函数． 设函数的最小正周期为，由，得，， 所以，，即，． 又因为函数在上存在零点，且当时，， 所以，即． 综上，的最小值为4． 53．已知函数（其中）在区间上没有零点，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】先求出零点，结合零点不在区间内得到方程组，求解方程组即可. 【详解】令或0或或，可得或或或. 由函数在区间上没有零点，可得区间长度不超过周期的一半， 所以，结合已知有，且且， 综上，有或，可得或. 题型09正弦(型)函数综合运用 54．已知函数在上单调递增，且当时，，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用辅助角公式将函数化为正弦函数，进而利用正弦函数的单调区间和正负区间分别建立关于ω的不等式组，通过整数参数描述区间位置并与定义域取交集，最终综合确定ω的取值范围. 【详解】利用辅助角公式化简： 的单调递增区间为， 当时，，整个区间需落在某个增区间内， 因此：, 化简得： 结合： 若，则，若，则，若，不等式无解， 因此 当时，， 要使恒成立，整个区间需落在， 因此：， 化简得：， 结合，分情况讨论： 当时：取，得，交集为， 当时：取，得，交集为（因为）， 综上，的取值范围是. 55．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式化简函数解析式为，利用周期公式计算即得； （2）利用三角恒等变换将函数解析式化为，结合与正弦函数的性质即可求得其最小值. 【详解】（1）函数， 所以， 所以函数， 所以函数的最小正周期为． （2）函数 ， 当时，， 故当时，即时，函数取得最小值为． 56．已知函数． (1)若点是角终边上一点，求的值； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再代入求值即可； （2）利用诱导公式化简，结合一元二次函数求最值. 【详解】（1）若点在角的终边上，则，， ． （2）因为， 所以， 因为，所以， ∴当，即时，有最小值，最小值为1． 57．已知函数． (1)求函数的单调递减区间． (2)若，求的最大值和最小值． (3)若是第一象限角，求的值． 【答案】(1) (2)；． (3) 【分析】（1）化简，，令，解不等式即可求解； （2）先求的范围，再利用整体法即可求出最大值和最小值； （3）由题可得，，利用结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1） 令， 解得， 的单调减区间是． （2），， 当，即时，； 当，即时，． （3）是第一象限角， 即 ， 58．已知函数． (1)若，求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据条件，结合诱导公式，化简计算，即可得答案. （2）由（1）得解析式，根据正弦函数的单调减区间，代入求解，即可得答案. （3）根据x的范围，可得，根据值域，分析可得的范围，即可得答案. 【详解】（1）由题意， 若，则， 则. （2）由（1）得， 令， 解得，即的单调递减区间为. （3）因为，所以， 因为的值域为， 所以，解得，则实数的取值范围为. 59．设常数R，函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)若，求方程在区间上的解； (3)若函数在区间上存在最大值，求出正实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，，， (3) 【分析】（1）由偶函数计算可得； （2）由计算的值，再根据三角函数解方程； （3）辅助角公式化为，根据在区间上存在最大值判断的取值范围，从而求解. 【详解】（1）∵为偶函数， ∴恒成立， 即恒成立， 所以恒成立∴. （2）∵，∴， 即，∴， ∴， 由，得， ∵，∴ ∴或或或， 所以，，，. （3） 其中 时，， 要使函数在区间存在最大值， 须使 ， 即，又 ， 所以解得. 1．函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦、余弦二倍角公式，和辅助角公式得到，再通过整体代换即可求解. 【详解】 ， 令，， 可得， 即函数的对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， 结合选项只有B符合， 故选：B 2．若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用指定区间上有唯一零点及周期情况列式求解. 【详解】函数， 由得，是函数图象的一条对称轴， 则，，解得，； 当时，， 由函数在有唯一零点，得，解得， 所以当时，取得最大值． 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将各数与比较，可得最小，通过，两边取对数即可得结果. 【详解】，， 因为，所以，故，最小 由，得， 则，，， 故. 4．函数的单调性是（   ） A．在上单调递增，在上是单调递减 B．在上单调递增，在和上单调递减 C．在上单调递增，在上单调递减 D．在与上单调递增，在上单调递减 【答案】B 【分析】根据正弦函数的图象和性质判断即可. 【详解】结合正弦函数的性质可知在上是增函数， 在和上是减函数. 故选：B. 5．已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两函数图象关于直线对称及得到，结合的范围代入求解即可. 【详解】由题意知，所以，所以. 因为，所以，所以，解得. 6．函数的最小值为________. 【答案】 【分析】通过换元法，转换成二次函数求最值即可. 【详解】令，则， 原函数转化为二次函数： ， 该二次函数开口向上，对称轴为， 因此函数在上单调递增， 当时，取得最小值，代入得： ， 即当时，取得最小值. 7．已知函数是偶函数，则___________． 【答案】2 【分析】由偶函数的定义恒成立，化简得到恒成立，即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以， ， 即， 化简可得对于任意恒成立， 所以，所以． 8．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】将代入，得，，求解即可. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，， 解得，， 则的最小值为4． 故答案为：4 9．已知函数，的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)当时，求函数的单调递增区间． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由二倍角的正弦公式和余弦公式、辅助角公式化简，再由正弦函数的最小正周期公式即可求出，从而得出的解析式； （2）根据正弦函数的单调增区间，即可求出的单调增区间，再令，即可求出在上的单调增区间. 【详解】（1） ， 因为，，所以，所以. （2）令， 得， 当时，； 又，所以， 当k取其它值时对应的区间均不在该范围内. 所以在上的单调增区间为. 10．已知函数同时满足下列3个条件中的2个．这3个条件为： ①；②；③0是函数的一个零点. (1)直接写出满足题意的2个条件的序号，并求出的值： (2)设，若函数在上无最小值，求的取值范围． 【答案】(1)满足①③， (2) 【分析】（1）假设函数同时满足①②，运用正弦型函数的对称性和最值性质进行运算判断即可； 假设函数同时满足①③，运用正弦型函数的对称性和零点的定义进行运算判断即可； 假设函数同时满足②③，运用正弦型函数的最值性质和零点的定义进行运算判断即可； （2）运用两角差的正弦公式、降幂公式、辅助角公式把函数的解析式化成正弦型函数解析式形式，根据正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）若函数同时满足①②： 因为，所以函数的一个对称中心为， 所以，所以， 所以，因为，所以令，得，即， 显然函数的最大值为， 因为，所以 不恒成立， 所以函数不能同时满足①②； 若函数同时满足①③： 由上可知满足①时，， 因为， 所以0是函数的一个零点，所以函数可以同时满足①③； 若函数同时满足②③： 因为，所以当时，函数有最大值， 所以有， 因为，所以令，得，即， 因为， 所以0不是函数的一个零点，所以函数不能同时满足②③； （2）由（1）可知：， ， 当时，， 因为，且函数在上无最小值， 所以， 所以的取值范围. 12．已知是上的偶函数， (1)求的取值集合； (2)若，函数在上的最大值为－1，求的值以及的单调递减区间． 【答案】(1) (2)；单调递减区间为 【分析】（1）利用偶函数的性质，展开并整理函数表达式，解出，得到的取值集合； （2）先根据的范围确定其具体值，化简后代入，再通过三角恒等变换将化为单一三角函数形式，结合区间求最大值以确定，最后根据复合函数单调性求出单调递减区间. 【详解】（1）因为 ， 所以 因为是上的偶函数，所以对，， 所以，即，解得， 即的取值集合为. （2）若，由（1）可知， 则 所以 因为，所以，所以， 所以当时，取得最大值， 即，解得， 所以， 由，解得， 即的单调递减区间为. 【点睛】借偶函数定参数，化标准式整体代换求最值与单调区间. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01正(型)函数图像与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型01五点法作正弦(型)函数图像 题型02正弦(型)函数解不等式（定义域问题） 题型03正弦(型)函数周期问题（求参） 题型04正弦(型)函数单调性问题（求参） 题型05正弦(型)函数值域(最值)问题（求参） 题型06正弦(型)函数奇偶性问题（求参） 题型07正弦(型)函数对称性问题（求参） 题型08正弦(型)函数有关零点问题（求参） 题型09正弦(型)函数综合运用 B综合攻坚・能力跃升 题型01五点法作正弦(型)函数图像 1．已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 2．用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2)； (3)． 3．已知函数. (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)若，且，求的值. 4．已知函数．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图象.    题型02正弦(型)函数解不等式（定义域问题） 5．函数的定义域为______． 6．函数的定义域为________. 7．不等式的解集为_____________． 8．已知． (1)且，求的值； (2)解不等式． 9．已知函数.求在上的解集. 10．已知函数.求不等式的解集. 题型03正弦(型)函数周期问题（求参） 11．函数的最小正周期为________. 12．已知函数（其中）的最小正周期为2，则的值为________. 13．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 14．函数的最小正周期为（     ） A． B． C． D． 15．已知函数.求的最小正周期； 16．函数，则______． 17．若的最小正周期为，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 题型04正弦(型)函数单调性问题（求参） 18．的减区间为（   ） A． B． C． D． 19．已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 20．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 21．函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 22．已知函数在上单调递增，则的取值范围为_____________． 23．已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．5 24．已知函数的图象经过点，若在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 26．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型05正弦(型)函数值域(最值)问题（求参） 27．已知函数，当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．函数的最大值为_______． 29．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的值域； 30．函数（）的最大值为________． 31．若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________． 32．已知函数 (1)求函数 在上的单调递增区间; (2)若函数在的值域为 求α的取值范围. 33．已知． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间的值域为，求实数a的取值范围． 34．已知函数在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值，则的范围为（    ） A． B． C． D． 35．关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．是偶函数 B．最大值为2 C．最小值为-2 D．不是周期函数 36．已知函数在的最大值和最小值分别为，则___________． 37．已知函数，，则（    ） A．12 B．－12 C．－17 D．17 38．函数是（    ） A．偶函数，且最小值为 B．偶函数，且最大值为 C．周期函数，且在上单调递减 D．非周期函数，且在上单调递减 题型06正弦(型)函数奇偶性问题（求参） 39．已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 40．若函数为偶函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 41．设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 42．函数是（   ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 题型07正弦(型)函数对称性问题（求参） 43．已知函数（）的最小正周期为，点是其图象的一个对称中心，则的最小值为（） A． B． C． D． 44．函数的图象的对称中心和对称轴方程分别为_____________． 45．已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 46．已知满足，，且在上单调，则ω的最大值为（    ） A． B． C． D． 47．记函数的最小正周期为，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 题型08正弦(型)函数有关零点问题（求参） 48．已知函数的最小值为-5． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)求方程在上的所有根的和． 49．已知函数，其中 (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若图象的相邻两条对称轴之间的距离是， （i）当时，求函数的值域； （ii）若关于的方程在上有两个不同的根，，，求的取值范围. 50．已知函数在区间上单调，且满足，若函数在上有且仅有4个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 51．若函数的最大值为2，一个零点为，则________； 52．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 53．已知函数（其中）在区间上没有零点，则的取值范围为________. 题型09正弦(型)函数综合运用 54．已知函数在上单调递增，且当时，，则的取值范围为（） A． B． C． D． 55．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的最小值． 56．已知函数． (1)若点是角终边上一点，求的值； (2)若，求函数的最小值． 57．已知函数． (1)求函数的单调递减区间． (2)若，求的最大值和最小值． (3)若是第一象限角，求的值． 58．已知函数． (1)若，求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 59．设常数R，函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)若，求方程在区间上的解； (3)若函数在区间上存在最大值，求出正实数的取值范围. 1．函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 2．若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．函数的单调性是（   ） A．在上单调递增，在上是单调递减 B．在上单调递增，在和上单调递减 C．在上单调递增，在上单调递减 D．在与上单调递增，在上单调递减 5．已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的最小值为________. 7．已知函数是偶函数，则___________． 8．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为______． 9．已知函数，的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)当时，求函数的单调递增区间． 10．已知函数同时满足下列3个条件中的2个．这3个条件为： ①；②；③0是函数的一个零点. (1)直接写出满足题意的2个条件的序号，并求出的值： (2)设，若函数在上无最小值，求的取值范围． 12．已知是上的偶函数， (1)求的取值集合； (2)若，函数在上的最大值为－1，求的值以及的单调递减区间． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $