精品解析：北京市第二中学朝阳学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年北京二中朝阳学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共24分） 1. 随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小值是（） A. 1 B. C. 2 D. 3. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为（ ） A. 2或-2 B. 2 C. -2 D. 5. 方程的一个实数根为，则的值是（ ） A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019 6. 如图所示，⊙的半径为13，弦的长度是24，，垂足为，则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 7. 如图，抛物线和直线，当时，x的取值范围是（　　） A. B. 或 C. 或 D. 8. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是______． 10. 如图，在中，点是的中点，，则等于________度． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 12. 近年来某县加大了对教育经费的投入，2014年投入了2500万元，2016年投入了3500万元，假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意可列方程为_____． 13. 如图10，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为___． 14. 已知半径为的中，弦，则弦所对的圆周角______． 15. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是________． 16. 若、是关于x的方程的两根，且，则a、b、m、n的大小关系是_______． 三、解答题（本大题共52分，第17题每小题8分，第18-22题每题5分，第23题题6分，第24题7分，第26题6分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都为正整数，且m为整数，求m的值． 19. 已知二次函数． （1）将二次函数化成的形式，并写出与y轴交点坐标； （2）在平面直角坐标系中列表画出的图象； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 20. 如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长． 21. 如图，是的直径，弦于点H，，，求的半径的长． 22. 如图所示，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道， OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米 请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式； 隧道下的公路是双向行车道正中间是一条宽1米的隔离带，其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的特种车辆？请通过计算说明. 23. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． （1）若点在该抛物线上，求t的值； （2）当时，对于，都有，求的取值范围． 24. 在中，，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作，过点B作，取AB中点O，连接ON． （1）①依题意在图1中补全图形； ②求证：CM=BN； （2）猜想线段AM ，BN，ON的数量关系，并证明； （3）当∠BCP=22.5°时，若ON=1，则GN的值为___________． 25. 在平面直角坐标系中，P为一定点．点P和图形W的“旋转中点”定义如下：Q是图形W上任意一点，将点Q绕原点顺时针旋转，得到点，点M为线段的中点，则称点M为点P关于图形W的“旋转中点”．如下图，已知点． （1）在点中，点______是点A关于线段的“旋转中点”（填“H”“G”或“N”）． （2）求点A关于线段的“旋转中点”的横坐标m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京二中朝阳学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共24分） 1. 随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此依次判断即可. 【详解】∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， ∴A、C、D不符合，不是中心对称图形，B选项为中心对称图形. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键. 2. 函数的最小值是（） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质，掌握顶点式表达式的有关性质是解题关键．利用二次函数顶点式求函数的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，y的最小值是， 故选：D． 3. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移，根据二次函数图像的平移规律，左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为， 故选：B． 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为（ ） A. 2或-2 B. 2 C. -2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，将代入方程，求解即可． 【详解】解：由题意可知：，即 将代入方程得，解得 ∴ 故选C 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与概念，解题的关键是理解一元二次方程根的意义，易错点是容易忽略二次项系数不能为0． 5. 方程的一个实数根为，则的值是（ ） A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019 【答案】B 【解析】 【分析】利用十字交叉法解方程，把值代入即可求解． 【详解】解：原方程的解是，， 当时，； 当时，； 故选：． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解题技巧． 6. 如图所示，⊙的半径为13，弦的长度是24，，垂足为，则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：已知⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，，垂足为N，由垂径定理可得AN=BN=12，再由勾股定理可得ON=5，故答案选A. 考点：垂径定理；勾股定理. 7. 如图，抛物线和直线，当时，x的取值范围是（　　） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两图象的交点为，可得当或时，抛物线的图象位于直线的下方，即可求解． 【详解】解：联立得：， 解得：， 即两图象的交点为， ∴当或时，抛物线的图象位于直线的下方， ∴当时，x的取值范围是或． 故选：B 【点睛】此题考查求两个函数图象的交点坐标，根据函数图象确定自变量x的取值范围，正确解出交点坐标及正确理解函数图象是解题的关键． 8. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式. 【详解】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，2）， ∴a＜0，c=2， ∴二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）． 故答案为y=-x2+2（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题的关键. 10. 如图，在中，点是的中点，，则等于________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据等腰三角形性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵点是的中点，即， ∴． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及定义，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据一元二次方程根的情况，可知一元二次方程根的判别式，再根据一元二次方程根的定义得到，即可解题． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 12. 近年来某县加大了对教育经费的投入，2014年投入了2500万元，2016年投入了3500万元，假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意可列方程为_____． 【答案】2500（1+x）2=3500 【解析】 【详解】分析：首先根据题意可得2016年教育经费的投入=2015年教育经费的投入×（1+增长率），2015年教育经费的投入=2014年教育经费的投入×（1+增长率），由此可得方程2500（1+x）2=3500． 详解：设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得： 　2500（1+x）2=3500． 故答案为2500（1+x）2=3500． 点睛：本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 13. 如图10，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为___． 【答案】5cm 【解析】 【分析】首先由AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，易证得四边形OEAD是矩形，根据垂径定理，可求得AE与AD的长，然后利用勾股定理即可求得⊙O的半径OA长． 【详解】解：连接OA， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AE=AC=×6=3（cm），AD=AB=×8=4（cm），∠OEA=∠ODA=90°， ∵AB、AC是互相垂直的两条弦， ∴∠A=90°， ∴四边形OEAD是矩形， ∴OD=AE=3cm， 在Rt△OAD中，OA= 故答案为5cm． 14. 已知半径为的中，弦，则弦所对的圆周角______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，在上取点，连接，，，，，， 由，得是等边三角形，则，根据圆周角定理得，再由圆内接四边形得性质得出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上取点，连接，，，，，， ∵半径为的中，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角或， 故答案为：或． 15. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求得二次函数的对称轴，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：的对称轴为，，开口向上 又∵ ∴当时，最小为，时，最大为 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 16. 若、是关于x的方程的两根，且，则a、b、m、n的大小关系是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质、一元二次方程与二次函数的关系，准确分析判断是解题的关键． 通过构造二次函数，利用函数图像分析方程根的位置关系． 【详解】函数，该函数为二次函数，开口向上，与 x 轴交于点和， 方程，即，表示求函数与水平线的交点， 二次函数顶点在轴下方，且在轴上方， 方程有两个实数根，分别位于的左侧和的右侧， 已知， 故． 故答案是：． 三、解答题（本大题共52分，第17题每小题8分，第18-22题每题5分，第23题题6分，第24题7分，第26题6分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）先化为一般式，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 因式分解得， ∴或， 解得：，． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都为正整数，且m为整数，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）把方程的左边分解因式，求出方程的解，再根据方程的解是整数和m为整数得出答案即可． 【小问1详解】 证明： ，即，且， 此方程总有两个实数根. 【小问2详解】 解：此方程可化为 于是得或， 解得， ∵此方程的两个实数根都为正整数， 为正整数，又m为整数， 或． 19. 已知二次函数． （1）将二次函数化成的形式，并写出与y轴交点坐标； （2）在平面直角坐标系中列表画出的图象； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】（1），与y轴交点坐标为 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）先将化为顶点式，然后将代入解析式，求出与y轴的交点即可； （2）根据函数解析式，列出表格，然后画出相应的函数图象即可； （3）根据（2）中的图象，时即函数的图象在x轴上方时对应的x的取值范围，可以直接写出x的取值范围． 【小问1详解】 解：， 当时，， 即，与y轴交点坐标为； 【小问2详解】 解：列表如下： x 0 1 y 0 0 函数图象如下所示， 【小问3详解】 解：由图象可得，时x的取值范围是或． 20. 如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据是的直径，弦于点E得，根据得，根据得，根据得，在中，根据勾股定理得，计算得，即可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得， ， ， ， ， ∴． 21. 如图，是的直径，弦于点H，，，求的半径的长． 【答案】2 【解析】 【分析】由垂径定理得到，求出，再解求出的长，即可得到的半径长． 【详解】解：连接， ∵直径， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径长是2． 22. 