专题17.4一元二次方程的根与系数关系（高效培优讲义，2知识&4题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题17.4一元二次方程的根与系数关系 教学目标 1.掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能准确记忆并表述（）中两根、与系数的关系：、。 2.熟练掌握与两根有关的代数式（平方类、倒数类、倍数类等）的常见变形方法，能结合韦达定理对代数式进行转化、求值。 3.能运用根与系数的关系及代数式变形，解决简单的计算、求值问题，提升代数运算和逻辑推理能力。 教学重难点 教学重点 1.一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的理解和记忆，能准确运用定理写出两根和与两根积。 2.与两根有关的代数式的常见变形方法，重点掌握平方类（）、倒数类（）的变形推导及应用。 教学难点 1.韦达定理的推导过程（结合求根公式推导），理解定理的适用条件（、方程有实数根时判别式）。 2.复杂代数式的变形技巧，能根据代数式的结构特点，灵活运用完全平方公式、平方差公式、通分等方法，将未知代数式转化为两根和与两根积的形式。 3.运用根与系数关系解决问题时，注意符号问题、定义域限制（如倒数类变形中、），避免易错点。 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根为x1，x2，那么x1+x2=－，x1x2= . 这个关系通常称为韦达定理 . 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的一般形式为x2+px+q=0. 设它的两个根为x1，x2，这时有x1+x2=-p，x1x2=q. 【即学即练1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．5 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系，直接利用根与系数之间的关系求解即可．熟练掌握根与系数之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【即学即练2】（22-23八年级下·安徽亳州·期中）设一元二次方程的两个实根为和，则＝（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】D 【分析】直接根据根与系数的关系计算即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ， 故选：D． 知识点02 与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 1. 两根的平方和： 推导过程：由完全平方公式，移项可得： 示例：若，，则。 2. 两根的平方差： 推导过程：利用平方差公式因式分解，转化为两根和与两根差的乘积： 补充：两根差的绝对值，可由完全平方公式推导： ，因此（根号下需满足非负，即方程有实数根时适用）。 示例：若，，则，其中，故。 3. 更高次平方变形： 推导过程：逐步转化，先求平方和，再对平方和求平方，消去交叉项： 示例：若，，则，进而。 4. 两根的倒数和： 推导过程：通分后，分子为两根和，分母为两根积： 示例：若，，则。 5. 两根的倒数差： 推导过程：通分后，分子为两根差，分母为两根积，结合两根差的绝对值公式： ，其绝对值为。 示例：若，，则，故，即。 6. 两根倒数的平方和： 推导过程：先对倒数和求平方，再减去2倍的倒数积（即的平方）： 示例：承接上例，，，则。 7. 含常数倍数的和与积：、 推导与计算： ：直接提取系数，代入两根积计算。 ：若a=b，则可提取系数，转化为；若a≠b，需结合题目已知条件（如额外给出的关系式），或利用两根的基础关系拆分。 示例：若，，则；。 8. 交叉项组合： 推导过程：提取公因式，转化为两根积与两根和的乘积： 示例：若，，则。 9. 两根差的绝对值： 推导过程（前文补充，此处重点强调应用）： 注意：根号下的表达式（判别式），当判别式≥0时，两根为实数，绝对值有意义；当判别式<0时，两根为虚数，绝对值变形需结合复数性质（初中阶段暂不涉及）。 10. 含根式的组合： 推导过程：先对根式进行化简，通分后凑出两根和与积，再利用平方非负性开方： 首先，确保（两根同号），否则根式无意义； 设，两边平方得： 因此，（因y为根式和，恒为非负）。 【即学即练1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）方程的两个根分别为，，则_____ 【答案】37 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形， 正确把握根与系数关系是解题关键，根据，结合可得答案． 【详解】解：∵是方程的两根， ， ， 故答案为：37． 【即学即练2】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) (2) 【详解】（1）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ． 题型01 利用根与系数的关系求代数式的值 【例1-1】（23-24九年级上·安徽芜湖·月考）已知一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 【例1-2】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）已知、是方程的两根，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系，掌握这两个知识点是关键；由一元二次方程根的意义，得，即；由一元二次方程根与系数的关系，得，最后整体代入即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，即；； ∴ ． 【例1-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）设，是一元二次方程的两个根，不解方程，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：由题得：，， ∴ ． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若，是一元二次方程的两根，则的值为______. 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程两根之间的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式因式分解，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系求得和，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程都有实数根； (2)当时，已知是关于的一元二次方程的两个根，不解方程求的值． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式及根与系数的关系． （1）证明根的判别式，可得结论； （2）将代入方程，根据根与系数的关系得到，再代入代数式求值． 【详解】（1）， 无论k为何值，，即， 关于x的一元二次方程都有实数根； （2）当时，原方程为，则， ． 题型02 已知含字母的一元二次方程的一个根求另一个根及字母的值 【例2-1】（24-25八年级下·安徽六安·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键； 设该方程的另一个根为，则根据根与系数的关系得，然后解方程即可． 【详解】解：设该方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，得， 解得， 即该方程的另一个根为． 故选：A 【例2-2】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程有一个实数根为，且，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当，时， C．方程的另一个实数根不可能是 D．方程的另一个实数根有可能是1 【答案】D 【分析】此题主要 考查了一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义等知识．根据已知条件，将根代入方程得到关系式，并结合分析各选项的正确性． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个实数根为， ∴， 即， ∵， ∴与符号相反， 当时，，，即，得到，故选项A正确； 当，时，则，则，即，得到，故选项B正确； 若方程的另一个实数根是，则方程有两个相等的实数根，则，即， 即，则，与已知矛盾， ∴方程的另一个实数根不可能是， 故选项C正确； 若方程的另一个实数根是1，则，即，， ∴，与已知矛盾， 即方程的另一个实数根不可能是1， 故选项D错误，符合题意． 故选：D 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，已知方程的一个根为，利用根的和等于即可求出另一个根即可. 【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选 C． 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）已知是关于的一元二次方程的一个根． (1)求的值； (2)求此方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）将代入方程，求解即可获得答案； （2）设此方程的另一个根为，结合一元二次方程的根与系数的关系，即可求得答案． 【详解】（1）解：是关于的一元二次方程的一个根， ， ，即的值是； （2）设此方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 即此方程的另一个根为． 【变式2-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）在一个数学密码游戏中，规定在一元二次方程中，若，则称a是该方程的特殊中点值，密码的一部分就由这个“特殊中点值”来确定． (1)现在给出方程，为了获取密码信息，求该方程的特殊中点值是_____． (2)已知在另一个用于生成密码的一元二次方程中，其特殊中点值是4．其中一个根是3，求n的值及方程的另一个实数根． 【答案】(1)5 (2)，方程的另一个实数根为5． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． （1）根据方程的中点值的定义计算； （2）利用方程的中点值的定义得到，再把把代入计算出的值，再利用根与系数的关系即可求得方程的另一个实数根． 【详解】（1）解：∵， ∴方程的中点值为5； 故答案为：5； （2）解：∵， ∴， 把代入得， 解得， ∴一元二次方程为， 设方程的另一个根为， ∴， 解得， ∴，方程的另一个实数根为5． 题型03 已知一元二次方程的两根关系求字母的取值 【例3-1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，解得，，结合根的判别式作答即可． 【详解】解：由根与系数关系可得，， 代入得， 即 解得：， ∵原方程有实数根， ∴， 解得 因此不满足，舍去， 综上，， 故选：B． 【例3-2】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【例3-3】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， （1）的取值范围是______； （2）若，则m的值为______． 【答案】 且 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式， 对于（1），根据，且，可得答案； 对于（2），根据一元二次方程根与系数的关系得，再整理，并代入求出解即可. 【详解】解：（1）由题意知，，且， 解得，且， 的取值范围是，且. 故答案为：，且； （2）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴ 整理得：， 解得： 由知，，且， ， 故答案为： 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此根据相反数的定义可得，且，计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根互为相反数， ∴，且， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于x的方程 (1)说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； (2)若该方程的两根分别是，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数以及根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）先计算判别式得到，根据非负数的性质得，然后根据判别式的意义即可得到方程总有两个实数根； （2）根据，再结合，得出，代入原方程进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ∴此方程总有两个实数根； （2）解：方程的两根分别是， ①． ②， ∴由，得， ． 将代入原方程，得， 解得：． 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)当时，该方程根的判别式_____； (2)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (3)若该方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)13 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）首先得到方程，然后根据判别式求解即可； （2）证明出即可； （3）首先由根与系数的关系得到，，然后将展开整体代入求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴ ∴； （2）证明： ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （3）解：由根与系数的关系，得，． ， ． ，即． 解得，． 题型04 有关根与系数的创新题 【例4-1】（24-25八年级下·安徽六安·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”． (1)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出的值； (2)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)的值为； (2)代数式的值为或． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据新定义，设方程的两个根，由根与系数的关系列方程，即可解得的值； （2）解方程，由新定义得两根之间的关系，分类讨论，分别代入代数式，化简求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，设一元二次方程的两根分别为，， 由根与系数的关系可得，，， ∴， ∴， 答：的值为． （2）解：由可得，，， ∵是“2倍根方程”， ∴，或， ∴或， 当时，， 当时，，， 答：代数式的值为或． 【例4-2】（23-24八年级下·安徽安庆·期末）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”．例如：，因为，所以169是“如意数”． (1)已知一个“如意数”（、b、，其中a，b，c，为正整数），请直接写出a，b，c，所满足的关系式 ； (2)利用（1）中“如意数”k中的a，b，c，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 【答案】(1) (2) (3)121，242，363，484 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清“如意数”的定义． （1）根据如意数的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （3）求出m、n互为倒数，又得出，，求出，，结合如意数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是如意数， ，即； 故答案为：； （2）解：是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根， ，， 将两边同除以得：， 将m、看成是方程的两个根， ， 方程有两个相等的实数根， ，即； 故答案为： （3）解：，， ，， ， ， ， ， 解得：， 满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 【例4-3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读理解： 材料1：如果实数m，n满足 ，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m，n看作是此方程的两个不相等的实数根． 材料2：关于x的一元二次方程 ，当时，该方程的正根称为黄金分割数．黄金分割数广泛应用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数a，b满足：，且，则 ． (2)求黄金分割数； (3)已知实数m，n，t，满足：，且，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程． （1）根据题意，得到实数，是方程 的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）利用公式法解一元二次方程，取正根即可； （3）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可． 【详解】（1）解：实数，满足：，， ，是方程的根， ，， ； （2）解：一元二次方程的正根称为黄金分割数， 解方程， ， ∴黄金分割数为； （3）解：实数、、满足：， ，是方程的解， ，， ， ，， 解得， ， ． 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； (3)若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 【答案】(1)方程为波浪方程，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； （3）根据根与系数的关系推出，根据波浪方程的定义得到，据此得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； （3）解：∵一个波浪方程的两个根分别为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴这个波浪方程为． 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若，是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)53 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念以及根与系数的关系．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质以及根与系数关系求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； 故答案为：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，，解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵，是此方程的两个不相等实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽滁州·月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间满足的等量关系为__________； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)的值为0． 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解题关键． （1）求解一元二次方程即可进行判断； （2）设方程的两个根分别为：，根据根与系数的关系消去即可求解； （3）方程的两个根为：，根据题意可得或，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∵，， ∴该方程不是“倍根方程”， 故答案为：不是； （2）解：设方程的两个根分别为：，， 则由根与系数的关系可得：，， 消去得：， 故答案为：； （3）解：方程的两个根为：， ∴或，即或， 当时， ； 当时，； 故：的值为0． 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设该方程的另一个根为t，则根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而问题可求解． 【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选 C． 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是和，则的值等于（    ） A．16 B．9 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系． 将方程化为一般式，利用根与系数的关系求出，进而求解即可． 【详解】解：一元二次方程可化为， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）实数、满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得实数、可以看做是关于的方程的两个不同的实数根，则由根与系数的关系可得，则，据此可得． 【详解】解：∵实数、满足， ∴实数、可以看做是关于的方程的两个不同的实数根， ∴， ∴， ∴， ， 故选：A． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若实数满足，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题意，实数、满足方程且，即、是该方程的两个不同根．利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形解答即可． 【详解】解：∵实数满足， ∴实数可以看作是方程的实数根， ∴，， ∴， ∴或． 故选C． 5．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如果关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若一元二次方程（均为常数）为“邻根方程”，下列选项符合满足的数量关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，根据题意，设方程的两个根分别为，利用根与系数的关系建立方程组，消去即可得到满足的数量关系，熟记一元二次方程根与系数关系，理解题中新定义方程概念是解决问题的关键． 【详解】解：设关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根为， ①，②， 则由①得，将其代入②得， 化简可得， 故选：C． 6．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意； ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意；④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意． 正确的结论为②④， 故选：B． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程： ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程有一根为； ③无论或，方程都有两个不相等的实数根； ④若是方程的一个根，则式子一定成立． 以上说法正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活应用方程的根与等式的变形是解题关键． ①利用根与系数关系求出b、c表达式，验证等式是否成立； ②代入验证是否满足方程； ③根据所给式子，利用判别式分别对方程的根的情况进行判断即可； ④将所求式子作差，判断差的情况即可． 【详解】解：①∵方程的两个根为和1， ∴ ， ，∴，， ∴，故说法①不正确； ②若，代入得，即方程有一根为，故②正确； ③当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根， 当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根， 故说法③正确； ④∵是方程的一个根，∴ ， ∵ ∴，故说法④正确． 综上，正确说法为②③④， 故选：C． 8．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）若是方程的两个根，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为： 9．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则_________    ． 【答案】2026 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根于系数的关系，解题的关键是掌握根于系数关系的公式．利用一元二次方程根的定义和根于系数的关系将原式进行转换求解即可． 【详解】解：∵a、b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案是：2026． 10．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）若，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，因为是方程的根，所以，把整理可得：原式，然后再整体代入求值即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ， 是方程的根， ， 整理可得：， ． 故答案为：． 37．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式等知识点，灵活运用一元二次方程的相关知识成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义和根与系数的关系得到：，解得或，然后再运用根的判别式验证即可． 【详解】解：设方程的两根为， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数， ∴，解得：或， 当时，原方程变形为，该方程无实数根； 当时，原方程变形为，，故该方程有两个不等实数根，符合题意． 故答案为：． 38．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的关系可得，则，解方程可得或，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ， ∴， ∴， 故答案为：1． 11．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知等腰的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则m的值是_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，当腰长为7时，是方程的一个根，当底边长为7时，则方程有两个相等的实数根，据此分别求出两种情况下m的值，再求出方程对应的根，最后根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：当腰长为7时，则是方程的一个根， ∴， 解得或， 当时，由根与系数的关系可得方程的另一根为， ∴此时该等腰三角形的三边长分别为7，7，3， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当时，由根与系数的关系可得方程的另一根为， ∴此时该等腰三角形的三边长分别为7，7，15， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当底边长为7时，则方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴由根与系数的关系可得方程的根为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，； 故答案为：4． 12．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）某工厂要制作一批等腰三角形的零件，已知零件的三边长分别为，，，且，是通过计算机程序计算出的关于的一元二次方程的两根． （1）若此等腰三角形的腰长为，则______． （2）若此等腰三角形腰长不为，则这个三角形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论； （1）等腰三角形的性质得出或，根据一元二次方程根与系数的关系得出或，，即可求解； （2）此等腰三角形腰长不为，则，进而根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）当时，， 是关于的一元二次方程的两根， ， ； ∴； 当时，， 是关于的一元二次方程的两根， ， ； ∴； 故答案为：． （2）当时， 是关于的一元二次方程的两根， ， ， ； 故答案为：． 13．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是___________（填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为___________． 【答案】 两个不相等实根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等．熟记相关结论是解题关键． （1）根据根的判别式即可进行判断； （2）根据根与系数的关系，，可得：，进一步可寻找的规律，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴故该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． （2）设方程的两个根为：， 则，， ∴， ∴ ∴ 故答案为． 14．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）已知关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和，且，求p的值． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程、一元二次方程根与系数关系：设一元二次方程的两个根为、，则，，．根据根与系数得到，，利用完全平方公式列方程，然后求得p值，注意一定要检验p值是否使得判别式大于0，这是解答本题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和， ∴，， ∵，， ∴，即 解得，， 当时，方程为，此时，方程无实数根，故舍去； 当时，方程为，此时，满足方程有两个不相等的实数根， 综上，． 15．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于的一元二次方程． (1)请问该方程是否存在两个相等的实数根？请说明理由； (2)若该方程的两个实数根为和，且满足，求的值． 【答案】(1)该方程不存在两个相等的实数根，见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）直接根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）由根与系数的关系可知，求出，由根与系数的关系得到，进而可知的值． 【详解】（1）解：由题可知 该方程不存在两个相等的实数根； （2）由根与系数的关系可知 又 16．（24-25八年级下·安徽池州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求a的取值范围； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若是方程的两个根，则有，，掌握该知识点是解答本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，可知方程的判别式大于0，据此列不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得出，，再利用，得到，然后解关于a的方程，最后利用a的取值范围确定a的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为且，求m的值． 【答案】(1)证明见解析过程 (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）证明：因为关于的一元二次方程为， 所以， 所以此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两个实数根分别为， 所以． 又因为， 所以． 将代入方程得，， 解得：． 18．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程 (1)若方程总有两个实数根，求的最小值． (2)若方程的两根为，，，求的值． 【答案】(1)无论取何值，方程总有两个实数根（可能相等），因此，的取值范围是全体实数，没有最小值 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． （1）计算一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，将已知等式变形得出，继而解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 无论取何值，方程总有两个实数根（可能相等），因此，的取值范围是全体实数，没有最小值； （2）解：∵方程两根、， ， ， ， 即，整理得：， 解得：，即． 19．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知关于x的一元二次方程，有两个实数根 (1)求的取值范围； (2)若方程两个实数根的差为且为整数，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据根的判别式即可求出答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，， 整理得 ， ， 即， ∴a的取值范围为 且 （2）方程两个实数根的差为 即 是方程 的两个实数根， 整理得 解得 或 (不是整数，舍去)， 20．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，解一元二次方程，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）由一元二次方程根和系数的关系得到，，将变形为，代入后得到关于k的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）证明：， 其中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个根分别为和， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：，， 即k的值为或． 21．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 【答案】(1)此方程总有两个实数根，见解析 (2)0 (3)0 【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）由根的判别式即可知； （2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案； （3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得． 【详解】（1）解：此方程总有两个实数根． 理由：， 不论为何值，， 此方程总有两个实数根． （2）解：设方程的两个根为， 则，． 此方程的两个实数根都是整数， 的值为， 符合条件的整数的值的和为0． （3）解：是方程的两个实数根， ，， ，， 以上两式相加，可得， 即． 22．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)方程是“倍根方程” (2)代数式的值为或 (3)m的值为13或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、代数式求值、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． （1）利用因式分解法解方程得到、，然后根据“倍根方程”的定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到、，再根据新定义解得或；然后把或分别代入所求的代数式中求值即可； （3）设方程的根的两根分别为、，根据根与系数的关系得，，，然后求出，再计算对应的m的值即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以， ∵， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， 或， 解得，， ∵是“倍根方程”， ∴或， 或， 当时，； 当时，． 综上所述，代数式的值为或． （3）解：根据题意，设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得，， 解得，或，， 所以的值为或． 23．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）一元二次方程两根分别为，且（） (1)若此方程一个根为1，则______； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证： 【答案】(1)6 (2)； (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解； （3）将，代入方程，作差，进行因式分解得到，继而得到，然后用m表示n，再根据已知条件即可求证． 【详解】（1）解：将代入方程，则， ； （2）解：，， ，， 解得：，； （3）证明：当，，且， ①， ②， 得：， 即， 因， ， ， 由题知：， 即， 故 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.4一元二次方程的根与系数关系 教学目标 1.掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能准确记忆并表述（）中两根、与系数的关系：、。 2.熟练掌握与两根有关的代数式（平方类、倒数类、倍数类等）的常见变形方法，能结合韦达定理对代数式进行转化、求值。 3.能运用根与系数的关系及代数式变形，解决简单的计算、求值问题，提升代数运算和逻辑推理能力。 教学重难点 教学重点 1.一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的理解和记忆，能准确运用定理写出两根和与两根积。 2.与两根有关的代数式的常见变形方法，重点掌握平方类（）、倒数类（）的变形推导及应用。 教学难点 1.韦达定理的推导过程（结合求根公式推导），理解定理的适用条件（、方程有实数根时判别式）。 2.复杂代数式的变形技巧，能根据代数式的结构特点，灵活运用完全平方公式、平方差公式、通分等方法，将未知代数式转化为两根和与两根积的形式。 3.运用根与系数关系解决问题时，注意符号问题、定义域限制（如倒数类变形中、），避免易错点。 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根为x1，x2，那么x1+x2=－，x1x2= . 这个关系通常称为韦达定理 . 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的一般形式为x2+px+q=0. 设它的两个根为x1，x2，这时有x1+x2=-p，x1x2=q. 【即学即练1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．5 C． D．2 【即学即练2】（22-23八年级下·安徽亳州·期中）设一元二次方程的两个实根为和，则＝（    ） A． B．5 C． D．2 知识点02 与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 1. 两根的平方和： 推导过程：由完全平方公式，移项可得： 示例：若，，则。 2. 两根的平方差： 推导过程：利用平方差公式因式分解，转化为两根和与两根差的乘积： 补充：两根差的绝对值，可由完全平方公式推导： ，因此（根号下需满足非负，即方程有实数根时适用）。 示例：若，，则，其中，故。 3. 更高次平方变形： 推导过程：逐步转化，先求平方和，再对平方和求平方，消去交叉项： 示例：若，，则，进而。 4. 两根的倒数和： 推导过程：通分后，分子为两根和，分母为两根积： 示例：若，，则。 5. 两根的倒数差： 推导过程：通分后，分子为两根差，分母为两根积，结合两根差的绝对值公式： ，其绝对值为。 示例：若，，则，故，即。 6. 两根倒数的平方和： 推导过程：先对倒数和求平方，再减去2倍的倒数积（即的平方）： 示例：承接上例，，，则。 7. 含常数倍数的和与积：、 推导与计算： ：直接提取系数，代入两根积计算。 ：若a=b，则可提取系数，转化为；若a≠b，需结合题目已知条件（如额外给出的关系式），或利用两根的基础关系拆分。 示例：若，，则；。 8. 交叉项组合： 推导过程：提取公因式，转化为两根积与两根和的乘积： 示例：若，，则。 9. 两根差的绝对值： 推导过程（前文补充，此处重点强调应用）： 注意：根号下的表达式（判别式），当判别式≥0时，两根为实数，绝对值有意义；当判别式<0时，两根为虚数，绝对值变形需结合复数性质（初中阶段暂不涉及）。 10. 含根式的组合： 推导过程：先对根式进行化简，通分后凑出两根和与积，再利用平方非负性开方： 首先，确保（两根同号），否则根式无意义； 设，两边平方得： 因此，（因y为根式和，恒为非负）。 【即学即练1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）方程的两个根分别为，，则_____ 【即学即练2】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) (2) 题型01 利用根与系数的关系求代数式的值 【例1-1】（23-24九年级上·安徽芜湖·月考）已知一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【例1-2】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）已知、是方程的两根，则的值为_________． 【例1-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）设，是一元二次方程的两个根，不解方程，求的值． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若，是一元二次方程的两根，则的值为______. 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程都有实数根； (2)当时，已知是关于的一元二次方程的两个根，不解方程求的值． 题型02 已知含字母的一元二次方程的一个根求另一个根及字母的值 【例2-1】（24-25八年级下·安徽六安·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程有一个实数根为，且，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当，时， C．方程的另一个实数根不可能是 D．方程的另一个实数根有可能是1 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽安庆·月考）已知是关于的一元二次方程的一个根． (1)求的值； (2)求此方程的另一个根． 【变式2-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）在一个数学密码游戏中，规定在一元二次方程中，若，则称a是该方程的特殊中点值，密码的一部分就由这个“特殊中点值”来确定． (1)现在给出方程，为了获取密码信息，求该方程的特殊中点值是_____． (2)已知在另一个用于生成密码的一元二次方程中，其特殊中点值是4．其中一个根是3，求n的值及方程的另一个实数根． 题型03 已知一元二次方程的两根关系求字母的取值 【例3-1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 【例3-2】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是_____． 【例3-3】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， （1）的取值范围是______； （2）若，则m的值为______． 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则k的值为______． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于x的方程 (1)说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； (2)若该方程的两根分别是，且，求k的值． 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)当时，该方程根的判别式_____； (2)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (3)若该方程有两个实数根，且，求的值． 题型04 有关根与系数的创新题 【例4-1】（24-25八年级下·安徽六安·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”． (1)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出的值； (2)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 【例4-2】（23-24八年级下·安徽安庆·期末）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”．例如：，因为，所以169是“如意数”． (1)已知一个“如意数”（、b、，其中a，b，c，为正整数），请直接写出a，b，c，所满足的关系式 ； (2)利用（1）中“如意数”k中的a，b，c，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 【例4-3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读理解： 材料1：如果实数m，n满足 ，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m，n看作是此方程的两个不相等的实数根． 材料2：关于x的一元二次方程 ，当时，该方程的正根称为黄金分割数．黄金分割数广泛应用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数a，b满足：，且，则 ． (2)求黄金分割数； (3)已知实数m，n，t，满足：，且，求的取值范围． 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； (3)若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若，是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽滁州·月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间满足的等量关系为__________； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是和，则的值等于（    ） A．16 B．9 C．6 D．4 3．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）实数、满足，则（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若实数满足，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 5．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如果关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若一元二次方程（均为常数）为“邻根方程”，下列选项符合满足的数量关系的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④ 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程： ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程有一根为； ③无论或，方程都有两个不相等的实数根； ④若是方程的一个根，则式子一定成立． 以上说法正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 8．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）若是方程的两个根，则___________． 9．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则_________    ． 10．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）若，是方程的两个根，则的值为______． 37．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为__________． 38．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值______． 11．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知等腰的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则m的值是_____． 12．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）某工厂要制作一批等腰三角形的零件，已知零件的三边长分别为，，，且，是通过计算机程序计算出的关于的一元二次方程的两根． （1）若此等腰三角形的腰长为，则______． （2）若此等腰三角形腰长不为，则这个三角形的周长为______． 13．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是___________（填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为___________． 14．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）已知关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和，且，求p的值． 15．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于的一元二次方程． (1)请问该方程是否存在两个相等的实数根？请说明理由； (2)若该方程的两个实数根为和，且满足，求的值． 16．（24-25八年级下·安徽池州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求a的取值范围； (2)若，求a的值． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为且，求m的值． 18．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程 (1)若方程总有两个实数根，求的最小值． (2)若方程的两根为，，，求的值． 19．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知关于x的一元二次方程，有两个实数根 (1)求的取值范围； (2)若方程两个实数根的差为且为整数，求的值． 20．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根满足，求k的值． 21．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 22．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 23．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）一元二次方程两根分别为，且（） (1)若此方程一个根为1，则______； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $