专题2.5 平面向量四心问题、奔驰定理8大题型（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题2.5 平面向量四心问题、奔驰定理（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 重心问题 题型02 外心问题 题型03 内心问题 题型04 垂心问题 题型05 四心问题综合 题型06 欧拉线 题型07 奔驰定理的应用 题型08 奔驰定理与四心综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 奔驰定理 掌握奔驰定理的推导与公式的应用，以及与四心的结合。 高一阶段常作为拓展内容，多在期中期末压轴小题出现，重点考查面积比与系数比的转化 四心问题 掌握四心的定义、性质、以及公式的推导、几何意义。 重心问题作为高频考点，难度中等，常与中线性质结合，其余三心问题相对较少。 知识点01 三角形的重心 若点为的重心，为角所对的边 1、重心：三角形各边中线的交点，重心在中线的三等分点处。 2、重心的性质： ①重心的坐标为（其中） ② ③ ④若为所在平面内一点，则有 ⑤若或，，则一定经过三角形的重心 ⑥若或，，则一定经过三角形的重心. 知识点02 三角形的外心 若点为的外心，为角所对的边 1、外心：三角形各边的中垂线的交点，即三角形外接圆的圆心，其到三角形三个顶点的距离相等。 2、外心的性质： ①（根据外心到三个顶点距离相等） ② （根据中垂线可推导出） ③（根据奔驰定理推导出） ④动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心.（将移到式子左边，两边同时 化简两边都为0） ⑤；（根据投影向量可推导出） 知识点03 三角形的内心 若点为的内心，为角所对的边 1、内心：三角形角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。 2、内心的性质： ①，则直线经过的内心（从几何意义理解） ②（可以从到的投影数量与其到的投影数量相等去推导） ③（根据奔驰定理推导出） ④若为所在平面内一点，则有（可以由③推导出） ⑤（可以由③推导出，或者直接由奔驰定理推导出） 知识点04 三角形的垂心 若点为的垂心，为角所对的边 1、垂心：三角形各边高线的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、垂心的性质： ①，则直线经过的垂心（两边同时 化简两边都为0） ②（根据垂直可得） ③（根据奔驰定理推导出） ④（可以由③推导出，或者直接由奔驰定理推导出） 知识点05 奔驰定理 1、奔驰定理：当时，有 证明：延长与交于点，根据共线定理有 根据有 由共线定理有 ,根据代入 ) 移项合并有 2、奔驰定理的四心应用： ①为重心：各边中线的交点，则，代入有 ②为内心：内角平分线的交点，则代入有 ③为外心：各边中垂线的交点，则，代入有 ④为垂心：各边高线的交点，则，代入有 题型一 重心问题 解｜题｜技｜巧 利用重心的定义以及其性质。常用的，从几何意义去理解。 【典例1】（25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【分析】由题意为平面内的动点，是平面内不共线的三点，满足，可得出必过的中点，由此可以得出点的轨迹一定过三角形的重心． 【详解】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 【典例2】（2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 【变式1】（25-26高一上·北京·期末）已知的重心为，若其所在平面内有4个不同点满足给出下列四个结论： ① ② ③的最小值为3 ④的最大值为18 其中正确结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对于①，设的中点为，由的重心为，得到，从而得到，从而得解；对于②，利用向量的加法求出，由得到，从而得到；对于③，由，得到点在以为圆心，半径的圆上，当所有点共线且在同侧时，相邻点距离最小，从而得到的最小值，从而得解；对于④，由，得到点在以为圆心，半径的圆上，当点共线且交替在的两侧时，相邻点的距离最大，求出的最大值，从而得解. 【详解】对于①，设的中点为， 的重心为， ，， ， ， ，故①正确；    对于②， ， ， ，， ，，故②错误；    对于③，， 点在以为圆心，半径的圆上， 当所有点共线且在同侧时，相邻点距离最小， 即， 的最小值为，故③正确； 对于④，， 点在以为圆心，半径的圆上， 当点共线且交替在的两侧时，相邻点的距离最大， 且最大为， 的最大值为，故④错误. 故选：B. 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（    ）一定属于集合. A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，根据正弦定理得出，代入关系式由向量的加减法化简，得出与共线，由此得出点P的轨迹，得出答案. 【详解】   中，根据正弦定理， ，即. 设，， 所以， ， ， 设D为中点，则，故， 所以共线， 点的轨迹为射线（不含端点）. 的重心一定属于集合. 故选：A. 题型二 外心问题 答｜题｜模｜板 利用外心的定义以及其性质。常用的（根据外心到三个顶点距离相等）跟 （根据中垂线可推导出） 【典例1】（25-26高一·全国·假期作业）已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（     ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】为的中点，由得，则点的轨迹必通过的外心. 【详解】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 故选：B 【典例2】（25-26高三上·江苏·月考）已知为锐角的外心，角的对边分别为，且，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的运算法则和数量积的几何意义可得，结合余弦定理计算求得的取值范围，最后由三角形的面积公式可求得结果. 【详解】如图，分别作的中点，连接，由题， 因为，所以， 即，则， 因为，所以，即； 因为为锐角三角形，即，所以； 所以，即，解得，所以； ，即，解得， 所以，所以，所以， 所以面积， 又，所以； 所以由得. 故选：A. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知是所在平面内的一定点，平面内动点满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】令的中点，利用向量的线性运算及数量积的运算律、数量积的定义计算判断. 【详解】令的中点，则，由， 得，即， 因此 ，则，点在的垂直平分线上， 所以动点的轨迹一定经过的外心. 故选：B 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知三角形的外心满足，则_____． 【答案】/ 【分析】依题意可得，平方后求出，再由二倍角公式得到，最后应用同角三角函数关系求出答案. 【详解】不妨设的外接圆半径 因为，所以， 两边平方得：， 因为三角形的外接圆半径为1，所以， 故，解得：， 因为，而， 所以， 因为， 故. 故答案为： 题型三 内心问题 答｜题｜模｜板 利用内心的定义以及其性质。，则直线经过的内心（从几何意义理解） 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【分析】条件可转化为 ， ，结合数量积的定义证明 ， ，由此确定的位置. 【详解】因为 ， 所以 ， ， 即 ， ， 所以 ， ． 所以，， 又， 所以 ， ， 所以 在 的平分线上， 也在 的平分线上， 所以点 是 的内心． 故选：C． 【典例2】（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】设，分析得到是的角平分线，从而，所以点的轨迹经过的内心. 【详解】因为， 所以． 设， 因为，所以点在线段上且， 由角平分线的性质得是的角平分线， 而，所以点的轨迹经过的内心. 故选：A． 【变式2】2025高三·全国·专题练习）在中，是不同于三角形顶点的一点，若，证明：点的轨迹过内心． 【答案】证明见解析 【分析】根据给定的向量等式，可得，结合两个单位向量的和组成的菱形的性质，即可判断点在的角平分线上即可. 【详解】由可得：， 如图，设,,则， 作,则四边形为菱形，故平分, 又， 即点在的角平分线上，故点的轨迹过内心． 题型四 垂心问题 答｜题｜模｜板 从垂心的定义出发，三角形各边高线的交点，，则直线经过的垂心（两边同时 化简两边都为0） 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 【典例2】（25-26高三上·重庆·月考）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】先将整理，得到，再利用平面向量的三角形法则，求出，得到，从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 【详解】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知O是斜三角形所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的________心． 【答案】垂 【分析】将已知等式移项，通过向量的减法运算变形，再利用数量积为0说明垂直关系进而判断. 【详解】由 ， 又因为， ， ， 所以，所以， 所以点P在的高线上，即P的轨迹过的垂心. 故答案为：垂. 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知在同一个平面上有和一点，且满足关系式：，则为的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据可得，同理根据可得：，所以为的垂心. 【详解】由， ，所以. 同理由可得：. 所以为的垂心. 故选：D 题型五 四心问题综合 答｜题｜模｜板 将四心的几何性质转化为向量等式——重心用中线交点及向量和为零，垂心用高线对应垂直（数量积为零），外心用顶点等距（模相等），内心用角平分线性质（边长比例转化为向量比例）。 【典例1】（25-26高三上·山东青岛·月考）在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列说法中正确的有（   ） A．若点O为△ABC的重心，则 B．若点O为△ABC的外心，则 C．若点O为△ABC的垂心，则 D．若点O为△ABC的内心，且，则 【答案】ACD 【分析】A选项，根据重心性质和向量的平行四边形法则来判断；B选项，根据外心性质和向量的数量积运算法则求解即可；C选项，根据垂心性质和向量的数量积运算法则求解即可；D选项，根据三角形内心的性质及向量三点共线求系数和即可. 【详解】A选项，如图1，设BC中点为D，则，由于点O为△ABC的重心，则，所以，A选项正确； B选项，如图2，设AB中点为E，由于点O为△ABC的外心,则垂直，，B选项错误； C选项，如图3，作，垂足为，则在上，在△ABC中由余弦定理可得，在直角△ACF中，， 所以，C选项正确； D选项，如图4，设△ABC的内切圆半径为，由可得， 则，， 由，且为三角形内角，可得，， 则， 延长交于点， 则即， 则，则， 由于B、C、G三点共线，则，，D选项正确； 故选：ACD. 【典例2】（多选）（25-26高一上·云南昆明·期末）（多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 【答案】ABC 【分析】以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求出即可得解. 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 【变式1】（多选）（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 【答案】BCD 【分析】建立平面直角坐标系，对于A、C、D：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可． 【详解】在中，，，为内的一点， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 对于选项A：若为的重心，则，，则， 所以， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项A不正确； 对于选项B：若为的外心，其必在直线上， 所以，故选项B正确； 对于选项C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项C正确； 对于选项D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，即选项D正确． 故选：BCD． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是______． ①若动点满足，则点为的重心； ②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心； ③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心； ④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心． 【答案】①②③④ 【分析】根据平面向量运算的几何表示，结合三角形五心的定义，可得答案. 【详解】对于①，因为动点满足，所以，则点是的重心，①正确． 对于②，，所以， 所以点在的平分线所在直线上，所以动点的轨迹一定经过的内心，②正确． 对于③，，所以， 过点作，垂足为，如下图： 则，所以， 则点在边上的中线所在直线上，因此动点的轨迹一定经过的重心，③正确． 对于④，，所以， 所以， 所以，所以动点的轨迹一定经过的垂心，④正确． 故所有正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④. 题型六 欧拉线 答｜题｜模｜板 先利用向量条件求出 中任意两点的坐标或向量表示，再通过线性关系验证共线或求参数；常见于新定义或探究题，需熟练运用重心公式与外心、垂心的向量性质。 【典例1】（多选）（25-26高一下·湖北荆州·月考）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】选项A用表示，代入数量积公式；选项B用表示，代入数量积公式；选项C由求出，代入模长公式计算；选项D根据欧拉线定理得到. 【详解】因为是的重心，， 又， ，选项A正确； 因为是的外心， ，， ， 选项B错误； 若，， 可得， ， 则，选项C正确； 根据已知条件，，即， ， 所以，选项D正确. 【典例2】（多选）（24-25高一下·江苏南通·月考）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角形的外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可. 【详解】对A：由是的重心可得， 所以，故A项错误； 对B：过的外心分别作， 的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则 ，故B项正确； 对C：因为是的重心，所以有， 故， 由欧拉线定理可得，故C项正确： 对D：如图(2)，由于，可得， 所以，故D正确． 故选:BCD. 【变式1】（2025·海南·模拟预测）瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数________；________． 【答案】 3 或 【分析】根据重心的性质得出，进而都化为以点为起点的向量，即可得出空一；根据正弦定理得出或.然后分类讨论，建立坐标系，求出点的坐标，进而得出答案. 【详解】如图1，设中点为，，垂足为， 则，. 根据重心的性质可知， 所以有， 整理可得， 所以，，； 由已知在中，，，且， 根据正弦定理可得， . 又，所以有或. 当时，，则. 且由余弦定理可知， ， 代入可得，， 整理可得， 解得（舍去）， 所以. 如图1，，，，. 建立直角坐标系， 则，，，. 不妨设， 则，. 因为， 所以，， 即有， 解得，所以. 又，，， 所以. 所以，， 所以，. 又由欧拉定理可知，， 所以，； 当时，，则. 且由余弦定理可知， ， 代入可得，， 整理可得， 解得（舍去）， 所以. 如图1，，，，. 建立直角坐标系， 则，，，. 不妨设， 则，. 因为， 所以，， 即有， 解得，所以. 又，，， 所以. 所以，， 所以，. 又由欧拉定理可知，， 所以，. 故答案为：3；或. 【点睛】思路点睛：根据正弦定理得出或.然后分类讨论，建立坐标系，求出点的坐标，进而得出答案. 【变式2】（多选）（24-25高一下·安徽芜湖·期中）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，且，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【分析】A选项，作出辅助线，得到，由向量数量积公式得到；B选项，作出辅助线，利用向量数量积的几何意义得到；C选项，，故，由欧拉线定理可知，，故C项正确；D选项，由余弦定理和同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，故，从而. 【详解】A选项，延长交于点，由于点是的重心， 可得， 所以，故A正确； B选项，过的外心分别作的垂线，垂足为，如图， 易知点分别是的中点， 则 ，故B项错误； C选项，因为点是的重心，所以， 故 ， 由欧拉线定理可知，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， 即，所以，则，故C项正确； 对D选项，作于，则为中点， ， 由余弦定理可得，则， 设外接圆半径为，则，即， 则， 则 ，故D项错. 故选：AC 题型七 奔驰定理的应用 答｜题｜模｜板 已知向量系数关系可直接得面积比；反之已知面积比可求系数关系。常与重心（系数相等）、内心（系数为边长）等特殊点结合考查。将条件化为从同一点出发的向量和为零，系数即为对应三角形面积比。若系数含参数，通过面积和为总面积的约束求参数值。 【典例1】（25-26高三上·广东·月考）已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，利用三角形相似及三角形面积的关系求解即可. 【详解】如图， 设，作平行四边形，对角线与底边相交于点， 则，则共线， 因为，故，则， 又，故，则， ，即， 故选：B 【典例2】（25-26高三上·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B 【变式1】（25-26高三上·北京顺义·月考）设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据条件，得到，从而有且，即可求解. 【详解】因为，得到， 如图，且，则到的距离等于到的距离相等， 又，所以， 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·黑龙江绥化·开学考试）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令是的中点，利用平面向量的线性运算，可得，从而有∥，即得，进而可求出三角形面积之比. 【详解】由得, 即, 令是的中点，则, 所以 所以∥， 所以, 即    故答案为：D. 题型八 奔驰定理综与四心综合应用 答｜题｜模｜板 将四心的向量关系式整理为 的形式。 【典例1】（多选）（2026高三·全国·专题练习） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【答案】ABC 【分析】对于A，取中点，连接，由题意可得，即有，同理可得，，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得，整理即可判断；对于C，由题意可得，再由三角形的面积公式可得 ，，设，可得，进而可得，，，即可判断；对于D，设的外接圆半径为，根据题意及三角形的面积公式可得，，，即可判断. 【详解】A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线， 所以M为的重心，A正确； B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； C选项，若M为的垂心，， 则， 如图，⊥，⊥，⊥，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， 同理可得，即，故， ，则， 故， ，则， 故， ， 故， 同理可得， 故，C正确； D选项，若，，M为的外心， 则， 设的外接圆半径为，故， ， 故，，， 所以，D错误. 故选：ABC 【典例2】（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则．如图，设是内一点，的三个内角分别为，，，的面积分别为，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】AD 【分析】根据奔驰定理即可求解A，根据重心的性质即可求解B，根据外心的性质，结合三角形面积公式可求解C，利用面积公式，结合内心的性质求解D. 【详解】对于A，由奔驰定理可得，， 因为不共线，所以，故A正确； 对于B，若是的重心，则，因为， 消去，可得，即三点共线，与题意不符，故B错误； 对于C，当为的外心时，，所以， 故由A项结论，， 即，故C错误； 对于D，当为的内心时，， 因，（为内切圆半径，分别为角的对边）， 则，所以，即，故D正确． 故选：AD 【变式1】（24-25高一下·河北·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可. 【变式2】（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，为内任意一点，内角所对的边分别为的面积分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则 C．若为的内心，，则 D．若是的外心，，则 【答案】ACD 【分析】对于A：利用重心的性质，代入即可；对于B：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值.对于C：利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断；对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案. 【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点， 所以，， 同理可得、， 所以， 又因为， 所以.正确； 对于B：因为， 所以，所以， 所以， 所以， 化简得：， 又因为不共线， 所以，所以， 所以，错误； 对于C，若为的内心，，则.， 又（为内切圆半径）， 所以，，故，正确； 对于D：因为是的外心，，所以，， 所以， 因为，则， 化简得：，由题意知不同时为正， 记，，则， 因为，所以， 所以， 所以，正确. 故选：ACD. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026高一·全国·专题练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为，则， 所以是的外心. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质即可判断. 【详解】由，得， 设边的中点为，则， 所以，因此三点共线， 所以点的轨迹一定通过的重心. 故选：C. 3．（2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用重心的性质及平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为点是的重心，所以，即， ， 又不共线，所以，故. 故选：C 4．（25-26高一下·湖北十堰·月考）在中，已知，点为三角形的外心，则______． 【答案】/ 【分析】先根据余弦定理求出的长度，再根据外心的性质以及数量积的定义求解即可. 【详解】中，，由余弦定理可得： ，. 因为点为三角形的外心，所以在上的投影为. . 5．（2025高三·全国·专题练习）已知的外心为，且，则__________． 【答案】 【分析】设的外接圆半径为，然后利用向量数量积计算即可 【详解】不妨设的外接圆半径为． 由得， 所以，故． 同理可得． ． ， ． ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025高三·全国·专题练习）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则P点的轨迹一定通过三角形ABC的________心． 【答案】重 【分析】利用正弦定理化简已知条件得到，由此判断出点的轨迹经过重心. 【详解】由正弦定理可知：，R为三角形的外接圆的半径， 所以动点P满足． 则， 因为是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线以A为起点的向量，方向与边上的中线方向相同， 所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心． 故答案为：重 2．（25-26高三上·上海·月考）设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算及向量共线定理即可求解. 【详解】因为是中点， 所以， 所以． 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知为的垂心，且，，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先由已知向量和垂心得，，，，再由已知的向量和对应边的向量垂直得三边的关系，进而算出余弦及正弦. 【详解】设的三角对应的三边分别为， ， 整理得，， 因为，不共线，因此， 又因为，， 解得，，，． 因为为的垂心，所以 ， ， ， ， ， ， 则， 所以. 故选：B． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知为的垂心，，，若，则______． 【答案】 【分析】设，根据向量线性运算得到，并结合余弦定理求出，，，根据得到方程组，求出，，从而得到答案. 【详解】因为，设， 所以，故． 其中， 故， 又， 故，同理可得， 而， ， 联立方程解得，，所以． 故答案为： 5．（2025高三·全国·专题练习）已知点在内，且是的垂心，若，则____． 【答案】 【分析】利用五心的向量表达式可求，利用两角和的正切公式得，进而得，即可求解. 【详解】依题意，取的中点，取的中点，连接， 则， 因为，所以，所以. 所以三点共线，且，连接，则，且， 所以， 如图，延长分别交于点， 在线段上取，使得.连接， 取的中点，取的中点，连接，    则， 因为，所以， 所以三点共线，且， 因为为的中点，所以，且，所以， 所以， 综上可得， 设， 因为， 整理得，可得，因为， 所以．又，所以，所以． 故答案为：. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·安徽·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 【答案】 【分析】作出辅助线，由奔驰定理得到，设，则，设，则，由，得到，求出，根据互补得到，由同角三角函数关系得到答案. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 故⊥,⊥,⊥, ，由“奔驰定理”得，， 则，即，设，则， 同理，即，设，则. 由，得，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以， 则. 故答案为： 2．（24-25高一下·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 【答案】D 【分析】根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 利用数量积的定义可判断为内心. 【详解】 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心， 故选：D 3．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 【答案】C 【分析】对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，， 对于A：若为的重心，则， 所以 若，则，解得，所以，A不正确；    对于B：若为的外心，其必在直线上， 所以，B错误； 对于C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，则，解得，所以，C正确； 对于D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，则，解得，所以，D不正确； 故选：C. 4．（2026高一·全国·专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则_____. 【答案】/ 【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为，结合正切的和差角公式即可求解. 【详解】∵是的垂心，∴，， ∴，， ∴ ， 同理可得， 延长交于点，则. ∴ ， 同理可得，∴， 又， ∴， 又， ∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时， 则都是钝角，则，矛盾； 故，则， ∴是锐角，， 于是，解得. 5．（24-25高一下·陕西榆林·期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式恒成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据三角形外心、重心、垂心的性质以及向量的运算法则来逐一分析选项． 【详解】对于A，已知为的重心，为中点，则有， 又，所以. 而，那么， 已知，，则，故A错误； 对于B，设为中点，则，. 因，且，则，故B正确； 对于C，因为垂心，则，即，即，故C正确； 对于D，因为，，三点共线，且，，，，. ，，. 则要证明，只需证，即证. 由， 又，可得，即成立，故D正确. 故选：BCD.    1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.5平面向量四心问题、奔驰定理（期中复习讲义） 内容导航 明。期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01重心问题 题型02外心问题 题型03内心问题 题型04垂心问题 题型05四心问题综合 题型06欧拉线 题型07奔驰定理的应用 题型08奔驰定理与四心综合应用 过·分层哥验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 奔驰定理 掌握奔驰定理的推导与公式的应用，以及 高一阶段常作为拓展内容，多在期中期 与四心的结合。 末压轴小题出现，重点考查面积比与系 数比的转化 四心问题 掌握四心的定义、性质、以及公式的推导、 重心问题作为高频考点，难度中等，常与 几何意义。 中线性质结合，其余三心问题相对较少。 记·必备知识 屋知识点01三角形的重心 若O点为AABC的重心，a,b,c为A、B、C角所对的边 1、重心：三角形各边中线的交点，重心在中线的三等分点处。 2、重心的性质： 1/14 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①重心的坐标为x+时y+y） 3 3 (其+A(xya)B(xyg)coy》 ②品乱+动 ⑧0i+o丽斗2=0 ④若P为AABC所在平面内一点，则有日=汁pg汁p记 ⑤若A=(A+AC)或O=OA+λ(A+AC),1E[0,+∞)，则P一定经过三角形的重心 AC 或02=0A+入 AB AC Adsinc A店nB +dsnc,入E[0,+∞)，则P一定经过三角 形的重心 属知识点2三角形的外心 若0点为4ABC的外心，a,b,c为AB、C角所对的边 1、外心：三角形各边的中垂线的交点，即三角形外接圆的圆心，其到三角形三个顶点的距离相等。 2、外心的性质： ①=|=|台2=2=22（根据外心到三个顶点距离相等） ②（计-（品十2=（计o20(根据中垂线可推导出） ③sin2A·0汁sin2B·oB汁sin2Co2。(根据奔驰定理推导出) ③功点P满定O币=西+A西。+恶)，1E(0+o),则动点的轨过-定适过aA8C的 外心（将±产移到式子左边，两边同时·元化简两边都为0） 回4”品=引，A可42引4（根据投影向量可推导出） 属知识点3三角形的内心 若0点为AABC的内心，a,b,c为AB、C角所对的边 1、内心：三角形角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。 2、内心的性质： ①石=信+引，AER则直线A0经过△A8C的内心（以号+号几何意义连解） @得)=品眉)-品得 ]=0(可以从4可到4的投影数量与其到A的投影数量相 等去推导》 ③a·d+b·o+c·o2=0(根据奔驰定理推导出) ④若P为AABC所在平面内一点，则有p司=cP++b+cP君+eP元（可以由③推导出） 2/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ⑤Ad-+b+e4日十+cA(可以由③推导出，或者直接由奔驰定理推导出) 屋知识点04三角形的垂心 若0点为AABC的垂心，a,b,c为A、B、C角所对的边 1、垂心：三角形各边高线的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、垂心的性质： ①品品十园高)，AER则直线A0经过AABC的蛋心（两边同时·C化简两边都为0） ②0B元=0台0（02品)=0台”0品=4”02-0记（根据A0垂直BC可得） ③tamA:o汁tanB·o时十tanC.o-。(根据奔驰定理推导出) ④Ad=MAtanC AB十nan丽AC(可以由③推导出，或者直接由奔驰定理推导出) 同知识点05奔驰定理 1、奔驰定理：当SABOC:S440c:S4oB=&:B:Y时，有·Oa计B·0i十Y·Od= A0=AB+新Ac器·过计器· B 0 B D 证明：延长A0与BC交于D点，根满我线定理有ò=铝C+铝而 根据器-，假=有=2正+西 由大线定莲有茄-岛币=岛器花+岛器布根品=器 SAABD SAE代 SAALD 入Aò= 品提花+店-心+ SAABD SAABC (元-O列+器（可丽.0A移项合并有 SAABC S4A80. 9iò-器2o元+器o+Sa0c计Sa08a2了 S48/ 2、奔驰定理的四心应用： ①0为重心：各边中线的交点，则S4B0c:S440c:S440B=1:1:1,代入有 aB+0元=0 3/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②0为内心：内角平分线的交点，则S4B0c:S440c:S40B=a:b:C,代入有 aoa+bog+cad。9 sinA+sinB·og+si20 ③0为外心：各边中垂线的交点，则S4Boc:S44oc:S4oB=sin2A:sin2B:sin2C,代入有 sin2A:o计sin2B·og+sin2Co2。 ④0为垂心：各边高线的交点，则SABOC:S△4oc:S4os=tanA:tanB:tanC,代入有 tanA.o+tanB:oi+amC·od司 破·重难题型 它题型一 重心问题 解|题|技|巧 利用取心的定文以及其性风：常用的品=专（冠十2）与十十记。从儿阿意义去军解 【典例1】(25-26高一下·全国·单元测试)0为平面上一动点，A、B、C是平面上不共线的三点，且满足 OA+OB=入OC≠0（久∈R),则0点的轨迹必过ABC的(） A.垂心 B.外心 C.内心 D.重心 【典例2】(2025高一，全国.专题练习)已知ABC,0为平面内任意一点，动点P满足 50p=[(2+2)0A+(2+2)0B+(1-22)0C],则点P的轨迹一定经过() A.ABC的内心 B.ABC的垂心 C.ABC的重心 D.ABC的外心 【变式1】(25-26高一上·北京·期末)己知ABC的重心为G,若其所在平面内有4个不同点 P,P,P,P满足AP+BE+CP=3i,i=1,23,4.给出下列四个结论： ①GA+GB+GC=0 ②GP=2 ③PE+P,E+BP的最小值为3 ④PE+PF+P,E的最大值为18 其中正确结论个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 4/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(2025高三·全国.专题练习)0为ABC平面内一定点，该平面内一动点P满足 M={POP=OA+2 AB sin B·AB+|AC|sinC·AC),1>0},则ABC的()一定属于集合M A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 题型二 外心问题 答|题模板 利用外心的定义以及其性质。常用的d=|=|台2=2=己2（根据外心到三个顶点距 离相等)跟（计）-（耐十记-（汁记420（根据中垂线可指导出） 【典例1】(25-26高一全国假期作业)己知点0为ABC所在平面内一点，若AC2_AB2=2A0.8C,则 点O的轨迹必通过ABC的() A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 【典例2】(25-26高三上江苏月考)已知0为锐角ABC的外心，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 CO.AB=BO.CA,a=1,则ABC面积的取值范围为() 3 √25 A B 4’ 4 6 4 61 4’2 【变式1】(2025高三全国.专题练习)己知0是ABC所在平面内的一定点，平面内动点P满足 0D=0B+0c +( AB AC ,入∈R,则动点P的轨迹一定通过ABC的() 2 AB|coS∠ABC|AC|cOS∠ACB A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 【变式2】(2025高三，全国.专题练习)已知三角形ABC的外心0满足20A+30B+40C=0,则sinA= 它题型三 内心问题 答|题模|板 利用内心的定义以及其性质。 品=得+引， λ∈R则直线AO经过△ABC的内心（从 语几何意义 理解) 【典例1】(2025高三全国专题练习)设aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,P是 AABC所在平面上的一点，PAPB=PA.PC+b-CP=CPB.PC+a-C.PB2,则点P是aABC的 b b a a () 5/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 【典例2】(2025高一全国.专题练习)己知0为ABC所在平面内一点，若a0A+b0B+c0C=0,其中内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,则点O是ABC的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【变式1】(2025高一·全国.专题练习)己知点0是ABC内任意一点，AC=b,AB=c且 0D=0A+1 bAB+,AC b+c 则点D的轨迹一定经过ABC的(). b+c A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心 【变式2】2025高三，全国专题练习)在△ABC中，P是不同于三角形顶点的一点，若 Pi=PA+ AB (2>0),证明：点I的轨迹过内心 AB 立题型四 垂心问题 答|题模|板 从垂心的定义出发，三角形各边高线的交点， 4B 入∈R则直线AO经过△ABC的垂 心（两边同时·B元化简两边都为0） 【典例1】(2026高三全国：专题练习)设0是4BC的外心，点P满足OA+O方+0元=0户，则P是 ABC的( ) A.内心 B.任意一点 C.垂心 D.重心 【典例2】(25-26高三上·重庆月考)己知平面上四个点A,B,C,D,其中任意三个点不共线若 BA.BD=BC.BD,则直线BD一定经过三角形ABC的() A.垂心 B,内心 C.重心 D.外心 【变式1】(2025高三·全国.专题练习)己知O是斜三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足 0p=0A+入 AB AC 1∈(0，+o),则动点P的轨迹一定通过ABC的 心 AB cos B ACcosC 【变式2】(2025高三·全国.专题练习)已知在同一个平面上有ABC和一点0，且满足关系式： 0+BC2=0B+CA=0C2+AB2,则0为ABC的(). 6/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 它题型五 四心问题综合 答|题模板 将四心的几何性质转化为向量等式一一重心用中线交点及向量和为零，垂心用高线对应垂直（数量积为零）， 外心用顶点等距（模相等），内心用角平分线性质（边长比例转化为向量比例）。 【典例1】(25-26高三上山东青岛·月考)在△ABC中，AB=4,AC=5,BC=6,下列说法中正确的有() A.若点O为△ABC的重心，则AO=OB+OC B.若点O为△ABC的外心，则AO.AB=6 C若点0为△c的垂心，则0.6-月 D.若点0为△0C的内心，且40=4B+)4C,则x+y} 【典例2】（多选）(25-26高一上云南昆明期末)（多选）ABC中，AB=AC=5,BC=6,点P满足 AP=xAB+yAC,设入=x+y,则() B D A.若P为ABC的重心，则元= B.若P为ABC的内心，则A-号 C.若P为ABC的垂心，则元=7 16 D.若P为ABC的外心，则元= 6 【变式1】（多选）(24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中)在ABC中，AB=AC=5,BC=6,P为ABC内的 一点，AP=xAB+yAC,则下列说法正确的是() A.若P为ABC的重心，则x+y=号B.若P为ABC的外心，则PB.BC=-I8 7 5 C.若P为ABC的垂心，则x+y= =6D.若P为ABC的内心，则x+y= 8 【变式2】(2025高三·全国专题练习)已知点O,P均在ABC所在平面内，以下所有正确说法的序号是 7/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①若动点P满足OP=OA+PB+PC,则点P为ABC的重心： ②若动点P满足OP=OA+入 AB AC 入∈R),则动点P的轨迹一定经过ABC的内心： AB AC ③若动点P满足OP=OA+入 AB AC (2∈R),则动点P的轨迹一定经过ABC的重心； ABsinB ACsinC AB ④若动点P满足OP=OA+入 AC 入∈R),则动点P的轨迹一定经过ABC的垂心. AB cosB AC cosC 题型六欧拉线 答题模板 先利用向量条件求出O、H、G中任意两点的坐标或向量表示，再通过线性关系验证共线或求参数；常见于新 定义或探究题，需熟练运用重心公式与外心、垂心的向量性质。 【典例1】（多选）(25-26高一下·湖北荆州月考)著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重 心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线，该定理 称为欧拉线定理，己知ABC的外心为O,重心为G,垂心为H,且AB=6,AC=4,以下结论正确的是 () A.AG.BC=_20 3 B.A0.BC=10 C.若BC=27,则14G7 D.OH=04+0B+OC 3 【典例2】（多选）(24-25高一下·江苏南通·月考)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重 心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧 拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知ABC的外心为O,重心为G,垂心为H,M为BC中点，且 AB=4,AC=2,则下列各式正确的有() A.AG.BC=4 B.A0.BC=-6 C.0H=0A+0B+0C D.3BG=2BO+BH 【变式1】(2025海南·模拟预测)瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线，已知在 ABC中，AB=N6,AC=2,且∠B=牙，设ABC的外心为O,重心为G,垂心为H,若 0G=OA+OB+0c,则实数元=；0i= 8/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】（多选）(2425高一下·安微芜湖期中)著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心重心 、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线该定理称为欧 拉线定理.已知ABC的外心为0，重心为G,垂心为H,且AB=6,AC=4,以下结论正确的是() A.AG.BC=_20 3 B.A0.BC=10 C.0H=0A+0B+0C D.若BC=2W7,则OB.0C=-5 立题型七奔驰定理的应用 答|题模板 己知向量系数关系可直接得面积比；反之己知面积比可求系数关系。常与重心（系数相等）、内心（系数为 边长)等特殊点结合考查。将条件化为从同一点出发的向量和为零，系数即为对应三角形面积比。若系数 含参数，通过面积和为总面积的约束求参数值。 1 【典例1】(25-26高三上广东·月考)已知点0为ABC内一点，满足OA+30B=10C,若S,4oB=SBc ,则2=() A.-2 B.- 3 C. D.2 【典例2】(25-26高三上浙江温州月考)点M是ABC所在平面内一点，满足MB+M+3MC=0,若 D为AC中点，则的值为)一 A.5 B.3 c.2 D.5 8 4 3 6 【变式1】(25-26高三上·北京顺义·月考)设P是ABC所在平面内的一点，满足PA-PB+PC=AB,若 S△ABc=1,则SAPAC=（) A.4 B. C.1 D.2 【变式2】(25-26高二上·黑龙江绥化开学考试)在△ABC所在的平面上有一点P,满足 2PA+P元=A店+P克，则APAB与△ABC的面积之比是() A.3 B D. 9/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 它题型八奔驰定理综与四心综合应用 答|题模板 将四，心的向量关系式整理为SA80c汁Sa40cg十Sa408°02。的形式。 【典例1】（多选）(2026高三·全国.专题练习)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面 向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联它的具体 内容是：已知M是ABC内一点，△BMC,△AMC,△AMB的面积分别为S4,SB,Sc,且 S4·MA+S。·MB+S.·MC=0.以下命题正确的有() M A.若S4:Sg:Sc=1:1:1,则M为ABC的重心 B.若M为ABC的内心，则BC.MA+AC.MB+AB.MC=0 C.若M为ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0,则tan /BAC:tan ZABC:tan /BCA=3:4:5 D.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为ABC的外心，则S:Sg:Sc=V3:2:1 【典例2】（多选）(2025高三·全国.专题练习)（多选）奔驰定理：己知0是ABC内一点，△B0C, △AOC,AOB的面积分别为S4,S,Sc,则S,·OA+SgOB+Sc·OC=0.如图，设0是ABC内一点， ABC的三个内角分别为A,B,C,△BOC,△AOC,AOB的面积分别为S,SB,Sc,若 30A+40B+50C=0,则以下命题正确的有() B A.S4:SB:Sc=3:4:5 B.O有可能是ABC的重心 C.若O为ABC的外心，则sinA:sinB:sinC=3:4:5 10/14