如图所示，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道， OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米 请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式； 隧道下的公路是双向行车道正中间是一条宽1米的隔离带，其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的特种车辆？请通过计算说明. 【答案】（1）,；（2）该车辆能通行； 【解析】 【分析】(1)以O点为原点，建立直角坐标系，确定O，P，M的坐标，然后设出顶点式即可求解； （2）由于正中有一条宽1m的隔离带，则每个车道宽7.5m，3.5m宽的车沿着隔离带边沿行驶时,车最左侧边沿的,然后将x=4代入解析式，如果函数值大于5.8，则能顺利通过. 【详解】解： 以O点为原点，建立直角坐标系则O(0,0),P,M（0.16），且抛物线的顶点坐标为,设函数的解析式为, 将点代入上式得：,解得：, 故函数的表达式为：,； 双向行车道,正中间是一条宽1米的隔离带,则每个车道宽为米, 车沿着隔离带边沿行驶时,车最左侧边沿的, 当时,,即允许的最大高度为6米, ,故该车辆能通行； 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解答的关键在于弄通题意并联系实际生活. 23. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． （1）若点在该抛物线上，求t的值； （2）当时，对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质： （1）利用待定系数法求出，再根据对称轴计算公式求解即可； （2）根据解析式可得当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，且离对称轴越远函数值越大，据此分当时，当时，当时，当时，四种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，且离对称轴越远函数值越大； 当时， ∵， ∴此时满足； 当时， ∵， ∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离， ∴此时满足； 当时，一定会有的值满足，即此时，不符合题意； 当时，若，且时，此时，不符合题意； 综上所述，； 24. 在中，，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作，过点B作，取AB中点O，连接ON． （1）①依题意在图1中补全图形； ②求证：CM=BN； （2）猜想线段AM ，BN，ON的数量关系，并证明； （3）当∠BCP=22.5°时，若ON=1，则GN的值为___________． 【答案】（1）①图见解析；②见解析 （2）当点G在BO上时， AM＝BNON，证明见解析；当点G在AO上时，BN＝AMON，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①由题意补全图形； ②由“AAS”可证△ACM≌△CBN，由全等三角形的性质可得出CM＝BN； （2）分两种情况讨论，连接OC，证明△OCM≌△OBN（SAS），由全等三角形的性质可得出OM＝ON，COM＝∠COM＝∠BON，由等腰直角三角形的性质得出MNON，则可得出结论； （3）由等腰三角形的判定可证CM＝OM＝1，CM＝MG＝1，即可求解． 【小问1详解】 ①补全图形如图， ②证明：∵AM⊥CP，BN⊥CP， ∴∠AMC＝∠BNC＝90°， ∴∠ACM+∠CAM＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACM+∠BCN＝90°， ∴∠CAM＝∠BCN， ∵AC＝BC， ∴△ACM≌△CBN（AAS）， ∴CM＝BN． 【小问2详解】 当点G在BO上时，结论：AM＝BNON， 证明：如图2，连接OC，OM， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点， ∴OC＝OB，∠ACO＝∠CBO＝45°， ∵△ACM≌△CBN， ∴AM＝CN，∠OCM+∠ACO＝∠CBO+∠OBN， ∴∠OCM＝∠OBN， ∵CM＝BN， ∴△OCM≌△OBN（SAS）， ∴OM＝ON，∠COM＝∠BON， ∵∠COM+∠MOB＝90°， ∴∠BON+∠MOB＝90°， ∴∠MON＝90°， ∴MNON， ∴AM＝CN＝CM+MN＝BNON； 如图，当点G在AO上时，结论为：BN＝AMON， 理由如下：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点， ∴OC＝OB，∠ACO＝∠CBO＝45°， ∵△ACM≌△CBN， ∴AM＝CN，∠ACM＝∠CBN， ∴∠OCM+∠ACM＝∠CBN+∠OBN， ∴∠OCM＝∠OBN， ∵CM＝BN， ∴△OCM≌△OBN（SAS）， ∴OM＝ON，∠COM＝∠BON， ∵∠BON﹣∠CON＝90°， ∴∠COM﹣∠CON＝90°， ∴∠MON＝90°， ∴MNON， ∴BN＝CM＝CN+MN＝AMON； 【小问3详解】 ∵ON＝1， ∴OM＝ON＝1，MN， ∵∠BCP＝22.5°， ∴∠CAM＝∠BCP＝22.5°，∠MCO＝∠BCO﹣∠BCP＝22.5°， ∵BC＝CA，∠ACB＝90°，OM＝ON，∠MON＝90°， ∴∠CAB＝∠OMN＝45°， ∴∠CAM＝∠MAG＝22.5°，∠MCO＝∠COM＝22.5°， ∴CM＝OM＝ON＝1， ∵∠ACG＝∠ACB﹣∠BCP＝67.5°，∠AGC＝∠ABC+∠BCP＝67.5°， ∴∠ACG＝∠AGC， ∴AG＝AC， 又∵∠CAM＝∠MAG， ∴CM＝MG＝1， ∴GN＝MN﹣MG1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，P为一定点．点P和图形W的“旋转中点”定义如下：Q是图形W上任意一点，将点Q绕原点顺时针旋转，得到点，点M为线段的中点，则称点M为点P关于图形W的“旋转中点”．如下图，已知点． （1）在点中，点______是点A关于线段的“旋转中点”（填“H”“G”或“N”）． （2）求点A关于线段的“旋转中点”的横坐标m的取值范围． 【答案】（1）H （2） 【解析】 【分析】（1）根据“旋转中点”的定义逐一进行分析． （2）先确定线段绕原点顺时针旋转后的线段，再分析中点的横坐标随在上移动的变化范围，通过端点情况确定最值． 【小问1详解】 解：已知，，设线段的解析式为，代入得： ，解得：． ∴解析式为：． 设根据旋转规律，则． ∵，点为线段的中点，若， ∴的坐标为：． ①对于点： 令，解第一个方程得．第二个方程，成立，此时，即点， ∴是一个“旋转中点”． ②对于点： 令，解第一个方程得．第二个方程，不成立． ∴不是一个“旋转中点”． ③对于点： 令，解第一个方程得．但的范围是，不满足． ∴不是一个“旋转中点”． 综上，点是点关于线段的“旋转中点”． 【小问2详解】 解：如图，线段绕原点顺时针旋转得到线段． 线段的中点为，线段的中点为． 当点与点重合时，点关于线段的“旋转中点”的横坐标， 当点与点重合时，点关于线段的“旋转中点”的横坐标， ∴点关于线段的“旋转中点”的横坐标的取值范围为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的旋转变换、中点坐标公式以及一次函数线段上的坐标范围，解题关键是熟练掌握点的旋转规律和中点坐标公式，通过设参数并结合线段的坐标范围来求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $